1. 引言

在全球化与区域经济一体化的背景下，人均GDP作为衡量一个国家或地区经济发展水平与居民生活质量的核心指标，其准确预测对于政策制定、资源配置及经济战略规划具有不可估量的价值。福清市，作为福建省的经济重镇和闽东地区的重要节点，其人均GDP的变动不仅直接反映着本市的经济发展活力与居民福祉水平，还深刻影响着闽东地区乃至福建省整体的经济格局与未来走向。因此，科学、精准地预测福清市人均GDP的增长趋势，对于促进区域经济协调发展、提升民众生活水平具有重要意义。

近年来，随着大数据与人工智能技术的快速发展，各种预测模型应运而生，其中GM (Grey Model，灰色模型)灰色系统模型以其独特的优势在经济学预测领域崭露头角。该模型根植于灰色系统理论，擅长处理信息不完全、数据量有限的复杂系统问题，通过构建差分微分方程来模拟和预测系统的动态变化过程。相较于传统预测方法，GM灰色系统模型具有对数据要求低、预测精度高、计算简便等优势，尤其适合应用于经济、社会等充满不确定性的领域[1]。

尽管国内外学者在人均GDP预测领域的现有研究上已取得了诸多研究成果，但普遍针对的对象普遍有为较大的区域与较高行政等级如成都市，武汉市[2]等地级市区域或深圳[3]等经济特区，甚至内蒙古，浙江[4]，上海，重庆等省级或直辖市区域乃至中国等国别研究，针对福清市此类较小的区域与其县级市较低行政等级，结合GM灰色系统模型的深入研究仍较为匮乏。现有研究多集中于宏观经济层面较广区域采用传统统计方法进行预测，往往忽略了小区域经济特色的复杂性与动态性，导致预测结果可能存在一定的偏差。因此，本文旨在通过广泛调研国内外相关文献，系统总结当前人均GDP预测的研究现状及其不足，特别是针对“小区域”此类案例的研究空白，提出采用GM灰色系统模型进行人均GDP预测的新思路。

本文将以Python作为数据分析与建模的主要工具，利用福清市2000至2022年间的人均GDP历史数据，构建GM灰色系统预测模型。通过模型的建立与验证，旨在深入挖掘福清市人均经济发展的内在规律与未来趋势，为地方政府制定科学合理的经济政策、优化经济结构、推动经济高质量发展提供坚实的理论支撑与数据参考。同时，本文也期望通过这一研究，为其他类似地区的经济发展预测提供可借鉴的方法论与实践案例。

2. 福清市近年发展状况简介

福清市近十年来，经济发展势头强劲，持续保持增长态势。据最新数据显示，2022年福清市生产总值已达到1604.42亿元，同比增长5.7%，凸显了其作为福建省重要经济节点的地位。在产业结构优化方面，福清市注重提升第三产业比重，通过优化升级，第一产业、第二产业和第三产业增加值分别为132.67亿元、772.18亿元和699.57亿元，增长率分别为3.0%、4.9%和7.0%，展现了向服务型经济转变的趋势。交通事业也取得显著进步，普通国省干线公路和农村公路总里程不断增加，交通基础设施投资加大，农村公路提升改造工程实施，城市轨道交通建设积极推进，构建了现代化综合交通体系。同时，福清市充分利用海洋资源优势，大力发展海洋经济，通过培育海工装备产业集群、壮大远洋渔业规模等措施，推动海洋经济快速发展，并加快国家级海洋牧场项目建设，打造滨海旅游风景线。在国际合作与交流方面，福清市通过中印尼“两国双园”项目等平台，加强与东盟国家和台湾企业的经贸合作和民间交流，推动两岸经济融合发展。此外，福清市坚持创新驱动发展战略，加快科创走廊建设，引进高层次人才，为经济高质量发展提供了有力支撑。

3. 数据来源

因截至到目前，政府统计了截至2022年的统计数据，而2023年统计工作尚未完成，故2023及以后的当地人均GDP无从得知，本文选取福清市2010至2022年的相关经济数据，如表1。数据主要来源于中经数据APP内对福清市人均GDP的统计报表。

Table 1.Per capita GDP data of Fuqing City

表1.福清市人均GDP数据

4. 模型原理

4.1. 模型介绍概述

GM灰色系统模型是一种基于灰色系统理论的预测和分析方法。灰色系统理论是由我国学者邓聚龙教授提出的，旨在解决那些部分信息已知、部分信息未知或不确定的小样本、贫信息系统问题。GM灰色系统模型通过挖掘和利用系统内部已知的信息，建立差分微分方程来描述系统的动态行为，并据此进行预测和决策分析。该模型在处理数据量较少、信息不完全的复杂系统时，展现出了较高的预测精度和实用性，因此在经济、社会、环境等多个领域得到了广泛应用。在预测分析方面，GM灰色系统模型特别适用于那些具有非线性、非平稳特征的数据序列，能够较为准确地捕捉和预测系统的变化趋势和发展规律。

4.2. GM(1,1)模型通解原理

GM(1,1)模型是最简单的灰色系统模型，其基础是常微分方程的解析解，GM(1,1)微分方程直接求解的建立过程如下：

假设有一个变量x(t)是时间变量t的函数，它满足一阶常微分方程条件：

$\frac{\text{d}x\left(t\right)}{\text{d}t}+ax\left(t\right)=b$(1)

这里，参数a和b是两个常系数。假设参数C是任意常数，那么，该微分方程的解析解或者通解为：

$x\left(t\right)=\frac{b+{\text{e}}^{a\left(C-t\right)}}{a}$(2)

如果x(t)有一个初值，在t= 0时，初值为x(0)，那么，x(0)也满足这个解，因此，参数C满足关系式：

${\text{e}}^{aC}=ax\left(0\right)-b$(3)

代入微分方程的通解，就有：

$x\left(t\right)=\frac{b}{a}+\left(x\left(0\right)-\frac{b}{a}\right){\text{e}}^{-at}$(4)

该函数具有指数函数的特征，由于其对于参数a和b的依赖性很强，而参数a和b又是未知的，且在正常情况下不易估计，因此，该模型也被称为灰色系统。由于只有一个变量x(t)，且是一阶微分，所以记为GM(1,1)。

4.3. GM(1,1)模型邓聚龙解原理

设原始数据离散序列为：

$x^{\left(0\right)}=\left\{x_0^{\left(0\right)},x_1^{\left(0\right)},\cdots ,x_{n-1}^{\left(0\right)}\right\}\left(n\ge 3;x_k^{\left(0\right)}\ge 0;k=0,1,\cdots ,n-1\right)$(5)

一次累加后得到如下序列：

$x^{\left(1\right)}=\left\{x_0^{\left(1\right)},x_1^{\left(1\right)},\cdots ,x_{n-1}^{\left(1\right)}\right\}\left(n\ge 3;x_k^{\left(1\right)}\ge x_{k-1}^{\left(1\right)};k=1,2,\cdots ,n-1\right)$(6)

$x_k^{\left(1\right)}={\displaystyle {\sum }_{i=0}^k{x}_i^{\left(0\right)}}\left(i=0,1,\cdots ,k\right)$(7)

生成x(1)的近邻均值等权序列：

$z^{\left(1\right)}=\left\{z_1^{\left(1\right)},z_2^{\left(1\right)},\cdots ,z_{n-1}^{\left(1\right)}\right\}\left(n\ge 3;k=1,2,\cdots ,n-1\right)$(8)

$z_k^{\left(1\right)}=\frac{1}{2}\left(x_k^{\left(1\right)}+x_{k-1}^{\left(1\right)}\right)$(9)

一阶微分方程求解过程转化如下：

$\frac{\text{d}{x}^{\left(1\right)}\left(t\right)}{\text{d}t}+a{x}^{\left(0\right)}\left(t\right)=b$(10)

其中：a，b为待定参数，然后运用最小二乘法求解可得：

${\left(a,b\right)}^{\text{T}}={\left(B^{\text{T}}B\right)}^{-1}{B}^{\text{T}}{Y}_N$(11)

$B=\left[\begin{array}{cc}-z_1^{\left(1\right)}& 1\\ -z_2^{\left(1\right)}& 1\\ ⋮& ⋮\\ -z_{n-1}^{\left(1\right)}& 1\end{array}\right],Y_N=\left[\begin{array}{c}{x}_1^{\left(0\right)}\\ x_2^{\left(0\right)}\\ ⋮\\ x_{n-1}^{\left(0\right)}\end{array}\right]$(12)

求解a，b后，进而得出方程的时间响应式：

${\hat{x}}_k^{\left(1\right)}=\left(x_1^{\left(0\right)}-\frac{b}{a}\right){\text{e}}^{-a\left(k-1\right)}+\frac{b}{a}$(13)

${\hat{x}}_k^{\left(0\right)}={\hat{x}}_k^{\left(1\right)}-{\hat{x}}_{k-1}^{\left(1\right)}$(14)

4.4. GM(2,1)模型的优化解原理

GM(2,1)和GM(1,1)的区别在于GM(2,1)是二阶常微分方程，GM(1,1)为一阶常微分方程，GM(2,1)微分方程模型建立过程如下：

假设变量x(t)是关于时间t的二阶常微分方程的解，满足条件：

$\frac{{\text{d}}^{2}x\left(t\right)}{\text{d}{t}^2}+a\frac{\text{d}x\left(t\right)}{\text{d}t}+bx\left(t\right)=0$(15)

则该微分方程的通解为：

$x\left(t\right)=C_1{\text{e}}^{\frac{\left(-a-\sqrt{a^2-4b}\right)t}{2}}+C_2{\text{e}}^{\frac{\left(-a+\sqrt{a^2-4b}\right)t}{2}}$(16)

为了编程方便，我们对该关系式予以简化：

$x\left(t\right)=C_1{\text{e}}^{mt}+C_2{\text{e}}^{nt}$(17)

这里，存在关系式：

$m=\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2}$(18)

$n=\frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2}$(19)

$C_1=\frac{x\left(0\right){\text{e}}^n-x\left(1\right)}{{\text{e}}^n-{\text{e}}^m}$(20)

$C_2=\frac{x\left(1\right)-x\left(0\right){\text{e}}^n}{{\text{e}}^n-{\text{e}}^m}$(21)

5. 模型分析

5.1. GM(1,1)模型通解拟合

对于GM(1,1)模型通解而言，由于其具有指数函数特点，且只有a，b两个参数，适用于最小二乘法，本文运用python中的Curve-Fit函数进行拟合求解，图1为GM(1,1)模型通解数据拟合效果图：

Figure 1.General solution data fitting renderings of GM(1,1) model (Unit: Yuan)

图1.GM(1,1)模型通解数据拟合效果图(单位：元)

由于在预测时，进行了5次拟合，各拟合结果相关参数如下表2所示：

Table2.Data fitting parameter table of GM(1,1) model

表2.GM(1,1)模型通解数据拟合参数表

在所有五次观测中，参数a的值均为−0.08，而参数b的值均为171.9。模型的拟合效果极佳，表现为R_Square值接近1 (在0.9708至0.970826之间)，同时R_Square_Sqrt和Adjusted R_Square也保持了高水平。结合各参数该模型为：

$x\left(t\right)=\frac{171.9}{-0.08}+\left(x\left(0\right)+\frac{171.9}{0.08}\right){\text{e}}^{0.08t}$(22)

通过模型拟合生成结果我们可知福清市的人均GDP在预测期间即23至27年内呈现出稳步增长的趋势。从2023年的121381.11元增长到2027年的预测值约169611.84元，显示了其经济持续增长的态势，其结果如表3：

Table3.GM(1,1) general solution prediction table

表3.GM(1,1)通解预测表

5.2 .GM(1,1)邓聚龙解拟合

邓聚龙解是将原来离散序列x(0)的一阶微分方程的求解过程转化成了对其一次累加序列x(1)和x(0)的一阶微分方程，从而最终通过线性代数来求解的一个线性矩阵方程，获得参数(a,b)的估计值。本文仅运用邓聚龙解拟合一次，其参数为[a,b] = [−0.0868, 16135.4527]。这与采用通解算的参数值完全不同，两者不同的主要原因有两方面，一是算法不同，通解所采用的为最小二乘法，而邓聚龙解采用的是线性矩阵乘法；二是样本不同，通解所计算的为原始数据样本，而邓聚龙解所计算的是经过处理后的一次累加序列样本。结合各参数，该模型为：

${\hat{x}}_k^{\left(1\right)}=\left(x_1^{\left(0\right)}-\frac{16135.4527}{-0.0868}\right){\text{e}}^{0.0868\left(k-1\right)}-\frac{16135.4527}{0.0868}$(23)

图2为GM(1,1)邓聚龙解模型的数据拟合效果图：

Figure2.GM(1,1) model Deng Julong data fitting renderings (Unit: Yuan)

图2.GM(1,1)模型邓聚龙解数据拟合效果图(单位：元)

本文同样进行了五次拟合，模型的拟合效果通过R_Square (决定系数)来评估，其值为0.928588表明模型能够解释数据中约92.86%的变异。进一步地，Adjusted R_Square (调整后的决定系数)为0.925考虑到模型中的变量数量后，模型的效果仍然相当好。该模型在解释数据变异和进行预测方面具有良好的表现。所得指标如表4：

Table4.Deng Julong data fitting parameter table of GM(1,1) model

表4.GM(1,1)模型邓聚龙解数据拟合参数表

通过模型拟合生成结果我们可知福清市的人均GDP在预测期间即23至27年内也呈现出稳步增长的趋势。

如表5所示是邓聚龙解所预测的后五年数据：

Table5.G(1,1) Deng Julong solution prediction table

表5.GM(1,1)邓聚龙解预测表

经过对比灰色模型通解进行福清市人均GDP预测的数据比较分析，我们发现两者都呈现出人均GDP逐年增长的趋势，但具体的预测数值存在一定差异。灰色模型邓聚龙方法进行预测的，预测值从2023年的113900.877万元逐年递增至2027年的161154.863万元，显示了相对稳定的增长态势。灰色模型通解进行预测的，其给出的预测值范围较为宽泛，但同样显示出人均GDP逐年上升的趋势。在相同的年份下，灰色模型通解的预测值范围通常高于灰色模型邓聚龙的预测值，这反映了不同模型在处理数据和预测未来趋势时的差异，邓聚龙解所拟合的预测的增长速度较为保守。

5.3. GM(2,1)优化解拟合

同样地，本文将模型循环拟合5次，并生成如图3所示的拟合图形。

Figure3.GM(2,1) model optimization data fitting renderings (Unit: Yuan)

图3.GM(2,1)模型的优化解数据拟合效果图(单位：元)

通过Curve-Fit函数得到的20组拟合参数发现，目标参数a，b完全不能收敛到同一组值，类似的m参数的取值也不同。但是，参数k，C₁，C₂在20组中有多组保持一致，且不一致值都近似相等，并未出现太大偏差，故说明说明尽管a，b，m不是收敛的，但k，C₁，C₂的值是收敛的。因为R的平方值都相同，故本文选取以第一次拟合结果为例，其拟合效果良好，具体模型如下：

$x\left(t\right)=689.2518{\text{e}}^{-480.0573t}+15763.748{\text{e}}^{0.0898t}$(24)

运行得到参数结果如表6。

优化解决对数据的预测如表7。

优化解在预测值上与通解模型较为接近，但整体预测值略高于通解模型。优化解在预测时可能采用了更为精细的算法或考虑了更多的影响因素，从而得到了更高的预测值。与邓聚龙模型相比，优化解的预测值也呈现出更高的水平。

Table6.Parameter values of GM(2,1) model

表6.GM(2,1)模型参数数值

Table7.G(2,1) optimization solution prediction table

表7.G(2,1)优化解预测表

6. 预测总结

我们首要分析灰色模型通解的预测数据：与邓聚龙模型相比，通解模型的预测值普遍偏高，预测结果较为乐观且提供了预测值的上下限范围。这表明通解模型在预测时可能考虑了更多的影响因素和不确定性，如外部冲击、政策变化等，使得预测结果更具弹性。此外，通解模型较高的预测值也反映了模型可能预期了更快的增长速度或更大的增长潜力。

我们继续观察灰色模型邓聚龙解的预测结果。邓聚龙解的结果展示了逐年稳步增长的趋势，从2023年的113900.877增长到2027年的161154.863。这一模型展示了数据的基本的增长预期，但相比其他两方法预测值相对较低，可能表明该模型在预测时更多地考虑了历史数据的平均增长趋势，而较少考虑可能的增长加速因素。

最后，我们进行探讨优化解的预测结果。优化解在预测值上与通解模型较为接近，但整体而言略高于通解模型。这表明优化解在预测时可能采用了更为精细的算法或考虑了更多的影响因素，如市场需求、技术进步等，从而得到了更高的预测值。优化解也同普通解一样提供了预测值的上下限范围，这增加了预测结果的可信度和可靠性。

综合比较三组数据，我们可以看出不同模型在预测未来趋势时存在一定的差异：邓聚龙模型提供了较为保守的预测，而通解模型和优化解则预测了更高的增长速度和更大的增长潜力。这种差异可能源于模型在构建时所考虑的因素和假设条件的不同。在实际应用中，我们可以根据具体的数据情况和需求，结合多个模型的预测结果，进行更为全面和准确的预测分析。

7. 政策建议预测总结

通过以上分析，本文将针对本文所描述现象提供的几个建议，为当地发展建言献策：

1) 优化产业结构

福清市应持续优化产业结构，特别是要加快发展第三产业，即服务业。目前，福清市的产业结构可能还存在不够优化的问题，这在一定程度上制约了人均GDP的提升。通过发展现代服务业，如金融、旅游、教育、医疗等，可以创造更多的就业机会，提高居民收入水平，从而提升人均GDP。

2) 加强人才培养与引进

人才是推动经济发展的关键。福清市应加大对人才的培养力度，特别是在高技能和高需求领域。同时，通过优惠政策吸引外部人才流入，为城市的创新发展提供强有力的人才支撑。这些措施将有助于提升福清市的劳动生产率和经济效益，进而提高人均GDP。

3) 推动创新驱动发展

创新是经济高质量发展的核心动力。福清市应鼓励企业加大研发投入，推动科技创新和成果转化。通过建设创新平台、加强产学研合作等方式，促进科技创新与产业升级的深度融合。这将有助于提升福清市产业的核心竞争力，从而提高人均GDP。

4) 深化改革开放

福清市应进一步深化市场化改革，释放市场活力。通过优化营商环境、降低企业成本等措施，吸引更多的投资和企业入驻。同时，积极拓展对外贸易，利用国际市场和资源推动经济发展。这将有助于扩大经济规模，提升人均GDP水平。

5) 推进新型城镇化建设

新型城镇化是推动经济发展的重要引擎。福清市应加快推进城镇化进程，优化城镇布局和形态。通过完善基础设施、提高公共服务水平等措施，吸引更多人口向城镇集聚。这将有助于扩大内需、促进消费升级，进而提高人均GDP。

6) 加强生态环境保护

绿色发展是未来发展的必然趋势。福清市在推动经济发展的同时，应注重生态环境保护。通过加强环境治理、推广清洁能源等措施，实现经济与环境的协调发展。这将有助于提升福清市居民的生活质量，进而吸引更多人才和企业入驻，推动人均GDP的提升。

综上所述，通过优化产业结构、加强人才培养与引进、推动创新驱动发展、深化改革开放、推进新型城镇化建设以及加强生态环境保护等措施，福清市可以全面提升人均GDP水平，实现经济社会的可持续发展。

致 谢

在此本文向所有给予本文帮助的老师同学以诚挚之谢忱，特别是指导本文的阎老师。

基金项目

本论文得到了厦门市科协2023年重点调研课题《高校毕业生在厦就业及就业前职业技能培训情况调研》项目的支持。

参考文献