DOI:10.12677/pm.2024.143086,PDF,HTML,XML,被引量下载: 159浏览: 311科研立项经费支持
作者:陈 强,周姮媛,刘艳丽：西华大学理学院，四川 成都
关键词:模糊Riesz空间；模糊线性算子；模糊序有界线性泛函；Fuzzy Riesz Space；Fuzzy Linear Operator；Fuzzy Ordered Bounded Linear Functional

文章引用：陈强, 周姮媛, 刘艳丽. 模糊Riesz空间上模糊序有界线性算子的研究[J]. 理论数学, 2024, 14(3): 74-82. https://doi.org/10.12677/pm.2024.143086

1. 引言

自1965年，Zadeh [1] [2] 提出模糊集和模糊序的概念后，1992年Venugopalan [3] 对模糊序进行了系统的研究，引入了模糊偏序集的概念。此后，许多学者对模糊序和模糊关系进行了研究。

在Venugopalan的基础上，Beg等人对模糊序线性空间 [4] ，模糊Riesz空间 [5] 和 $\sigma$-完备模糊Riesz空间 [7] 进行了研究。在 [4] 中引入了模糊序收敛的定义。他们还研究了模糊Riesz分解性质 [5] 。在 [6] 中，引入了模糊Archimedean空间，并给出了模糊Archimedean空间的等价刻画。后来，Beg [7] 讨论了 $\sigma$-完备模糊Riesz空间与模糊Archimedean空间之间的关系。1998年，Beg [8] 研究了模糊Riesz正线性算子的扩张，证明了模糊Riesz空间上的Hahn-Banach定理。2015年，Hong [9] 在文献 [4] [5] [6] [7] 的基础上，定义并研究了模糊Riesz子空间、模糊理想、模糊带、模糊带投影等概念。2018年，Park [10] 等人引入和研究了模糊赋范Riesz空间，讨论了序列的一致有界性和收敛性，并在模糊Banach Riesz空间中验证了格同态的Hyers-Ulam稳定性。2020年，Iqbal和Bashir [11] 给出了模糊Riesz同构的条件。2021年，Guirao [12] 等人研究了模糊Riesz空间上模糊正算子的相关性质，研究了所有模糊序有界线性泛函的相关性质，并给出了模糊序对偶空间的定义。2022年，Cheng [13] 讨论了模糊向量空间中非空凸子集上模糊次线性算子的延拓问题，并且研究了模糊Riesz空间上的模糊Riesz子空间上模糊正线性算子的延拓。

本文的结构如下：在第二节中，我们给出了本文将要用到的一些定义和初步结果。第三节是本文的主要结论，其中我们给出了具有模糊主投影性质的Riesz空间中线性算子的上确界和下确界的计算公式，给出了模糊线性泛函的模糊序有界性的刻画。

2. 预备知识

定义2.1 [2] 假设H是论域。H中的模糊关系如果满足以下条件：

(i) 假设 $k\in H$，则 $\mu \left(k,k\right)=1$(自反性)；

(ii) 假设 $k,l\in H$，若 $\mu \left(k,l\right)+\mu \left(l,k\right)>1$，则 $k=l$(反对称性)；

(iii) 假设 $k,s\in H$，则 $\mu \left(k,s\right)\ge {\vee }_{l\in H}\left[\mu \left(k,l\right)\wedge \mu \left(l,s\right)\right]$(传递性)。

则称其为模糊偏序关系，其中 $\mu :H\times H\to \left[0,1\right]$是 $H\times H$的模糊子集的隶属函数。若集合H存在模糊偏序关系 $\mu$，则称H是模糊偏序集。

定义2.2 [4] 假设H是模糊偏序集，Q是H的子集。则在H上Q的上界 $U\left(Q\right)$定义如下：

$U\left(Q\right)\left(v\right)=\{\begin{array}{l}0\text{,}对u\in Q,当\left(\uparrow u\right)\left(v\right)\le \frac{1}{2};\\ \left({\cap }_{u\in Q}\uparrow u\right)\left(v\right)\text{,}其他情况.\end{array}$

同样地，则在H上Q的下界 $L\left(Q\right)$的定义如下：

$L\left(Q\right)\left(v\right)=\{\begin{array}{l}0\text{,}对u\in Q,当\left(\downarrow u\right)\left(v\right)\le \frac{1}{2};\\ \left({\cap }_{u\in Q}\downarrow u\right)\left(v\right)\text{,}其他情况.\end{array}$

若 $U\left(Q\right)\left(u\right)>0$，则记为 $u\in U\left(Q\right)$，在此情况下，我们称Q是有上界的并且u是Q的上界。同样地，若 $L\left(Q\right)\left(u\right)>0$，则记为 $u\in L\left(Q\right)$，在此情况下，我们称Q是有下界的并且u是Q的下界。如果Q有上界且有下界，则称Q有界。

若元素 $w\in H$满足：(i) $w\in U\left(Q\right)$，(ii)若 $v\in U\left(Q\right)$，则 $v\in U\left(w\right)$，则称w是Q的上确界，记作 $\sup Q$。同样地，若元素 $w\in H$满足：(i) $w\in L\left(Q\right)$，(ii)若 $v\in L\left(Q\right)$，则 $v\in L\left(w\right)$，则称w是Q的下确界,记作 $\inf Q$。

定理2.3 [4] 设H是模糊偏序集。则对任意 $u,v\in H$，下列等式成立：

(i) (幂等性) $u\wedge u=u$， $u\vee u=u$；

(ii) (交换性) $u\wedge v=v\wedge u$， $u\vee v=v\vee u$；

(iii) (吸收性) $u\wedge \left(u\vee v\right)=u\vee \left(u\wedge v\right)=u$；

(iv) (一致性) $\mu \left(u,v\right)>\frac{1}{2}$当且就当 $u\wedge v=u$当且仅当 $u\vee v=v$。

定义2.4 [4] 设H是模糊偏序集。若H的所有有限子集都有上确界和下确界，则称H是模糊格。若H的任意子集都有上确界和下确界，则H称为完备的模糊格。

定义2.5 [9] 设H是模糊偏序集，H中序列 ${\left\{u_n\right\}}_{n\in N}$，若对任意 $n,m$，当 $n\le m$时有 $\mu \left(u_n,u_m\right)>\frac{1}{2}$，则 ${\left\{u_n\right\}}_{n\in N}$是递增序列，记作 $u_n\uparrow$。若 $u={\sup }_{n\in N}\left\{u_n\right\}$存在，则 $u_n\uparrow u$；同样地，可以定义H中的递减序列。设Q是H的子集，用 $Q\uparrow$表示Q是递增的， $Q\downarrow$表示Q是递减的。若 $Q\uparrow$且 $u=\sup Q$，则记为 $Q\uparrow u$，同样若 $Q\downarrow$且 $u=\inf Q$，则记为 $Q\downarrow u$。

定义2.6 [4] 设H是模糊偏序集，序列 ${\left\{u_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}\in H$， $u\in H$。若存在H中的序列 ${\left\{v_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$， ${\left\{w_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$，满足：

(i) 对所有的 $n\in \mathbb{N}$，都有 $\mu \left(v_n,u_n\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(u_n,w_n\right)>\frac{1}{2}$；

(ii) $v_n\uparrow u$且 $w_n\downarrow u$。

则称 ${\left\{u_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$模糊序收敛于u，记作 $u_n\to u\left(fo\right)$。u称为 ${\left\{u_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$的模糊序极限，记作 $u=\left(fo\right)-{\lim }_n{u}_n$。

定义2.7 [4] 设H是(实)线性空间。若H中存在模糊偏序关系 $\mu$，使得向量结构和模糊偏序结构兼容，即对任意 $k_1,k_2\in H$下列条件成立：

(i) 对任意 $k\in H$，若 $\mu \left(k_1,k_2\right)>\frac{1}{2}$，则 $\mu \left(k_1,k_2\right)\le \mu \left(k_1+k,k_2+k\right)$；

(ii) 对任意 $0<\alpha \in R$，若 $\mu \left(k_1,k_2\right)>\frac{1}{2}$，则 $\mu \left(k_1,k_2\right)\le \mu \left(\alpha k_1,\alpha k_2\right)$。

则称 $\left(H,\mu \right)$是模糊序线性空间。

定义2.8 [5] 设 $\left(H,\mu \right)$是模糊序线性空间。若 $\left(H,\mu \right)$也是模糊格，则 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间。

命题2.9 [5] 设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间，则对任意 $u_1,u_2\in H$，有 $u_1+u_2=u_1\vee u_2+u_1\wedge u_2$。

定义2.10 [9] 设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间。H中所有正元素组成的集合称为H的正部，记为 $H^{+}$，即

$H^{+}=\left\{u\in H|\mu \left(0,u\right)>\frac{1}{2}\right\}$.

定义2.11 [9] 设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间。

(i) 若 $\left(H,\mu \right)$的每个有上界的非空子集都有一个上确界，则称 $\left(H,\mu \right)$是模糊Dedekind完备或模糊序完备的。在这种情况下，我们也说 $\left(H,\mu \right)$是模糊Dedekind完备Riesz空间。

(ii) 若 $\left(H,\mu \right)$的每个有上界或有下界的非空可数子集分别有一个上确界或下确界，则称 $\left(H,\mu \right)$是模糊Dedekind $\sigma$-完备的。

定义2.12 [9] 假设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间，Q是H的子空间，如果它满足以下两个条件：

(i) $u\in Q$当且仅当 $\left|u\right|\in Q$；

(ii) 对任意 $v\in Q$，且 $\mu \left(u,v\right)>\frac{1}{2}$，有 $u\in Q$。

则Q是H的模糊理想。

定义2.13 [9] 设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间，Q是H的子集。H中包含Q最小模糊理想被称为由Q生成的模糊理想，记作 $A_Q$。若Q是单元集，即 $Q=\left\{u\right\}$(其中 $u\in H$)，则 $A_Q$常写为 $A_u$，并称 $A_u$为由元素u生成的模糊主理想。

定义2.14 [9] 设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间，B是H中的模糊理想。B是模糊带当且仅当 $Q\subset B$且 $u=\sup Q$时，有 $u\in B$。设Q是H的子集。H中包含Q最小模糊带被称为由Q生成的模糊带，记作 $B_Q$。若Q是单元集，即 $Q=\left\{u\right\}$(其中 $u\in H$)，则 $B_Q$常写为 $B_u$，并称 $B_u$为由元素u生成的模糊主带。

推论2.15 [9] 设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间， $u\in H$。则模糊主理想 $A_u$为

$A_u=\left\{v\in H|\mu \left(\left|v\right|,\lambda \left|u\right|\right)>\frac{1}{2},\lambda \ge 0\right\}$.

定义2.16 [9] 设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间，B是H中的模糊带。如果 $H=B\oplus B^d$，则称B为模糊投影带。

定义2.17 [9] 设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间。对任意 $u\in H$，若由u生成的带是模糊投影带，则称u为模糊投影向量。若 $\left(H,\mu \right)$中每个元素都是模糊投影向量，则称 $\left(H,\mu \right)$具有模糊主投影性质。

设B是 $\left(H,\mu \right)$中的模糊投影带。则对任意 $u\in H$都有唯一分解 $u=u_1+u_2$(其中 $u_1\in B$， $u_2\in B^d$)。因此，由 $P_B\left(u\right)=u_1$定义的映射 $P_B:H\to H$是一个投影映射。

定理2.18 [9] 设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间，若元素 $u\in H$是模糊投影向量当且仅当对于任意 $v\in H$，集合 $H_v={\left\{v\wedge n\left|u\right|\right\}}_{n\in N}$上确界存在，并且对任意 $v\in H^{+}$有 $P_u\left(v\right)=\sup H_v=\sup {\left\{v\wedge n\left|u\right|\right\}}_{n\in N}$。

定义2.19 [11] 设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间， ${\left(k_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }\in H$， $k\in H$。若存在另一个向下为零的网 ${\left(w_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Gamma }\in H^{+}$，且对每一个 $\gamma \in \Gamma$都存在 ${\lambda }_0\in \Lambda$，使得当 $\lambda \ge {\lambda }_0$时， $\mu \left(\left|k_{\lambda }-k\right|,w_{\gamma }\right)$成立。则称 ${\left(k_{\lambda }\right)}_{\lambda \in \Lambda }$模糊序收敛于k，记作 $k_{\lambda }\to k\left(fo\right)$。

定义2.20 [11] 设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间，序列 $\left\{v_n\right\}\in H$， $v\in H^{+}$。若对任意 $\epsilon >0$，存在 $n\left(\epsilon \right)$，使得当 $n>n\left(\epsilon \right)$时，有 $\mu \left(\left|v-v_n\right|,\epsilon u\right)>\frac{1}{2}$，则称 $\left\{v_n\right\}$模糊u一致收敛于v，记作 $v_n\to v\left(fu-un\right)$。并且v是序列 ${\left\{v_n\right\}}_{n\in \mathbb{N}}$的模糊u一致极限。

定义2.21 [14] 设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间，序列 $\left\{v_n\right\}\in H$，若存在 $u\in H$满足条件 $\mu \left(0,u\right)>\frac{1}{2}$，使得 $v_n\to v\left(fu-un\right)$，则 $\left\{v_n\right\}$模糊相对一致收敛于 $v\in H$，记作 $v_n\to v\left(f-un\right)$，其中u称作模糊调控值。

定义2.22 [9] 设 $\left(H,\mu \right)$， $\left(L,\eta \right)$是模糊Riesz空间， $G:\left(H,\mu \right)\to \left(L,\eta \right)$是线性算子。若 $\mu \left(0,u\right)>\frac{1}{2}$，有 $\eta \left(0,G\left(u\right)\right)>\frac{1}{2}$，则称G是模糊正算子。

定义2.23 [11] 设 $\left(H,\mu \right)$， $\left(L,\eta \right)$是两个模糊Riesz空间， $G:\left(H,\mu \right)\to \left(L,\eta \right)$是正线性算子，则

(i) 当 $C\subseteq H$是模糊序有界时， $G\left(C\right)\subseteq L$是模糊序有界的，称G是模糊序有界算子；

(ii) 若在H中，可由 $k_{\lambda }\to 0\left(fo\right)$推得 $G\left(k_{\lambda }\right)\to 0\left(fo\right)$，称G是模糊序连续算子；

(iii) 若在H中，可由 ${\left(k_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\to 0\left(fo\right)$推得 $G{\left(k_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}\to 0\left(fo\right)$，称G是模糊 $\sigma$-序连续算子。

3. 模糊Riesz空间上模糊线性泛函

在本节中，我们的重点是讨论定义在两个模糊Riesz空间之间的模糊线性算子的各种性质。此外，我们还给出了模糊线性泛函是模糊序有界的特征表述。

引理 3.1假设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间， $\left[A_w\right]$是由 $w\in H^{+}$生成的模糊主理想。假设 $Q=\left\{u:u\in \left[A_w\right],v\in H^{+},\mu \left(u,v\right)>\frac{1}{2}\right\}$， $Q^{\prime }=\left\{v\wedge nw:v\in H^{+},n=1,2,\cdots \right\}$，则Q与 $Q^{\prime }$有相同上界。

证明:假设 $u\in Q^{\prime }$，则 $\mu \left(u,nw\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(u,v\right)>\frac{1}{2}$，即得 $\mu \left(u,v\wedge nw\right)>\frac{1}{2}$，所以 $u\in Q$。另一方面，假设 $u\in Q^{+}$满足 $u=\sup \left\{k:k\in A_w,\mu \left(k,u\right)>\frac{1}{2}\right\}$。记 $S=\left\{k:k\in A_w,\mu \left(k,u\right)>\frac{1}{2}\right\}$，则 $u=\sup S$，其中任何一个 $k\in S^{+}$使得 $\mu \left(k,n_{k}w\right)>\frac{1}{2}$对某些 $n_k$成立。由 $\mu \left(k,v\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(k,n_{k}w\right)>\frac{1}{2}$可知 $\mu \left(k,v\wedge n_{k}w\right)>\frac{1}{2}$。则 $Q^{\prime }$的任一上界s是所有 $k\in S$的上界，即 $\mu \left(k,s\right)>\frac{1}{2}$。所以s也是Q的上界。因此，Q和 $Q^{\prime }$有相同的上界。

定理3.2 设 $\left(H,\mu \right)$模糊Riesz空间， $\left(L,\eta \right)$是模糊 $\sigma$-完备的Riesz空间。设 $G:\left(H,\mu \right)\to \left(L,\eta \right)$是模糊正算子。则对任意 $u\in H$，有 $G\left(u^{+}\right)=\max \left\{S\left(u\right):0\le S\le G\right\}$， $G\left(\left|u\right|\right)=\max \left\{S\left(u\right):-G\le S\le G\right\}$。

特别地，如果 $\tau :\left(H,\mu \right)\to R$是模糊正线性泛函，则对任意 $u\in H$，有 $\tau \left(u^{+}\right)=\max \left\{\rho \left(u\right):0\le \rho \le \tau \right\}$， $\tau \left(\left|u\right|\right)=\max \left\{\rho \left(u\right):-\tau \le \rho \le \tau \right\}$。

证明：令 $u\in H$， $0\le S\le G$，则 $\eta \left(S\left(u\right),S\left(u^{+}\right)\right)>\frac{1}{2}$， $\eta \left(S\left(u^{+}\right),G\left(u^{+}\right)\right)>\frac{1}{2}$，可得 $\eta \left(S\left(u\right),G\left(u^{+}\right)\right)>\frac{1}{2}$，所以 $G\left(u^{+}\right)$是集合 $\left\{S\left(u\right):0\le S\le G\right\}$的一个上界。为了证明 $G\left(u^{+}\right)$是这个集合的最大值，不妨假设 $G_{u^{+}}$是G对由 $u^{+}$生成的模糊主理想的限制的最小正扩张。因为 $\left(L,\eta \right)$是模糊 $\sigma$-完备的Riesz空间，则由引理3.1和 [12] 定理2.13可得

$G_{u^{+}}=\sup \left\{G\left(v\wedge n{u}^{+}\right):v\in H^{+},n=1,2,\cdots \right\}$

并且满足条件 $0\le G_{u^{+}}\le G$。由于 $u^{-}\wedge u^{+}=0$，则有 $G_{u^{+}}\left(u^{-}\right)=0$，

$G_{u^{+}}\left(u\right)=G_{u^{+}}\left(u^{+}\right)-G_{u^{+}}\left(u^{-}\right)=G\left(u^{+}\right)-0=G(\; u\; +\; )$

因此， $G\left(u^{+}\right)$是集合 $\left\{S\left(u\right):0\le S\le G\right\}$的最大值。

令 $u\in H$， $-G\le S\le G$，则有 $\eta \left(S\left(u^{+}\right),G\left(u^{+}\right)\right)>\frac{1}{2}$， $\eta \left(S\left(u^{-}\right),G\left(u^{-}\right)\right)>\frac{1}{2}$。由 $S\left(u\right)=S\left(u^{+}\right)-S\left(u^{-}\right)$， $G\left(\left|u\right|\right)=G\left(u^{+}\right)+G\left(u^{-}\right)$，可得

$\eta \left(S\left(u^{+}\right)-S\left(u^{-}\right),G\left(u^{+}\right)+G\left(u^{-}\right)\right)>\frac{1}{2}$

即 $\eta \left(S\left(u\right),G\left(\left|u\right|\right)\right)>\frac{1}{2}$，所以 $G\left(\left|u\right|\right)$是集合 $\left\{S\left(u\right):-G\le S\le G\right\}$的一个上界。为了证明 $G\left(\left|u\right|\right)$是这个集合的最大值，假设 $S=G_{u^{+}}-G_{u^{-}}$，则有 $-G\le S\le G$，

$S\left(u\right)=G_{u^{+}}\left(u\right)-G_{u^{-}}\left(u\right)=G\left(u^{+}\right)+G\left(u^{-}\right)=G\left(\left|u\right|\right)$

因此， $G\left(\left|u\right|\right)$是集合 $\left\{S\left(u\right):-G\le S\le G\right\}$的最大值。

假设 $\left(H,\mu \right)$， $\left(L,\eta \right)$是模糊Riesz空间，G是H到L的模糊正线性算子。 ${\mathcal{L}}_b\left(H,L\right)$表示从H到L的所有模糊序有界线性算子的集合， ${\mathcal{L}}_n\left(H,L\right)$表示从H到L所有模糊序连续线性算子。此外，H上所有模糊线性泛函，记为 $H^{\sim }$，即 $H^{\sim }={\mathcal{L}}_b\left(H,R\right)$。同样地， $H_n^{\sim }={\mathcal{L}}_n\left(H,R\right)$。

定理3.3设 $\left(H,\mu \right)$是具有模糊主投影性质的模糊Riesz空间，设 $\left(L,\eta \right)$是模糊Dedekind完备Riesz空间。则对任意 $G,S\in {\mathcal{L}}_b\left(H,L\right)$， $w\in H^{+}$，下列等式成立：

$\left[G\vee S\right]\left(w\right)=\sup \left\{G\left(u\right)+S\left(v\right):u\wedge v=0\text{and}u+v=w\right\}$

$\left[G\wedge S\right]\left(w\right)=\inf \left\{G\left(u\right)+S\left(v\right):u\wedge v=0\text{and}u+v=w\right\}$

证明：由等式 $G\vee S=-\left[\left(-G\right)\wedge \left(-S\right)\right]$，可得第一个公式可由第二个公式推导出来。并且由等式 $\left[G-\left(G\wedge S\right)\right]\wedge \left[G-\left(G\wedge S\right)\right]=0$，可知当 $G\wedge S=0$时，第二个公式成立，则其在一般情况下也是成立的。为此，在 ${\mathcal{L}}_b\left(H,L\right)$令 $G\wedge S=0$，并且固定 $w\in H^{+}$，记 $l=\inf \left\{G\left(u\right)+S\left(w-u\right):u\wedge \left(w-u\right)=0\right\}$，则下面需要证明 $l=0$。

设 $u\in H^{+}$满足 $\mu \left(u,w\right)>\frac{1}{2}$，P是 $\left(H,\mu \right)$到由 ${\left(2u-w\right)}^{+}$生成的带的模糊序映射， $v=P\left(w\right)$。由 $\mu \left(w,2u+{\left(w-2u\right)}^{+}\right)>\frac{1}{2}$，可得 $\mu \left(P\left(w\right),2P\left(u\right)+P{\left(w-2u\right)}^{+}\right)>\frac{1}{2}$。

又由于 ${\left(w-2u\right)}^{+}\wedge {\left(2u-w\right)}^{+}=0$，可得 $P\left({\left(w-2u\right)}^{+}\right)=0$， $\mu \left(P\left(w\right),2P\left(u\right)\right)>\frac{1}{2}$。再根据 [9] 定义6.1，可得 $\mu \left(P\left(u\right),u\right)>\frac{1}{2}$。因此得到

$\mu \left(v,2u\right)>\frac{1}{2}$

由 $\mu \left({\left(2u-w\right)}^{+},{\left(2w-w\right)}^{+}\right)>\frac{1}{2}$，可得 $\mu \left({\left(2u-w\right)}^{+},w\right)>\frac{1}{2}$。

又由于 $\mu \left(2u-w,{\left(2u-w\right)}^{+}\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(P{\left(2u-w\right)}^{+},{\left(2u-w\right)}^{+}\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(P{\left(2u-w\right)}^{+},P\left(w\right)\right)>\frac{1}{2}$，可以推出 $\mu \left(2u-w,v\right)>\frac{1}{2}$，最后得到

$\mu \left(w-v,2\left(w-u\right)\right)>\frac{1}{2}$

结合(*)和(**)可得 $\eta \left(G\left(v\right),G\left(2u\right)\right)>\frac{1}{2}$， $\eta \left(S\left(w-v\right),2S\left(w-u\right)\right)>\frac{1}{2}$。

则对任意 $u\in H^{+}$，当 $\mu \left(u,w\right)>\frac{1}{2}$时， $\eta \left(l,2\left(G\left(u\right)+S\left(w-u\right)\right)\right)>\frac{1}{2}$是成立的。由 [12] 中定理1可推出 $\inf \left\{G\left(u\right)+S\left(w-u\right):\mu \left(u,w\right)>\frac{1}{2}\right\}=0$，由此可得 $l=0$。

命题3.4设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间， $\xi$是H上模糊线性泛函，并且对任意 $u\in H^{+}$， $\sup \left\{\xi \left(w\right):w\in H^{+}\text{and}\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}\right\}$存在，则

${\xi }^{+}\left(u\right)=\sup \left\{\xi \left(w\right):w\in H^{+}\text{and}\mu \left(w,u^{+}\right)>\frac{1}{2}\right\}-\sup \left\{\xi \left(w\right):w\in H^{+}\text{and}\mu \left(w,u^{-}\right)>\frac{1}{2}\right\}$

证明：设 $u,w\in H^{+}$，则有 ${\xi }^{+}\left(u+w\right)={\xi }^{+}\left(u\right)+{\xi }^{+}\left(w\right)$， ${\xi }^{+}\left(u-w\right)={\xi }^{+}\left(u\right)-{\xi }^{+}\left(w\right)$。给定 $\alpha \in R\left(\alpha \ge 0\right)$， $u\in H^{+}$，假设 $\alpha {\xi }^{+}\left(u\right)\ne {\xi }^{+}\left(\alpha u\right)$。若 $\alpha >0$，则有 $\alpha {\xi }^{+}\left(u\right)={\xi }^{+}\left(\alpha u\right)$，这与假设矛盾，所以 $\alpha =0$，即 $\alpha {\xi }^{+}\left(u\right)=0={\xi }^{+}\left(\alpha u\right)$。对任意的 $u,w\in H$和 $\alpha \in R$，都有 $u+w=u^{+}+w^{+}-\left(u^{-}+w^{-}\right)$， $\alpha {\xi }^{+}\left(u\right)={\xi }^{+}\left(\alpha u\right)$。

此外，对任意 $u\in H^{+}$，有

${\xi }^{+}\left(u\right)=\sup \left\{\xi \left(w\right):\mu \left(0,w\right)>\frac{1}{2}\text{and}\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}\right\}\ge \xi \left(0\right)=0$

并且 ${\xi }^{+}$是正的。

对任意 $u\in H^{+}$，当 ${\xi }^{+}$是集合 $\left\{\xi ,0\right\}$的上界时，有 $\xi \left(u\right)\le \sup \left\{\xi \left[0,u\right]\right\}={\xi }^{+}\left(u\right)$， ${\xi }^{+}\left(u\right)\ge 0$。假设 $\rho$是一模糊线性泛函且满足条件 $\rho <{\xi }^{+}$，则对一些 $u\in H^{+}$， $\rho \left(u\right)<{\xi }^{+}\left(u\right)$是成立的。则存在 $w\in H^{+}$满足 $\mu \left(w,u\right)>\frac{1}{2}$， $\rho \left(u\right)<\xi \left(w\right)$。所以 $\rho \left(u\right)<\rho \left(w\right)$或者 $\rho \left(w\right)<\xi \left(w\right)$是成立的。当 $\rho \left(u\right)<\rho \left(w\right)$时，有 $\mu \left(u-w,u\right)>\frac{1}{2}$， $\rho \left(u-w\right)<0$，则 $\rho <0$。当 $\rho \left(w\right)<\xi \left(w\right)$时，有 $\rho <\xi$。所以 ${\xi }^{+}=\sup \left\{\xi ,0\right\}$。

引理3.5设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间， $\xi$是H上模糊序有界线性泛函， $\epsilon$是任意的正数，且对任意 $u,v\in H^{+}$都有 $\mu \left(v,u\right)>\frac{1}{2}$。则对任意 $w\in \left[0,u\right]$，有 $\xi \left(w\right)\le \xi \left(v\right)+\epsilon$当且仅当对任意 $w_1\in \left[0,v\right]$及任意 $w_2\in \left[0,u-v\right]$，使得 $\xi \left(w_2-w_1\right)\le \epsilon$成立。

证明：令 $w_1\in \left[0,v\right]$， $w_2\in \left[0,u-v\right]$。由 $\mu \left(0,v+w_2-w_1\right)>\frac{1}{2}$和 $\mu \left(v+w_2-w_1,u\right)>\frac{1}{2}$，可推出 $\xi \left(v+w_2-w_1\right)\le \xi \left(v\right)+\epsilon$，所以 $\xi \left(w_2-w_1\right)\le \epsilon$。

相反地，假设 $w_1\in \left[0,v\right]$， $w_2\in \left[0,u-v\right]$使得 $\xi \left(w_2-w_1\right)\le \epsilon$。记 $w_2\equiv \min \left\{w,u-v\right\}$， $w_1\equiv v-\left(w-w_2\right)$，则 $\mu \left(0,w_1\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(w_1,v\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(0,w_2\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(w_2,u-v\right)>\frac{1}{2}$。若 $w_1=v$， $w_2=w$，则有 $\xi \left(w-v\right)\le \epsilon$，即 $\xi \left(w\right)\le \xi \left(v\right)+\epsilon$；若 $w_1=u-w$， $w_2=u-v$，则有 $\xi \left(\left(u-v\right)-\left(u-w\right)\right)=\xi \left(u-v\right)\le \epsilon$。因此， $\xi \left(w\right)\le \xi \left(v\right)+\epsilon$。

定义 3.6设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间，若 $e\in H$使得对任意 $u\in H$都存在 $t>0$满足条件 $\mu \left(\left|u\right|,te\right)>\frac{1}{2}$，则e称为H的模糊序单位。

命题3.7设 $\left(H,\mu \right)$是具有模糊序单位的模糊Riesz空间， $\xi$是H上的模糊线性泛函使得 $\sup \left\{\xi \left(u\right):u\in H^{+}\text{and}\mu \left(u,e\right)>\frac{1}{2}\right\}$存在，则 $\xi \in H^{\sim }$和 ${\xi }^{+}$存在。

证明：给定 $\epsilon >0$，对任意 $l\in H^{+}$都有 $\mu \left(l,e\right)>\frac{1}{2}$， $\sup \left\{\xi \left(u\right):u\in H^{+}\text{and}\mu \left(u,e\right)>\frac{1}{2}\right\}-\epsilon <\xi \left(l\right)$成立，则对任意 $u\in H^{+}$，当 $\mu \left(u,e\right)>\frac{1}{2}$时， $\xi \left(u\right)<\xi \left(l\right)+\epsilon$成立。同样，假设 $u_1,u_2\in H^{+}$使得 $\mu \left(u_1,e-l\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(u_2,l\right)>\frac{1}{2}$成立，则有 $\xi \left(u_1-u_2\right)\le \epsilon$。对任意 $v,l\in H^{+}$满足条件 $\mu \left(v,e\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(l,e\right)>\frac{1}{2}$时，有 $\mu \left(0,v\wedge l\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(v\vee l,e\right)>\frac{1}{2}$。又由 $v+l=v\vee l+v\wedge l$可推得 $\mu \left(v+l,e+v\wedge l\right)>\frac{1}{2}$，则 $\mu \left(v-v\wedge l,e-l\right)>\frac{1}{2}$。所以当 $\mu \left(u_1,v-v\wedge l\right)>\frac{1}{2}$， $\mu \left(u_2,v\wedge l\right)>\frac{1}{2}$时，有 $\xi \left(u_1-u_2\right)\le \epsilon$。根据引理3.5可知对任意 $u\in H^{+}$，当 $\mu \left(u,v\right)>\frac{1}{2}$时，有 $\xi \left(u\right)\le \xi \left(v\wedge l\right)+\epsilon$。

令 $\alpha ,\beta \in R$满足 $\alpha <\beta$，且 $\epsilon =\frac{1}{2}\left(\beta -\alpha \right)$。则 $\xi \left(v\wedge l\right)<\alpha +\epsilon$或者 $\alpha <f\left(v\wedge l\right)$成立。当 $\xi \left(v\wedge l\right)<\alpha +\epsilon$时， $f\left(v\wedge l\right)+\epsilon <\alpha +2\epsilon =\beta$，所以 $\beta$是集合 $\left\{\xi \left(u\right):u\in H^{+}\text{and}\mu \left(u,v\right)>\frac{1}{2}\right\}$的上界；当 $\alpha <f\left(v\wedge l\right)$时，有 $\mu \left(v\wedge l,l\right)>\frac{1}{2}$， $\alpha <f\left(v\wedge l\right)$，则集合 $\left\{\xi \left(u\right):u\in H^{+}\text{and}\mu \left(u,v\right)>\frac{1}{2}\right\}$有上确界。

令 $v\in H^{+}$，则存在 $t>0$使得 $\mu \left(\frac{1}{t}v,e\right)>\frac{1}{2}$。因此，

$s=\sup \left\{\xi \left(u\right):u\in H^{+}\text{and}\mu \left(u,\frac{1}{t}v\right)>\frac{1}{2}\right\}$

存在，所以 $ts=\sup \left\{\xi \left(u\right):u\in H^{+}\text{and}\mu \left(u,v\right)>\frac{1}{2}\right\}$。

注解：设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间， $\xi$是H上模糊线性泛函。若对任意 $\left\{x_n\right\}\in H^{+}$都有 $\mu \left(x_n,\frac{x_0}{2^n}\right)>\frac{1}{2}$( $n=1,2,\cdots$)，使得 $\sup \left\{\left|\xi \left(x_n\right)\right|\right\}$是有限的，则 $\xi$是模糊序有界的。

定理3.8设 $\left(H,\mu \right)$是模糊Riesz空间， $\xi$是 $\left(H,\mu \right)$上模糊线性泛函。则 $\xi$是模糊序有界线性泛函当且仅当对任意模糊(相对)一致收敛于0的序列 $\left\{u_n:n=1,2,\cdots \right\}\in H^{+}$，都有 $\xi \left(u_n\right)\to 0$。

证明：只需在一个方向上给出证明即可，假设 $\left\{x_n\right\}\in H^{+}$满足条件 $\mu \left(x_n,\frac{x_0}{2^n}\right)>\frac{1}{2}$( $n=1,2,\cdots$)，由于 $\xi$是模糊序有界的，则 $\xi$将H中的模糊序区间 $\left[0,x\right]$映射到R上的模糊序区间。换句话说，我们需要证明R中的集合 $\left\{\left|\xi \left(y\right)\right|:x,y\in H^{+}\text{and}\mu \left(y,x\right)>\frac{1}{2}\right\}$是模糊序有界的。如果不是，则存在 $H^{+}$中的元素 $x_0$使得 $\sup \left\{\left|\xi \left(y\right)\right|:y\in H^{+}\text{and}\mu \left(y,x_0\right)>\frac{1}{2}\right\}=+\infty$成立。

假设

$\sup \left\{\left|\xi \left(y\right)\right|:y\in H^{+}\text{and}\mu \left(y,\frac{x_0}{2}\right)>\frac{1}{2}\right\}=+\infty$

则存在 $y_1\in H^{+}$满足条件 $\mu \left(y_1,\frac{x_0}{2}\right)>\frac{1}{2}$，并且使得 $\left|\xi \left(y_1\right)\right|\ge 3\left|\xi \left(x_0\right)\right|+2$。由此可得

$\left|\xi \left(z_1\right)\right|\ge \left|\xi \left(y_1\right)\right|-\frac{1}{2}\left|\xi \left(x_0\right)\right|\ge 2\left|\xi \left(x_0\right)\right|+2$( $z_1=\frac{x_0}{2}-y_1$)

由(*)可知下列两个上确界不可能都是有限的，

$\sup \left\{\left|\xi \left(y\right)\right|:y\in H^{+}\text{and}\mu \left(y,y_1\right)>\frac{1}{2}\right\}$， $\sup \left\{\left|\xi \left(y\right)\right|:y\in H^{+}\text{and}\mu \left(y,z_1\right)>\frac{1}{2}\right\}$.

若第一个上确界是无限的，则用 $x_1$替换 $y_1$；另一种情况则用 $x_1$替换 $z_1$。则得到

$\mu \left(x_1,\frac{x_0}{2}\right)>\frac{1}{2}$， $2\left|\xi \left(x_0\right)\right|+2\le \left|\xi \left(x_1\right)\right|$， $\sup \left\{\left|\xi \left(y\right)\right|:y\in H^{+}\text{and}\mu \left(y,x_1\right)>\frac{1}{2}\right\}=+\infty$.

通过重复使用这个过程，用 $x_1$代替 $x_0$，则存在 $x_2\in H^{+}$，使得

$\mu \left(x_2,\frac{x_1}{2}\right)>\frac{1}{2}$， $\left|\xi \left(x_2\right)\right|\ge 2\left|\xi \left(x_1\right)\right|+2\ge 4\left|\xi \left(x_0\right)\right|+4$，

$\sup \left\{\left|\xi \left(y\right)\right|:y,x_2\in H^{+}\text{and}\mu \left(y,x_2\right)>\frac{1}{2}\right\}=+\infty$.

通过重复上述过程我们得到一个序列 $\left\{x_n:n=0,1,2,\cdots \right\}$满足条件 $\mu \left(x_n,\frac{x_0}{2^n}\right)>\frac{1}{2}$， $\left|\xi \left(x_n\right)\right|\ge 2^n\left|\xi \left(x_0\right)\right|+2^n$( $n=1,2,\cdots$)。

然而，根据假设具有这种性质的序列是不存在的。所以 $\xi$是模糊序有界的。

4. 结论

本文主要研究具有模糊主射影的模糊Riesz空间上任意两个模糊序有界线性算子的上确界和下确界的存在性，并给出相应的计算公式。我们还给出了模糊线性泛函的正部的计算公式，最后我们讨论了模糊线性泛函是模糊序有界的等价条件。本文得到的结论可以逐渐丰富模糊Riesz空间上线性算子理论。

基金项目

国家自然科学基金项目(11801454)。

参考文献

[1]	Zadeh, L.A. (1965) Fuzzy Sets.Information Control, 8, 338-353. https://doi.org/10.1016/S0019-9958(65)90241-X
[2]	Zadeh, L.A. (1971) Similarity Relations and Fuzzy Orderings.InformationSciences, 3, 177-200. https://doi.org/10.1016/S0020-0255(71)80005-1
[3]	Venugopalan, P. (1992) Fuzzy Ordered Sets.Fuzzy Sets and Systems, 46, 221-226. https://doi.org/10.1016/0165-0114(92)90134-P
[4]	Beg, I. and Islam, M.U. (1995) Fuzzy Ordered Linear Spaces.Fuzzy Mathematics, 3, 659-670. https://www.researchgate.net/publication/266311007
[5]	Beg, I. and Islam, M.U. (1994) Fuzzy Riesz Spaces.Fuzzy Mathematics, 2, 211-228. https://www.researchgate.net/publication/256471147
[6]	Beg, I. and Islam, M. (1997) Fuzzy Archimedean Spaces.Fuzzy Mathematics, 5, 413-423. https://www.researchgate.net/publication/233757745
[7]	Beg, I. (1997)-Complete Fuzzy Riesz Spaces.Results in Mathematics, 31, 292-229. https://www.researchgate.net/publication/257289053 https://doi.org/10.1007/BF03322166
[8]	Beg, I. (1998) Extenssion of Fuzzy Positive Linear Operator.Fuzzy Mathematics, 6, 849-855. https://www.researchgate.net/publication/262611976
[9]	Hong, L. (2015) Fuzzy Riesz Subspaces, Fuzzy Ideals, Fuzzy Bands, and Fuzzy Band Projections.Seria Matematica-Informatica, 53, 77-108. https://doi.org/10.1515/awutm-2015-0005
[10]	Park, C., Movahednia, E., Mosadegh, S.M.S.M. and Mursaleen, M. (2018) Riesz Fuzzy Normed Spaces and Stability of a Lattice Preserving Functional Equation.Journal ofComputationalAnalysis Applications, 24, 569-579.
[11]	Iqbal, M. and Bashir, Z. (2020) The Existence of Fuzzy Dedekind Completion of Archimedean Fuzzy Riesz Space.Computational and Applied Mathematics, 39, 116. https://doi.org/10.1007/s40314-020-1139-3
[12]	Guirao, J., Iqbal, M., Bashir, Z. and Rashid, T. (2021) A Study on Fuzzy Order Bounded Linear Operators in Fuzzy Riesz Spaces.Mathematics, 9, 1512. https://doi.org/10.3390/math9131512
[13]	Cheng, N., Liu, X. and Dai, J. (2022) Extension of Fuzzy Linear Operators on Fuzzy Riesz Spaces.Bulletin des Sciences Mathématiques, 179, 103168. https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2022.103168
[14]	刘宵. 模糊Riesz空间中收敛序列性质的研究[D]: [硕士学位论文]. 成都: 西华大学理学院, 2022.