DOI: 10.12677/aam.2024.139390, PDF, HTML, XML,  被引量    科研立项经费支持
作者: 龙少华^*, 顾文鑫：重庆理工大学理学院，重庆；吴云龙：长江师范学院数学与统计学院，重庆
关键词: 奇异系统；Markov跳变正系统；随机稳定；Lyapnov函数；Singular System； Positive Markov Jump System； Stochastic Stability； Lyapunov Function

文章引用：龙少华, 顾文鑫, 吴云龙. 一类带有多时滞的奇异Markov跳变正系统的稳定性分析[J]. 应用数学进展, 2024, 13(9): 4093-4098. https://doi.org/10.12677/aam.2024.139390

1. 引言

奇异Markov跳变正系统是一类非常重要的系统，这类系统在一些经济系统、生物系统以及一些化学过程中有非常广泛的应用。不少的学者对奇异Markov跳变正系统以及一些相关正系统进行了研究。文献[1]讨论了Markov跳变正系统的随机稳定性以及其反馈控制器的设计方法，[2]-[4]则讨论了半Markov跳变正系统的随机稳定性以及其反馈控制器的设计方法。[5]-[7]研究了奇异正系统的稳定性。但是，[1]-[4]研究的系统不是奇异Markov跳变正系统，[5]-[7]研究的系统不含有Markov跳变参数。因此，[1]-[7]提出的方法不能用来解决奇异Markov跳变正系统的随机稳定性问题。

奇异Markov跳变正系统是一类比Markov跳变正系统和奇异系统更一般的系统。文献[8] [9]对奇异Markov跳变正系统的随机稳定性和反馈控制器进行了研究，[10]则对部分转移概率未知的奇异Markov跳变正系统的随机稳定性和反馈控制器进行了研究，[11] [12]也研究了奇异Markov跳变正系统的随机稳定性。值得一提的是，在[8]-[10]研究的系统中，导数项的系数是一个不变的奇异矩阵，而在[11] [12]研究的系统中，导数项的系数是与模态有关的奇异矩阵。因此，[11] [12]所研究的系统是一类更加复杂的系统。但是，[11] [12]所研究的系统的状态时滞不是与模态有关的。另外，[11] [12]所研究的系统也不含有分布时滞。

受以上讨论的启发，本文将研究一类更复杂的奇异Markov跳变正系统。我们所讨论的系统含有分布时滞且含有与模态有关的状态时滞。另外，系统的导数项的系数是与模态有关的奇异矩阵。与本文所考虑的系统有关的研究结果目前还非常少见。

本文将讨论一类如下形式的奇异Markov跳变系统：

$\{\begin{array}{l}{E}_{z\left(t\right)}{h}^{\prime }\left(t\right)=A_{z\left(t\right)}h\left(t\right)+B_{z\left(t\right)}h\left(t-g_{z\left(t\right)}\right)+C_{z\left(t\right)}h\left(t-k_{z\left(t\right)}\right)+D_{z\left(t\right)}{\displaystyle {\int }_{t-u_{z\left(t\right)}}^{t}h\left(s\right)\text{d}s}\\ h\left(\nu \right)=\theta \left(\nu \right)，\nu =\left[-\max \left\{g,k,u\right\},0\right]\end{array}$ (1)

在系统(1)中， $t>0$ ， $h\left(t\right)\in R^n$ 是系统的状态向量， $h^{\prime }\left(t\right)$ 表示 $h\left(t\right)$ 的导数。 $z\left(t\right)$ 在有限集合 $\hat{Z}=\left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$ 中取值，其中Z是一个大于等于1的正整数。另外， $z\left(t\right)$ 表示一个右连续的Markov过程，从状态i到状态j的转移速率为

$P\left\{z\left(t+v\right)=j|z\left(t\right)=i\right\}=\{\begin{array}{ll}{p}_{ij}v+\text{ο}\left(v\right),\hfill & i\ne j\hfill \\ 1+p_{ii}v+\text{ο}\left(v\right),\hfill & i=j\hfill \end{array}$ (2)

在(2)中，当 $i\ne j$ 时， $p_{ij}\ge 0$ 。当 $i=j$ 时， $p_{ii}$ 满足 $p_{i1}+p_{i2}+\cdots +p_{iZ}=0$ 。当 $v\to 0^{+}$ 时， $\text{ο}\left(v\right)$ 是v的高阶无穷小。根据式(2)，我们可得该Markov过程的转移速率矩阵为

$H=\left[\begin{array}{cccc}{p}_{11}& p_{12}& \cdots & p_{1Z}\\ p_{21}& p_{22}& \cdots & p_{2Z}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ p_{Z1}& p_{Z1}& \cdots & p_{ZZ}\end{array}\right]$ (3)

另外，在(1)中，对于任意的 $z\left(t\right)=i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$ ， $E_{z\left(t\right)}$ 、 $A_{z\left(t\right)}$ 、 $B_{z\left(t\right)}$ 和 $C_{z\left(t\right)}$ 都是已知的n阶实矩阵。对于任意的 $z\left(t\right)=i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$ ， $E_{z\left(t\right)}$ 都是不可逆矩阵且秩都等于 $\sigma$ ，其中 $0<\sigma <n$ 。 $g_{z\left(t\right)}$ 、 $k_{z\left(t\right)}$ 和 $u_{z\left(t\right)}$ 都是大于0的实数。我们记 $g=\max \left\{g_1,g_2,\cdots ,g_Z\right\}$ 、 $k=\max \left\{k_1,k_2,\cdots ,k_Z\right\}$ 以及 $u=\max \left\{u_1,u_2,\cdots ,u_Z\right\}$ 。在(1)中， $g_{z\left(t\right)}$ 、 $k_{z\left(t\right)}$ 和 $u_{z\left(t\right)}$ 代表系统的时滞。 $\varphi \left(\nu \right)\left(\nu \in \left[-\max \left\{g,k,u\right\},0\right]\right)$ 表示系统的初始条件且是连续的。

假设1：在本文中，我们假定存在矩阵 $M_i\left(i\in Z\right)$ 和Y满足

${\bar{E}}_i=M_i{E}_{i}Y=\left[\begin{array}{cc}{I}_{\sigma }& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\begin{array}{c}\end{array}\left(i\in \hat{Z}\right)$ (4)

2. 定义及其引理

本文需要用到下面的一些定义。

定义1 [11]：如果对于每一个 $l\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$ ， $\det \left(v{E}_l-A_l\right)$ 都不恒等于0，则称系统(1)是正则的。

定义2 [11]：如果对于每一个 $l\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$ ， $\mathrm{deg}\left(\det \left(v{E}_l-A_l\right)\right)=rank\left(E_l\right)$ 都成立，则称系统(1)是无脉冲的。

定义3 [12]：假定 $h\left(\nu \right)=\varphi \left(\nu \right)\succ =0\left(\nu \in \left[-\max \left\{g,k,u\right\},0\right]\right)$ 。如果对于任意的 $t>0$ ，系统(1)的解 $h\left(t\right)$ 满足条件 $h\left(t\right)\succ =0$ ，则称系统(1)是一个正系统。

定义4 [12]：在初始条件 $\varphi \left(\nu \right)\left(\nu \in \left[-\max \left\{g,k,u\right\},0\right]\right)$ 和 $z\left(0\right)=z_0$ 下，如果系统(1)的解 $h\left(t\right)$ 满足条件 $\epsilon \left({\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\Vert h\left(t\right)\Vert }_1\text{d}t}\right)<\infty$ ，则称系统(1)是随机稳定的。

注1： $A\succ =0$ 表示矩阵A的每一个元素都大于等于0。 $A\succ 0$ 表示矩阵A的每一个元素都大于0。 $A\prec =0$ 表示矩阵A的每一个元素都小于等于0。 $A\prec 0$ 表示矩阵A的每一个元素都小于0。 $\det \left(A\right)$ 表示矩阵A的行列式。 $\mathrm{deg}(\cdot )$ 表示一个多项式的度。

注2： $\epsilon \left(A\right)$ 表示随机事件A的数学期望。

注3： ${\Vert h\left(t\right)\Vert }_1$ 表示向量 $h\left(t\right)$ 的各个元素的绝对值之和。

在本文中，我们还需用到下面的引理。

引理1 [12]：令Λ为随机过程 $\left(h\left(t\right),z\left(t\right),t\right)$ 的弱无穷小算子。那么对任意的 $z\left(t\right)=i\in \hat{Z}$ ，下式成立：

$\Lambda V\left(t\right)=\underset{\Delta \to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{\Delta }\left[ℰ\left\{V\left(t+\Delta \right)|z\left(t\right)=i\right\}-V\left(t\right)|z\left(t\right)=i\right]$ (5)

3. 主要结果

令

${\bar{A}}_i=M_i{A}_{i}N=\left[\begin{array}{cc}{\bar{A}}_{i1}& {\bar{A}}_{i2}\\ {\bar{A}}_{i3}& {\bar{A}}_{i4}\end{array}\right]$ 、 ${\bar{B}}_i=M_i{B}_{i}N=\left[\begin{array}{cc}{\bar{B}}_{i1}& {\bar{B}}_{i2}\\ {\bar{B}}_{i3}& {\bar{B}}_{i4}\end{array}\right]$ 、

${\bar{C}}_i=M_i{C}_{i}N=\left[\begin{array}{cc}{\bar{C}}_{i1}& {\bar{C}}_{i2}\\ {\bar{C}}_{i3}& {\bar{C}}_{i4}\end{array}\right]$ 、 ${\bar{D}}_i=M_i{D}_{i}N=\left[\begin{array}{cc}{\bar{D}}_{i1}& {\bar{D}}_{i2}\\ {\bar{D}}_{i3}& {\bar{D}}_{i4}\end{array}\right]$ (6)

另外，如果 ${\bar{A}}_{i4}$ 可逆，假设存在矩阵 ${\bar{M}}_i\left(i\in Z\right)$ 和 $\bar{N}$ 满足

${\hat{E}}_i={\bar{M}}_i{E}_i\bar{N}=\left[\begin{array}{cc}{I}_{\sigma }& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$ 、 ${\hat{A}}_i={\bar{M}}_i{A}_i\bar{N}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{A}}_{i1}& 0\\ 0& {\hat{A}}_{i4}\end{array}\right]$ 、 ${\hat{B}}_i={\bar{M}}_i{B}_i\bar{N}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{B}}_{i1}& {\hat{B}}_{i2}\\ {\hat{B}}_{i3}& {\hat{B}}_{i4}\end{array}\right]$ 、

${\hat{C}}_i={\bar{M}}_i{C}_i\bar{N}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{C}}_{i1}& {\hat{C}}_{i2}\\ {\hat{C}}_{i3}& {\hat{C}}_{i4}\end{array}\right]$ 、 ${\hat{D}}_i={\bar{M}}_i{D}_i\bar{N}=\left[\begin{array}{cc}{\hat{D}}_{i1}& {\hat{D}}_{i2}\\ {\hat{D}}_{i3}& {\hat{D}}_{i4}\end{array}\right]$ (7)

下面的定理给出了一个充分条件。该充分条件保证系统(1)是正系统。另外，该充分条件也保证系统(1)是正则、无脉冲和随机稳定的。

定理1. 令 $N=Z$ 和 $\bar{p}=\underset{i,j\in \hat{Z}}{\max }\left\{\left|p_{ij}\right|\right\}$ 。如果系统(1)满足如下条件：

(i) 对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$ ，都有 ${\bar{A}}_{i4}$ 可逆；

(ii) ${\bar{N}}^{-1}\succ 0$ 以及对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$ ，都有 ${\hat{A}}_{i1}$ 是梅兹勒矩阵；

(iii) 对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$ ，都有 ${\hat{B}}_{i1}\succ =0$ 、 ${\hat{B}}_{i2}\succ =0$ 、 ${\hat{C}}_{i1}\succ =0$ 、 ${\hat{C}}_{i2}\succ =0$ 、 ${\hat{D}}_{i1}\succ =0$ 、 ${\hat{D}}_{i2}\succ =0$ 、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{B}}_{i3}\succ =0$ 、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{B}}_{i4}\succ =0$ 、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{C}}_{i3}\succ =0$ 、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{C}}_{i4}\succ =0$ 、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{D}}_{i3}\succ =0$ 以及 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{D}}_{i4}\succ =0$ ；

(vi) 存在n维向量 ${\alpha }_i\left(i\in \hat{Z}\right)$ 、 ${\beta }_i\succ 0\left(i\in \hat{Z}\right)$ 、 ${\gamma }_i\succ 0\left(i\in \hat{Z}\right)$ 和 $\pi \succ 0$ ，使得对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$ 下面式子都成立：

$E_i^{\text{T}}{\alpha }_i\succ =0$ (8)

$A_i^{\text{T}}{\alpha }_i+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{p}_{ij}}{E}_j^{\text{T}}{\alpha }_j+{\beta }_i+{\gamma }_i+u\pi +\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{g}_j{\beta }_j}+\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{k}_j{\gamma }_j}\prec 0$(9)

$B_i^{\text{T}}{\alpha }_i-{\beta }_i\prec 0$ (10)

$C_i^{\text{T}}{\alpha }_i-{\gamma }_i\prec 0$ (11)

$D_i^{\text{T}}{\alpha }_i-\pi \prec 0$ (12)

那么(i)系统(1)是一个正系统；

(ii)系统(1)是正则和无脉冲的；

(iii)系统(1)是随机稳定的。

证明：注意对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$ ，都有 ${\bar{A}}_{i4}$ 可逆。那么，和文献[12]中的证明相类似，我们可得系统(1)是正则和无脉冲的。

注意 ${\bar{N}}^{-1}\succ 0$ 以及对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$ ，都有 ${\hat{A}}_{i1}$ 是梅兹勒矩阵。另外，注意对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$ ，都有 ${\hat{B}}_{i1}\succ =0$ 、 ${\hat{B}}_{i2}\succ =0$ 、 ${\hat{C}}_{i1}\succ =0$ 、 ${\hat{C}}_{i2}\succ =0$ 、 ${\hat{D}}_{i1}\succ =0$ 、 ${\hat{D}}_{i2}\succ =0$ 、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{B}}_{i3}\succ =0$ 、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{B}}_{i4}\succ =0$ 、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{C}}_{i3}\succ =0$ 、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{C}}_{i4}\succ =0$ 、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{D}}_{i3}\succ =0$ 以及 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{D}}_{i4}\succ =0$ 。那么，和文献[12]中的证明相类似，我们可得系统(1)是正系统。

下面，我们利用如下的李雅普诺夫泛函来证明系统(1)是随机稳定的。

$V\left(t\right)=V_1\left(t\right)+V_2\left(t\right)+V_3\left(t\right)+V_4\left(t\right)+V_5\left(t\right)+V_6\left(t\right)$ (13)

其中

$V_1\left(t\right)=h^{\text{T}}\left(t\right)E_{z\left(t\right)}^{\text{T}}{\alpha }_{z\left(t\right)}$

$V_2\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{t-g_{z\left(t\right)}}^t{h}^{\text{T}}\left(s\right){\beta }_{z\left(t\right)}}\text{d}s$

$V_3\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{t-k_{z\left(t\right)}}^t{h}^{\text{T}}\left(s\right){\gamma }_{z\left(t\right)}}\text{d}s$

$V_4\left(t\right)=\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{-g_j}^0{\displaystyle {\int }_{t+\theta }^t{h}^{\text{T}}}\left(s\right){\beta }_j}\text{d}s\text{d}\theta }$

$V_5\left(t\right)=\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{-k_j}^0{\displaystyle {\int }_{t+\theta }^t{h}^{\text{T}}}\left(s\right){\gamma }_j}\text{d}s\text{d}\theta }$

$V_6\left(t\right)={\displaystyle {\int }_{-u}^0{\displaystyle {\int }_{t+\theta }^t{h}^{\text{T}}}\left(s\right)\pi }\text{d}s\text{d}\theta$

由上式我们可得

$\begin{array}{c}\Lambda V_1\left(t\right)={\left[h^{\prime }\left(t\right)\right]}^{\text{T}}{E}_i^{\text{T}}{\alpha }_i+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{p}_{ij}}{h}^{\text{T}}\left(t\right)E_j^{\text{T}}{\alpha }_j\\ ={\left[A_{i}h\left(t\right)+B_{i}h\left(t-g_i\right)+C_{i}h\left(t-k_i\right)+D_i{\displaystyle {\int }_{t-u_i}^{t}h\left(s\right)\text{d}s}\right]}^{\text{T}}{\alpha }_i+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{p}_{ij}}{h}^{\text{T}}\left(t\right)E_j^{\text{T}}{\alpha }_j\end{array}$

$\Lambda V_2\left(t\right)=h^{\text{T}}\left(t\right){\beta }_i-h^{\text{T}}\left(t-g_i\right){\beta }_i+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{p}_{ij}}{\displaystyle {\int }_{t-g_j}^t{h}^{\text{T}}\left(s\right){\beta }_j\text{d}s}$

$\Lambda V_3\left(t\right)=h^{\text{T}}\left(t\right){\gamma }_i-h^{\text{T}}\left(t-k_i\right){\gamma }_i+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{p}_{ij}}{\displaystyle {\int }_{t-k_j}^t{h}^{\text{T}}\left(s\right){\gamma }_j\text{d}s}$

$\Lambda V_4\left(t\right)=\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{h}^{\text{T}}\left(t\right)g_j{\beta }_j}-\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t-g_j}^t{h}^{\text{T}}\left(s\right){\beta }_j\text{d}s}}$

$\Lambda V_5\left(t\right)=\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{h}^{\text{T}}\left(t\right)k_j{\gamma }_j}-\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{\displaystyle {\int }_{t-k_j}^t{h}^{\text{T}}\left(s\right){\gamma }_j\text{d}s}}$

$\Lambda V_6\left(t\right)=h^{\text{T}}\left(t\right)u\pi -{\displaystyle {\int }_{t-u}^t{h}^{\text{T}}\left(s\right)\pi \text{d}s}$

令 ${\Theta }_i=A_i^{\text{T}}{\alpha }_i+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{p}_{ij}}{E}_j^{\text{T}}{\alpha }_j+{\beta }_i+{\gamma }_i+\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{g}_j{\beta }_j}+\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{k}_j{\gamma }_j}$。由上可得，存在 $w>0$ 满足

$\Lambda V\left(t\right)\le h^{\text{T}}\left(t\right){\Theta }_i\le -w{\Vert h\left(t\right)\Vert }_1$ (14)

根据(14)，我们可得 $\epsilon \left({\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\Vert h\left(t\right)\Vert }_1\text{d}t}\right)<\infty$ ，即系统(1)是随机稳定的。证毕。

在系统(1)中，如果对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$ ，都有 $D_i=0$ ，那么系统(1)变成了下面的系统：

$\{\begin{array}{l}{E}_{z\left(t\right)}{h}^{\prime }\left(t\right)=A_{z\left(t\right)}h\left(t\right)+B_{z\left(t\right)}h\left(t-g_{z\left(t\right)}\right)+C_{z\left(t\right)}h\left(t-k_{z\left(t\right)}\right)\\ h\left(\nu \right)=\theta \left(\nu \right)，\nu =\left[-\max \left\{g,k\right\},0\right]\end{array}$ (15)

仿照定理1，我们可得下面的推论。

推论1. 令 $N=Z$ 和 $\bar{p}=\underset{i,j\in \hat{Z}}{\max }\left\{\left|p_{ij}\right|\right\}$ 。如果系统(15)满足如下条件：

(i) 对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$ ，都有 ${\bar{A}}_{i4}$ 可逆；

(ii) ${\bar{N}}^{-1}\succ 0$ 以及对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$ ，都有 ${\hat{A}}_{i1}$ 是梅兹勒矩阵；

(iii) 对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$ ，都有 ${\hat{B}}_{i1}\succ =0$ 、 ${\hat{B}}_{i2}\succ =0$ 、 ${\hat{C}}_{i1}\succ =0$ 、 ${\hat{C}}_{i2}\succ =0$ 、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{B}}_{i3}\succ =0$ 、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{B}}_{i4}\succ =0$ 、 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{C}}_{i3}\succ =0$ 以及 $-{\hat{A}}_{i4}^{-1}{\hat{C}}_{i4}\succ =0$ ；

(vi) 存在n维向量 ${\alpha }_i\left(i\in \hat{Z}\right)$ 、 ${\beta }_i\succ 0\left(i\in \hat{Z}\right)$ 和 ${\gamma }_i\succ 0\left(i\in \hat{Z}\right)$ ，使得对任意的 $i\in \left\{1,2,\cdots ,Z\right\}$ 下面式子都成立：

$E_i^{\text{T}}{\alpha }_i\succ =0$ (16)

$A_i^{\text{T}}{\alpha }_i+{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{p}_{ij}}{E}_j^{\text{T}}{\alpha }_j+{\beta }_i+{\gamma }_i+\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{g}_j{\beta }_j}+\bar{p}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{k}_j{\gamma }_j}\prec 0$(17)

$B_i^{\text{T}}{\alpha }_i-{\beta }_i\prec 0$ (18)

$C_i^{\text{T}}{\alpha }_i-{\gamma }_i\prec 0$ (19)

那么(i)系统(15)是一个正系统；

(ii)系统(15)是正则和无脉冲的；

(iii)系统(15)是随机稳定的。

4. 总结

本文对一类带有多时滞的奇异Markov跳变系统的稳定性进行了分析。我们首先给出了所讨论的系统是正系统的充分条件。其次，我们给出了所讨论的系统正则和无脉冲的充分条件。最后，我们利用Lyapunov函数方法给出了所讨论的系统随机稳定的一些充分条件。在以后的研究中，我们将进一步研究带有多时滞的中立型奇异Markov跳变正系统的稳定性。

基金项目

重庆市教育委员会科技项目–科学技术研究项目(青年) (KJQN202101129)。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献

[1]	Li, S., Zhang, J., Chen, Y. and Zhang, R. (2018) Robust Stochastic Stabilization for Positive Markov Jump Systems with Actuator Saturation. Circuits, Systems, and Signal Processing, 38, 625-642. https://doi.org/10.1007/s00034-018-0878-5
[2]	Wang, H., Qi, W., Zhang, L., Cheng, J. and Kao, Y. (2020) Stability and Stabilization for Positive Systems with Semi-Markov Switching. Applied Mathematics and Computation, 379, Article 125252. https://doi.org/10.1016/j.amc.2020.125252
[3]	Wang, L., Wu, Z. and Shen, Y. (2021) Asynchronous Mean Stabilization of Positive Jump Systems with Piecewise-Homogeneous Markov Chain. IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, 68, 3266-3270. https://doi.org/10.1109/tcsii.2021.3064388
[4]	Li, L., Qi, W., Chen, X., Kao, Y., Gao, X. and Wei, Y. (2018) Stability Analysis and Control Synthesis for Positive Semi-Markov Jump Systems with Time-Varying Delay. Applied Mathematics and Computation, 332, 363-375. https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.02.055
[5]	Ait Rami, M. and Napp, D. (2014) Positivity of Discrete Singular Systems and Their Stability: An LP-Based Approach. Automatica, 50, 84-91. https://doi.org/10.1016/j.automatica.2013.10.011
[6]	Cui, Y., Feng, Z., Shen, J. and Chen, Y. (2017) L∞-Gain Analysis for Positive Singular Time-Delay Systems. Journal of the Franklin Institute, 354, 5162-5175. https://doi.org/10.1016/j.jfranklin.2017.05.006
[7]	Cui, Y., Shen, J., Feng, Z. and Chen, Y. (2018) Stability Analysis for Positive Singular Systems with Time-Varying Delays. IEEE Transactions on Automatic Control, 63, 1487-1494. https://doi.org/10.1109/tac.2017.2749524
[8]	Thuan, D.D. and Thu, N.T. (2024) Stability and Stabilizability of Positive Switched Discrete-Time Linear Singular Systems. Systems & Control Letters, 185, Article 105725. https://doi.org/10.1016/j.sysconle.2024.105725
[9]	Wang, J., Gao, A., Wang, K., Yang, J. and Li, Q. (2024) Event-Based Filter Design for Singular Positive Markov Jump Systems with Parameter Uncertainty and Measurement Delay. Journal of the Franklin Institute, 361, Article 106818. https://doi.org/10.1016/j.jfranklin.2024.106818
[10]	Qi, W. and Gao, X. (2015) State Feedback Controller Design for Singular Positive Markovian Jump Systems with Partly Known Transition Rates. Applied Mathematics Letters, 46, 111-116. https://doi.org/10.1016/j.aml.2015.02.016
[11]	Zhang, D., Du, B., Jing, Y. and Sun, X. (2022) Investigation on Stability of Positive Singular Markovian Jump Systems with Mode-Dependent Derivative-Term Coefficient. IEEE Transactions on Systems, Man, and Cybernetics: Systems, 52, 1385-1394. https://doi.org/10.1109/tsmc.2020.3020271
[12]	Zhang, D., Zhang, Q. and Du, B. (2017) Positivity and Stability of Positive Singular Markovian Jump Time-Delay Systems with Partially Unknown Transition Rates. Journal of the Franklin Institute, 354, 627-649. https://doi.org/10.1016/j.jfranklin.2016.09.013