1. 引言

在实际应用中，力学系统的Lagrange函数不仅高度非线性，常常还具有高度复杂性，奇异Lagrange函数即是其中一种。奇异Lagrange函数指对广义速度$u^i$ 的二阶偏导的Hesse矩阵是退化的，故导致由Lagrange系统过渡到Hamilton系统时会出现广义动量$p_i$ 之间的约束条件，进而成为约束Hamilton系统。

目前对奇异力学系统的研究，已取得大量成果，尤其针对约束Hamilton系统，Dirac-Bergmann算法理论已相当成熟，并且其对称性与守恒量研究已解决量子化的许多问题。通过引入Lagrange乘子，Hamilton正则方程得以修正，再进一步以共轭变量的关系反推出奇异力学系统的部分解[1]。而对于一般非量子的奇异力学系统，目前仍少有人探究，以至于系统的大部分区域长期处在未知状态。

本文基于奇异力学系统的本身进行研究，不回避任何奇异性质，旨在将其所具有的微妙特性呈现出来。在讨论奇异Hesse矩阵时，只考虑自治系统的Lagrange函数，这样能更方便去处理Hesse矩阵本身，而略去无关项；在研究作用量的二阶变分时，则考虑非自治系统，因为这样更具有普适性。文中凡涉及指标i，j的，取值皆分别是$1,2,\cdots ,n$ ，且推导使用Einstein求和约定。

2. 奇异Hesse矩阵与解的关系

奇异力学系统中的Hesse矩阵对于方程而言具有深刻的数学意义，传统的求解方式是“间接”地通过共轭变量的关系进行的，然而只能求解出部分的广义速度，是“局部”求解。这里将从另一个角度进行全局考虑，进行“整体”求解而非局部。

设M为正规Lagrange系统的位形空间流形，且$\dim \text{M}=n$ ，则Lagrange函数$\dim \text{M}=nL=L\left(q^i,u^i\right)$ ，是速度相空间TM上的实值函数，即$\text{TM}\to ℝ$ ，且$\dim \text{TM}=2n$ 。流形M上有由局部坐标系$\left(\text{U},\phi ;q^1,q^2,\cdots ,q^n,u^1,u^2,\cdots ,u^n\right)$ 诱导出的切坐标系，我们任取切丛TM上的一个切坐标系$\left(\text{TU},{\phi }_{\ast };q^1,q^2,\cdots ,q^n,u^1,u^2,\cdots ,u^n\right)$ ，其中${\phi }_{\ast }$ 为切映射。在此切坐标系上即可将Euler-Lagrange方程的二阶常微分形式展开为2n个一阶常微分方程：

$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}{q}^i=u^i\\ \frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial u^i}=\frac{\partial L}{\partial q^i}\end{array}$ (2.1)

此方程组同时在TM上定义了Lagrange向量场。现对$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial u^i}$ 进行展开，有：

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial u^i}=\frac{\partial L}{\partial u^i}\left(\frac{\partial L}{\partial q^i}{\dot{q}}^j+\frac{\partial L}{\partial u^i}{\dot{u}}^j\right)=\frac{{\partial }^{2}L}{\partial q^i\partial u^j}{\dot{q}}^j+\frac{{\partial }^{2}L}{\partial u^i\partial u^j}{\dot{u}}^j$ (2.2)

从而得到方程组的矩阵形式：

$\left[\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{ccc}1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 1\end{array}\right]& 0\\ \left[\begin{array}{ccc}{L}_{u^1{q}^1}& \cdots & L_{u^1{q}^n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ L_{u^n{q}^1}& \cdots & L_{u^n{q}^n}\end{array}\right]& \left[\begin{array}{ccc}{L}_{u^1{u}^1}& \cdots & L_{u^1{u}^n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ L_{u^n{u}^1}& \cdots & L_{u^n{u}^n}\end{array}\right]\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\dot{q}}^1\\ ⋮\\ {\dot{q}}^n\\ {\dot{u}}^1\\ ⋮\\ {\dot{u}}^n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{u}^1\\ ⋮\\ u^n\\ L_{q^1}\\ ⋮\\ L_{q^n}\end{array}\right]$ (2.3)

记等号左侧第一个矩阵(含方块矩阵$L_{u^i{u}^j}$ )为A，将A移项，可得到方程的以下形式：

$\left[\begin{array}{c}{\dot{q}}^1\\ ⋮\\ {\dot{q}}^n\\ {\dot{u}}^1\\ ⋮\\ {\dot{u}}^n\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{ccc}1& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 1\end{array}\right]& 0\\ \left[\begin{array}{ccc}{L}_{u^1{q}^1}& \cdots & L_{u^1{q}^n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ L_{u^n{q}^1}& \cdots & L_{u^n{q}^n}\end{array}\right]& \left[\begin{array}{ccc}{L}_{u^1{u}^1}& \cdots & L_{u^1{u}^n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ L_{u^n{u}^1}& \cdots & L_{u^n{u}^n}\end{array}\right]\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}{u}^1\\ ⋮\\ u^n\\ L_{q^1}\\ ⋮\\ L_{q^n}\end{array}\right]$ (2.4)

其中$L_{q^i}=\frac{\partial L}{\partial q^i}$ ，$L_{u^i{q}^j}=\frac{{\partial }^{2}L}{\partial u^i\partial q^j}$ ，$L_{u^i{u}^j}=\frac{{\partial }^{2}L}{\partial u^i\partial u^j}$ ，由于${\dot{q}}^i=u^i$ ，故方程最终化为求解${\dot{u}}^i$ 即广义加速度的问题。可见，矩阵A的行列式就等于矩阵块$L_{u^i{u}^j}$ 的行列式，即$\det \left|A\right|=\det \left|\frac{{\partial }^{2}L}{\partial u^i\partial u^j}\right|$ ，若$\det \left|\frac{{\partial }^{2}L}{\partial u^i\partial u^j}\right|\ne 0$ ，则(2.4)式成立，那么所定义的Lagrange向量场在切坐标系下的表达式是存在的。记Hesse矩阵$L_{u^i{u}^j}={\left[\frac{{\partial }^{2}L}{\partial u^i\partial u^j}\right]}_{n\times n}$ 为$H_{ij}$ ，那么我们所研究的奇异力学系统即是$\det \left|\frac{{\partial }^{2}L}{\partial u^i\partial u^j}\right|=0$ 的情况，也就是A不可逆，故(2.4)式不成立。

由(2.4)式转为微分方程形式：

$H_{ij}{\dot{u}}^j=\frac{\partial L}{\partial q^i}-\frac{{\partial }^{2}L}{\partial q^j\partial u^i}{u}^j$ (2.5)

由(2.2)式可得：

$\frac{{\partial }^{2}L}{\partial q^j\partial u^i}{u}^j=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial u^i}-H_{ij}{\dot{u}}^j$ (2.6)

将(2.5)式变形后代入上式，有：

$\frac{\partial L}{\partial q^i}-H_{ij}{\dot{u}}^j=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\frac{\partial L}{\partial u^i}-H_{ij}{\dot{u}}^j$ (2.7)

则(2.7)式证明了(2.5)式恒成立，且Euler-Lagrange方程无论力学系统是否奇异都是存在的，无关乎$H_{ij}$ 是否可逆。(2.5)式既然恒成立，那么应该是有解而非“无解”的，但局限于理论而不可常规求解。所以，Hesse矩阵的奇异性与解的存在性无必然联系。我们可立足于奇异力学系统的本身，不必借助与约束Hamilton系统中的共轭关系进行间接求解，而从系统自身条件去直接求解。

3. 奇异Hesse矩阵的广义逆求解

考虑(2.5)式中$\frac{\partial L}{\partial q^i}-\frac{{\partial }^{2}L}{\partial q^j\partial u^i}{u}^j$ 的量纲组成，其中$\frac{\partial L}{\partial q^i}$ 是所谓“广义力”，与广义动量随时间变化率的量纲相同，具有向量性质；而$\frac{{\partial }^{2}L}{\partial q^j\partial u^i}$ 则是一个线性变换所表示的二阶混合矩阵，$u^j$ 为广义速度，同样具有向量性质，那么$\frac{{\partial }^{2}L}{\partial q^j\partial u^i}{u}^j$ 则是向量的数乘，仍为向量。所以$\frac{\partial L}{\partial q^i}-\frac{{\partial }^{2}L}{\partial q^j\partial u^i}{u}^j$ 为向量之间运算，结果仍为一向量，记作K。同理，(2.5)式中$H_{ij}{\dot{u}}^j$ 是向量的数乘，仍为向量。由于等号两边量纲一致，故可将(2.5)式看为一个线性方程组，即$H_{ij}{\dot{u}}^j=K$ ，$H_{ij}$ 则是一个线性映射的表示矩阵，${\dot{u}}^j$ 为一列向量。

由于奇异力学系统的$H_{ij}$ 不满秩，现假设矩阵的第$\alpha$ 列到第$\beta$ 列的列向量(含第$\alpha$ 、$\beta$ 列)共有s列，是与第$\lambda$ 列的列向量是线性相关的，即$\beta -\alpha +1=s$ ，$1\le \lambda <\alpha <\beta \le n$ ，因此从第$\alpha$ 列到第$\beta$ 列共s列的列向量都可由第$\lambda$ 列线性表示。

$H_{ij}=L_{u^i{u}^j}=\left[\begin{array}{ccccccccc}{L}_{u^1{u}^1}& \cdots & L_{u^1{u}^{\lambda }}& \cdots & L_{u^1{u}^{\alpha }}& \cdots & L_{u^1{u}^{\beta }}& \cdots & L_{u^1{u}^n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ L_{u^n{u}^1}& \cdots & L_{u^n{u}^{\lambda }}& \cdots & L_{u^n{u}^{\alpha }}& \cdots & L_{u^n{u}^{\beta }}& \cdots & L_{u^n{u}^n}\end{array}\right]$ (3.1)

将上式写成列向量组的形式，有：

$H_{ij}=\left(a_1\cdots a_{\lambda }\cdots a_{\alpha }\cdots a_{\beta }\cdots a_n\right)$ (3.2)

其中$H_{ij}$ 的每个元素$L_{u^i{u}^j}\in ℝ$ ，则可对矩阵进行初等行、列变换，记为$f_1\cdots f_l$ ，从而得到$H_{ij}$ 的行最简型，将这样的行最简型记为：

$H_{ij}=\left[\begin{array}{ccccccccc}{\sigma }_1^1& \cdots & {\sigma }_1^{\lambda }& \cdots & {\sigma }_1^{\alpha }& \cdots & {\sigma }_1^{\beta }& \cdots & {\sigma }_1^n\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ {\sigma }_n^1& \cdots & {\sigma }_n^{\lambda }& \cdots & {\sigma }_n^{\alpha }& \cdots & {\sigma }_n^{\beta }& \cdots & {\sigma }_n^n\end{array}\right]$ (3.3)

根据(3.3)式可看出，$\text{rank}\left(H_{ij}\right)=r>0$ ，又因$\left(a_1\cdots a_{\lambda }\cdots a_{\alpha }^o\cdots a_{\beta }^o\cdots a_n\right)$ 为列向量组的最大线性无关组($a_{\alpha }^o\cdots a_{\beta }^o$ 表示去掉这些列)，那么(3.2)式中的列向量都可以由这个最大线性无关组表示：

$\left(a_1\cdots a_{\lambda }\cdots a_{\alpha }\cdots a_{\beta }\cdots a_n\right)=\left(a_1\cdots a_{\lambda }\cdots a_{\alpha }^o\cdots a_{\beta }^o\cdots a_n\right)\left[\begin{array}{ccccccccc}1& \cdots & 0& \cdots & x_1^{\alpha }& \cdots & x_1^{\beta }& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 1& \cdots & x_{\lambda }^{\alpha }& \cdots & x_{\lambda }^{\beta }& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& \cdots & x_n^{\alpha }& \cdots & x_n^{\beta }& \cdots & 1\end{array}\right]$ (3.4)

其中$x_1^{\alpha \cdots \beta }\cdots x_{\lambda }^{\alpha \cdots \beta }\cdots x_n^{\alpha \cdots \beta }$ 即为关于最大线性无关组的系数，有：

$\left(a_1\cdots a_{\lambda }\cdots a_{\alpha }^o\cdots a_{\beta }^o\cdots a_n\right)\left(\begin{array}{ccc}{x}_1^{\alpha }& \cdots & x_1^{\beta }\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{\lambda }^{\alpha }& \cdots & x_{\lambda }^{\beta }\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ x_n^{\alpha }& \cdots & x_n^{\beta }\end{array}\right)=\left(a_{\alpha }\cdots a_{\beta }\right)$

$\begin{array}{l}{a}_1{x}_1^{\alpha }+\cdots +a_{\lambda }{x}_{\lambda }^{\alpha }+\cdots +a_n{x}_n^{\alpha }=a_{\alpha }\\ ⋮\\ a_1{x}_1^{\beta }+\cdots +a_{\lambda }{x}_{\lambda }^{\beta }+\cdots +a_n{x}_n^{\beta }=a_{\beta }\end{array}$ (3.5)

进而可写出增广矩阵，将上述初等行、列变换$f_1\cdots f_l$ 操作在$\left(a_1\cdots a_{\lambda }\cdots a_{\alpha }\cdots a_{\beta }\cdots a_n\right)$ 上，得到系数$x_1^{\alpha \cdots \beta }\cdots x_{\lambda }^{\alpha \cdots \beta }\cdots x_n^{\alpha \cdots \beta }$ 的线性方程组，从而解出未知系数。

由此，矩阵$H_{ij}$ 可进一步写成：

$\begin{array}{c}{H}_{ij}=\left[\begin{array}{ccccccccc}{L}_{u^1{u}^1}& \cdots & L_{u^1{u}^{\lambda }}& \cdots & L_{u^1{u}^{\alpha }}^o& \cdots & L_{u^1{u}^{\beta }}^o& \cdots & L_{u^1{u}^n}\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ L_{u^n{u}^1}& \cdots & L_{u^n{u}^{\lambda }}& \cdots & L_{u^n{u}^{\alpha }}^o& \cdots & L_{u^n{u}^{\beta }}^o& \cdots & L_{u^n{u}^n}\end{array}\right]\\ \cdot \left[\begin{array}{ccccccccc}{\sigma }_1^1& \cdots & {\sigma }_1^{\lambda }& \cdots & {\sigma }_1^{\alpha }& \cdots & {\sigma }_1^{\beta }& \cdots & {\sigma }_1^n\\ ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ {\sigma }_r^1& \cdots & {\sigma }_r^{\lambda }& \cdots & {\sigma }_r^{\alpha }& \cdots & {\sigma }_r^{\beta }& \cdots & {\sigma }_r^n\end{array}\right]\end{array}$ (3.6)

将(3.6)式中等号右侧第一个矩阵记为G，是一个$n\times r$ 矩阵，此时$r=n-s$ ；将等号右侧第二个矩阵记为P，是一个$r\times n$ 矩阵，则有$H_{ij}=GP$ ，且$\text{rank}\left(G\right)=\text{rank}\left(P\right)=r$ 。当然$H_{ij}$ 的满秩分解并不唯一，只要存在r阶可逆矩阵T，满足$G^{\ast }=GT$ ，$P^{\ast }=T^{-1}P$ 即可获得新的满秩分解关系式[2]。

这一过程说明奇异Hesse矩阵$H_{ij}$ 的等价标准型是存在的，且与普通矩阵一样，可写成分块矩阵：

$H_{ij}=GP=B\left[\begin{array}{c}{E}_r\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{E}_r& 0\end{array}\right]D=B{E}_{n\times n}^{\left(r\right)}D$

$E_{n\times n}^{\left(r\right)}=\left[\begin{array}{cc}{E}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{E}_r\\ 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{E}_r& 0\end{array}\right]$ (3.7)

其中B、D是可逆矩阵，$E_{n\times n}^{\left(r\right)}$ 为r阶$n\times n$ 矩阵。

基于上述结果，我们可运用Moore-Penrose广义逆矩阵理论，寻找$H_{ij}$ 的广义逆$H_{ij}^{+}$ 。已知$H_{ij}$ 为r阶$n\times n$ 实矩阵，则一定存在$n\times n$ 的实矩阵$H_{ij}^{+}$ 且满足四条Penrose方程或$H_{ij}^{+}{H}_{ij}{H}_{ij}^{\text{T}}=H_{ij}^{\text{T}}$ 与$H_{ij}^{+}{\left(H_{ij}^{+}\right)}^{\text{T}}{H}_{ij}^{\text{T}}=H_{ij}^{+}$ 这两个条件。根据$H_{ij}=GP$ 这一满秩分解，那么广义逆：

$H_{ij}^{+}=P^{\text{T}}{\left(P{P}^{\text{T}}\right)}^{-1}{\left(G^{\text{T}}G\right)}^{-1}{G}^{\text{T}}$ (3.8)

所以针对$H_{ij}{\dot{u}}^j=K$ 这一线性方程组，需考虑其是否有解。

由于$H_{ij}=\left(a_1\cdots a_n\right)$ ，故由$H_{ij}$ 作为列向量组所张成的子空间为$\text{Ran}\left(H_{ij}\right)=\text{span}\left\{a_1\cdots a_n\right\}$ ，且$\text{dim}\left(\text{Ran}\left(H_{ij}\right)\right)=r$ 。从几何角度看，如果方程有解，则向量K可由向量组$\left(a_1\cdots a_n\right)$ 来线性表示，${\dot{u}}^j$ 为适配的系数，即$K\in \text{Ran}\left(H_{ij}\right)$ ；若方程无解，则$K\notin \text{Ran}\left(H_{ij}\right)$ 。

这里并不能预知向量$K=\frac{\partial L}{\partial q^i}-\frac{{\partial }^{2}L}{\partial q^j\partial u^i}{u}^j$ 与$\text{Ran}\left(H_{ij}\right)$ 之间的关系，更不能直接断定其在$\text{Ran}\left(H_{ij}\right)$ 中。现需将K投影到$\text{Ran}\left(H_{ij}\right)$ 这一列空间上，得到向量p。因为$p\in \text{Ran}\left(H_{ij}\right)$ ，故$p=y\left(a_1\cdots a_n\right)$ ，再按照一般情况，定义从p指向K的向量$e=K-p$ ，则$e\perp \text{Ran}\left(H_{ij}\right)$ ，有：

$\left(K-p\right){\left(a_1\cdots a_n\right)}^{\text{T}}=0$

$\left(K-y\left(a_1\cdots a_n\right)\right){\left(a_1\cdots a_n\right)}^{\text{T}}=0$

$y\left(a_1\cdots a_n\right){\left(a_1\cdots a_n\right)}^{\text{T}}={\left(a_1\cdots a_n\right)}^{\text{T}}K$ (3.9)

已知$H_{ij}$ 是非满秩的，故取其广义逆，有：

$y={\left({\left(a_1\cdots a_n\right)}^{\text{T}}\left(a_1\cdots a_n\right)\right)}^{+}{\left(a_1\cdots a_n\right)}^{\text{T}}K={\left(H_{ij}^{\text{T}}{H}_{ij}\right)}^{+}{H}_{ij}^{\text{T}}K=H_{ij}^{+}K$ (3.10)

那么

$p=y\left(a_1\cdots a_n\right)=H_{ij}{H}_{ij}^{+}K$ (3.11)

这样便得到所要的投影矩阵为$p^H=H_{ij}{H}_{ij}^{+}$ ，由于$\text{rank}\left(H_{ij}{H}_{ij}^{+}\right)=\text{rank}\left(H_{ij}^{+}\right)=\text{rank}\left(H_{ij}\right)$ ，同时$\text{Ran}\left(H_{ij}{H}_{ij}^{+}\right)=\text{Ran}\left(H_{ij}\right)$ ，则印证了$p\in \text{Ran}\left(H_{ij}\right)$ ，所以：

$K\times p=K\times \left(H_{ij}{H}_{ij}^{+}K\right)=0$ (3.12)

即表明K与p共线或平行，又$p\in \text{Ran}\left(H_{ij}\right)$ ，则$K\in \text{Ran}\left(H_{ij}\right)$ ，所以方程$H_{ij}{\dot{u}}^j=K$ 有解！至此可得出奇异力学系统的方程(2.5)式在广义逆的描述下是有解的。

如此就得到${\dot{u}}^j=H_{ij}^{+}K$ 是方程的特解，则在${\dot{u}}_0^{\dot{u}}$ 处有$H_{ij}{\dot{u}}_0^{\dot{u}}=K$ ，故

$H_{ij}{H}_{ij}^{+}{H}_{ij}{\dot{u}}_0^{\dot{u}}=H_{ij}{H}_{ij}^{+}K$ (3.13)

又$H_{ij}{H}_{ij}^{+}{H}_{ij}=H_{ij}$ ，所以

$K=H_{ij}{H}_{ij}^{+}K$ (3.14)

因为K、$H_{ij}\in \text{Ran}\left(H_{ij}\right)$ ，则有：

$H_{ij}^{+}K\in \text{Ran}\left(H_{ij}\right)=\text{Ran}\left(H_{ij}^{\text{T}}\right)$ (3.15)

设Y是齐次方程$H_{ij}Y=0$ 的解，即对任意K，有：

$\langle Y,H_{ij}K\rangle =Y^{\text{T}}{H}_{ij}K={\left(H_{ij}^{\text{T}}Y\right)}^{\text{T}}K=\langle H_{ij}^{\text{T}}Y,K\rangle =0$ (3.16)

即有$H_{ij}^{\text{T}}Y=0$ ，所以有$\text{Ran}\left(H_{ij}\right)$ 的正交补$\text{Ran}{\left(H_{ij}\right)}^{\perp }=\left\{K:H_{ij}^{\text{T}}K=0\right\}$ ；$\text{Ran}\left(H_{ij}^{\text{T}}\right)$ 的正交补$\text{Ran}{\left(H_{ij}^{\text{T}}\right)}^{\perp }=\left\{K:H_{ij}K=0\right\}$ ，从而得到$Y\in \text{Ran}{\left(H_{ij}\right)}^{\perp }$ ，即$Y\perp H_{ij}^{+}K$ ，方程的通解可写成：

${\dot{u}}^j=H_{ij}^{+}K+Y$ (3.17)

进而有${\dot{u}}^j$ 的范数平方${\Vert {\dot{u}}^j\Vert }^2={\Vert H_{ij}^{+}K\Vert }^2+{\Vert Y\Vert }^2\ge {\Vert H_{ij}^{+}K\Vert }^2$ ，所以${\dot{u}}^j=H_{ij}^{+}K$ 为方程的最小范数解，可进一步将其展开为：

${\dot{u}}^j=P^{\text{T}}{\left(P{P}^{\text{T}}\right)}^{-1}{\left(G^{\text{T}}G\right)}^{-1}{G}^{\text{T}}K$ (3.18)

以上即为奇异力学系统利用奇异Hesse矩阵的广义逆来求解的过程，在一般性解法无法实现时，广义逆求解是精确而非近似的。

4. 奇异力学系统的邻域行为

观察流形M上的切丛TM，并考虑Lagrange形式的1-形式${\theta }_L$ 与2-形式${\omega }_L$ ，直接使用Legendre变换的拉回计算可从辛势$\theta$ 及辛形式$\omega$ 得到。

由$\theta =p_i\text{d}{q}^i$ ，有：

${\theta }_L={\left(\mathbb{F}L\right)}^{*}\theta =\frac{\partial L}{\partial u^i}\text{d}{q}^i$ (4.1)

由$\omega =\text{d}{p}_i\wedge \text{d}{q}^i$ ，有：

${\omega }_L={\left(\mathbb{F}L\right)}^{*}\omega =\frac{{\partial }^{2}L}{\partial q^j\partial u^i}\text{d}{q}^j\wedge \text{d}{q}^i+\frac{{\partial }^{2}L}{\partial u^i\partial u^j}\text{d}{q}^i\wedge \text{d}{u}^j$ (4.2)

可知${\omega }_L$ 是一个$2n\times 2n$ 的反对称矩阵

${\omega }_L=\left[\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{ccc}{L}_{u^1{q}^1}& \cdots & L_{u^1{q}^n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ L_{u^n{q}^1}& \cdots & L_{u^n{q}^n}\end{array}\right]& \left[\begin{array}{ccc}{L}_{u^1{u}^1}& \cdots & L_{u^1{u}^n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ L_{u^n{u}^1}& \cdots & L_{u^n{u}^n}\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{ccc}{L}_{u^1{u}^1}& \cdots & L_{u^1{u}^n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ L_{u^n{u}^1}& \cdots & L_{u^n{u}^n}\end{array}\right]& 0\end{array}\right]$ (4.3)

其中矩阵块$L_{u^i{q}^j}=\left[\frac{{\partial }^{2}L}{\partial u^i\partial q^j}\right]$ 只存在反对称部分。从矩阵形式可见，${\omega }_L$ 的行列式是否为0同样取决于方块矩阵$L_{u^i{u}^j}$ 即Hesse矩阵的行列式。

所以在奇异力学系统中，Lagrange形式从2-形式退化到1-形式，最后仅存在1-形式。广义速度$u^j$ 的外微分$\text{d}{u}^j$ 与广义坐标$q^i$ 的外微分$\text{d}{q}^i$ 之间的体积形式是奇异的，故无法张成$\text{d}{q}^i\wedge \text{d}{u}^j$ 的形式。因此纤维导数$\mathbb{F}L$ 是不可逆的，即在任意的邻域上，切丛TM与余切丛${\text{T}}^{\ast }\text{M}$ 之间不是微分同胚的。在此几何情况下，从约束Hamilton系统反解奇异力学系统并非精准。

同时，从TM出发，将丛映射$\pi :\text{TM}\to \text{M}$ 看作是流形间的映射，从而在TM上引入曲线J，与M上的曲线$\gamma :\left(0,a\right]\to \text{M}$ 所对应，即若J为TM上的切向量场X的积分曲线，则$\gamma =\pi \circ J$ 是M上的测地线[3]。这里的切向量场X是二阶系统，$X:\text{TM}\to \text{T}\left(\text{TM}\right)$ ，切映射${\pi }_{*}:\text{T}\left(\text{TM}\right)\to \text{TM}$ ，由于$H_{ij}$ 是不满秩的，即有部分切向量场X是满足${\pi }_{*}X=i_{\text{TM}}$ (TM上的切向量场)，另一部分则不满足。然而测地线是处于一阶系统的描述，所以奇异力学系统积分曲线的所对应的测地线仍是存在的。

测地线的几何性质不能直接从存在性得知，因为奇异力学系统所在的位形空间流形M与之适配的度量仍未获得，故仍需借助正规Lagrange系统进行研究。在M上适配Riemann度量$g=g_{ij}\left(q^i\left(t\right)\right)$ ，$g_{ij}$ 是一个$n\times n$ 的对称正定矩阵，则形成n维Riemann流形(M, g)。选定M中处于同一坐标卡$\text{U}\subset \text{M}$ 中的两个点P₁、P₂，此时U与${ℝ}^n$ 中的开集微分同胚，$\psi$ 为同胚映射，则$P_1={\psi }_{*}\circ P_1\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ ，$P_2={\psi }_{*}\circ P_2\left(x_1,x_2,\cdots ,x_n\right)$ ，有：

$\begin{array}{c}\text{d}{s}^2=\text{d}{x}_1^2+\text{d}{x}_2^2+\cdots +\text{d}{x}_n^2\\ ={\left(\frac{\partial x_1}{\partial q^1}\text{d}{q}^1+\frac{\partial x_1}{\partial q^2}\text{d}{q}^2+\cdots +\frac{\partial x_1}{\partial q^n}\text{d}{q}^n\right)}^2+{\left(\frac{\partial x_2}{\partial q^1}\text{d}{q}^1+\frac{\partial x_2}{\partial q^2}\text{d}{q}^2+\cdots +\frac{\partial x_2}{\partial q^n}\text{d}{q}^n\right)}^2\\ +\cdots +{\left(\frac{\partial x_n}{\partial q^1}\text{d}{q}^1+\frac{\partial x_n}{\partial q^2}\text{d}{q}^2+\cdots +\frac{\partial x_n}{\partial q^n}\text{d}{q}^n\right)}^2\\ =g_{ij}\text{d}{q}^i\text{d}{q}^j\end{array}$ (4.4)

则

$L\left(q^i,u^i\right)=\sqrt{g_{ij}{u}^i{u}^j}$ (4.5)

进一步有

$\begin{array}{c}{L}_{u^i{u}^j}=\frac{{\partial }^{2}L}{\partial u^i\partial u^j}=\frac{\partial L}{\partial u^i}\left(\frac{\partial L}{\partial u^j}\sqrt{g_{ij}{u}^i{u}^j}\right)=\frac{\partial L}{\partial u^i}\left(\frac{1}{2}\sqrt{g_{ij}{u}^j}{\left(u^i\right)}^{-\frac{1}{2}}+2\sqrt{g_{ij}}\right)\\ =\frac{1}{4}{g}_{ij}{\left(\sqrt{g_{ij}{u}^i{u}^j}\right)}^{-1}-\frac{1}{4}\sqrt{g_{ij}{u}^i{u}^j}{\left(u^i\right)}^{-2}\\ =\frac{1}{4}\frac{g_{ij}}{L}-\frac{1}{4}L{\left(u^i\right)}^2\\ =\frac{1}{4}\left(\frac{g_{ij}}{L}-\frac{L}{{\left(u^i\right)}^2}\right)\end{array}$ (4.6)

在奇异力学系统下，进一步得到：

$\frac{g_{ij}}{L}-\frac{L}{{\left(u^i\right)}^2}=0$

$L^2=g_{ij}{\left(u^i\right)}^2$

$L=\sqrt{g_{ij}}{u}^i=\sqrt{g_{ij}{u}^i{u}^i}$ (4.7)

即当$i=j$ 时，判定Lagrange函数是奇异的，因为$i\ne j$ 的部分已退化掉。将(4.7)式的奇异Lagrange函数改用$L^{\gamma }$ 表示，适配的度量用$g_{ij}^{\gamma }$ 表示，指标i和j仍然都保留，使用${\delta }_{ij}$ 进行约束，则有：

$L^{\gamma }={\delta }_{ij}\sqrt{g_{ij}{u}^i{u}^j}$ ，$L^{\gamma }={\delta }_{ij}L$ ，$g_{ij}^{\gamma }={\delta }_{ij}{g}_{ij}$ (4.8)

将$g_{ij}^{\gamma }$ 展开后，有：

$g_{ij}^{\gamma }={\delta }_{ij}\left[\begin{array}{ccc}{g}_{11}& \cdots & g_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ g_{n1}& \cdots & g_{nn}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{h}_1^2& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & h_n^2\end{array}\right]$ (4.9)

其中$h_i$ 为Lame系数，可见$g_{ij}^{\gamma }$ 是一个对角阵，$g_{ij}^{\gamma }=\text{diag}\left\{h_1^2,h_2^2,\cdots ,h_n^2\right\}$ 。所以，奇异力学系统的切空间由$L^{\gamma }$ 的梯度张成，只沿着变化率的最大方向延展。这里的${\delta }_{ij}$ 可看成是Euclid度量，即奇异力学系统的度量与正规Lagrange系统的度量仅相差一个${\delta }_{ij}$ 。但我们并不把$g_{ij}^{\gamma }={\delta }_{ij}{g}_{ij}$ 看作是一个乘积度量，因为整个位形空间流形M并不改变，只是Riemann流形改为(M, $g^{\gamma }$ )，$g^{\gamma }$ 显然是一个新的Riemann度量，形式上却更加简单。由于${\delta }_{ij}$ 又可认为是一个线性变换，所以$g^{\gamma }$ 保持了切空间的夹角不变，故奇异力学系统的度量$g^{\gamma }$ 是关于正规Lagrange系统度量g的共形变换。

由测地线方程${\dot{u}}^k=-{\Gamma }_{ij}^k{u}^i{u}^j$ ，$k=1,2,\cdots ,n$ ，联立(3.18)式与(4.8)式，再令$j=i$ ，可得奇异力学系统下的Christoffel符号：

$\begin{array}{c}-{\Gamma }_{ii}^k=H_{ii}^{+}\left(\frac{\partial L^{\gamma }}{\partial q^i}-\frac{{\partial }^2{L}^{\gamma }}{\partial q^i\partial u^i}{u}^i\right)\\ =H_{ii}^{+}\left(\frac{\partial \left(\sqrt{g_{ii}}{u}^i\right)}{\partial q^i}-\frac{\partial }{\partial q^i}\left(\frac{\partial \left(\sqrt{g_{ii}}{u}^i\right)}{\partial u^i}\right)u^i\right)\\ =H_{ii}^{+}\left(\sqrt{g_{ii}}\frac{\partial u^i}{\partial q^i}+u^i\frac{\partial \sqrt{g_{ii}}}{\partial q^i}-\frac{\partial \sqrt{g_{ii}}}{\partial q^i}{u}^i\right)\\ =H_{ii}^{+}\left(\sqrt{g_{ii}}\frac{\partial u^i}{\partial q^i}\right)\end{array}$ (4.10)

在没有给定的前提条件下，我们不能判断(4.10)式是否为0，需对带负号的Christoffel符号自身进行展开，有：

$-{\Gamma }_{ii}^k=-\frac{1}{2}{g}^{ki}\left(\frac{\partial g_{ik}}{\partial q^i}+\frac{\partial g_{ik}}{\partial q^i}-\frac{\partial g_{ii}}{\partial q^k}\right)=\frac{1}{2}{g}^{ki}\frac{\partial g_{ii}}{\partial q^k}$ (4.11)

因此，在$L^{\gamma }$ 所适配的度量下，分成两种情况，有：

1) 若$g_{ij}^{\gamma }={\delta }_{ij}{g}_{ij}\ne I_{n\times n}$ 时，即在完整基下，

当$k\ne i$ 时，由于$g^{ki}=0$ ，所以

${\dot{u}}^k=-{\Gamma }_{ii}^k{u}^i{u}^i=\frac{1}{2}{g}^{ki}\frac{\partial g_{ii}}{\partial q^k}{u}^i{u}^i=H_{ii}^{+}\left(\sqrt{g_{ii}}\frac{\partial u^i}{\partial q^i}\right)u^i{u}^i=0$ (4.12)

也就是在完整基下，测地线$\gamma$ 在邻域$\text{U}\subset \text{M}$ 上表现为一条直线段的形态，即法坐标系存在于邻域U中的P点上。

当$k=i$ 时，有：

$-{\Gamma }_{ii}^i=-\frac{1}{h_i^2}\cdot \frac{1}{2}\frac{\partial g_{ii}}{\partial q^i}=-\frac{\partial }{\partial q^i}\ln \sqrt{g_{ii}}=-\frac{\partial \ln h_i}{\partial q^i}$ (4.13)

所以得出以下结果：

${\dot{u}}^k={\dot{u}}^i=-{\Gamma }_{ii}^i{u}^i{u}^i=-\frac{\partial \ln h_i}{\partial q^i}{u}^i{u}^i=H_{ii}^{+}\left(\sqrt{g_{ii}}\frac{\partial u^i}{\partial q^i}\right)u^i{u}^i\ne 0$ (4.14)

即在邻域U上，测地线$\gamma$ 仍然是曲线状态。

2) 若$g_{ij}^{\gamma }={\delta }_{ij}{g}_{ij}=I_{n\times n}$ ，即在非完整基下，则Christoffel符号转化为形式Christoffel符号。

当$k\ne i$ 时，有：

$-{\Gamma }_{\left(i\right)\left(i\right)}^{\left(k\right)}=-\frac{h_k}{h_i^2}{\Gamma }_{ii}^k=-\frac{h_k}{h_i^2}\left(-\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{h_k^2}\frac{\partial h_k^2}{\partial q^k}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2h_i}{h_i^2{h}_k}\frac{\partial h_i}{\partial q^k}=\frac{1}{h_k}\frac{\partial \ln h_i}{\partial q^k}=\frac{\partial \ln h_i}{\partial S^k}$ (4.15)

其中$S^k$ 为弧长参数的第k个方向的分量，故

${\dot{u}}^k=-{\Gamma }_{\left(i\right)\left(i\right)}^{\left(k\right)}{u}^i{u}^i=\frac{\partial \ln h_i}{\partial S^k}{u}^i{u}^i=H_{ii}^{+}\left(\sqrt{g_{ii}}\frac{\partial u^i}{\partial q^i}\right)u^i{u}^i\ne 0$ (4.16)

即测地线$\gamma$ 在邻域U上呈现出曲线形态。

当$k=i$ 时，有：

$-{\Gamma }_{\left(i\right)\left(i\right)}^{\left(k\right)}=-{\Gamma }_{\left(i\right)\left(i\right)}^{\left(i\right)}=-\left(\frac{1}{h_k}{\Gamma }_{ii}^i-\frac{1}{h_i^2}\frac{\partial h_i}{\partial q^i}\right)=-\left(\frac{1}{h_k}\frac{\partial \ln h_i}{\partial q^i}-\frac{1}{h_k}\frac{\partial \ln h_i}{\partial q^i}\right)=0$ (4.17)

所以有：

${\dot{u}}^k={\dot{u}}^i=-{\Gamma }_{\left(i\right)\left(i\right)}^{\left(i\right)}{u}^i{u}^i=H_{ii}^{+}\left(\sqrt{g_{ii}}\frac{\partial u^i}{\partial q^i}\right)u^i{u}^i=0$ (4.18)

此时已转化为Euclid空间，在邻域U上，测地线$\gamma$ 表现为一条直线段，即法坐标系存在于U中的P点上。

所以，奇异力学系统在邻域中的行为，从不同的坐标基上观察会有不同结果。当$k\ne i$ 时，在完整基上观察，系统的积分曲线J所对应的测地线是一条直线段；而从非完整基上观察，则仍是曲线形态。当$k=i$ 时，完整基上的测地线是曲线，而在非完整基下则是呈现出直线形态。

从奇异力学系统的积分曲线本身上看，流形M上的完整基空间记为F，非完整基空间记为Z，则二者互为正交补，即$\langle f,z\rangle ={0|}_{f\in \text{F},z\in \text{Z}}$ 。当积分曲线J所对应的测地线的曲率出现在一个空间中时，则另一个空间中的曲率为零，曲率不可能同时出现在两个空间中。可见，奇异力学系统测地线的邻域行为，对基底所在的空间具有“选择性”。这是由度量$g_{ij}^{\gamma }$ 是否是单位的所决定，可单位化则出现非完整基的现象，不可单位化则出现完整基的现象。

以物理学的意义而言，系统的上述邻域行为，体现了选用不同坐标对运动进行观察，则所观察运动的情形是分段而非连续的，总体上是加速运动与匀速运动的组合。

5. 奇异力学系统的极值特性

设奇异力学系统的作用量为$S\left(q^i\left(t\right)\right)={\displaystyle {\int }_0^a{L}^{\gamma }\left(t,q^i\left(t\right),u^i\left(t\right)\right)\text{d}t}$ ，由泛函取极值需推出变分$\delta S=0$ ，但在极值函数或极值曲线上，泛函并不一定能取得极值[4]。对任意$\phi \in {\text{C}}^1\left(0,a\right)$ ，$\left|\epsilon \right|<1$ ，在$q_0$ 处有一阶变分

$g^{\prime }\left(t\right)=\delta S\left(q_0\left(t\right)+\epsilon \phi \left(t\right)\right)={\displaystyle {\int }_0^a{L}^{\gamma }\left(t,q_0\left(t\right)+\epsilon \phi \left(t\right),u_0\left(t\right)+\epsilon \dot{\phi }\left(t\right)\right)\text{d}t}$ (5.1)

以及二阶变分

$\begin{array}{c}{g}^{″}\left(t\right)={\delta }^{2}S\left(q_0\left(t\right),\phi \left(t\right)\right)\\ ={\displaystyle {\int }_0^a\{L_{q^i{q}^i}^{\gamma }\left(t,q_0\left(t\right),u_0\left(t\right)\right){\phi }^2\left(t\right)}+L_{q^i{u}^i}^{\gamma }\left(t,q_0\left(t\right),u_0\left(t\right)\right)\phi \left(t\right)\dot{\phi }\left(t\right)\\ +L_{u^i{q}^i}^{\gamma }\left(t,q_0\left(t\right),u_0\left(t\right)\right)\phi \left(t\right)\dot{\phi }\left(t\right)+L_{u^i{u}^i}^{\gamma }\left(t,q_0\left(t\right),u_0\left(t\right)\right){\dot{\phi }}^2\left(t\right)\}\text{d}t\\ ={\displaystyle {\int }_0^a\left(A_0{\dot{\phi }}^2+2B_0\phi \dot{\phi }+C_0{\phi }^2\right)\text{d}t}\end{array}$ (5.2)

其中$A_0=L_{u^i{u}^i}^{\gamma }\left(t,q_0\left(t\right),u_0\left(t\right)\right)$ ；$B_0=L_{u^i{q}^i}^{\gamma }\left(t,q_0\left(t\right),u_0\left(t\right)\right)$ ；$C_0=L_{q^i{q}^i}^{\gamma }\left(t,q_0\left(t\right),u_0\left(t\right)\right)$ 。

泛函取极值的必要条件是二阶变分${\delta }^{2}S\left(q_0\left(t\right),\phi \left(t\right)\right)\ge 0$ ，由于奇异力学系统的$H_{ij}$ 退化，但$\det \left[L_{u^i{u}^i}\right]=0$ 仍是非负定，仍符合Legendre-Hadamard条件，即使是非严格的。如此(5.2)式便退化为：

$g^{″}\left(t\right)={\delta }^{2}S\left(q_0\left(t\right),\phi \left(t\right)\right)={\displaystyle {\int }_0^a\left(2B_0\phi \dot{\phi }+C_0{\phi }^2\right)\text{d}t}$ (5.3)

那么评估数量级的对象只剩下$B_0$ 与$C_0$ 两项。假设在$\tau$ 点考虑$\phi$ 导数的平方积分为1，与普通情况一样，构造函数$v\left(s\right)=0$ ，当$\left|s\right|\ge 1$ ，${\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }{\dot{v}}^2\left(t\right)\text{d}s}=1$。取$\phi \left(t\right)=\xi \mu v\left(\frac{t-\tau }{\mu }\right)$ ，$\forall \xi \in {ℝ}^n$ ，则有：

$\dot{\phi }\left(t\right)=\xi \dot{v}\left(\frac{t-\tau }{\mu }\right)$

${\displaystyle {\int }_0^a{\dot{\phi }}_i\left(t\right){\phi }_j\left(t\right)\text{d}t}={\xi }_i{\xi }_j{\mu }^2\cdot c$

${\displaystyle {\int }_0^a{\phi }_i\left(t\right){\phi }_j\left(t\right)\text{d}t}={\xi }_i{\xi }_j{\mu }^3\cdot d$ (5.4)

其中$c={\displaystyle {\int }_0^a\dot{v}\left(\frac{t-\tau }{\mu }\right)v\left(\frac{t-\tau }{\mu }\right)\text{d}t}=Const$，$d={\displaystyle {\int }_0^{a}v\left(\frac{t-\tau }{\mu }\right)v\left(\frac{t-\tau }{\mu }\right)\text{d}t}=Const$ ，所以$\ddot{g}\left(0\right)\ge 0$ 取决于$B_0$ 的数量级，即：

$L_{u^i{q}^i}^{\gamma }\left(t,q_0\left(t\right),u_0\left(t\right)\right){\xi }_i{\xi }_j{\mu }^2\cdot c\ge 0$ (5.5)

因此奇异力学系统作用量的极值必要条件与正规Lagrange系统是不一样的，从而Jacobi算子随之退化为：

${\mathcal{J}}_0^{\gamma }\left(\phi \right)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(B_0\phi \right)-\left(B_0\dot{\phi }+C_0\phi \right)=\phi \frac{\text{d}}{\text{d}t}{B}_0-C_0\phi$ (5.6)