1. 引言

随着移动互联网的迅速发展，位置信息在物流、导航、安防、军事、紧急救援等多个领域中扮演着越来越重要的角色。特别是手机互联网的迅速发展和普及，使得基于位置的服务已成为现代商业发展和推广的关键技术[1][2]，位置服务在未来将会涉及医疗、交通、消防、救援等生活的每一个方面[3]。而缺乏位置信息的数据将是无效的信息[4]，因此无线定位技术将是支撑现代化事业发展的关键技术。对无线传感定位的研究具有重要的实际意义，很多学者将怎样获得更高的定位精度和更简单且稳健的定位算法作为研究的目标。

无线传感器网络定位一般依靠距离测量来获得目标的位置[5]。根据测量所使用的硬件设施不同，测量方法主要包括到达时间(Time of Arrival, TOA)[6]-[9]、到达时间差(Time Difference of Arrival, TDOA)[10][11]、到达角度(Angle of Arrival, AOA)[12][13]以及接收信号强度(Received Signal Strength, RSS)[14]-[18]等。基于TOA和TDOA的定位方法需要严格的时间同步和复杂时间测量，对于相对较小且简单的无线传感器网络就并不太适用[16]。虽然基于RSS的定位方法的定位精度没有基于TOA和TDOA定位方法的定位精度高，但基于RSS的测量不需要任何特殊的硬件设施且易实现[17]，这使得基于RSS的定位方法成为广泛应用方法之一，尤其在地下停车场及室内定位中基于RSS的定位起着重要作用。

基于RSS的定位技术是利用目标节点和锚节点之间的接收信号强度的路径损失值来计算两者之间的距离，并借助最大似然估计或最小二乘法计算出目标节点的具体位置，该方法测量简单，无需传感器节点负载额外的设备，只需节点自身携带的通信模块功能就可完成测量。另外，在RSS测量的过程中的能耗也较少，满足低成本、低功率、易实现的要求。但是无线信号在传播的过程中易受环境的影响，特别在非视距环境下更是存在大量多径衰减和大尺度的阴影衰减，这会产生较大的测量误差。近年来，广大学者对基于RSS的定位问题进行了大量的研究[15]-[27]。由于RSS测量模型本身就具有高度非线性和非凸性，所以一般都需要将非线性观测模型转化为与之等价的伪线性化方程，然后基于最大似然(Maximum Likelihood, ML)准则，RSS的定位问题就被构建为关于目标位置的一个非线性非凸的最小二乘问题(Least Square, LS)[19][20]。为了避免直接求解ML问题带来的麻烦，在文献[15]中，一种寻找收敛速度更快，精度更高随机初始值的方法被提出来，解决了由于求解ML问题初始值选择不当而导致不收敛或收敛于局部最小值的问题。为更有效的求解非线性非凸的基于RSS的目标定位问题，学者们又提出了采用半正定和二阶锥松弛的方法将非凸的ML或LS估计问题转化为一个凸的半正定规划(Semi-Definite Programming, SDP)或二阶锥规划(Second-Order Cone Programming, SOCP)问题求其次优解[16]-[18][25]。在文献[16]提出的方法中，作者根据无先导变换(Unscented Transformation, UT)将发射功率已知是基于RSS的ML定位问题构建为一个加权最小二乘(Weighted Least Squares, WLS)估计问题。文献[17]中，又进一步提出了当发射功率和路径损失指数(Path Loss Exponent, PLE)都未知时基于RSS的定位问题。当发射功率已知时，基于UT，一个可以用二分法求解的WLS方法被提出来，进一步，当发射功率和PLE都未知时，作者应用了一种交替估计的方法交替估计发射功率和PLE。

为降低RSS定位对信号发送器的依赖，受TDOA测量方法的启发，一种新的定位方法被提出，即基于接收能量差(Differential Received Signal Strength, DRSS)的测量方法[28]。DRSS测量除保留基于RSS的本地化的所有优点外，还具有降低锚节点与目标节点之间的信息传输费用，但同时也隐藏了发射机的传输方式，这是非常有益于机密监视或军事应用。为此很多学者对DRSS定位方法进行研究，并获得到很多成果。Li[24]用两步加权最小二乘方法对比了DRSS模型与RSS模型的鲁棒性能。此后，Hu[29]等人在DRSS模型中考虑了发射功率与参考功率差，并利用无约束最佳线性无偏估计法(Unconstrained Best linear Unbiased Estimator, U-BLUE)和改进的最佳线性无约束估计法(Advanced Best Linear Unbiased Estimator, A-BLUE)进行定位，研究结果显示A-BLUE方法优于U-BLUE方法。Wang[30]在DRSS模型中同时考虑了节点位置误差和路径损失是参数误差，采用鲁棒半正定松弛方法给出了模型的近似解。现有文献对于RSS以及DRSS定位技术大多是基于最小二乘法(LS)准则。LS准则是最小化绝对误差平方和，为了方便求解LS问题的近似解，很多学者先将传统RSS/DRSS测量模型应用一阶泰勒展开保留一阶项并将目标函数转换为线性方程，此时噪声项变为指数函数。但是当测量在噪声较大的场景中，这种近似会导致非常大的误差。为了克服以上问题，考虑到RSS的模型的特点，Wang[30]采用最小绝对相对误差的方法(Least Absolute Relative Error Estimation, LARE)构建最小化问题，借助半正定松弛给出了模型的近似解，结果显示基于相对误差构建目标函数优越于LS方法。

受文献[30]的启发，考虑DRSS模型更复杂的非线性形式，本文改进LARE方法，在使用LARE构建目标函数后，采用SDP/SOCP混合的方法求解模型的近似解，为了验证所提方法的优越，数值仿真部分将本文方法与A-BLUE、U-BLUE、LARE-SDP、SOCP方法进行比较。

2. DRSS模型及相对误差定位方法

在实际应用中，受各种因素的干扰，信号往往具有不确定性，研究者一般假设接收信号强度满足对数正态分布。在这种假设下，RSS模型可以用以下对数正态阴影模型描述：

$L_i=L_0-10\gamma {\log }_{10}\frac{d_i}{d_0}+n_i,i=1,\cdots ,N$(1)

其中， $L_i$表示在与信号源距离为 $d_i$的第i个锚节点接收到的信号强度， $d_0$表示参考距离， $L_0$是在参考距离 $d_0$处接收到的信号强度， $\gamma$表示路径损失指数， $n_i$表示对数阴影效应，这里假设服从对数正态分布，用来反映各种噪声对接收信号强度造成的影响。设 $P_i=L_T-L_i$(其中 $L_T$为发射信号功率)，此模型可以改写为以下形式：

$P_i=P_0+10\gamma {\log }_{10}\frac{\Vert x-s_i\Vert }{d_0}+n_i,i=1,\cdots ,N$(2)

利用该模型可以估计出发射信号到接收信号之间的距离。

选取 $s_1$为参考节点，可以得到DRSS模型如下：

$P_{i,1}=-10\gamma {\log }_{10}\frac{\Vert x-s_i\Vert }{\Vert x-s_1\Vert }+e_{i,1},i=2,\cdots ,N$(3)

其中， $P_{i,1}=P_i-P_1$， $e_{i,1}=n_i-n_1$， $n_i~\mathcal{N}\left(0,{\sigma }_i^2\right)$。

$Q=E\left(e{e}^T\right)=diag\left({\sigma }_2^2,\cdots ,{\sigma }_N^2\right)+{\sigma }_1^2{1}_{N-1}$， $1_{N-1}$是 $N-1$阶元素全为1的方阵。

2.1. 相对绝对误差估计方法

文献[30]提出了相对误差的方法，这种方法仅仅涉及到对于真实值的误差，这样处理是不全面的，在考虑相对于真实值的误差，也应该考虑相对于测量值的误差。为了更好地理解相对误差估计方法，我们考虑下面线性模型：

$y_i\text{=}{a}_i^{T}x+v_i,i=1,\cdots ,n$(4)

这里 $y_i$是观测数据， $a_i$是模型已知参数， $x$是待未知估参数， $v_i$是测量噪声项，(4)式两边同时取指数运算可得到：

$z_i=\exp \left(a_i^{T}x\right){\eta }_i,i=1,\cdots ,n$(5)

其中 $z_i=e^{y_i}$， ${\eta }_i=e^{v_i}$，对于模型(5)相对绝对误差为 $\left|\frac{z_i-\exp \left(a_i^{T}x\right)}{z_i}\right|$， $\left|\frac{z_i-\exp \left(a_i^{T}x\right)}{\exp \left(a_i^{T}x\right)}\right|$。

我们的目标是考虑以上两种形式的相对误差最小时求解位置参数，因此，此问题可以表示为一个最小化问题，

$\hat{x}=\arg \min \left({\displaystyle \underset{i=1}{\overset{N}{\sum }}\left|\frac{z_i-\exp \left(a_i^{T}x\right)}{z_i}\right|+\left|\frac{z_i-\exp \left(a_i^{T}x\right)}{\exp \left(a_i^{T}x\right)}\right|}\right)$(6)

2.2. 本文提出的方法

将上述相对绝对误差估计方法应用在DRSS模型中，现将模型(3)变形为

${\tilde{d}}_i=d_i{\eta }_i,i=2,\cdots ,n$(7)

这里 ${\tilde{d}}_i={10}^{\frac{P_{i,1}}{-10\gamma }}$， $d_i={\Vert \frac{x-s_i}{x-s_1}\Vert }_2$， ${\eta }_i={10}^{-\frac{n_{i,1}}{10\gamma }}$，根据相对绝对误差估计方法可得未知位置的估计为：

$\hat{x}=\arg \min \left({\displaystyle \underset{i=2}{\overset{N}{\sum }}\left|\frac{{\tilde{d}}_i-d_i}{{\tilde{d}}_i}\right|+\left|\frac{{\tilde{d}}_i-d_i}{d_i}\right|}\right)$(8)

很明显上述最小化问题是非凸的，很难求解，将(8)式等价变形为

$\hat{x}=\arg \min {\left({\displaystyle \underset{i=2}{\overset{N}{\sum }}\left|\frac{{\tilde{d}}_i-d_i}{{\tilde{d}}_i}\right|+\left|\frac{{\tilde{d}}_i-d_i}{d_i}\right|}\right)}^2$(9)

整理后可得：

$\begin{array}{c}\hat{x}=\arg \min \left({\displaystyle \underset{i=2}{\overset{N}{\sum }}\frac{d_i^2}{{\tilde{d}}_i^2}+\frac{{\tilde{d}}_i^2}{d_i^2}-2}\right)\\ =\arg \min \left({\displaystyle \underset{i=2}{\overset{N}{\sum }}\frac{d_i^2}{{\tilde{d}}_i^2}+\frac{{\tilde{d}}_i^2}{d_i^2}}\right)\end{array}$(10)

为了求解(10)中的凸优化问题，引入辅助变量 $u_i={\Vert x-s_i\Vert }^2$， $v_i=\frac{1}{{\Vert x-s_i\Vert }^2}$， $y={\Vert x-s_1\Vert }^2$，则(10)可以转换为如下约束优化问题：

$\begin{array}{l}\underset{u,v,y}{\min }{\displaystyle \underset{i=2}{\overset{N}{\sum }}\left(\frac{u_i^{}}{{\tilde{d}}_i^2}+\frac{{\tilde{d}}_i^2}{u_i^{}}\right)}\\ \begin{array}{cc}s.t.& \end{array}\\ \Vert \left[\begin{array}{cc}2\left(x-s_i\right)& y-u_i\end{array}\right]\Vert \le y+u_i,\begin{array}{cc}& i=2,\cdots ,N\end{array}\\ \Vert \left[\begin{array}{cc}2\left(x-s_1\right)& y-1\end{array}\right]\Vert \le y+1,\\ \left[\begin{array}{cc}{v}_i& 1\\ 1& u_i\end{array}\right]\ge 0.\end{array}$(11)

显然(11)是一个SDP和SOCP混合的凸优化问题且可以应用MATLAB标准的凸优化包来有效求解此问题。

3. 计算机仿真结果及分析

为了验证所提方法的优越性能，这里选择了几个主要的方法进行对比，包括U-BLUE方法[22]，A-BLUE方法，LARE-SDP，SOCP方法[25]。以上方法的详细描述见下表1：

Table 1.Methods and meanings involved in this article

表1.本文所涉及方法及含义

3.1. 不同噪声标准差值下，定位性能分析

为了方便大家了解本文所涉及的方法及方法具体的内容，表1列出了本章所涉及的所有方法及其内容描述。CRLB同样作为方法所比较的对象列于此处，其可以作为各个算法性能衡量的一个指标。DRSS路径损失模型(3)用来产生测量数据。仿真环境设置如下：10个锚节点随机部署在半径为25 m的圆上及其内部，1个目标节点随机均匀的分布在25 × 25 m²的正方形区域内，参考距离d₀= 1 m。性能评价的准则主要依赖于估计的RMSE。此部分分析不同噪声标准差下，各种方法定位精度对比分析。与LARE-SDP方法相比，本文改进后的混合定位法性能有很大提高。

Figure 1.The curve of RMSE as a function ofσ(dB):N= 10,γ= 2,Mc= 100

图1.RMSE随σ(dB)变化的曲线：N= 10，γ= 2，Mc= 100

从图1可以看出，在噪声较低的场景中，本文所提LARE-NEW方法的RMSE值低于U-BLUE，LARE-SDP以及SOCP方法的RMSE的值，随着噪声均方差σ值的增加，LARE-NEW方法的RMSE的值均低于所对比的四种方法，这是因为LARE-NEW方法在求解模型时采用了相对误差的方法，在噪声较高的场景中具有较好的鲁棒性能。

Figure 2.The curve of RMSE as a function ofγ:N= 10,σ= 4,Mc= 100

图2.RMSE随γ变化的曲线：N= 10，σ= 4，Mc= 100

图2结果显示，当路径损失参数变大时，随着γ的增大，所有方法的RMSE均降低，LARE-NEW方法的RMSE最低，具有显著的优越性。整体来看所有方法的性能都有所提高，其中A-BLUE与U-BLUE方法的性能相比，变化幅度差不多，但A-BLUE的性能更高，基于最小二乘法的SOCP的性能相较于其它方法的性能提升幅度较大，而LARE-SDP、LARE-NEW性能变高，但是曲线比较平稳，变化幅度不大，这也说明本文方法具有较好的鲁棒性能，这个结论和文献[30]所提一致。

3.2. 定位性能随锚节点变化分析

图3结果显示，随着锚节点数目的增大，所有方法的RMSE均降低，本文所提LARE-NEW方法的RMSE均低于所对比的方法，并且其RMSE值更加贴近理论误差的CRLB下界。另一方面也可以发现，当RMSE相同时，本文方法需要较少的锚节点，从而更加节省资源。

Figure 3.Curve of RMSE as a function ofN:σ= 4,γ= 2,Mc= 500

图3.RMSE随N变化的曲线：σ= 4，γ= 2，Mc= 500

4. 小结

本文主提出了一种相对误差估计与凸优化混合定位方法，该方法首先基于DRSS路径损失模型表达式，采用相对误差方法构建关于目标位置的非凸优化问题。最后，应用凸优化中的SDP和SOCP松弛技巧，将原来构建的非凸的优化问题转化为一个凸优化问题，从而完成对未知目标的有效估计。计算机仿真结果表明，在噪声较高的场景下所提方法的性能优于其它所有考虑的方法，这是因为基于相对误差的方法不受误差大小量级的影响。随着锚节点个数的增加，本文方法性能高于文献[19][29][30]所提的方法。

参考文献