1. 引言

随着消费者的个性化需求和对新品类消费的增加，若运营管理者不能对库存量做精准预测，不仅会增加企业的经济成本，也会提高缺货成本或者影响消费者的时效体验，进而影响销售收入。因此，如何对门店与配送中心的品类和库存进行科学地配置是新零售企业面临的难题之一 [1] 。目前国内外学者已经对库存预测模型开展了大量研究，李敬泉和满秀芳(2014)运用报童模型研究了三种库存模式下的零售商和供应商的最优库存策略，结果显示零售商分散化管理库存策略和供应商共享库存策略有利于零售商和供应商分别发挥各自优势，实现风险共担，利益共享，提高供应链整体利润水平 [2] 。罗晓萌等(2014)基于时间序列法对目前系统中历史销售数据进行分析以预测未来需求，同时考虑价格对需求的影响，通过验证发现预测误差一般能控制在10%以下 [3] 。杨静雅和孙林夫(2015)提出支持向量回归(SVR)的预测方法，采用量子粒子群算法(QPSO)对SVR参数进行优化选择，设计基于QPSO-SVR的售后配件库存需求预测流程。实验和比较结果表明，QPSO-SVR预测方法有效可行，其预测精度和泛化能力较强 [4] 。

由于零售业库存量在一般情况下是由上期库存以及当期的销售量所决定，不受之前状态所影响，即具备马尔可夫性质 [5] 。本文第一部分对马尔可夫链及其预测模型进行介绍，第二部分通过选取M超市2021年共14个品类每月的库存量资料，通过运用马尔可夫链模型对其库存量进行预测。最后预测结果表明该模型为企业库存决策有一定帮助，为零售业库存预测提供新思路。

2. 马尔可夫链预测法

2.1. 马尔可夫链

马尔可夫链是指状态空间中从某一状态转换到另一个状态的随机过程，该过程要求具备“马尔可夫性质”，即“无记忆性”，下一状态的概率分布只由当期状态决定，不受时间序列中前期状态所影响 [6] 。

设随机序列 $\left\{X\left(n\right),n=0,1,2,\cdots \right\}$ 具有离散状态空间E。若对于任意m个非负整数 $n_1,n_2,\cdots ,n_m$ ( $0\le n_1<n_2<\cdots <n_m$ )和任意自然数k，以及任意 $i_1,i_2,\cdots ,i_m,j\in E$ ，满足 $P\left\{X\left(n_m+k\right)=j|X\left(n_1\right)=i_1,X\left(n_2\right)=i_2,\cdots ,X\left(n_m\right)=i_m\right\}=P\left\{X\left(n_m+k\right)=j|X\left(n_m\right)=i_m\right\}$ ，在上式中，如果n_m表示现在时刻， $n_1,n_2,\cdots ,n_{m-1}$ 表示过去时刻，n_m + k表示将来时刻，则表明该随机过程在将来n_m + k时

刻处于状态j的概率仅依赖于现在n_m时刻的状态i_m，而与m − 1各时刻所处的状态无关，可以将该随机序列称之为马尔可夫链 [7] 。

2.2. 转移矩阵

记 $P_{ij}\left(n,n+k\right)=P\left\{X\left(n+k\right)=j|X\left(n\right)=i\right\}$ 表示已知n时刻处于状态i，经k个单位时间后过程处于状态j的概率，简记P_ij(k)。当k = 1时，P_ij(1)称为一步转移概率，此时 $P_{ij}=P_{ij}\left(1\right)=P\left\{X\left(n+1\right)=j|X\left(n\right)=i\right\}$ ，一步转移概率可写成矩阵形式，对有限状态空间 $E=\left\{1,2,\cdots ,N\right\}$ ，矩阵 $P=\left[\begin{array}{cccc}{P}_{11}& P_{12}& \cdots & P_{1n}\\ P_{21}& P_{21}& \cdots & P_{2n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ P_{n1}& P_{n1}& \cdots & P_{nn}\end{array}\right]$ 一步转移概率矩阵，具有性质：① $0\le P_{ij}\le 1$ ， $i,j=1,2,\cdots$ ；② ${\displaystyle {\sum }_{j\in E}{P}_{ij}}=1$ ， $i=1,2,\cdots$ [8] 。

由C-K方程可知，马尔可夫链的转移概率之间有下列关系： $p_{ij}\left(n\right)=p_{ij}\left(k+l\right)={\displaystyle {\sum }_r{p}_{ir}\left(k\right)p_{rj}\left(l\right)}$ ， $i,j=1,2,\cdots$ ，一般地，有 $P\left(n\right)={\left[P\left(1\right)\right]}^n$ [9] 。

2.3. 马尔可夫预测模型

马尔可夫预测模型是指通过在过去的时间序列中各状态之间的转移概率来建立初始转移概率矩阵。若想得到t_n时刻处于各状态的概率，只需知道t₀时刻的状态，通过n次状态转移，利用C-K方程求出。

在零售业库存预测模型中，通过2021年的库存数据，建立库存量状态的转移概率矩阵，即可建立马尔可夫模型。

3. M超市库存需求精准度测试

下面以M超市14个品类在2021年12个月的库存量数据为例建立初始转移概率矩阵，据此预测2021年库存量(见表1)。

3.1. 库存量数据标准化

由于在M超市14各品类中，大多品类的量纲不同，使得数据不具有可比性，故应先将库存量数据进行标准化。数据标准化可消除变量间的量纲关系，本文采用的是Z-Score标准化 [10] 。由上表数据可知，

均值为 ${\bar{X}}_i$ ，标准差为s_i，每月库存量数据为X_ij，则经标准化后的数据 $Z_{ij}=\left(X_{ij}-\bar{X}\right)/s_i$ ，见表2。

3.2. 库存量状态划分

通过观察经标准化后库存数据，本文将库存量按照下面的标准划分为5种状态。① 库存量极少S1 (−1.2以下)；② 库存量偏少S2 (−1.2至−0.4)；③ 库存量正常S3 (−0.4至0.4) ④ 库存量偏多S4 (0.4至1.2)；⑤ 库存量极多S5 (1.2以上)。库存量具备“无记忆性”的特点，故可以将其看作是一个以{S1,S2,S3,S4,S5}为状态空间的马尔可夫链，据此建立马尔可夫链模型。

3.3. 建立转移概率矩阵

根据各月份的状态数量变化情况，M_ij表示由状态i转移到状态j的个数，M_i表示处于状态i的个数，

通过计算 $P_{ij}=\frac{M_{ij}}{M_i}$ ( $i=1,2,\cdots ,n$ ) [11] ，得出一步概率矩阵P₁。

$P_1=\left[\begin{array}{ccccc}0.10& 0.40& 0.40& 0.00& 0.00\\ 0.17& 0.48& 0.26& 0.10& 0.00\\ 0.04& 0.33& 0.48& 0.12& 0.04\\ 0.06& 0.06& 0.39& 0.36& 0.12\\ 0.00& 0.12& 0.24& 0.47& 0.18\end{array}\right]$

通过第一步状态矩阵计算第二步状态矩阵P₂。

$P_2={\left(P_1\right)}^2=\left[\begin{array}{ccccc}0.09& 0.38& 0.36& 0.14& 0.04\\ 0.12& 0.39& 0.36& 0.12& 0.04\\ 0.09& 0.34& 0.39& 0.15& 0.04\\ 0.05& 0.22& 0.40& 0.24& 0.09\\ 0.06& 0.19& 0.37& 0.29& 0.10\end{array}\right]$

基于C-K方程，经过矩阵变换后可得到P₃，P₄，P₅。

3.4. 库存量预测

以母婴品类为例，由表2数据对应库存量状态划分标准可知，2021年1~5月的库存状态依次为S5，S5，S4，S3，S3，分别对应步长5~1，根据各阶步长转移概率矩阵中对应状态的概率，将各状态下的概率求和，预测6月库存量，结果见表3。

由表数据可知，在马尔可夫链模型下，6月库存量在S1状态下的概率为0.37/(0.37 + 1.58 + 2.02 + 0.83 + 0.27) = 7.30%，可以算出最大概率在S3状态水平为39.84%。以此类推，结合2月至6月的实际库存数据来预测7月库存量，处于S2状态下的概率最大，为35.48%。重复上述过程，得出8月至12月的库存量最大概率均在S2状态水平下，与实际情况相比，两者符合的概率计算结果为85.71%，结果见图1。

本文在模型中初始转移概率矩阵的建立过程中，不仅考虑了其他品类的库存变化，还有一年内不同月份的库存变化。将数据进行标准化，削弱了门店销售状况以及季节变化对产品销售带来的影响。使得该模型在实际应用中具有一定的参考价值。

4. 结论

随着消费者日益增长的个性化需求与缺货容忍度逐步降低，对于库存需求预测的精准度要求越来越高。本文基于零售业库存量所具有的马尔可夫性质，以M超市整体库存量进行分析研究，利用企业已有的历史库存数据建立转移概率矩阵，对各品类的未来库存量进行预测。本研究结果表明，应用马尔可夫链模型预测的库存数据准确度高达85.71%，本模型在一定程度上解决了M超市库存管理上的不足，目前已被M超市采纳，且在试用阶段，该模型对未来库存数据的预测具有较高的准确性及可靠性。但由于历史数据量的局限性，在后续模型设计中，选取更多的数据作为支撑，预测结果将更具说服力。

基金项目

本文受到教育部青年基金项目(20YJC790118)的资助。

参考文献