1. 引言

本文拟讨论方程组

$\{\begin{array}{ll}\det D^2{u}_1=f_1\left(-u_1\left(x\right),-u_2\left(x\right)\right),\hfill & x\in B,\hfill \\ \det D^2{u}_2=f_2\left(-u_1\left(x\right),-u_2\left(x\right)\right),\hfill & x\in B,\hfill \\ u_1\left(x\right)<0,u_2<0,\hfill & x\in B,\hfill \\ u_1\left(x\right)=u_2\left(x\right)=0,\hfill & x\in \partial B\hfill \end{array}$ (1)

负径向解的存在性，利用Krasnosel’skii-Precup不动点定理给出其负径向解存在的充分条件，其中 $B=\left\{x\in R^N:\left|x\right|<1\right\}$ ， $\partial B$ 是B的边界， $\det D^{2}u$ 表示Monge-Ampère算子，它等于u的Hessian矩阵的行列式， $f_i$ 满足

(H) $f_1,f_2:R_{+}^2\to R_{+}$ 是连续不减的 $\left(R_{+}=\left[0,+\infty \right)\right)$ 。

20世纪以来，随着科学技术的发展，出现了许多新型的偏微分方程，如椭圆型方程、双曲线型方程和抛物线方程等，这些偏微分方程求解问题都可以转化为求相应常微分方程的解或研究解的性质的问题。Monge-Ampère方程最早由法国数学家Gaspard Monge提出，他在1784年研究曲面理论和几何光学时引入了这种方程。法国物理学家和数学家André-Marie Ampère在1820年代对这些方程进行了进一步的研究，特别是与力学和物理问题相关的部分，方程因此得名“Monge-Ampère方程”。Monge-Ampère方程的发展与众多数学领域密切相关。无论是在纯数学研究中，还是在应用数学和实际问题中，Monge-Ampère方程都展示了其强大的分析和描述能力。其丰富的数学结构和广泛的应用背景，使其成为现代数学研究中的一个重要课题，自1988年Kutev [1]的工作之后，Monge-Ampère相关问题的解的存在性问题一直是众多学者关注的热点话题[2]-[8]。例如，Liang和Chu [2]通过Krasnosel’skii不动点定理讨论了Monge-Ampère方程

$\{\begin{array}{ll}\det D^{2}u=f\left(-u\left(x\right)\right),\hfill & x\in B,\hfill \\ u\left(x\right)=0,\hfill & x\in \partial B\hfill \end{array}$

对称径向凸解的存在性。Lazer和McKenna [3]运用上下解方法讨论了当 $\det D^{2}u=h\left(x\right){\left(-u\right)}^p$ 时，上述问题负凸解的存在性及唯一性。随后，Feng [4]运用相同方法讨论了Monge-Ampère系统

$\{\begin{array}{ll}\text{det}{D}^2{u}_1=\lambda h_1\left(\left|x\right|\right)f_1\left(-u_2\left(x\right)\right),\hfill & x\in B,\hfill \\ \text{det}{D}^2{u}_2=\lambda h_2\left(\left|x\right|\right)f_2\left(-u_1\left(x\right)\right),\hfill & x\in B,\hfill \\ u_1\left(x\right)=u_2\left(x\right)=0,\hfill & x\in \partial B\hfill \end{array}$ (2)

径向凸解的存在性，多重性及不存在性，其中 $\lambda >0$ ，权函数 $h_i\in C\left(B\right)$ 。上述文献是在单位球域中讨论了方程的相关解，Zhang [5]在 $R^N$ 中的光滑有界严格凸域上讨论了当(2)中的 $\lambda =1,h_i\equiv 1$ 且 $f_1\left(-u_2\left(x\right)\right)={\left(-u_2\left(x\right)\right)}^{\alpha },f_2\left(-u_1\left(x\right)\right)={\left(-u_1\left(x\right)\right)}^{\beta }\left(\alpha ,\beta >0\right)$ 时径向凸解的存在性，唯一性及不存在性。

在研究Monge-Ampère方程解的相关性质时，大部分文献使用的工具是Krasnosel’skii不动点定理，它是非线性分析中证明不同类型边值问题解的存在性的主要工具。对方程组而言，通过Krasnosel’skii定理获得的不动点 $u=\left(u_1,u_2,\cdots ,u_n\right)$ 满足 $\Vert u\Vert >0$ ，但这并不能保证每个分量 $u_i\ne 0\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$ ，即不能保证不动点的所有分量都是非平凡的[9]，这一事实促使Precup建立了向量形式的Krasnosel’skii不动点定理[10]，此定理保证了不动点的所有分量都是非平凡的。2022年，Jorge Rodrígurz-López [11]将Krasnosel’skii-Precup不动点定理定义在不同于 ${\bar{K}}_{r,R}$ 的域上，扩大了Krasnosel’skii-Precup不动点定理的适用范围。受上述文献启发，本文利用Krasnosel’skii-Precup不动点定理讨论系统(1)非平凡负径向解存在的充分条件。

2. 预备知识

令 $r=\left|x\right|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}$ 。

为了求解(1)，取 $u_i\left(\left|x\right|\right)=u_i\left(r\right)\left(i=1,2\right)$ 将其转化为如下问题

$\{\begin{array}{ll}{\left({\left({u^{\prime }}_1\left(r\right)\right)}^N\right)}^{\prime }=N{r}^{N-1}{f}_1\left(-u_1\left(r\right),-u_2\left(r\right)\right),\hfill & 0<r<1,\hfill \\ {\left({\left({u^{\prime }}_2\left(r\right)\right)}^N\right)}^{\prime }=N{r}^{N-1}{f}_2\left(-u_1\left(r\right),-u_2\left(r\right)\right),\hfill & 0<r<1,\hfill \\ u_1(r)<0,u_2\left(r\right)<0,\hfill & 0\le r<1,\hfill \\ {u^{\prime }}_1\left(0\right)={u^{\prime }}_2\left(0\right),u_1\left(1\right)=u_2\left(1\right)=0,\hfill & \hfill \end{array}$ (3)

令 $v_1\left(r\right)-u_1\left(r\right),v_2\left(r\right)=-u_2\left(r\right)$ 。则(3)等价于

$\{\begin{array}{ll}{\left({\left(-{v^{\prime }}_1\left(r\right)\right)}^N\right)}^{\prime }=N{r}^{N-1}{f}_1\left(v_1\left(r\right),v_2\left(r\right)\right),\hfill & 0<r<1,\hfill \\ {\left({\left(-{v^{\prime }}_2\left(r\right)\right)}^N\right)}^{\prime }=N{r}^{N-1}{f}_2\left(v_1\left(r\right),v_2\left(r\right)\right),\hfill & 0<r<1,\hfill \\ v_1\left(r\right)>0,v_2\left(r\right)>0,\hfill & 0\le r<1,\hfill \\ {v^{\prime }}_1\left(0\right)={v^{\prime }}_2\left(0\right),v_1\left(1\right)=v_2\left(1\right)=0,\hfill & \hfill \end{array}$ (4)

那么问题(1)的负径向解等价于问题(4)的正解。

引理2.1 [7] 令 $v\in C^1\left[0,1\right]$ 满足 $v\left(r\right)\ge 0,r\in \left[0,1\right]$ 。假设 $v^{\prime }\left(r\right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上是不增的。那么

$v\left(r\right)\ge \min \left\{r,1-r\right\}\Vert v\Vert ,r\in \left[0,1\right],$

此处 $\Vert v\Vert =\underset{r\in \left[0,1\right]}{\sup }v\left(r\right)$ 。特别地

$\underset{\frac{1}{4}\le r\le \frac{3}{4}}{\min }v\left(r\right)\ge \frac{1}{4}\Vert v\Vert$ 。

定义

$K_i=\left\{v_i\in C\left[0,1\right]:v_i\left(r\right)\ge 0,r\in \left[0,1\right],\underset{\frac{1}{4}\le r\le \frac{3}{4}}{\min }{v}_i\left(r\right)\ge \frac{1}{4}\Vert v_i\Vert \right\}\left(i=1,2\right)$ 。

令 $K=K_1\times K_2$ 。对于 $v=\left(v_1,v_2\right)\in K$ ，定义

$T_i\left(v\right)\left(r\right)={\displaystyle {\int }_r^1{\left({\displaystyle {\int }_0^{s}N{\tau }^{N-1}{f}_i\left(v_1\left(\tau \right),v_2\left(\tau \right)\right)\text{d}\tau }\right)}^{\frac{1}{N}}\text{d}s}\left(i=1,2,r\in \left[0,1\right]\right)$ (5)

令 $T=\left(T_1,T_2\right)$ 。显然T是全连续的且容易验证(4)等价于不动点方程

$T\left(v_1,v_2\right)=v=\left(v_1,v_2\right)$ 。

因此，如果 $v=\left(v_1,v_2\right)\in K$ 是T的不动点，那么 $-v=\left(-v_1,-v_2\right)$ 是(1)的一个负径向解。

对于 $r,R\in R_{+}^2,r=\left(r_1,r_2\right),R=\left(R_1,R_2\right),0<r_i<R_i,\phi =\left({\phi }_1,{\phi }_2\right)\left(i=1,2\right)$ ，考虑下列集合

$K_{r,R}^{\phi }=\left\{v=\left(v_1,v_2\right)\in K:r_i<{\phi }_i\left(v_i\right),\Vert v_i\Vert <R_i,i=1,2\right\}$ ；

${\bar{K}}_{r,R}^{\phi }=\left\{v=\left(v_1,v_2\right)\in K:r_i\le {\phi }_i\left(v_i\right),\Vert v_i\Vert \le R_i,i=1,2\right\}$ ；

其中 ${\phi }_i:K_i\to R_{+}$ 是锥 $K_i$ 上的凹函数满足

${\phi }_i\left(\lambda u+\left(1-\lambda \right)v\right)\ge \lambda {\phi }_i\left(u\right)+\left(1-\lambda \right){\phi }_i\left(v\right)\left(u,v\in K_i,\lambda \in \left[0,1\right]\right)$ 。

注意到 ${\bar{K}}_{r,R}^{\phi }$ 是一个凸闭集，集合 ${\bar{K}}_{r,R}^{\phi }$ 是K的收缩核(Dugundji扩张定理[12])。在 ${\bar{K}}_{r,R}^{\phi }$ 中引入如下不动点定理。

引理2.2 [11] 假设存在连续凹函数 ${\phi }_i:K_i\to R_{+}$ 使得 ${\phi }_i\left(v_i\right)\le \Vert v_i\Vert ,v_i\in K_i\left(i=1,2\right)$ 。集合 $K_{r,R}^{\phi }$ 是非空的， $T=\left(T_1,T_2\right)\in {\bar{K}}_{r,R}^{\phi }\to K$ 是紧算子，则对于每个 $i\in \left(1,2\right)$ 存在 $h_i\in K_i\backslash \left\{0\right\}$ 使得下列条件之一在 ${\bar{K}}_{r,R}^{\phi }$ 中成立：

(a) 若 ${\phi }_i\left(v_i\right)=r_i$ 且 $\mu \ge 0$ ，则 $T_i\left(v\right)+\mu h_i\ne v_i$ ；若 $\Vert v_i\Vert =R_i$ 且 $\lambda \ge 1$ ，则 $T_i\left(v\right)\ne \lambda v_i$ ；

(b) 若 ${\phi }_i\left(v_i\right)=r_i$ 且 $\lambda \ge 1$ ，则 $T_i\left(v\right)\ne \lambda v_i$ ；若 $\Vert v_i\Vert =R_i$ 且 $\mu \ge 0$ ，则 $T_i\left(v\right)+\mu h_i\ne v_i$ 。

那么 $T=\left(T_1,T_2\right)$ 至少有一个不动点 $v=\left(v_1,v_2\right)\in K$ 满足 $r_i<{\phi }_i\left(v_i\right)$ 且 $\Vert v_i\Vert <R_i\left(i=1,2\right)$ 。

3. 主要结果

接下来，我们给出一个 $T=\left(T_1,T_2\right)$ 在K上不动点存在的充分条件。

定理3.1 假设(H)成立且存在 ${\alpha }_i,{\beta }_i>0$ 满足 $4{\beta }_i<{\alpha }_i,i=1,2$ 。若

$f_i\left({\beta }_1,{\beta }_2\right)>\frac{2^{4N-1}{\beta }_i^N}{N},f_i\left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right)<\frac{{\alpha }_i^N}{N}\left(i=1,2\right)$ (6)

则(4)至少存在一个正解 $v=\left(v_1,v_2\right)\in K$ 满足 $r_i<{\phi }_i\left(v_i\right)$ 且 $\Vert v_i\Vert <R_i\left(i=1,2\right)$ 。

证明 考虑(5)式定义的算子 $T=\left(T_1,T_2\right):{\bar{K}}_{r,R}^{\phi }\to K$ ，且 $r_i={\beta }_i,R_i={\alpha }_i\left(i=1,2\right)$ 。定义 $K_i$ 上的凹函数 ${\phi }_i:K_i\to R_{+}$ 如下

${\phi }_i\left(v_i\right)=\underset{r\in \left[\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right]}{\min }{v}_i\left(r\right),i=1,2$ (7)

首先，固定 $i\in \left\{1,2\right\}$ ，令 $v=\left(v_1,v_2\right)\in {\bar{K}}_{r,R}^{\phi }$ ，其中 ${\phi }_i\left(v_i\right)=r_i$ 。结合(7)，对于所有的 $r\in \left[\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right]$ ，都有 $\left(v_1\left(r\right),v_2\left(r\right)\right)\ge \left(r_1,r_2\right)$ ，再由假设(H)，得到 $f_i\left(v_1\left(r\right),v_2\left(r\right)\right)\ge f_i\left(r_1,r_2\right)$ 。结合(6)，对于任意的 $r\in \left[\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right]$ 有

$\begin{array}{c}{T}_i\left(v\right)\left(r\right)={\displaystyle {\int }_r^1{\left({\displaystyle {\int }_0^{s}N{\tau }^{N-1}{f}_i}\left(v_1\left(r\right),v_2\left(r\right)\right)\text{d}\tau \right)}^{\frac{1}{N}}}\text{d}s\\ \ge {\displaystyle {\int }_{\frac{3}{4}}^1{\left({\displaystyle {\int }_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}N{\tau }^{N-1}{f}_i}\left(v_1\left(r\right),v_2\left(r\right)\right)\text{d}\tau \right)}^{\frac{1}{N}}}\text{d}s\\ \ge {\displaystyle {\int }_{\frac{3}{4}}^1{\left({\displaystyle {\int }_{\frac{1}{4}}^{\frac{3}{4}}N{\tau }^{N-1}{f}_i}\left(r_1,r_2\right)\text{d}\tau \right)}^{\frac{1}{N}}}\text{d}s\\ \ge {\displaystyle {\int }_{\frac{3}{4}}^1{\left(\frac{1}{2}N{\left(\frac{1}{4}\right)}^{N-1}{f}_i\left(r_1,r_2\right)\right)}^{\frac{1}{N}}}\text{d}s\\ \ge \frac{1}{4}{\left(\frac{1}{2}N{\left(\frac{1}{4}\right)}^{N-1}{f}_i\left(r_1,r_2\right)\right)}^{\frac{1}{N}}\end{array}$

显然，若 $v\in {\bar{K}}_{r,R}^{\phi }$ ， ${\phi }_i\left(v_i\right)=r_i$ ， $\mu \ge 0$ ，取 $h_i\equiv 1$ ，则 $T_i\left(v\right)+\mu h_i\ne v_i$ 。

假设， $\lambda \ge 1$ ， $v\in {\bar{K}}_{r,R}^{\phi }$ 且 $\Vert v_i\Vert =R_i\left(i=1,2\right)$ ，由假设(H)，得到 $f_i\left(v_1\left(r\right),v_2\left(r\right)\right)\le f_i\left(R_1,R_2\right)$ ， $r\in \left[0,1\right]$ 。结合(6)，可以得到

$\begin{array}{c}{T}_i\left(v\right)\left(r\right)={\displaystyle {\int }_r^1{\left({\displaystyle {\int }_0^{s}N{\tau }^{N-1}{f}_i}\left(v_1\left(r\right),v_2\left(r\right)\right)\text{d}\tau \right)}^{\frac{1}{N}}}\text{d}s\\ \le {\displaystyle {\int }_r^1{\left({\displaystyle {\int }_0^{s}N{\tau }^{N-1}{f}_i}\left(R_1,R_2\right)\text{d}\tau \right)}^{\frac{1}{N}}}\text{d}s\\ \le {\displaystyle {\int }_r^1{\left(N{s}^N{f}_i\left(R_1,R_2\right)\right)}^{\frac{1}{N}}}\text{d}s\\ \le {\left(N{f}_i\left(R_1,R_2\right)\right)}^{\frac{1}{N}}\\ \le R_i\\ \le \Vert \lambda v_i\Vert \end{array}$

故 $T_i\ne \lambda v_i$ ，这满足引理2.2的条件(a)，由此可知系统(4)至少存在一个正解 $v=\left(v_1,v_2\right)\in K$ 满足 $r_i<{\phi }_i\left(v_i\right)$ 且 $\Vert v_i\Vert <R_i\left(i=1,2\right)$ 。

上述定理是在 $T_1,T_2$ 都为压缩型算子的情形下成立的，还需注意 $T_1,T_2$ 分别为压缩—拉伸型，或都为拉伸型的情形。

定理3.2 假设(H)成立且存在 ${\alpha }_i,{\beta }_i>0$ 满足 $4{\beta }_1<{\alpha }_1$ ， ${\alpha }_2<{\beta }_2$ 。若

$f_1\left({\beta }_1,\frac{1}{4}{\alpha }_2\right)>\frac{2^{4N-1}{\beta }_1^N}{N},f_1\left({\alpha }_1,4{\beta }_2\right)<\frac{{\alpha }_1^N}{N},$

$f_2\left({\beta }_1,{\beta }_2\right)>\frac{2^{4N-1}{\beta }_2^N}{N},f_2\left({\alpha }_1,{\alpha }_2\right)<\frac{{\alpha }_2^N}{N},$

则 $T=\left(T_1,T_2\right)$ 在 $\left({\bar{U}}_1\backslash V_1\right)\times \left({\bar{U}}_2\backslash V_2\right)$ 中至少有一个不动点，其中

$V_1=\left\{v_1\in K_1:{\phi }_1\left(v_1\right)<{\beta }_1\right\},U_1=\left\{v_1\in K_1:{\Vert v_1\Vert }_{\infty }<{\alpha }_1\right\},$

$V_2=\left\{v_2\in K_2:{\Vert v_2\Vert }_{\infty }<{\alpha }_2\right\},U_2=\left\{v_2\in K_2:{\phi }_2\left(v_2\right)<{\beta }_2\right\}.$

证明 上述定理中T₁是压缩型算子，由定理3.1的证明可得T₁满足引理2.2的条件(a)，而T₂是拉伸型算子，类似地，可证T₂满足引理2.2条件(b)。

定理 3.3 假设(H)成立且存在 ${\alpha }_i,{\beta }_i>0$ 满足 ${\alpha }_i<{\beta }_i,i=1,2$ 。若

$f_1\left({\beta }_1,\frac{1}{4}{\alpha }_2\right)>\frac{2^{4N-1}{\beta }_1^N}{N},f_1\left({\alpha }_1,4{\beta }_2\right)<\frac{{\alpha }_1^N}{N},$

$f_2\left(\frac{1}{4}{\alpha }_1,{\beta }_2\right)>\frac{2^{4N-1}{\beta }_2^N}{N},f_2\left(4{\beta }_1,{\alpha }_2\right)<\frac{{\alpha }_2^N}{N},$

则 $T=\left(T_1,T_2\right)$ 在 $\left({\bar{U}}_1\backslash V_1\right)\times \left({\bar{U}}_2\backslash V_2\right)$ 中至少有一个不动点，其中

$V_i=\left\{v_i\in K_i:{\Vert v_i\Vert }_{\infty }<{\alpha }_i\right\},U_i=\left\{v_i\in K_i:{\phi }_i(v_i)<{\beta }_i\right\}\left(i=1,2\right).$

上述定理是在T₁，T₂都为 $\left({\bar{U}}_1\backslash V_1\right)\times \left({\bar{U}}_2\backslash V_2\right)$ 上的拉伸型算子的情形下成立的。证明过程类似于定理3.2。

注 若有 $0\in V_i\subset {\bar{V}}_i\subset U_i$ ， $U_i$ ， $V_i$ 是 $K_i$ 中的有界相对开集，且 ${\bar{U}}_i\backslash V_i$ 是 ${\bar{U}}_i$ 的收缩核，则定理3.1~3.3在满足上述条件的集合 $\left({\bar{U}}_1\backslash V_1\right)\times \left({\bar{U}}_2\backslash V_2\right)$ 中也是成立的。

基金项目

在本研究的完成过程中，特别感谢西北师范大学研究生科研资助项目(2023KYZZ-S118)对本研究项目的资助与支持。国家自然科学基金资助项目(11961060)。

参考文献