1. 渐近线的定义

当曲线上一点沿曲线无限远离原点或者无限接近间断点时，如果该点到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线就称为曲s线的渐近线 [1] 。函数图形描述的是“增减极值渐近线，凹凸拐点曲率圆 [2] ”，其中渐近线描述函数图形变化趋势。渐近线分为：垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线 [3] 。

1.1. 垂直渐近线

如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\infty$ ，则 $x=x_0$ 是函数 $y=f\left(x\right)$ 图形的垂直渐近线，也就是无穷间断点。

垂直渐近线可以有无数条，也就是有无数个无穷间断点，如 $y=\tan x$ 。

1.2. 水平渐近线

如果 $\underset{x\to \infty }{lim}f\left(x\right)=A$ ，则 $y=A$ 是函数 $y=f\left(x\right)=A+\alpha$ 图形的水平渐近线。

求水平渐近线、斜渐近线需要针对函数关系 $y=f\left(x\right)$ 分别考虑两个单侧极限( $x\to -\infty$ 或 $x\to +\infty$ )。水平渐近线至多有两条( $x\to -\infty$ 或 $x\to +\infty$ )。

1.3. 斜渐近线

如果 $\underset{x\to \infty }{lim}\left[f\left(x\right)-kx-b\right]=0$ ，则 $y=kx+b$ 是函数 $y=f\left(x\right)=kx+b+\alpha$ 图形的斜渐近线。

斜渐近线也至多有两条( $x\to -\infty$ 或 $x\to +\infty$ )。

水平渐近线与斜渐近线总共最多有两条，不可能既是水平渐近线，同时又是斜渐近线。

根据 $\underset{x\to \infty }{lim}x\left[\frac{f\left(x\right)}{x}-k-\frac{b}{x}\right]=0$ ，求出 $k=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{f\left(x\right)}{x}$ ， $b=\underset{x\to \infty }{lim}\left[f\left(x\right)-kx\right]$ 。

常规方法求渐近线都要求极限，因而做题难度偏大，尤其是求斜渐近线需求两次极限，难度最大。

隐函数 $F\left(x,y\right)=0$ 由于难以得出函数关系 $y=f\left(x\right)$ ，从而更加难以求出渐近线。

笔者通过多年教学实践总结出显函数 $y=f\left(x\right)$ 及隐函数 $F\left(x,y\right)=0$ 渐近线的快速简便方法——通过拆项及泰勒公式展开，然后利用极限与无穷小之间的关系即可求出，整个求渐近线过程避免求极限！

2. 求显函数 $y=f\left(x\right)$ 渐近线的快速简便方法

1) 求垂直渐近线就是找到函数 $y=f\left(x\right)$ 图形的无穷间断点 $x_0$ ，也就求出了垂直渐近线 $x=x_0$ 。

2) 求水平渐近线就是找到函数 $y=f\left(x\right)=A+O\left(\frac{1}{x}\right)$ ，也就求出了水平渐近线 $y=A$ 。

3) 求斜渐近线就是找到函数 $y=f\left(x\right)=kx+b+O\left(\frac{1}{x}\right)$ ，也就求出了斜渐近线 $y=kx+b$ 。

3. 显函数求渐近线实例

3.1. 简单题型

【例1】 $y=2+\frac{1}{x}$ 的垂直渐近线为 $x=0$ (无穷间断点)，水平渐近线为 $y=2$ 。

【例2】 [5] $y=x+\frac{1}{x}$ 的垂直渐近线为 $x=0$ (无穷间断点)，斜渐近线为 $y=x$ 。

【例3】 $y=\frac{1+{\text{e}}^{-x^2}}{1-{\text{e}}^{-x^2}}$ 的垂直渐近线 $x=0$ (无穷间断点)，水平渐近线 $y=1$ 。

函数图形如下图1。

【例4】 [6] $y=f\left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^x{\text{e}}^{-\frac{t^2}{2}\text{d}t}}$ ， $f\left(+\infty \right)={\displaystyle {\int }_0^{+\infty }{\text{e}}^{-\frac{t^2}{2}\text{d}t}}=\frac{\sqrt{2\pi }}{2}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\text{e}}^{-\frac{t^2}{2}\text{d}t}}=\frac{\sqrt{2\pi }}{2}$ ，

$f\left(-\infty \right)={\displaystyle {\int }_0^{-\infty }{\text{e}}^{-\frac{t^2}{2}\text{d}t}}=-\frac{\sqrt{2\pi }}{2}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\text{e}}^{-\frac{t^2}{2}\text{d}t}}=-\frac{\sqrt{2\pi }}{2}$ ，水平渐近线为 $y=\pm \frac{\sqrt{2\pi }}{2}$ 。

【例5】 [7] $y=\frac{2x^2-3}{5x^2+2\sin x}=\frac{2-\frac{3}{x^2}}{5+2\frac{\sin x}{x^2}}$ ，垂直渐近线为 $x=0$ (无穷间断点)，水平渐近线为 $y=\frac{2}{5}$ 。

【例6】 [8] $y=\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}\arctan \frac{1}{x}=\frac{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\arctan \frac{1}{x}=\frac{1-\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}\arctan \frac{1}{x}$ ，垂直渐近线为 $x=-1$ (无穷间断点)，水平渐近线为 $y=0$ 。

函数图形如下图2。

3.2. 拆项题型

【例7】 [9] $y=\frac{x^2+x}{x^2-1}=\frac{x^2-1+x+1}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=1+\frac{1}{x-1}$ ，垂直渐近线为 $x=1$ (无穷间断点)，水平渐近线为 $y=1$ 。

【例8】 $y=\frac{x^3-x^2}{x^2-1}=\frac{x\left(x^2-1\right)-\left(x^2-1\right)+\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=x-1+\frac{1}{x+1}$ ，垂直渐近线为 $x=-1$ (无穷间断点)，斜渐近线为 $y=x-1$ 。

【例9】 $y=\frac{2x^2+x+2}{x-1}=\frac{2x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)+5}{x-1}=2x+3+\frac{5}{x-1}$ ，垂直渐近线为 $x=1$ (无穷间断点)，斜渐近线为 $y=2x+3$ 。

【例10】 $y=\frac{2x^5-4x^4+1}{x^4+1}=\frac{2x\left(x^4+1\right)-4\left(x^4+1\right)-2x+5}{x^4+1}=2x-4-\frac{2x-5}{x^4+1}$ 。

斜渐近线为 $y=2x-4$ 。

函数图形如下图3。

【例11】 $y=\frac{1+x}{1-{\text{e}}^{-x}}=\frac{\left(1+x\right){\text{e}}^x}{{\text{e}}^x-1}=\frac{\left(1+x\right)\left({\text{e}}^x-1+1\right)}{{\text{e}}^x-1}=1+x+\frac{1+x}{{\text{e}}^x-1}$ 。

垂直渐近线为 $x=0$ (无穷间断点)，水平渐近线 $y=0$ ( $x\to -\infty$ )，斜渐近线为 $y=x+1$ ( $x\to +\infty$ )。

【例12】 [5] $y=\frac{1}{x}+\ln \left(1+{\text{e}}^x\right)=\frac{1}{x}+\ln \left[{\text{e}}^x\left(1+{\text{e}}^{-x}\right)\right]=x+\frac{1}{x}+\ln \left(1+\frac{1}{{\text{e}}^x}\right)$ 。

垂直渐近线 $x=0$ (无穷间断点)，水平渐近线 $y=0$ ( $x\to -\infty$ )，斜渐近线 $y=x$ ( $x\to +\infty$ )。

【例13】 [9]

$y=\frac{1}{x\left(x-1\right)}+\ln \left(1+{\text{e}}^x\right)=\frac{x-\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)}+\ln \left[{\text{e}}^x\left(1+\frac{1}{{\text{e}}^x}\right)\right]=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x}+x+\ln \left(1+\frac{1}{{\text{e}}^x}\right)$ 。

垂直渐近线 $x=0$ ， $x=1$ (无穷间断点)，水平渐近线 $y=0$ ( $x\to -\infty$ )，斜渐近线 $y=x$ ( $x\to +\infty$ )。

【例14】 [10] $y=\frac{x^3+4}{x^2}=x+\frac{4}{x^2}$ 垂直渐近线为 $x=0$ (无穷间断点)，斜渐近线 $y=x$ 。

函数图形如下图4。

3.3. 泰勒公式展开题型

【例15】 [11] $y=x\sin \frac{1}{x}=x\left(\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=1+o\left(\frac{1}{x}\right)$ ，水平渐近线 $y=1$ 。

【例16】 [1] $y=2x{\text{e}}^{\frac{1}{x}}=2x\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=2x+2+\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$ ，垂直渐近线为 $x=0$ (无穷间断点)，斜渐近线为 $y=2x+2$ 。

【例17】 [12]

$y=\frac{x^2+x-2}{x-1}{\text{e}}^{\frac{1}{x}}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x-1}{\text{e}}^{\frac{1}{x}}=\left(x+2\right)\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{2x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)=x+3+\frac{2}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)$ ，垂直渐近线为 $x=0$ (无穷间断点)，斜渐近线为 $y=x+3$ 。

【例18】 [13]

$y=x+\sqrt{x^2-x+1}=x+\sqrt{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}}=x\pm \left(x-\frac{1}{2}\right){\left[1+\frac{\frac{3}{4}}{{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2}\right]}^{\frac{1}{2}}=x\pm \left(x-\frac{1}{2}\right)\left[1+o\left(\frac{1}{x-\frac{1}{2}}\right)\right]$

$y=x\pm \left(x-\frac{1}{2}\right)+O\left(\frac{1}{x-\frac{1}{2}}\right)$ ，渐近线 $y=x\pm \left(x-\frac{1}{2}\right)=\{\begin{array}{ll}2x-\frac{1}{2}\hfill & x\to +\infty \hfill \\ \frac{1}{2}\hfill & x\to -\infty \hfill \end{array}$

函数图形如下图5。

【例19】(2020数二15分)曲线 $y=\frac{x^{1+x}}{{\left(1+x\right)}^x}$ ( $x>0$ )的斜渐近线。

$y=\frac{x^{1+x}}{{\left(1+x\right)}^x}=x\frac{x^x}{{\left(1+x\right)}^x}=\frac{x}{{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x}=x{\text{e}}^{-x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}={\text{e}}^{-1}\left(x+\frac{1}{2}-\frac{1}{12x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right)$ 。

这里： $\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{3x^3}+o\left(\frac{1}{x^3}\right)$ ， $-x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=-1+\frac{1}{2x}-\frac{1}{3x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)$ ，

${\text{e}}^{-x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}={\text{e}}^{-1+\frac{1}{2x}-\frac{1}{3x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)}={\text{e}}^{-1}{\text{e}}^{\frac{1}{2x}-\frac{1}{3x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)}={\text{e}}^{-1}\left(1+\frac{1}{2x}-\frac{1}{3x^2}+\frac{1}{4x^2}+o\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)$ ，

$y={\text{e}}^{-1}\left(x+\frac{1}{2}-\frac{1}{12x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right)$ ，斜渐近线为 $y={\text{e}}^{-1}\left(x+\frac{1}{2}\right)$ 。

【例20】 [14] $y=1-x+\sqrt{\frac{x^3}{x+3}}$ 垂直渐近线 $x=-3$ (无穷间断点)，渐近线 $y=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2}\hfill & x\to +\infty \hfill \\ \frac{5}{2}-2x\hfill & x\to -\infty \hfill \end{array}$

$y=1-x+\sqrt{\frac{x^3}{x+3}}=1-x\pm x{\left(1-\frac{3}{3+x}\right)}^{\frac{1}{2}}=1-x\pm x\left(1-\frac{1}{2}\frac{3}{3+x}+\frac{1}{2!}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right){\left(\frac{3}{3+x}\right)}^2+o{\left(\frac{3}{3+x}\right)}^2\right)$ ，

$y=1-x\pm x\mp \frac{3}{2}\pm \frac{3}{2}\frac{3}{3+x}+o\left(\frac{3}{3+x}\right)=\{\begin{array}{ll}-\frac{1}{2}\pm \frac{3}{2}\frac{3}{3+x}+o\left(\frac{3}{3+x}\right)\hfill & x>0\hfill \\ \frac{5}{2}-2x\pm \frac{3}{2}\frac{3}{3+x}+o\left(\frac{3}{3+x}\right)\hfill & x<0\hfill \end{array}$ 。

【例21】(2023数一5分)求 $y=x\ln \left(\text{e}+\frac{1}{x-1}\right)$ 的渐近线。

解：垂直渐近线： $x=1$ (无穷间断点)， $x=1-\frac{1}{\text{e}}$ (无穷间断点)，

$y=x\ln \left(\text{e}\left(1+\frac{1}{\text{e}\left(x-1\right)}\right)\right)=x+x\ln \left(1+\frac{1}{\text{e}\left(x-1\right)}\right)=x+x\left(\frac{1}{\text{e}\left(x-1\right)}-\frac{1}{2{\text{e}}^2{\left(x-1\right)}^2}+o\left(\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}\right)\right)$ ，

$y=x+\frac{x-1+1}{\text{e}\left(x-1\right)}+o\left(\frac{1}{x-1}\right)=x+\frac{1}{\text{e}}+\frac{1}{\text{e}\left(x-1\right)}+o\left(\frac{1}{x-1}\right)$ ，斜渐近线： $y=x+\frac{1}{\text{e}}$

【例22】 [11] 求 $y=\sqrt{4x^2+x}\ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 的渐近线。

解： $\underset{x\to -\frac{1}{2}}{lim}\sqrt{4x^2+x}\ln \left(2+\frac{1}{x}\right)=\infty$ ，垂直渐近线： $x=-\frac{1}{2}$ (无穷间断点)。

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sqrt{4x^2+x}\ln \left(2+\frac{1}{x}\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sqrt{x}\sqrt{1+4x}\left(\ln \frac{1}{x}+\ln \left(1+2x\right)\right)=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sqrt{x}\ln \frac{1}{x}=0$ ，

$y=2\left|x\right|{\left(1+\frac{1}{4x}\right)}^{\frac{1}{2}}\left(\ln 2+\ln \left(1+\frac{1}{2x}\right)\right)=2\left|x\right|\left(1+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)\left(\ln 2+\frac{1}{2x}+O\left(\frac{1}{x}\right)\right)$ ，

$y=2\left|x\right|\left(\ln 2+\frac{\ln 2}{8x}+\frac{1}{2x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)\right)$ ， $y=2\left|x\right|\ln 2+\left(\frac{\ln 2}{4}+1\right)\frac{\left|x\right|}{x}+O\left(\frac{1}{x}\right)$ ，

斜渐近线： $y=\{\begin{array}{ll}2x\ln 2+\left(\frac{\ln 2}{4}+1\right)\hfill & x\to +\infty \hfill \\ -2x\ln 2-\left(\frac{\ln 2}{4}+1\right)\hfill & x\to -\infty \hfill \end{array}$

函数图形如下图6。

3.4. 等价无穷小替换题型

【例23】 [12] $y=\left(x-1\right){\text{e}}^{\frac{\pi }{2}+\arctan x}$ . $x\to -\infty$ 时， $\frac{\pi }{2}+\arctan x~-\frac{1}{x}$ ，

$\left(x-1\right){\text{e}}^{\frac{\pi }{2}+\arctan x}~\left(x-1\right){\text{e}}^{-\frac{1}{x}}=\left(x-1\right)\left(1-\frac{1}{x}+o\left(\frac{1}{x}\right)\right)=x-2+O\left(\frac{1}{x}\right)$ ，

时， $\arctan x-\frac{\pi }{2}~-\frac{1}{x}$ ， $\left(x-1\right){\text{e}}^{\frac{\pi }{2}+\arctan x}~{\text{e}}^{\pi }\left(x-1\right){\text{e}}^{-\frac{1}{x}}={\text{e}}^{\pi }\left(x-2\right)+O\left(\frac{1}{x}\right)$ ；

$x\to -\infty$ 时，一条斜渐近线为 $y=x-2$ ； $x\to +\infty$ 时，另一条斜渐近线为 $y={\text{e}}^{\pi }\left(x-2\right)$ 。

【例24】 [15] 求 $y=x\arctan x$ 的渐近线。 $x\to -\infty$ 时， $\frac{\pi }{2}+\arctan x~-\frac{1}{x}$ ，

$x\arctan x=x\left(\frac{\pi }{2}+\arctan x-\frac{\pi }{2}\right)~x\left(-\frac{1}{x}-\frac{\pi }{2}\right)=-\frac{\pi }{2}x-1$ ；

$x\to +\infty$ 时， $\arctan x-\frac{\pi }{2}~-\frac{1}{x}$ ， $x\arctan x=x\left(\arctan x-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}\right)~x\left(-\frac{1}{x}+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}x-1$ 。

$y=x\arctan x$ 的斜渐近线为 $y=\{\begin{array}{ll}-\frac{\pi }{2}x-1\hfill & x\to -\infty \hfill \\ \frac{\pi }{2}x-1\hfill & x\to +\infty \hfill \end{array}$

函数图形如下图7。

4. 隐函数求渐近线

隐函数因函数关系 $y=f\left(x\right)$ 无法写出，只能通过隐函数方程 $F\left(x,y\right)=0$ 间接求渐近线。

4.1. 垂直渐近线

如果 $\underset{y\to \infty }{lim}x=x_0$ ，则 $x=x_0$ 是隐函数 $F\left(x,y\right)=0$ 图形的垂直渐近线，也就是无穷间断点。

垂直渐近线可以有无数条，也就是有无数个无穷间断点。

4.2. 水平渐近线

如果 $\underset{x\to \infty }{lim}y=A$ ，则 $y=A$ 是隐函数 $F\left(x,y\right)=0$ 图形的水平渐近线。

水平渐近线至多有两条( $x\to -\infty$ 或 $x\to +\infty$ )。

4.3. 斜渐近线

如果 $k=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{y}{x}$ 存在，则隐函数 $F\left(x,y\right)=0$ 图形的斜渐近线 $y=kx+b$ 存在。

将 $y=kx+b$ 带入隐函数方程 $F\left(x,y\right)=0$ 求出b。

斜渐近线也至多有两条( $x\to -\infty$ 或 $x\to +\infty$ )。

4.4. 隐函数求渐近线实例

【例25】 [15] 求隐函数 $x{y}^3+x^4{y}^2+2x^{4}y+3x^3+1=0$ 的渐近线。

解：两边同除x、y最高次数x⁴、y³，得：

$y^2+2y+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^4}+\frac{y^3}{x^3}=\text{0}$ ， $x+\frac{x^4}{y}+\frac{2x^4}{y^2}+\frac{3x^3+1}{y}=0$ 。

当 $x\to \infty$ 时， $y^2+2y=\text{0}$ ，隐函数 $y=f\left(x\right)$ 图形的水平渐近线为 $y=0$ ， $y=-2$ ；

当 $y\to \infty$ 时， $x=0$ ，隐函数 $y=f\left(x\right)$ 图形的垂直渐近线为 $x=0$ 。

$x^4\frac{y^3}{x^3}+x^6\frac{y^2}{x^2}+2x^5\frac{y}{x}+3x^3+1=0$ ，若 $k=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{y}{x}$ 存在，则 $x\to \infty$ 时等式左边为 $\infty$ ，

与右边为0矛盾，所以隐函数 $y=f\left(x\right)$ 没有斜渐近线。

【例26】 [15] 隐函数 $\left(x-1\right)\left(y-3\right)=1$ ，求渐近线。

解： $x\to \infty ,y\to 3$ ，水平渐近线 $y=3$ ； $y\to \infty ,x\to 1$ ，垂直渐近线 $x=1$ ；

$\left(x-1\right)\left(x\cdot \frac{y}{x}-3\right)=1$ ，若 $k=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{y}{x}$ 存在，则 $x\to \infty$ 时等式左边为 $\infty$ 与右边为常数矛盾，

所以隐函数 $y=f\left(x\right)$ 没有斜渐近线。

【例27】 [16] 笛卡尔叶形线曲线 $x^3+y^3=3axy$ ， $1+\frac{y^3}{x^3}=\frac{3ay}{x^2}$ ， $k=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{y}{x}$ ，则 $x\to \infty$ 时 $1+k^3=0$ ， $k=-1$ 。将 $y=-x+b$ 带入曲线方程 $x^3+y^3=3axy$ ，得：

$b\left(3x^2-3xb+b^2\right)=x^3+{\left(-x+b\right)}^3=3ax\left(-x+b\right)=-3a{x}^2+3abx$ ， $b\left(3-\frac{3b}{x}+\frac{b^2}{x^2}\right)=-3a+\frac{3ab}{x}$ ， $x\to \infty$ 时， $b=-a$ ，斜渐近线 $x+y+a=0$ 。

常规求法：设 $y=tx$ ，则 $x^3+t^3{x}^3=3at{x}^2$ ，参数方程 $\{\begin{array}{c}x=\frac{3at}{1+t^3}\\ y=\frac{3a{t}^2}{1+t^3}\end{array}$

当 $x\to \infty$ 时 $t\to -1$ ， $x+y+a=\frac{3at\left(1+t\right)}{\left(1+t\right)\left(1-t+t^2\right)}+a=\frac{a{\left(1+t\right)}^2}{1-t+t^2}\to 0$ ， $k=\underset{x\to \infty }{lim}\frac{y}{x}=\underset{t\to -1}{lim}\frac{3a{t}^2}{3at}=\underset{t\to -1}{lim}t=-1$ ， $b=\underset{t\to -1}{lim}\left(y-kx\right)=\underset{t\to -1}{lim}\frac{3at\left(1+t\right)}{\left(1+t\right)\left(1-t+t^2\right)}=-a$ ，斜渐近线 $y=-x-a$ 。

函数图形如下图8。

本文中的所有图形均使用Mathematica 4.0绘制。

基金项目

《商务智能与大数据金融》建设项目(11511514002)。

参考文献