DOI: 10.12677/mos.2024.135485, PDF, HTML, XML,  被引量   
作者: 王希辉：上海理工大学机械工程学院，上海
关键词: ANSYS Workbench；单级减速器；可靠性分析；优化设计；ANSYS Workbench； Single-Stage Gearbox； Reliability Analysis； Optimized Design

文章引用：王希辉. 基于ANSYS的单级减速器箱体可靠性优化设计[J]. 建模与仿真, 2024, 13(5): 5347-5358. https://doi.org/10.12677/mos.2024.135485

1. 绪论

随着技术的不断发展，齿轮减速器几乎在各式机械的传动系统中都可以见到它的踪迹。近年来，在一般的机械设备中，原动设备所产生的动力一般有着转动速度快、转动力矩小的特征。但随着航空航天领域的发展，精密机床的精度需要得到提高，这时就需要减速器设备满足转动速度慢、转动力矩大。

本文主要通过ANSYS有限元分析发现齿轮箱在工作中存在的危险部位，并在保证正常使用的基础上对齿轮箱的结构进行一定的优化[1] [2]，减少齿轮箱的重量、节省材料资源。

2. 单机齿轮减速器的模型建立

通过SolidWorks绘制了单级齿轮减速器整机模型[3]，箱体材料为灰铸铁HT150，密度：7000 kg/m³杨氏模量为150 Gpa泊松比为0.25；输出、输入轴材料为40Cr密度为7850 kg/m³杨氏模量为200 Gpa泊松比为0.3，模型如图1、图2所示。

Figure 1. Single-stage gearbox assembly diagram

图1. 单机齿轮减速器装配图

Figure 2. Internal structure diagram of single-stage gearbox

图2. 单机齿轮减速器内部结构图

3. 单级减速器箱体的静力学分析

有限元分析(FEA, Finite Element Analysis)利用数学近似的方法对真实物理系统(几何和载荷工况)进行模拟，即利用简单而又相互作用的元素(即单元)，就可以用有限数量的未知量去逼近无限未知量的真实系统。该方法将具有无限个自由度的连续的求解区域离散为具有有限个自由度，且按一定方式(节点)相互连接在一起的离散体(单元)，即将连续体假想划分为数目有限的离散单元，而单元之间只在数目有限的指定点处相互联结，用离散单元的集合体代替原来的连续体。一般情况下，有限元方程是一组以节点位移为未知量的线性方程组，解次方程组可得到连续体上有限个节点上的位移，进而可求得各单元上的应力分布规律。

在有限元方法中，将连续体划分成许多连续单元，取每个单元的若干节点的位移作为未知量，即如下公式 ${\left\{\delta \right\}}^e={\left[u_i,v_i,w_i,\cdots \right]}^{{\rm T}}$ ，单元体内任一点的位移为 $\left\{f\right\}={\left[u,v,w\right]}^{{\rm T}}$ 。引入位移函数N (x, y, z)表示场变量在单元内的分布形态和变化规律，以便用场变量在节点上的值来描述单元内任一点的场变量。因此在单元内建立的位移模式为：

$\left\{f\right\}=\left[N\right]{\left\{\delta \right\}}^e$ (1-1)

其中： $\left[N\right]=\left[I{N}_1,I{N}_2,I{N}_3,\cdots \right]$ ， $I$ 为单位矩阵。

按等参元的特性，局部坐标 $\left(\xi ,\eta ,\zeta \right)$ 到整体坐标 $\left(x,y,z\right)$ 的坐标转换也采用与位移插值类似的表达式。经过坐标变化后子单元与母单元(局部坐标下的规则单元)之间建立一种映射关系。不管内部单元或边界附近的单元均可选择相同的位移函数，则为它们建立单元特性矩阵的方法是相同的。

利用几何方程、本构方程、虚功原理或位能变分方程求解单元节点力与节点位移关系的表达式，即单元刚度矩阵。

根据几何方程可建立单元内的应变矩阵 $\left\{\epsilon \right\}=\left({\epsilon }_x,{\epsilon }_y,{\epsilon }_z,{\gamma }_{xy},{\gamma }_{yz},{\gamma }_{zx}\right)$ ：

$\left(\epsilon \right)=\left[\text{B}\right]{\left\{\delta \right\}}^e$ (1-2)

其中 $\left[{\rm B}\right]=\left[{{\rm B}}_1,{{\rm B}}_2,{{\rm B}}_3,\cdots \right]$ 。

对于小变形线性弹性问题，根据物理方程建立单元内的应力矩阵：

$\left(\sigma \right)=\left[D\right]\left\{\epsilon \right\}=\left[D\right]\left[B\right]{\left\{\delta \right\}}^e$ (1-3)

其中， $\left[B\right]$ 为几何矩阵， $\left[D\right]$ 为弹性矩阵， $\left[S\right]$ 为应力矩阵， $\left[S\right]=\left[D\right]\left[B\right]$ 。

根据虚功原理求出单元中的节点力 ${\left\{F\right\}}^e$ ：

${\left\{F\right\}}^e=\left[k\right]{\left\{\delta \right\}}^e$ (1-4)

其中 $\left[k\right]$ 为单元的刚度矩阵， $\left[k\right]={\displaystyle {\iiint }_e{\left[B\right]}^{{\rm T}}\left[D\right]\left[B\right]dxdydz}$ 。

对于整体结构上的任一点 $i$ ，建立平衡方程：

${\displaystyle \underset{\text{e}}{\sum }\left\{F{}_i\right\}}=\left\{R_i\right\}$ (1-5)

$\left\{R_i\right\}$ 为 $i$ 节点上的外荷。上式表示 $\left\{R_i\right\}$ 与围绕 $i$ 点的各单元在 $i$ 点上的节点力之和相平衡。

材料的屈服极限是拉伸试件发生屈服现象(应力不变的情况下应变不断增大的现象)时，其屈服极限为计算强度的标准，即第四强度理论(最大等效应力理论–弹塑性材料，Max Equivalent Stress)，其也被称为形状改变比能理论，或畸变能密度理论，认为其是引起材料屈服的主要因素，当最大等效应力达到屈服极限时，材料发生不可逆转的永久性变形，即屈服，一般建议零部件最大等效应力不超过材料许用屈服应力，其表示如下：

${\sigma }_v=\sqrt{\frac{{\left({\sigma }_1-{\sigma }_2\right)}^2+{\left({\sigma }_2-{\sigma }_3\right)}^2+{\left({\sigma }_3-{\sigma }_1\right)}^2}{2}}<\left[{\sigma }_s\right]=\raisebox{1ex}{${\sigma }_s$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$n_s$}\right.$ (1-6)

其中 ${\sigma }_1$ ， ${\sigma }_2$ ， ${\sigma }_3$ 分别指第一、二、三主应力， $\left[{\sigma }_s\right]$ 为材料许用屈服应力， ${\sigma }_s$ 为材料屈服极限， $n_s$ 为安全系数。

等效塑性应变的计算公式如下：

${\epsilon }_v=\frac{1}{1+\nu }\sqrt{\frac{{\left({\epsilon }_1-{\epsilon }_2\right)}^2+{\left({\epsilon }_2-{\epsilon }_3\right)}^2+{\left({\epsilon }_3-{\epsilon }_1\right)}^2}{2}}$ (1-7)

整体变形是一个标量，由下式得出：

$U_{total}=\sqrt{U_x^2+U_y^2+U_z^2}$ (1-8)

其中， $U_x$ ， $U_y$ ， $U_z$ 为三个方向的变形分量。

3.1. 模型简化

优化后：

Figure 3. Simplification process of single-stage gearbox housing

图3. 简化后的单机齿轮减速器箱体

为了使整个分析过程的时间更快，对单机齿轮减速器箱体的结构进行简化[4]，将上、下箱体作为一个整体，忽略吊耳、尺寸较小的外圆角、螺纹孔螺纹等结构对分析影响较小的因素，这些部分在有限元分析的网格划分步骤中会要求很高的精度，否则会引起划分的失效和极大的误差等负面效果，从而增加了计算的时间降低了计算的准确性，所以在有限元模型的建立时可以忽略这些小部位。减速器箱体简化过程，如图3所示。

3.2. 网格划分

网格划分如图4所示。由度量标准图，可以看出对网格的质量的评估，确定是否需要对网格进一步划分操作。其中Aspect Radio (网格纵横比)：其值越接近1，说明网格质量越好，如图5所示。单元质量：其单元指标都大于0.3，说明网格质量越好，如图6所示。由图5和图6可以得出该网格划分方法划分的网格质量较好。

Figure 4. Meshing of single-stage gearbox housing

图4. 单机齿轮减速器箱体的网格划分

Figure 5. Aspect ratio measurement standard diagram of the mesh

图5. 网格纵横比度量标准图

Figure 6. Unit mass measurement standard diagram

图6. 单位质量度量标准图

3.3. 单机齿轮减速器箱体载荷和约束位置的确定

在本例中，减速器齿轮箱采用的固定方式是常见的底座固定的形式，底座下部表面与固定机构之间是通过螺栓进行连接，故在箱体的底板上施加固定支撑约束[5] [6]，如图7所示。

由于内部零件结构和自身的自重、支撑轴轴承处的径向力和轴向力而构成了齿轮箱的主要载荷。箱体轴承座所受径向载荷与轴承的径向支反力大小相等，方向相反。利用Ansys workbench中自带的轴承载荷功能，给轴承座添加分量载荷，沿Y轴施加1000 N的力。如图8所示。

荷载约束主要作用的地方是齿轮轴轴承与箱体的接触的部位，以及齿轮箱底座的下部和底座的螺栓孔处。

Figure 7. Constraint positions of the single-stage gearbox housing

图7. 单机齿轮减速器箱体约束位置

Figure 8. Application of bearing loads on the single-stage gearbox housing

图8. 单机齿轮减速器箱体轴承载荷施加

3.4. 单机齿轮减速器箱体静力分析结果

对简化后的箱体模型进行总变形求解和等效应力求解[7]。其中总变形求解，如图9所示。由图9可知，在x方向的最大位移为4.0784e⁻⁵ mm，在y方向的最大位移为4.0574e⁻⁷ mm．在z方向的最大位移为4.3004e⁻⁵ mm。总的最大位移为1.655e⁻⁴ mm。可以看到箱体在轴承座孔处的位移比较大，特别是在输出轴的轴孔上面部分变形最大。z方向的位移对齿轮箱位移的影响权重最大，但是从整机结构尺寸上面看，其变形可以说很小。因此减速器几乎没有变形。

Figure 9. Deformation diagram of the single-stage gearbox housing

图9. 单机齿轮减速器箱体变形图解

其中等效应力求解，如图10所示。由图10可知箱体的最大应力在下箱体的轴承座的加强肋处，但灰铸铁的强度极限340 MPa远远大于箱体的应力值0.99748 MPa，满足设计要求。箱体的设计裕度保守，造成了材料上的浪费，使结构更加笨重，同时也增加了成本。针对该问题，本文对箱体的结构进行优化设计。

Figure 10. Equivalent stress diagram of the single-stage gear reducer housing

图10. 单机齿轮减速器箱体等效应力图解

4. 单级减速器箱体的模态分析

单机齿轮减速器箱体模态分析结果

对结构进行网格划分之后，对结构实际约束，分析设定中设置模态显示的最大阶数为6阶，对以上步骤全部设置完成之后，便可以对模型开始进行求解，如图11所示，分别对简化后的箱体模型进行模态分析[8]。

Figure 11. Frequency-time history curve

图11. 频率–时间历程曲线

变速器工作时受到激振的主要是齿轮的回转频率、齿轮的啮合频率以及轴承的振动频率。据分析，齿轮的回转频率远小于箱体的固有频率，齿轮的啮合频率一般为几十赫兹，轴承的振动频率也为几十赫兹。根据模态分析结果可知，整机的最大模态设计为六阶，整个箱体的六阶的固有频率频率都较大，不易被外界激励激发而引起共振。

5. 单机齿轮减速器箱体的谐波响应分析

单机齿轮减速器箱体谐波响应整体分析结果

利用Ansys workbench中自带的轴承载荷功能，给轴承座添加分量载荷，沿Y轴施加1000 N的力。对模型进行求解，求解之后添加频率响应，本次分析选取变形响应和加速度响应，加速度振幅的大小能够表示结构的抗振性、承受冲击的能力[7]。谐波响应总变形图，如图12所示。由图可得在频率0~3500 HZ的激励下，总变形最大为0.0034266 mm，特别是在输出轴的轴孔左右侧两侧部分变形较大。

Figure 12. Total deformation diagram of harmonic response

图12. 谐波响应总变形图

整理各方向谐响应位移分析响应分析图，如图13所示。

Figure 13. Displacement response analysis chart for harmonic responses in all directions

图13. 各方向谐响应位移分析响应分析图

在减速器箱体施加2555 Hz的激励时，减速器箱体在X轴上发生共振，且出现最大值，振幅2.2534e⁻³ mm，相位为180˚。施加2520 Hz的激励会使减速器箱体在Y轴上发生共振，且出现最大值，此时在Y轴上的振幅为7.2249e⁻⁵ mm，相位为180˚在减速器箱体施加1400 Hz的激励会使减速器箱体在Z轴上发生共振，且出现最大值，此时在Z轴上的振幅为2.8018e⁻⁵ mm，相位为0˚。

整理各方向谐响应加速度分析响应分析图，如图14所示。

Figure 14. Response analysis chart of harmonic response acceleration in each direction

图14. 各方向谐响应加速度分析响应分析图

施加2555 Hz的激励会使减速器箱体在X轴上发生共振，振幅为580,750 mm/s²，相位为0˚。施加2520 Hz激励，减速器箱体Y轴上发生共振，且出现最大值，此时在Y轴上的振幅为18,113 mm/s²，相位为0˚。施加1435 Hz的激励，减速器箱体在Z轴上发生共振，且出现最大值，此时在Z轴上的振幅为2277.7 mm/s²，相位为180˚。

6. 单机齿轮减速器箱体的结构优化

结构优化结果分析

选择基于抽样和排序的简单筛选优化方法[9]-[11]。选择生成30个样本并找出3个候选样本。选择等效应力和最大变形量的最大值作为约束条件，等效应力max ≤ 1.1484 MPa，总变形max ≤ 3.382e⁻⁴ mm。进行优化求解，优化结果见表1。选择候选点1的作为优解：P1 = 18.067，P2 = 24.39，P7 = 10.84，P10 = 1.1233，P12 = 2.6538，P13 = 3.9837，考虑到为了减轻箱体的质量，可选择第1组数据最优。此外，加工过程中会对参数进行取整，故P1取18.1 mm，P2取24.4 mm，P7取10.8 mm，其他尺寸不变，图15所示。

Table 1. Optimize result data

表1. 优化结果数据

	候选点1	候选点2	候选点3
P1箱顶拉伸尺寸(mm)	18.067	19.667	20.2
P2底座拉伸尺寸(mm)	24.39	25.403	24.559
P7底座尺寸(mm)	10.84	11.196	12.262
P10等效应力最大(MPa)	1.1233	1.1466	1.1346
总变形最大(mm)	0.00033878	0.00033803	0.00033797
P12箱顶质量(kg)	2.6538	2.678	2.6864
P13底座质量(kg)	3.9837	3.9989	3.9862

Figure 15. Structural size optimization data

图15. 结构尺寸优化数据

通过尺寸优化后，降低了减速器质量，可以提高减速器箱体的设计效率，提高设计质量，降低了制造成本，增加了效益，具有一定实用价值。

7. 总结

本文通过对箱体进行静力学分析、模态分析、谐波响应分析以及基于筛选进行优化，可以对箱体的裕度保守区域进行优化来达到节省材料的目的。具体的研究内容主要包括如下几个方面：

在静力分析方面，总的最大位移为1.655e⁻⁴ mm。可以看到箱体在轴承座孔处的位移比较大，特别是在输出轴的轴孔上面部分变形最大。Z方向的位移对齿轮箱位移的影响权重最大，但是从整机结构尺寸上面看，其变形可以说很小。因此减速器几乎没有变形。箱体的最大应力在下箱体的轴承座的加强肋处，但灰铸铁的强度极限340 MPa远远大于箱体的应力值0.99748 MPa，满足设计要求。

在模态分析方面，根据模态分析结果可知，整机的最大模态设计为六阶，整个箱体的六阶的固有频率都较大，不易被外界激励激发而引起共振。

对结构尺寸优化设计方面，保证箱体内部零件尺寸结构不变的前提下，箱体的设计裕度保守，造成了材料上的浪费，使结构更加笨重，同时也增加了成本。通过优化后得到，上箱体凸台尺寸由原来的20 mm优化为18.1 mm。下箱体凸台尺寸由原来的27 mm优化为24.4 mm。底板尺寸由原来的12 mm优化为10.8 mm。

参考文献

[1]	王继国, 李俊源, 陈云. 大功率矿用减速器箱体结构优化设计[J]. 机械传动, 2020, 44(8): 108-112.
[2]	方宇生. 1000 kW刮板机减速器箱体设计优化研究[D]: [硕士学位论文]. 北京: 中国矿业大学, 2020.
[3]	王晓凤. 轧机减速器箱体结构优化设计[D]: [硕士学位论文]. 大连: 大连理工大学, 2015.
[4]	杨光春, 张祺. 起重机用齿轮减速器箱体结构的优化设计[J]. 矿山机械, 2014, 42(10): 112-115.
[5]	王春燕, 张文芳, 葛家山, 徐小龙. 基于ANSYS的减速器箱体结构优化[J]. 机械工程师, 2013(8): 108-109.
[6]	张春艳. 立磨行星减速器箱体结构优化设计[D]: [硕士学位论文]. 大连: 大连理工大学, 2013.
[7]	张文芳. 基于Pro/E的圆锥-圆柱齿轮减速器的参数化系统开发[D]: [硕士学位论文]. 太原: 太原科技大学, 2013.
[8]	贾吉林. 基于Pro/E和ANSYS的减速器箱体的有限元分析[J]. 煤矿机械, 2011, 32(10): 256-257.
[9]	赵雨旸, 周欢, 李涵武. 基于有限元分析的减速器箱体优化设计[J]. 林业机械与木工设备, 2009, 37(8): 28-30.
[10]	齐有军. 基于有限元分析法的减速器的优化设计研究[D]: [硕士学位论文]. 太原: 太原理工大学, 2009.
[11]	鲍马飞, 杜力. 基于ANSYS脉动式无级变速器箱体结构优化设计[J]. 重庆理工大学学报(自然科学), 2018, 32(6): 66-72.