1. 引言
汽车结构复杂，拥有多个振动源，汽车的低频振动会危害驾驶员和乘员的身体健康，并且当汽车经过不平路面时，会受到由其传给车架或车身的振动冲击力，不良的振动会给汽车零部件带来损坏，影响零部件的寿命，为了迅速衰减车架与车身的振动，几乎所有汽车都装有各式各样的减振器，用来改善汽车行驶的平顺性、舒适性和安全性。减振器最大的功能就是起缓冲和减振的作用，提高车内人驾驶和乘坐的舒适感，在一定程度上，减振器甚至还可以避免事故中的人员受到更严重的伤害，故采取良好和有效的减振措施是汽车当前制造过程的一个重要环节。
同时随着车辆减振技术的不断提高完善、有限元分析软件、新型测试装备的产生，橡胶减振器减振性能的研究也获得了稳步的快速发展。周易文和栗付平[1]则针对不同硬度橡胶减振器在制造过程和工作载荷下的疲劳环境、机械和热条件下的降解进行了设计分析研究。秦四成[2]通过对压路机橡胶减振器的减振性能进行试验，获得了传递率函数曲线和加速度传递率，并研究了相关数据。他还分析了静刚度的变化规律，以及在正弦激励下，振动传递率随着静载荷的变化规律。危银涛[3]和上官文斌[4]及其团队长期致力于研究橡胶制品的准静态受载响应、动态响应以及疲劳力学特性，通过对橡胶力学性能实验的研究，探讨了不同本构参数方程的识别方法，并对实际应用中的橡胶制品进行了优化设计分析。谢伟[5]为了对橡胶材料的力学行为进行数值模拟分析，通过Abaqus软件建立了相应的几种常见的超弹性本构模型的计算模型。
故本文针对橡胶减振元件实际应用过程中循环载荷作用引起的产热问题，采用有限元软件对其力学性能展开研究。基于橡胶的实际力学性能，对其本构模型进行参数识别，确定最佳的本构关系；之后，依据循环加载过程中的产热情况，采用有限元Ansys软件对橡胶减振元件的力学性能进行仿真分析。研究成果对提高橡胶复合材料的力学特性以及橡胶减振元件实际减振性能的高效发挥具有重要的理论和实践意义。
2. 橡胶减振元件本构模型的建立
2.1. 橡胶的本构模型
本构模型是用来描述材料的力学特性，即应力–应变–强度–时间关系的数学表达式。它也被称为材料的力学本构方程或者是应力–应变模型。在橡胶材料领域中，其本构模型通常包括超弹性本构模型和粘弹性本构模型。到目前为止，常见的超弹性本构模型主要包括Neo-Hooke模型，Mooney-Rivlin模型，Ogden模型，多项式模型(Polynomial模型)与Yeoh模型[6]等。
Neo-Hooke模型的表达式为：
(1)
其中2C10 = µ，µ为剪切模量，I1为第一应变不变量。
Mooney-Rivlin模型在应变能函数中加入了第二应变不变量，其应变能函数表达式为：
(2)
其中2C10 + 2C1 = µ为剪切模量，I2为第二应变不变量。
Ogden模型的应变能表达式为：
(3)
式中，µi为剪切模量，µi和ai可取任意值。当且仅当a1 = 2，a2 = −2时Ogden模型与Mooney-Rivlin模型应变能函数相等；当且仅当取a2 = 2时，Ogden模型与Neo-Hooke模型应变能函数一致。
多项式模型(Polynomial模型)是Yeoh和Gent用I1的高阶项对Neo-Hooke超弹模型修正得到的，其应变能表达式为：
(4)
当N = 1时，多项式模型应和Neo-Hooke模型应变能函数相一致；当N = 3时，多项式模型与Yeoh模型应变能函数相一致。
本文选取唯象本构模型来描述橡胶的应力–应变关系，通过采用不同本构模型对橡胶的应力–应变实验测试结果进行非线性拟合来确定其模型参数。
国际上通常的橡胶力学性能测试方法主要包括单轴拉伸和压缩、等双轴拉伸和压缩、体积拉伸和压缩、平面拉伸和平面压缩[7]，如图1所示。
Figure 1. Mechanical properties test diagram of rubber material
图1. 橡胶材料力学性能测试示意图
若将橡胶看成近似不可压缩的材料，则对其进行有限元分析计算时通常需要单轴拉伸、等双轴拉伸、纯剪切三种应变形式的材料数据。由于实际工程测量很难对纯剪切应变状态进行直接测量，因此转而寻找与之对应的平面拉伸测试进行替代[8]。
2.2. 本构模型的参数识别
橡胶材料的本构模型是依据材料的应力应变曲线构建而成。本文基于炭黑填充天然橡胶的应力应变实验测试结果，对其本构模型进行非线性拟合，通过残差分析，获得橡胶减振材料的最优本构模型及其模型参数。图2所示为炭黑填充橡胶的应力–应变曲线。
Figure 2. Stress-strain curve of carbon black filled rubber
图2. 炭黑填充橡胶的应力应变曲线
在线性回归分析中，可以通过计算每个观测值的残差来评估模型的拟合程度。残差可以帮助我们确定是否需要对模型进行进一步改进，并且还可以用于识别离群点和异常值，其可以简单直接地看出拟合样本所包含的信息量，因此拟合程度采用残差作为评判标准。在获得不同模型参数后，通过残差分析对比确定橡胶减振元件的最优本构模型。残差越大代表误差值越大，模型拟合效果越差；残差越小，说明误差值越小，拟合效果越好。拟合结果如图3所示。
Figure 3. Parameter fitting of constitutive model
图3. 本构模型参数拟合
由图3可知，Mooney-Rivlin模型拟合程度最高，Polynomial模型拟合稍次于模型Mooney-Rivlin，各本构模型参数拟合结果及残差拟合度参数如表1所示。
Table 1. Constitutive model fitting parameters
表1. 本构模型拟合参数
| 模型 |
拟合参数 |
残差 |
| Mooney-Rivlin |
C01 = 0.027989 |
0.060358 |
| C10 = 0.30389 |
| C11 = 0.00049275 |
| Polynomial |
C01 = 0.031772 |
0.061352 |
| C10 = 0.30129 |
| Yeoh |
C10 = 0.33883 |
0.15072 |
| C20 = −0.0054081 |
| C30 = 0.002369 |
| Ogden |
= 1.2394 |
0.48095 |
| µ = 1.2482 |
由表1可得知Polynomial模型与Mooney-Rivlin模型的残差相对较小，描述炭黑填充天然橡胶的应力应变曲线时较为准确。而Yeoh模型和Ogden模型的残差相比则大了许多，在描述炭黑填充橡胶的应力应变曲线时准确性相对较差。由于Mooney-Rivlin模型残差最小，所以本文选用Mooney-Rivlin模型作为炭黑填充天然橡胶的本构模型。
3. 橡胶减振元件在循环载荷下的力学性能仿真研究
3.1. 橡胶减振元件的有限元建模
由于轨道车辆在行驶过程中会经常遇到颠簸，处在悬架系统中的橡胶减振元件会受到压缩载荷，因其粘弹性的作用，内部会产热升温，影响其力学性能，故对其橡胶元件部分进行建模和仿真以探究对其力学性能的影响因素[9]。为减少计算时间提高效率，可以对模型进行简化分析，简化的模型如图4所示。橡胶减振元件几何数据：圆台的上端圆半径110 mm，下端圆半径145 mm，圆台高为120 mm，中间的空心圆柱半径为40 mm。在进行分析研究时，添加边界条件在下端面施加约束。在上表面施加一个变化的周期性正弦波位移，方向为Z方向，加入整体变形，以观察整体变化情况。
Figure 4. Geometry of rubber damping element
图4. 橡胶减振元件几何图形
3.2. 橡胶减振元件的有限元建模与仿真分析
在轨道车辆行驶过程中，其悬架系统会经常受到动态压缩载荷，为探究橡胶减振元件的压缩力学性能的影响因素，本文采取Ansys对其进行仿真分析。
橡胶减振元件的有限元分析主要分为模型构建、材料选择、网格划分、分析计算和后处理五步。
第一步模型构建：橡胶减振元件的构建基于其实际减振器结构，将构建的几何模型导入有限元分析软件，获得了橡胶减振元件的有限元分析模型。
第二步材料设置：在减振材料选择为炭黑填充橡胶，密度为1200 kg/m3，材料超弹性本构模型选择Mooney-Rivlin模型，其中参数C01 = 0.027989，C10 = 0.30389，C11 = 0.00049275。
第三步划分网格：选择划分网格，得到的网格图如图5所示，单元数和节点数分别为1862和3500。
Figure 5. Grid model of rubber damping element
图5. 橡胶减振元件的网格模型
第四步分析计算：对橡胶减振元件在不同外界激励下的力学性能进行计算分析。1. 分析设置中步进结束时间设置为0.2 s，每步进行四个周期的运算来确保数据解析的准确稳定。子步设置中初始步设置为100步，最小步设置为100步，最大步设置为200步。2. 以模拟橡胶元件在压缩工况下受到的动态载荷，边界条件施加中设置圆台下端面为固定约束，在圆台上表面节点施加Disp = 10 * sin (360 * 20 * time)的正弦波位移，方向为Z方向，通过在上表面加上一个力反应探针，监测橡胶元件在不同激励条件下的受力情况。
第五步后处理：根据有限元仿真计算，输出解析结果，获得橡胶元件在不同条件下的应变–应力分布云图。
基于橡胶元件在不同激励条件下力学性能的仿真计算结果，绘制其力–位移关系图，进而计算减振材料的刚度；通过改变工作温度，进一步分析橡胶元件在不同温度下的力学性能变化，获得其力学性能与温度的相关关系，揭示温度对橡胶减振元件中减振材料力学特性的影响规律。
图6和图7所示为橡胶元件在振幅10 mm，频率20 Hz循环压缩载荷机激励下的等效应力和应变分布图。从图6可知，最大应力在上端面的边缘处，为0.148 MPa，最小应力发生在下端边缘面，为8.35 * 10−17 MPa；从图7可知，最大应变发生在上端面的表面边缘处，为0.082 mm/mm，最小应变发生在下端面的边缘处，为2.63 * 10−16 mm/mm。
Figure 6. Equivalent stress distribution diagram
图6. 等效应力分布图
Figure 7. Equivalent strain distribution diagram
图7. 等效应变分布图
为了更真实地反映橡胶减振元件在实际工作过程中动态力学性能随外界环境的变化规律。本文开展了橡胶减振元件在不同激励振幅、频率和温度下动态力学性能的有限元仿真分析。
3.2.1. 振幅的影响
探究了橡胶元件在22℃，20 Hz下振幅为3 mm、4 mm、5 mm、6 mm、7 mm的力学性能，基于有限元分析得到其在不同振幅下的力–位移曲线图，如图8所示。
Figure 8. Specific diagram of force-displacement curve under different amplitudes at 22˚C
图8. 22℃不同振幅下力–位移曲线具体图
基于有限元计算，带入数据用刚度求解公式获得橡胶减振元件在不同振幅下的动刚度值如表2所示。
Table 2. Effects of different amplitudes on stiffness
表2. 不同振幅对刚度的影响
| 振幅(mm) |
动刚度(N/mm) |
| 3 |
510.14 |
| 4 |
506.90 |
| 5 |
503.72 |
| 6 |
500.55 |
| 7 |
497.45 |
通过对上述表格数据进行处理，得到了如图9所示的刚度随振幅的变化图。
Figure 9. Stiffness variation with amplitude at 22˚C
图9. 22℃下刚度随振幅的变化图
由图9和表2可得，在22℃工作温度工况和频率20 Hz激励下，橡胶减振元件的动刚度随着振幅的增大而减少，且近似为一条直线，在3 mm时刚度最大，为510.14 N/mm，在7 mm时刚度最小，为497.45 N/mm。从图8可知振幅越大，橡胶减振元件滞回环面积增大，阻尼力增大，故其阻尼性逐渐变大。
3.2.2. 频率的影响
探究了橡胶元件在22℃，2 mm振幅下频率在15 Hz、17.5 Hz、20 Hz、22.5 Hz、25 Hz的力学性能，基于有限元分析得到其在不同频率下的力–位移曲线图，如图10所示。
Figure 10. Specific diagram of force-displacement curve at different frequencies at 22˚C
图10. 22℃不同频率下力–位移曲线具体图
基于有限元计算，同样带入数据用刚度求解公式获得橡胶减振元件在不同频率下的动刚度值如表3所示。
Table 3. The influence of different frequencies on stiffness
表3. 不同频率对刚度的影响
| 频率(Hz) |
动刚度(N/mm) |
| 15 |
510.69 |
| 17.5 |
512.09 |
| 20 |
513.45 |
| 22.5 |
513.45 |
| 25 |
513.46 |
对上述表格数据进行处理，得到了如图11所示的刚度随频率的变化图。
Figure 11. Stiffness variation with frequency at 22˚C
图11. 22℃下刚度随频率变化图
由表3和图11可得，在22℃工作温度和振幅激励下，橡胶减振元件的动刚度随着频率的增大而缓慢增大，在15 Hz时最小，为510.69 N/mm，在25 Hz时最大，为513.46 N/mm。可以看出频率的变化对橡胶减振元件的刚度影响较小。从图10也可以看出随着频率变大，滞回圈面积几乎不变，局部放大后发现滞回圈面积变小，阻尼力缓慢减小，其阻尼性能减弱。经研究发现橡胶减振元件的滞回圈面积在频率变化下影响较小，主要是因为橡胶材料本身的粘弹性质使其在不同频率下的变形和能量耗散方式相对稳定。这也说明了当改变频率时，图示结果的变化较改变振幅变化结果图是不明显的。
3.2.3. 温度的影响
由于橡胶元件受到循环动态压缩载荷时，橡胶减振元件内部会因黏滞损耗进行产热，且受到动态载荷时间越长，产热量会越来越大，这会引起橡胶元件的动刚度的变化。当动态载荷作用时间较短，橡胶内部能量增加和产热量相对较少，对其进行动态力学性能分析与实际实验得到的结果会有较大误差；当动态载荷作用时间过长，橡胶内部的能量积累和产热量将达到极限值，超过橡胶的耐热极限，则橡胶可能会发生永久性变形或失效。故对本文的橡胶元件，结合文献[9]中对橡胶元件动态载荷加载次数温升结果分析，其受到循环载荷时橡胶元件的自热升温能达到80℃，为探究其在不同温度条件下的静态和动态力学特性提供了理论依据。
为了探究温度对橡胶减振元件的动态刚度影响，对橡胶元件上表面施加20 Hz频率、5 mm振幅的动态正弦压缩位移载荷，研究温度为22℃、35℃、50℃、65℃和80℃下的动刚度变化情况，基于有限元分析得到其在不同温度工况下的力–位移曲线图，如图12所示。
Figure 12. Dynamic simulation curves at different temperatures
图12. 不同温度下动态仿真曲线图
基于有限元计算，带入数据用动刚度求解公式获得橡胶减振元件在不同温度动刚度值如表4所示。
Table 4. The influence of different temperatures on stiffness
表4. 不同温度对刚度的影响
| 温度(℃) |
动刚度(N/mm) |
| 22 |
503.72 |
| 35 |
486.74 |
| 50 |
467.10 |
| 65 |
447.38 |
| 80 |
427.60 |
对上述表格数据进行处理，得到了如图13所示的刚度随温度的变化图。
Figure 13. Change of dynamic stiffness with temperature
图13. 动态刚度随温度的变化图
由表4和图13可知，在振幅为5 mm、频率为20 Hz下，橡胶减振元件的动刚度随着工作温度的升高而降低，工作温度为22℃时刚度最大，为503.72 N/mm，工作温度为80℃时刚度最小，为427.6 N/mm。在工作温度为35℃到80℃范围内最大刚度变化率为17.8% [10]。从而说明了当温度变化时橡胶内部的大分子链活动性会发生变化，温度升高使橡胶分子的活性增加，宏观上会使橡胶元件出现温升软化的现象[9]。
4. 结论
本文以轨道车辆悬架系统中的橡胶减振为研究背景，针对其中橡胶减振元件在车辆实际减振中循环载荷作用引起的产热问题，开展了橡胶减振元件的力学性能有限元仿真研究。首先对轨道车辆悬架系统减振中的橡胶减振元件进行建模，采用Ansys对其进行力学仿真。在上表面施加正弦压缩位移，观察其应力–应变的受力情况；通过改变振幅、频率和温度，分析橡胶元件在不同激励和温度下的迟滞回线，计算橡胶元件在不同振幅、频率和温度下的刚度，获得其刚度随振幅、频率和温度的变化规律。仿真结果发现，在同一工作温度工况下，橡胶元件的刚度随振幅的增大而减小，随频率的增大而增大。本文考虑在工作温度为22℃，频率为20 Hz，振幅3 mm到7 mm情况下，振幅在3 mm时刚度最大为510.14 N/mm，振幅在7 mm时刚度最小，达到497.45 N/mm；在工作温度为22℃和振幅为2 mm不变时，发现随着频率在15 Hz向25 Hz范围内变化时，刚度总体变化不大，会随之缓慢增加，频率在15 Hz时刚度最小，为510.69 N/mm。频率25 Hz时刚度最大，达到513.46 N/mm。在同一激励条件下，橡胶元件的刚度随着温度的升高而降低，实验在20 Hz频率，5 mm振幅，工作温度22℃到80℃范围下变化时，在22℃时动刚度最大，为503.72 N/mm，在80℃时动刚度最小，为427.60 N/mm，最大刚度变化率为17.8%。研究结果对未来提高橡胶复合材料的力学特性以及橡胶减振元件实际减振性能的高效发挥具有重要的理论和实践意义。