DOI:10.12677/pm.2024.148311,PDF,HTML,XML,被引量下载: 1浏览: 45科研立项经费支持
作者:方少明,方晓峰,张 辉,陈 研：火箭军工程大学基础部，陕西 西安
关键词:算子代数；顺从群的等价性；正定函数；Følner条件；Reiter性质；Operator Algebra；Equivalence of Amenable Group；Positive Definite Function；Følner Condition；Reiter Property

文章引用：方少明, 方晓峰, 张辉, 陈研. 可数离散群顺从性的等价条件[J]. 理论数学, 2024, 14(8): 126-134. https://doi.org/10.12677/pm.2024.148311

1. 引言

顺从群是冯诺依曼在1929年研究Banach-Tarski[1]悖论时而提出的一类群。时至今日，顺从性仍是一个非常活跃的研究课题，它在数学的许多领域都有所涉及，例如 $C^{*}$-代数、弱顺从群[2]、性质(T)[3]、群胚等。

近二十年来，顺从性的概念越来越多的被推广到动力系统中，如空间上的群作用、局部紧群胚[4]、算子代数上的群作用[5]以及群上的费尔束[6]。张国华[7]对顺从群作用建立局部熵理论。Y Suzuki[8]给出了稳定有限单 $C^{*}$-代数上(非顺从群)顺从作用的第一个例子。Akhtari[9]研究了顺从局部紧半群与不动点性质之间的关系。D Huczek[10]研究了顺从群作用的零维扩展。

虽然顺从性的研究如今已发展到很多领域，但追本溯源关于顺从性等价命题的一系列描述在国内一直没有系统性的整理，国外相关文献又存在定理证明简略难懂、文献分散的情况。并且群满足顺从性的若干等价条件间的联系国内外均未提及。本文以可数离散群为研究对象，系统完整地梳理了群满足顺从性的相关等价条件并分析它们之间的内在联系。

2. 预备知识

本节主要介绍顺从群、群表示与算子代数等基础知识。

经典的顺从群定义为：令G是一个可数离散群。若G的有界函数空间 $l^{\infty }\left(G\right)$上存在一个态m，满足在G的作用下是左平移不变的，即 $m\left(L_{g}f\right)=m\left(f\right)$，其中对任意 $x\in G$，有 $L_{g}f\left(x\right)=f\left(g^{-1}x\right)$，则称G为顺从群。常见的顺从群有整数群 $\mathbb{Z}$、有限群、交换群、可解群等。典型的非顺从群则是自由群，比如F₂。

定义1.1[11]令G是一个可数离散群，H是一个希尔伯特空间，若存在群同态

$\pi :G\to U\left(H\right).$

则称 $\pi$是G上的一个酉表示，其中 $U\left(H\right)$是H上的酉算子群。

例1令G是一个可数离散群，取 $H=l^2\left(G\right)$，则对任意 $g,h\in G$，定义G的左正则表示如下：

$\begin{array}{l}\lambda :G\to U\left(l^2\left(G\right)\right)\\ g\mapsto {\lambda }_g\end{array}$

其中对任意 $\xi \in l^2\left(G\right)$，有 ${\lambda }_g\xi \left(h\right)=\xi \left(g^{-1}h\right)$.

定义1.2[12]令G是一个可数离散群，P是G上的复值函数，如果对于任意 $n\ge 1$和任意 $x_1,x_2,\cdots ,x_n\in G$，矩阵 $\left[P\left(x_i^{-1}{x}_j\right)\right]$是正定矩阵，即对于 $\forall {\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_n\in ℂ$有

${\displaystyle \underset{i,j=1}{\overset{n}{\sum }}\overline{{\lambda }_i}}{\lambda }_{j}P\left(x_i^{-1}{x}_j\right)\ge 0$，

则称P是G上的正定函数。

定义1.3令A是一个 $C^{*}$-代数，H是一个希尔伯特空间， $\pi :A\to B\left(H\right)$是A上的一个表示，并且 $\xi \in H$是单位向量，则对任意 $a\in A$，定义

$\phi \left(a\right)=\langle \pi \left(a\right)\xi ,\xi \rangle$，

则称 $\phi$是A上的一个向量态。

引理1.4[11]每一个对应于G左正则表示中向量态的正定函数都属于有限支持函数空间的闭包。反之，任何有限支持的正定函数都对应正则表示中的一个向量态。

3. 正定函数与顺从性

在引理1.4的基础上，下面论述可数离散群上的正定函数与顺从性的关系。

定理2.1[11]一个可数离散群G是顺从群，当且仅当存在 $l^2\left(G\right)$上的一个单位向量序列 $\left\{{\xi }_n\right\}$，使其相对应的正定函数 $P_n$满足对任意 $g\in G$有

$P_n\left(g\right)=\langle {\xi }_n,\lambda \left(g\right){\xi }_n\rangle$

点点趋向于1。

证明假设存在这样的一个序列 $\left\{{\xi }_n\right\}$。因为 ${\xi }_n$和 $\lambda \left(g\right){\xi }_n$是单位向量，则有

${\Vert {\xi }_n-\lambda \left(g\right){\xi }_n\Vert }^2=2-2Re\langle \lambda \left(g\right){\xi }_n,{\xi }_n\rangle \to 0$

成立。当 $n\to \infty$， $\lambda \left(g\right){\xi }_n-{\xi }_n\to 0$。定义 $l^{\infty }\left(G\right)$上的态 ${\sigma }_n$如下：

${\sigma }_n\left(f\right)=\langle {\xi }_n,M_f{\xi }_n\rangle .$

其中 $M_f$是 $l^2\left(G\right)$上的算子：

并且对于G中任意h，有 $M_{f}g\left(h\right)=f\left(h\right)g\left(h\right)$。令 $\sigma$是 $\left\{{\sigma }_n\right\}$的一个弱 ${}^{*}$极限，且有

${\sigma }_n\left(L_{g}f\right)=\langle {\xi }_n,M_{L_{g}f}{\xi }_n\rangle ={\displaystyle \underset{h\in G}{\sum }{\xi }_n}\left(h\right)\overline{f\left(g^{-1}h\right){\xi }_n\left(h\right)}.$

通过变量代换 $t=g^{-1}h$，则有

${\displaystyle \underset{h\in G}{\sum }{\xi }_n}\left(h\right)\overline{f\left(g^{-1}h\right){\xi }_n\left(h\right)}={\displaystyle \underset{t\in G}{\sum }{\xi }_n}\left(gt\right)\overline{f\left(t\right){\xi }_n\left(gt\right)}={\displaystyle \underset{t\in G}{\sum }{\lambda }_{g^{-1}}{\xi }_n}\left(t\right)\overline{f\left(t\right){\lambda }_{g^{-1}}{\xi }_n\left(t\right)}=\langle {\lambda }_{g^{-1}}{\xi }_n,M_f{\lambda }_{g^{-1}}{\xi }_n\rangle .$

因此可得

$\begin{array}{c}{\sigma }_n\left(L_{g}f-f\right)=\langle {\lambda }_{g^{-1}}{\xi }_n,M_f{\lambda }_{g^{-1}}{\xi }_n\rangle -\langle {\xi }_n,M_f{\xi }_n\rangle \\ =\langle {\lambda }_{g^{-1}}{\xi }_n-{\xi }_n,M_f{\xi }_n\rangle +\langle {\lambda }_{g^{-1}}{\xi }_n,M_f\left({\lambda }_{g^{-1}}{\xi }_n-{\xi }_n\right)\rangle .\end{array}$

利用三角不等式和Cauchy-Schwarz不等式可得

$\begin{array}{c}\left|{\sigma }_n\left(L_{g}f-f\right)\right|\le \left|\langle {\lambda }_{g^{-1}}{\xi }_n-{\xi }_n,M_f{\xi }_n\rangle \right|+\left|\langle {\xi }_n,M_f\left({\lambda }_{g^{-1}}{\xi }_n-{\xi }_n\right)\rangle \right|\\ \le \Vert {\lambda }_{g^{-1}}{\xi }_n-{\xi }_n\Vert \cdot \Vert M_f{\xi }_n\Vert +\Vert {\xi }_n\Vert \cdot \Vert M_f\Vert \cdot \Vert {\lambda }_{g^{-1}}{\xi }_n-{\xi }_n\Vert \\ =2\Vert M_f\Vert \times \Vert {\lambda }_{g^{-1}}{\xi }_n-{\xi }_n\Vert .\end{array}$

又因为 $\Vert M_f\Vert =\Vert f\Vert$，则有

$\left|{\sigma }_n\left(L_{g}f-f\right)\right|\le 2\Vert f\Vert \cdot \Vert {\lambda }_{g^{-1}}{\xi }_n-{\xi }_n\Vert .$

因此有 $\left|{\sigma }_n\left(L_{g}f-f\right)\right|\to 0$和 $\left|\sigma \left(L_{g}f-f\right)\right|=0$成立，即 $\sigma \left(L_{g}f\right)=\sigma \left(f\right)$。综上， $\sigma$是G上的一个不变测度，进而G是顺从群。

反之，假设G是顺从群并且令 $\phi$是一个不变测度。则 $\phi \in Ball\left(l^{\infty }{\left(G\right)}^{*}\right)=Ball\left(l^1{\left(G\right)}^{**}\right)$。由Goldstine[12]定理(对任意Banach空间E，E的单位球在 $E^{**}$的单位球中是弱 ${}^{*}$稠密的)可知一定存在一个网 $\left\{{\phi }_{\lambda }\right\}\in Ball\left(l^1\left(G\right)\right)$使得

${\phi }_{\lambda }\stackrel{w^{*}}{\to }\phi$。

因此对于任意 $g\in G$，有 ${\phi }_{\lambda }\left(g\right)\to \phi \left(g\right)$。当 $\lambda \to \infty$时有

${\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\phi }_{\lambda }\left(g\right)}\to {\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }\phi \left(g\right)}=\phi \left({\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }g}\right)=1,$

以及

${\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }\left|{\phi }_{\lambda }\left(g\right)\right|}\le 1$

成立。不失一般性，假设每一个 $\phi$是范数为1的正定函数，则当 $\lambda \to \infty$时，对于 $\forall f\in l^1{\left(G\right)}^{*}$，有

$f\left(L_g{\phi }_{\lambda }-{\phi }_{\lambda }\right)=L_g{\phi }_{\lambda }\left(f\right)-{\phi }_{\lambda }\left(f\right)={\phi }_{\lambda }\left(g^{-1}f\right)-{\phi }_{\lambda }\left(f\right)\to \phi \left(g^{-1}f\right)-\phi \left(f\right)=0$.

进而 $L_g{\phi }_{\lambda }-{\phi }_{\lambda }\stackrel{弱}{\to }0$。此外，因为 $l^1\left(G\right)$上的弱拓扑和范数拓扑具有相同的闭凸集，则由 $\left\{{\phi }_{\lambda }\right\}$的凸组合构成的序列 $\left\{{\psi }_1,{\psi }_2,\cdots \right\}$满足对于任意 $g\in G$，有 $L_g{\psi }_n-{\psi }_n\stackrel{\Vert \cdot \Vert }{\to }0$成立。并且 ${\psi }_n$是范数为1的正定函数。令 ${\left|{\xi }_n\left(h\right)\right|}^2={\psi }_n\left(h\right)$，则有

${\Vert {\xi }_n\Vert }_2={\left({\displaystyle \underset{h\in G}{\sum }{\left|{\xi }_n\left(h\right)\right|}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left({\displaystyle \underset{h\in G}{\sum }\left|{\psi }_n\left(h\right)\right|}\right)}^{\frac{1}{2}}={\Vert {\psi }_n\Vert }^{\frac{1}{2}}=1.$

即有 ${\xi }_n\in l^2\left(G\right)$且范数为1。

下面需要证明

$P_n\left(g\right)=\langle {\xi }_n,\lambda \left(g\right){\xi }_n\rangle \to 1.$

当 $n\to \infty$时，有

$\begin{array}{c}{\Vert \lambda \left(g\right){\xi }_n-{\xi }_n\Vert }^2={\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\left|\left(\lambda (g){\xi }_n-{\xi }_n\right)(h)\right|}^2}={\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }{\left|{\xi }_n\left(g^{-1}h\right)-{\xi }_n\left(h\right)\right|}^2}\\ \le {\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }\left|{\xi }_n\left(g^{-1}h\right)-{\xi }_n\left(h\right)\right|\cdot \left|{\xi }_n\left(g^{-1}h\right)+{\xi }_n\left(h\right)\right|}\\ ={\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }\left|{\left|{\xi }_n\left(g^{-1}h\right)\right|}^2-{\left|{\xi }_n\left(h\right)\right|}^2\right|}={\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }\left|{\psi }_n\left(g^{-1}h\right)-{\psi }_n\left(h\right)\right|}\\ ={\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }\left|\left(L_g{\psi }_n-{\psi }_n\right)\left(h\right)\right|}={\Vert L_g{\psi }_n-{\psi }_n\Vert }_1\end{array}$

趋于0。又因为 ${\Vert {\xi }_n-\lambda \left(g\right){\xi }_n\Vert }^2=2-2Re\langle \lambda \left(g\right){\xi }_n,{\xi }_n\rangle$以及 $\langle \lambda \left(g\right){\xi }_n,{\xi }_n\rangle$属于实数，即有

${\Vert {\xi }_n-\lambda \left(g\right){\xi }_n\Vert }^2=2-2Re\langle \lambda \left(g\right){\xi }_n,{\xi }_n\rangle \to 0.$

进而 $\langle \lambda \left(g\right){\xi }_n,{\xi }_n\rangle \to 1$。故有 $P_n\left(g\right)=\langle {\xi }_n,\lambda \left(g\right){\xi }_n\rangle =\langle \lambda \left(g\right){\xi }_n,{\xi }_n\rangle \to 1$。

4. Følner序列与顺从性

本节主要讨论Følner序列和顺从群的关系，首先介绍Følner序列的定义。

定义3.1假设G是一个可数离散群。若G中一个有限集序列G_n满足对任意的 $h\in G$有

$\frac{\#G_n△h{G}_n}{\#G_n}\to 0$

成立，则称G_n是一个Følner序列。

定理3.2[13]一个可数离散群G是顺从群当且仅当G上存在一个Følner序列。

证明假设G有一个Følner序列 $G_n$。对于 $l^{\infty }\left(G\right)$中的每一个f，定义其上的态列如下：

${\sigma }_n\left(f\right)=\frac{1}{\#G_n}{\displaystyle \underset{g\in G_n}{\sum }f}\left(g\right)$，

并且令 $\sigma$是 ${\sigma }_n$的弱 ${}^{*}$极限。则对任意 $k\in G$，有

$\left|{\sigma }_n\left(L_{k}f-f\right)\right|=\frac{1}{\#G_n}{\displaystyle \underset{g\in G_n}{\sum }\left|f\left(k^{-1}g\right)-f\left(g\right)\right|}\le \frac{\#k^{-1}{G}_n△G_n}{\#G_n}\Vert f\Vert$

趋于0。即 $\left|\sigma \left(L_{k}f-f\right)\right|=0$，即 $\sigma \left(L_{k}f\right)=\sigma \left(f\right)$。因此 $\sigma$是一个不变测度，G是一个顺从群。

反之，假设G是顺从群，需要找到一个Følner序列。为此先证明以下命题：对于任意有限集 $S\subseteq G$和任意 $\epsilon >0$，存在非空有限子集 $F\subseteq G$使得对所有 $x\in S$有

$\frac{\#\left(xF△F\right)}{\#F}<\epsilon$

成立。下证这一命题：

由定理2.1可知G上存在一个有限支撑正定函数 $\psi$且 $\Vert \psi \Vert =1$，满足对于任意 $x\in S$，有 ${\Vert \psi -L_x\psi \Vert }_{l^1}<\frac{\epsilon }{\#S}$成立。然后利用陶哲轩的千层饼分解有

$\psi ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{c}_i}{\delta }_{E_i}.$

其中 $E_1\supset E_2\supset \cdots \supset E_k$， $c_i>0$。因为 $\Vert \psi \Vert =1$，则有

$\Vert \psi \Vert =\Vert {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{c}_i}{\delta }_{E_i}\Vert ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{c}_i}\Vert {\delta }_{E_i}\Vert ={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{c}_i}\#E_i=1.$

另一方面，注意对于 $g\in x{E}_i△E_i$，

$\left|\psi \left(g\right)-L_x\psi \left(g\right)\right|=\left|{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{c}_i}{\delta }_{E_i}\left(g\right)-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{c}_i}{\delta }_{E_i}\left(x^{-1}g\right)\right|\ge c_i.$

因此有

$\Vert \psi -L_x\psi \Vert ={\displaystyle \underset{g\in G}{\sum }\left|\psi \left(g\right)-L_x\psi \left(g\right)\right|}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{\displaystyle \underset{g\in x{E}_i△E_i}{\sum }\left|\psi \left(g\right)-L_x\psi \left(g\right)\right|}}\ge {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{c}_i}\#\left(x{E}_i△E_i\right).$

则对于任意 $x\in S$，

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{c}_i}\#\left(x{E}_i△E_i\right)\le \Vert \psi -L_x\psi \Vert <\frac{\epsilon }{\#S}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{c}_i}{\delta }_{E_i}.$

进而

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{c}_i}{\displaystyle \underset{x\in S}{\sum }\#}\left(x{E}_i△E_i\right)\le \frac{\epsilon }{\#S}{\displaystyle \underset{x\in S}{\sum }{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{c}_i}}\#E_i=\epsilon {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{k}{\sum }}{c}_i}\#E_i.$

再由抽屉原理，一定存在i使得 ${\displaystyle \underset{x\in S}{\sum }\#}\left(x{E}_i△E_i\right)\le \epsilon \#E_i$，即有 $\frac{{\displaystyle \underset{x\in S}{\sum }\#}\left(x{E}_i△E_i\right)}{\#E_i}\le \epsilon$。进而对于任意 $x\in S$，有 $\frac{\#\left(x{E}_i△E_i\right)}{\#E_i}\le \epsilon$。

令 $G={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{\infty }{\cup }}{S}_n}$，其中 $S_n$是有限递增序列。应用上述命题，令 $\epsilon :=\frac{1}{2}$以及 $S:=S_n$，则存在一个有限子集 $F_n\subseteq G$使得 $\frac{\#\left(x{F}_n△F_n\right)}{\#F_n}<\frac{1}{n}$成立，即有 $\frac{\#\left(x{F}_n△F_n\right)}{\#F_n}\to 0$。故G有一个Følner序列。

注3.3从证明过程易得一个可数离散群G上的正定函数点点逼近1能推出G中存在一个Følner序列。

5. Reiter性质与顺从性

本节主要论述Reiter性质与顺从群的关系。

定义4.1若对 $\forall \epsilon >0$以及可数离散群G中每一个有限子集S，存在 $f\in l^1{\left(G\right)}_{1,+}$使得对所有 $x\in S$有

${\Vert xf-f\Vert }_1\le \epsilon ,$

则称G具有Reiter性质。

引理4.2令G是一个可数离散群， $f,g\in l^1\left(G\right)$并且 $f,g\ge 0$。对任意 $t\ge 0$，记

$E_t=\left\{x\in G|f\left(x\right)\ge t\right\}$

以及

${E^{\prime }}_t=\left\{x\in G|g\left(x\right)\ge t\right\}.$

则有

${\Vert f-g\Vert }_1={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\#}\left(E_t△{E^{\prime }}_t\right)\text{d}t.$

特别地，令 $g=0$，则 ${\Vert f\Vert }_1={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\#}\left(E_t\right)\text{d}t$。

证明令 ${\chi }_t\left(x\right)=\{\begin{array}{l}1,x\in \left[t,\infty \right)\\ 0,其他\end{array}$，则对 $S,S^{\prime }\in \left[0,+\infty \right)$，有

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left|{\chi }_t\left(s\right)-{\chi }_t\left(s^{\prime }\right)\right|\text{d}t}=\left|s-s^{\prime }\right|$.

即对所有的 $x\in G$，

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left|{\chi }_t\left(f\left(x\right)\right)-{\chi }_t\left(g\left(x\right)\right)\right|\text{d}t}=\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|.$

再由Fubini定理得

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\Vert {\chi }_{t}f-{\chi }_{t}g\Vert \text{d}t}={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\displaystyle \underset{x\in G}{\sum }\left|{\chi }_{t}f\left(x\right)-{\chi }_{t}g\left(x\right)\right|\text{d}t}}\\ ={\displaystyle \underset{x\in G}{\sum }{\displaystyle {\int }_0^{\infty }\left|{\chi }_{t}f\left(x\right)-{\chi }_{t}g\left(x\right)\right|\text{d}t}}\\ ={\displaystyle \underset{x\in G}{\sum }\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|}={\Vert f-g\Vert }_1.\end{array}$

又因为

$\left|{\chi }_{t}f-{\chi }_{t}g\right|\left(x\right)=\{\begin{array}{l}1x\in E_t△{E^{\prime }}_t,\\ 0x\notin E_t△{E^{\prime }}_t.\end{array}$

则 $\left|{\chi }_{t}f-{\chi }_{t}g\right|$是 $E_t△{E^{\prime }}_t$的特征函数，即 ${\Vert {\chi }_{t}f-{\chi }_{t}g\Vert }_1=\#\left(E_t△{E^{\prime }}_t\right)$，最终得到

${\Vert f-g\Vert }_1={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\#}\left(E_t△{E^{\prime }}_t\right)\text{d}t$.

定理4.3[14]一个可数离散群G是顺从群当且仅当G满足Reiter性质。

证明假设G满足Reiter性质，则对任意 $x\in S$有 ${\Vert xf-f\Vert }_1\le \epsilon$成立，其中S是G中的有限子集。对于 $t\ge 0$，设 $E_t$为引理1.4.2中所提，则对任意 $x\in S$，

$x{E}_t=\left\{xg\in G|f\left(g\right)\ge t\right\}=\left\{y\in G|f\left(x^{-1}y\right)\ge t\right\}=\left\{y\in G|\left(xf\right)\left(y\right)\ge t\right\}.$

由引理4.2可知，对 $\forall x\in S$，有 ${\Vert xf-f\Vert }_1={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\#}\left(E_t△x{E}_t\right)\text{d}t$和 ${\Vert f\Vert }_1={\displaystyle {\int }_0^{\infty }\#}\left(E_t\right)\text{d}t=1$。即有

${\displaystyle {\int }_0^{\infty }\#}\left(E_t△x{E}_t\right)\text{d}t\le \epsilon \cdot {\displaystyle {\int }_0^{\infty }\#}\left(E_t\right)\text{d}t.$

因此存在某个 $t\ge 0$使得 $\#\left(E_t△x{E}_t\right)\le \epsilon \cdot \#\left(E_t\right)$。故有 $\frac{\#\left(E_t△x{E}_t\right)}{\#\left(E_t\right)}\le \epsilon$。再由定理3.2可知G是顺从群。

反之，若G是顺从群。则通过定理2.1的证明过程可知G满足Reiter性质。

6. 几乎不变向量与顺从性

本节主要论述几乎不变向量与群顺从性之间的关系。关于几乎不变向量有以下两种等价定义[15]。

定义5.1给定H是一个希尔伯特空间，G为可数离散群，并且令 $\pi :G\to U\left(H\right)$是G上的一个酉表示。若存在一个单位序列 ${\xi }_i$使得对 $\forall g\in G$，有

$\Vert \pi \left(g\right){\xi }_i-{\xi }_i\Vert \to 0,$

则称 $\pi$有一个几乎不变向量。

定义5.2给定H是一个希尔伯特空间，G为可数离散群，若对每一个紧(有限)子集 $F\subseteq G$以及任意 $\epsilon >0$，存在一个单位向量 $\xi \in H$使得对 $\forall g\in F$,有

$\Vert \pi \left(g\right)\xi -\xi \Vert \le \epsilon ,$

则称 $\pi$几乎具有不变向量。

定理5.3一个可数离散群G是顺从群当且仅当它的左正则表示具有一个几乎不变向量。

证明假设G是顺从群。由定理2.3令 $F_i$是一个Følner序列。定义 ${\xi }_i$如下：

${\xi }_i\left(g\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{\#F_i}}\hfill & g\in F_i,\hfill \\ 0\hfill & 其他.\hfill \end{array}$

则有

${\Vert {\xi }_i\Vert }^2={\displaystyle \underset{g\in F_i}{\sum }{\left(\frac{1}{\sqrt{\#F_i}}\right)}^2}=1.$

因此

${\Vert \lambda \left(g\right){\xi }_i-{\xi }_i\Vert }^2={\displaystyle \underset{h\in G}{\sum }{\left|\left(\lambda \left(g\right){\xi }_i-{\xi }_i\right)\left(h\right)\right|}^2}={\displaystyle \underset{h\in G}{\sum }{\left|{\xi }_i\left(g^{-1}h\right)-{\xi }_i\left(h\right)\right|}^2}=\frac{\#\left(g{F}_i△F_i\right)}{\#F_i}\to 0.$

故 $\lambda$有一个几乎不变向量。

反之，假设 $\lambda$有一个几乎不变向量，并且 ${\xi }_i\in l^2\left(G\right)$范数为1。则

$\Vert \lambda \left(g\right){\xi }_i-{\xi }_i\Vert \to 0.$

定义 ${\mu }_i={\xi }_i^2\in l^1\left(G\right)$，则根据Cauchy-Schwarz不等式得

$\begin{array}{c}{\Vert g{\mu }_i-{\mu }_i\Vert }_1={\displaystyle \underset{t\in G}{\sum }\left|{\mu }_i\left(g^{-1}t\right)-{\mu }_i\left(t\right)\right|}={\displaystyle \underset{t\in G}{\sum }\left|{\xi }_i^2\left(g^{-1}t\right)-{\xi }_i^2\left(t\right)\right|}\\ ={\displaystyle \underset{t\in G}{\sum }\left|\left({\xi }_i\left(g^{-1}t\right)-{\xi }_i\left(t\right)\right)\cdot \left({\xi }_i\left(g^{-1}t\right)+{\xi }_i\left(t\right)\right)\right|}\\ \le {\left({\displaystyle \underset{t\in G}{\sum }{\left|{\xi }_i\left(g^{-1}t\right)-{\xi }_i\left(t\right)\right|}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\cdot {\left({\displaystyle \underset{t\in G}{\sum }{\left|{\xi }_i\left(g^{-1}t\right)+{\xi }_i\left(t\right)\right|}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\\ ={\Vert \lambda \left(g\right){\xi }_i-{\xi }_i\Vert }_2\cdot {\left({\displaystyle \underset{t\in G}{\sum }{\left|{\xi }_i\left(g^{-1}t\right)+{\xi }_i\left(t\right)\right|}^2}\right)}^{\frac{1}{2}}\\ \le 2\Vert {\xi }_i\Vert \cdot \Vert \lambda \left(g\right){\xi }_i-{\xi }_i\Vert \to 0.\end{array}$

因此G满足Reiter性质，再由定理4.3可知G是顺从群。

7. 总结

基于可数离散群的顺从性的分析和论述，则可得到定理6.1。

定理6.1令G是一个可数离散群，则下列命题等价：

1)G是顺从群；

2) $l^2\left(G\right)$上存在一个单位向量序列 $\left\{{\xi }_n\right\}$，使得其相对应的正定函数 $g\mapsto \langle {\xi }_n,\lambda \left(g\right){\xi }_n\rangle$点点趋向于1；

3)G有一个Følner序列；

4)G满足Reiter性质；

5)G的左正则表示有一个几乎不变向量。

下面给出上述命题之间的关系图，如图1所示。

本文主要选择了可数离散群，对于一般的拓扑群并未分析。后面将继续深入研究顺从群与由它所生成的群 $C^{*}$-代数之间的关系，如 $C^{*}\left(G\right)$、 $C_r^{*}\left(G\right)$以及核 $C^{*}$-代数，以期待将顺从性的等价刻画更将系统完备。

Figure1.Relation diagram of equivalent conditions of the amenability for countable discrete groups

图1.可数离散群满足顺从性的等价条件关系图

基金项目

陕西省教育厅教育教学改革研究课题一般项目(23BY211)。

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