1. 引言

在实际情况中，函数在离散点处的函数值并不是已知的，而是以在连续等距区间上的积分值作为已知条件，这就需要依据积分值来求逼近函数，在力学、数理统计等方面有广泛的应用。现有对于已知积分值来对函数进行重构的方法是利用样条函数，因为样条函数空间具有是分片多项式空间等优点，所以它作为逼近空间受到很多学者的青睐，Behforooz [1]最先以积分值作为已知条件来构造三次样条插值函数，接着Behforooz [2]还研究了关于积分值的五次样条插值方法。Lang和Xu [3]将四次B样条和积分值相结合，Wu和Zhang [4]将积分值与六次样条相结合，都证明了其在节点处具有超收敛性。但以上的方法都需要求解线性方程组，需要进行大量的计算，为了避免这一缺点，关于积分值型样条拟插值被广泛研究，Boujraf等[5]利用给定区间上的积分值的线性组合对Pual Sablonniere [6]提出的离散的单变量样条拟插值中的函数值进行替换，得到了积分值型三次样条拟插值。2018年，吴金明等[7]进一步得到了连续区间上关于积分值的五次样条拟插值。由于样条函数也存在一些缺点，比如有时不能满足被逼近函数的光滑性的较高要求，而MQ函数作为径向基函数，几乎可以逼近所有的函数。因此在Hardy [8]提出MQ函数后，MQ拟插值就有了很好的发展。Beatson和Powell [9]对有限区间上的拟插值进行了研究，提出了定义在有界区间上的MQ拟插值算子 $L_A$ ， $L_B$ ， $L_C$ 。Wu和Schaback [10]对文献[9]的结果进行了改进，提出了不需要已知边界导数值MQ拟插值算子 $L_D$ 。关于MQ拟插值的研究还有很多。而在2016年，高文武在文献[11]中提出了针对导数信息的MQ拟插值算子，并表明了它具有收敛性和保形性，这使拟插值可以应用到更多的领域。而对于积分值型MQ拟插值，在2019年，吴金明等[12]在Wang和Xu等[13]提出的拟插值算子的基础上，用已知的积分值信息分别对结点处函数值和一阶导数值进行逼近，从而得到新的关于积分值的MQ拟插值算子。

本文根据文献[12]中利用积分值的线性组合逼近函数的一阶导数值，提出了一种新的关于积分值的MQ拟插值算子，此过程不需要求解线性方程组，将积分值和MQ函数进行结合，也避免了样条函数空间的一些缺点，现有的MQ拟插值算子大多数都是以函数值、导数值作为已知条件，而实际应用中大多数以积分值作为已知条件，导数值信息在实际问题中不容易获取，为了使MQ拟插值得到更广泛的应用，本文提出了一种新的基于积分值的MQ拟插值算子，并且给出了相应的误差估计。

2. 有界区间上的MQ拟插值算子

已知节点 $a=x_0<x_1<\cdot \cdot \cdot <x_{N-1}<x_N=b$ ，在这些节点处的导数值为 ${\left\{f^{\prime }\left(x_j\right)\right\}}_{j=0}^N$ ，并且还已知区间 $\left[a,b\right]$ 内任意一点处的函数值 $f\left(\bar{x}\right)$ ，这里 $h=\underset{0\le j\le N-1}{\max }\left(x_{j+1}-x_j\right)$ 。则高文武[11]构造的有界区间 $\left[a,b\right]$ 上的MQ拟插值算子 $Q_D^{\bar{x}}f\left(x\right)$ 为

$\begin{array}{c}{Q}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)=f\left(\bar{x}\right)+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N-1}{\sum }}{f}^{\prime }\left(x_j\right)\left({\phi }_j\left(x\right)-{\phi }_j\left(\bar{x}\right)\right)}\\ +f^{\prime }\left(a\right)\left[\frac{\varphi \left(\bar{x}-a\right)-\varphi \left(x-a\right)}{4}+\frac{\varphi \left(\bar{x}-x_1\right)-\varphi \left(x-x_1\right)}{4}+\frac{x-\bar{x}}{2}\right]\\ +f^{\prime }\left(b\right)\left[\frac{\varphi \left(x-b\right)-\varphi \left(\bar{x}-b\right)}{4}+\frac{\varphi \left(x-x_{N-1}\right)-\varphi \left(\bar{x}-x_{N-1}\right)}{4}+\frac{x-\bar{x}}{2}\right]\end{array}$ (1)

其中

${\phi }_j(x)=\frac{\varphi \left(x-x_{j-1}\right)-\varphi \left(x-x_{j+1}\right)}{4}{，}_{}1\le j\le N-1，$

$\varphi \left(x\right)={\left[x^2+c^2\right]}^{\frac{1}{2}}{，}_{}c$ 为形状参数。

对于MQ拟插值算子 $Q_D^{\bar{x}}f\left(x\right)$ ，误差估计如下。

定理1 [11]记 $f\left(x\right)\in C^3\left(R\right)$ 且满足 $\left|f^{\prime }\left(x\right)\right|\le M{\left|x\right|}^{2-\epsilon }$ ，这里M为任意的正整数，ε为任意小的正数，则拟插值算子 $Q_D^{\bar{x}}f\left(x\right)$ 的误差估计为

${\Vert Q_D^{\bar{x}}f-f\Vert }_{\infty }\le \left(K_1{h}^2+K_{2}ch+K_3{c}^2\left|\lg h\right|\right)\left|x-\bar{x}\right|$

根据定理可知：

当 $c^2\left|\lg h\right|=o\left(h^2\right)$ 时， ${\Vert Q_D^{\bar{x}}f-f\Vert }_{\infty }\le o\left(h^2\right)\left|x-\bar{x}\right|$ ；

当 $c=o\left(h\right)$ 时， ${\Vert Q_D^{\bar{x}}f-f\Vert }_{\infty }\le o\left(h^2\left|\lg h\right|\right)\left|x-\bar{x}\right|$ 。

3. 有界区间上积分值型MQ拟插值算子的构造

本节首先根据文献[12]，利用连续区间上积分值的线性组合以 $o\left(h^4\right)$ 去逼近函数 $f\left(x\right)$ 在节点 $x_j$ 处的一阶导数值 $f^{\prime }\left(x_j\right)$ ， $j=0,1,2,\cdots ,N$ 。然后利用此逼近将MQ拟插值算子 $Q_D^{\bar{x}}f\left(x\right)$ 中的一阶导数值进行替换，从而得到新的拟插值算子 ${\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)$ 。

3.1. 对节点处一阶导数值的逼近

在有界区间 $\left[a,b\right]$ 上的节点 $a=x_0<x_1<\cdot \cdot \cdot <x_{N-1}<x_N=b$ ，其中 $x_i=a+ih$ ， $0\le i\le N$ ， $h=\left(b-a\right)/N$ ，节点区间 $\left[x_i,x_{i+1}\right]$ 上的积分值为 $I_i$ ， $I_i={\displaystyle {\int }_{x_i}^{x_{i+1}}f\left(x\right)\text{d}x}$ 。连续等距区间上的积分值和函数在节点处一阶导数值的关系如下引理1所示。

引理1 [12]对于 $i=2,3,4,\cdots ,N-2$ 有

${\tilde{f}}_i^{\text{'}}=\frac{1}{12h^2}\left(I_{i-2}-15I_{i-1}+15I_i-I_{i+1}\right)={f^{\prime }}_i+o\left(h^4\right)$ ，

同样 $i=0,1,N-1,N$ 时，有

${{\tilde{f}}^{\prime }}_0=\frac{1}{12h^2}\left(-45I_0+109I_1-105I_2+51I_3-10I_4\right)={f^{\prime }}_0+o\left(h^4\right)，$

${{\tilde{f}}^{\prime }}_1=\frac{1}{12h^2}\left(-10I_0+5I_1+9I_2-5I_3+I_4\right)={f^{\prime }}_1+o\left(h^4\right)，$

${{\tilde{f}}^{\prime }}_{N-1}=\frac{1}{12h^2}\left(10I_{N-1}-5I_{N-2}-9I_{N-3}+5I_{N-4}-I_{N-5}\right)={f^{\prime }}_{N-1}+o\left(h^4\right)，$

${{\tilde{f}}^{\prime }}_N=\frac{1}{12h^2}\left(45I_{N-1}-109I_{N-2}+105I_{N-3}-51I_{N-4}+10I_{N-5}\right)={f^{\prime }}_N+o\left(h^4\right)。$

3.2. 积分值型MQ拟插值算子

通过上面3.1节已经用积分值的线性组合来对函数 $f\left(x\right)$ 的一阶导进行逼近，那么再利用其中的 ${{\tilde{f}}^{\prime }}_j,j=0,1,\cdots ,N$ 对(1)式中的 $f^{\prime }\left(x_j\right),j=0,1,\cdots ,N$ 进行替换，即可得到新的有界区间上基于积分值的MQ拟插值算子 ${\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)$ 如下定义。

定义1 给定有界区间 $\left[a,b\right]$ 上的节点 $a=x_0<x_1<\cdot \cdot \cdot <x_{N-1}<x_N=b$ ，节点区间 $\left[x_j,x_{j+1}\right]$ 上的积分值 $I_j={\displaystyle {\int }_{x_j}^{x_{j+1}}f\left(x\right)\text{d}x}$ ，其中 $x_j=a+jh$ ， $0\le j\le N$ ， $h=\left(b-a\right)/N$ ，以及区间 $\left[a,b\right]$ 内任意一点处的函数值 $f\left(\bar{x}\right)$ ，关于 $f\left(x\right)$ 的MQ拟插值算子为

$\begin{array}{c}{\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)=f\left(\bar{x}\right)+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N-1}{\sum }}{\tilde{f}}^{\prime }\left(x_j\right)\left({\phi }_j\left(x\right)-{\phi }_j\left(\bar{x}\right)\right)}\\ +{\tilde{f}}^{\prime }\left(a\right)\left[\frac{\varphi \left(\bar{x}-a\right)-\varphi \left(x-a\right)}{4}+\frac{\varphi \left(\bar{x}-x_1\right)-\varphi \left(x-x_1\right)}{4}+\frac{x-\bar{x}}{2}\right]\\ +{\tilde{f}}^{\prime }\left(b\right)\left[\frac{\varphi \left(x-b\right)-\varphi \left(\bar{x}-b\right)}{4}+\frac{\varphi \left(x-x_{N-1}\right)-\varphi \left(\bar{x}-x_{N-1}\right)}{4}+\frac{x-\bar{x}}{2}\right]\end{array}$ (2)

其中

${\tilde{f}}^{\prime }\left(x_j\right)=\frac{1}{12h^2}\left(I_{j-2}-15I_{j-1}+15I_j-I_{j+1}\right)=f^{\prime }\left(x_j\right)+o\left(h^4\right){，}^{}j=2,3,\cdots ,N-2，$

${\tilde{f}}^{\prime }\left(a\right)=\frac{1}{12h^2}\left(-45I_0+109I_1-105I_2+51I_3-10I_4\right)=f^{\prime }\left(a\right)+o\left(h^4\right)，$

${\tilde{f}}^{\prime }\left(x_1\right)=\frac{1}{12h^2}\left(-10I_0+5I_1+9I_2-5I_3+I_4\right)=f^{\prime }\left(x_1\right)+o\left(h^4\right)，$

${\tilde{f}}^{\prime }\left(x_{N-1}\right)=\frac{1}{12h^2}\left(10I_{N-1}-5I_{N-2}-9I_{N-3}+5I_{N-4}-I_{N-5}\right)=f^{\prime }\left(x_{N-1}\right)+o\left(h^4\right)，$

${\tilde{f}}^{\prime }\left(b\right)=\frac{1}{12h^2}\left(45I_{N-1}-109I_{N-2}+105I_{N-3}-51I_{N-4}+10I_{N-5}\right)=f^{\prime }\left(b\right)+o\left(h^4\right)。$

${\phi }_j\left(x\right)=\frac{\varphi \left(x-x_{j-1}\right)-\varphi \left(x-x_{j+1}\right)}{4}{，}_{}1\le j\le N-1，$

$\varphi \left(x\right)={\left[x^2+c^2\right]}^{\frac{1}{2}}{，}_{}c$ 为形状参数。

4. 误差估计

定理2 拟插值算子 ${\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)$ 如(2)式定义，记 $f\left(x\right)\in C^3\left(R\right)$ 且满足 $\left|f^{\prime }\left(x\right)\right|\le M{\left|x\right|}^{2-\epsilon }$ ，这里M为任意的正整数，ε为任意小的正数，则拟插值算子 ${\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)$ 的误差估计为

${\Vert {\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f-f\Vert }_{\infty }\le \left(K_1{h}^2+K_{2}ch+K_3{c}^2\left|\lg h\right|\right)\left|x-\bar{x}\right|$

根据定理可知：

当 $c^2\left|\lg h\right|=o\left(h^2\right)$ 时， ${\Vert {\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f-f\Vert }_{\infty }\le o\left(h^2\right)\left|x-\bar{x}\right|$ ；

当 $c=o\left(h\right)$ 时， ${\Vert {\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f-f\Vert }_{\infty }\le o\left(h^2\left|\lg h\right|\right)\left|x-\bar{x}\right|$ 。

证 显然

$\begin{array}{c}{\Vert {\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)-f\left(x\right)\Vert }_{\infty }={\Vert {\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)-Q_D^{\bar{x}}f\left(x\right)+Q_D^{\bar{x}}f\left(x\right)-f\left(x\right)\Vert }_{\infty }\\ \le {\Vert {\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)-Q_D^{\bar{x}}f\left(x\right)\Vert }_{\infty }+{\Vert Q_D^{\bar{x}}f\left(x\right)-f\left(x\right)\Vert }_{\infty }\end{array}$

对 $\forall j$ 有

${\tilde{f}}^{\prime }\left(x_j\right)-f^{\prime }\left(x_j\right)=o\left(h^4\right)$ ，

则

$\begin{array}{c}{\Vert {\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)-Q_D^{\bar{x}}f\left(x\right)\Vert }_{\infty }\\ ={\Vert \begin{array}{l}(\tilde{f}\left(\bar{x}\right)-f\left(\bar{x}\right))+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N-1}{\sum }}\left({\tilde{f}}^{\prime }\left(x_j\right)-f^{\prime }\left(x_j\right)\right)}\left({\phi }_j\left(x\right)-{\phi }_j\left(\bar{x}\right)\right)\\ +\left({\tilde{f}}^{\prime }\left(a\right)-f^{\prime }\left(a\right)\right)\left[\frac{\varphi \left(\bar{x}-a\right)-\varphi \left(x-a\right)}{4}+\frac{\varphi \left(\bar{x}-x_1\right)-\varphi \left(x-x_1\right)}{4}+\frac{x-\bar{x}}{2}\right]\\ +\left({\tilde{f}}^{\prime }\left(b\right)-f^{\prime }\left(b\right)\right)\left[\frac{\varphi \left(x-b\right)-\varphi \left(\bar{x}-b\right)}{4}+\frac{\varphi \left(x-x_{N-1}\right)-\varphi \left(\bar{x}-x_{N-1}\right)}{4}+\frac{x-\bar{x}}{2}\right]\end{array}\Vert }_{\infty }\\ =K{\Vert {\displaystyle \underset{j=0}{\overset{N}{\sum }}{\tilde{f}}^{\prime }\left(x_j\right)-f^{\prime }\left(x_j\right)}\Vert }_{\infty }\\ =o\left(h^4\right)\end{array}$

又由定理1可以得到

${\Vert Q_D^{\bar{x}}f\left(x\right)-f\left(x\right)\Vert }_{\infty }\le \left(K_1{h}^2+K_{2}ch+K_3{c}^2\left|\lg h\right|\right)\left|x-\bar{x}\right|$ ，

从而 ${\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)$ 的误差估计为

${\Vert {\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)-f\left(x\right)\Vert }_{\infty }\le \left(K_1{h}^2+K_{2}ch+K_3{c}^2\left|\lg h\right|\right)\left|x-\bar{x}\right|$

当 $c^2\left|\lg h\right|=o\left(h^2\right)$ 时， ${\Vert {\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f-f\Vert }_{\infty }\le o\left(h^2\right)\left|x-\bar{x}\right|$ ；

当 $c=o\left(h\right)$ 时， ${\Vert {\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f-f\Vert }_{\infty }\le o\left(h^2\left|\lg h\right|\right)\left|x-\bar{x}\right|$ 。

5. 数值实验

${\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)$ 为本文构造的MQ拟插值算子并且取 $c=h^5$ ，选取两个实验函数

$f_1\left(x\right)=e^x$ ， $f_2\left(x\right)=\sin \left(\pi x\right)$

针对不同的区间个数N，对这两个函数的最大误差如下表1和表2所示。

$ME\left(N\right)={\Vert {\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)-f\left(x\right)\Vert }_{\infty }$

为了更好的展示出本文提出的拟插值算子的逼近程度，图1、图2分别给出了 ${\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)$ 逼近 $f_1\left(x\right)$ 、 $f_2\left(x\right)$ 的效果图，其中取 $N=40$ ，逼近函数用 $Q_f$ 表示，被逼近函数分别用 $f_1{、}_{}{f}_2$ 表示。

Table 1. The maximum error with respect to $f_1\left(x\right)$

表1. 对 $f_1\left(x\right)$ 的最大误差

Table 2. The maximum error with respect to $f_2\left(x\right)$

表2. 对 $f_2\left(x\right)$ 的最大误差

Figure 1. ${\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)$ rendering of the approximation of $f_1\left(x\right)$

图1. ${\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)$ 逼近 $f_1\left(x\right)$ 的效果图

Figure 2. ${\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)$ rendering of the approximation of $f_2\left(x\right)$

图2. ${\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)$ 逼近 $f_2\left(x\right)$ 的效果图

通过以上数值实验可以看出本文提出的拟插值算子 ${\tilde{Q}}_D^{\bar{x}}f\left(x\right)$ 具有较为不错的逼近精度。

6. 结论

本文提出了一种新的关于积分值的MQ拟插值算子，通过利用积分值的线性组合逼近函数的导数值和MQ拟插值算子 $Q_D^{\bar{x}}f\left(x\right)$ 进行函数重构，并给出了相应的误差估计。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献