1. 引言

输电塔是风敏结构，其风振响应是从业人员的关注点。然而传统方法在计算风振响应时十分复杂。

目前，国内外学者对输电塔风振系数计算的研究很多。蔡熠通过研究发现增加横隔面支撑可以提高输电塔的结构强度 [1] 。刘荣见等人通过试验发现 $\beta \left(z\right)$随着高度的增加而增大，但在分叉后会因为质量和刚度的减小而减小 [2] 。赵建等人通过数值模拟的手段发现虽然 $\beta \left(z\right)$沿高度呈线性分布，但在横担附近存在较大突变，且沿长悬臂方向变化幅度不大 [3] 。张爽等人通过有限元建模，研究不同风速、风向和塔型对输电塔风振系数的影响，得到输电塔塔身及横担对风振系数的影响 [4] 。赵爽等人通过对气动弹性模型的风洞试验，研究了超高层输电塔的ESWL (等效静力风荷载) [5] 。同时，分析了钢管混凝土和梯度风高度对 $\beta \left(z\right)$的影响，并对中国规范中设计风荷载公式的适用性提出了一些建议。

本文在此提出一种输电塔风振系数实用计算方法，该方法考虑了横担和法兰盘对风振特性的影响，与现有规范和有限元计算分析相比，具有计算结果更准确、计算过程更简洁的优势。首先建立形状均匀的输电塔计算模型，然后将形状变化的因素以及横担和法兰盘的影响引入到模型中，接着根据实际结构提出了一种新的输电塔设计风荷载计算模型。通过一系列简化，最终得到悬臂输电塔风振系数实用计算方法(如图1所示)。

2. 风振系数推导

输电塔由横担、法兰盘和主塔身组成，建立如图2所示的计算模型。

首先需确定两个假设：其一，输电塔设计采用塔线分离法，这种方式更为保守 [6] 。其二，顺风方向的风振系数只能激发该方向的风振。

对于高层塔结构，风振惯性荷载为：

${{\hat{f}}^{\prime }}_{D_1}\left(z\right)={\omega }_1^{2}m\left(z\right){\varphi }_1\left(z\right)g_s{\sigma }_{q_1}$,(1)

其中， ${\omega }_1$是一阶模态的无阻尼自然圆频率； $m\left(z\right)$是单位高度的质量； ${\varphi }_1\left(z\right)$是一阶模态的振型； ${\sigma }_{q1}$是 $q_{\text{1}}\left(t\right)$的标准偏差； $q_{\text{1}}\left(t\right)$是一阶模态的时变广义坐标。

等效静力风荷载的总和(ESWLs)：

$f_{ESWL}\left(z\right)=\bar{f}\left(z\right)+{{\hat{f}}^{\prime }}_{D_1}\left(z\right)=\beta \left(z\right)\bar{f}\left(z\right)$,(2)

$\beta \left(z\right)=1+\frac{{\omega }_1^{2}m\left(z\right){\varphi }_1\left(z\right)g_s{\sigma }_{q_1}}{{\omega }_{10}{\mu }_z\left(z\right)C_d\left(z\right)b_s\left(z\right)}=1+{\xi }_1{u}_1{r}_1\left(z\right)$,(3)

其中 $\bar{f}\left(z\right)$是单位高度沿风向的时变风阻力平均分量。 ${\omega }_{10}$是z= 10 m时的平均风压； ${\mu }_z\left(z\right)$是风压高度变化系数； $C_d\left(z\right)$是局部阻力系数； $b_s\left(z\right)$是局部有效挡风玻璃宽度； ${\xi }_1$是风振引起的动力系数； $u_1$与风的波动特性有关，称为综合影响系数； $r_1\left(z\right)$与计算点的位置相关，可称为位置系数。公式(1)至(3)是ESWL的通用公式，适用于任何输电塔。由于公式中涉及的参数多、含有多重积分使其在实际使用中不便。

形状均匀的输电塔的质量和挡风面积在纵向上是不变的。因此， $m\left(z\right)$、 $b_s\left(z\right)$、 $C_d\left(z\right)$和 ${\xi }_1$是常数，且z= 0。因此，公式(3)中的 $\beta \left(z\right)$可改写为

$\beta \left(z\right)=1+2g_s{I}_{10}{B}_z\left(z\right)\sqrt{1+R^2}$,(4)

$B_z\left(z\right)=k_{\gamma }{H}^{a_{\gamma }}{\rho }_z{\rho }_x\frac{{\varphi }_1\left(z\right)}{{\mu }_z\left(z\right)}$,(5)

$\{\begin{array}{l}{\rho }_z=\frac{10\sqrt{H+60e^{-\frac{H}{60}}-60}}{H}\\ {\rho }_x=\frac{10\sqrt{b\left(0\right)+50e^{-\frac{b\left(0\right)}{50}}-50}}{b\left(0\right)}\end{array}$,(6)

$R=\sqrt{\frac{\pi }{6{\zeta }_1}\frac{x{\text{'}}_1^2}{{\left(1+x{\text{'}}_1^2\right)}^{4/3}}}$,(7)

${x^{\prime }}_1=30n_1/\sqrt{{\omega }_{10}}$,(8)

其中 $I_{10}$是z= 10 m时的湍流强度； $B_z\left(z\right)$是背景成分因子；R是共振分量因子； $k_{\gamma }$和 $a_{\gamma }$为拟合系数； ${\rho }_z$和 ${\rho }_x$分别为脉动风荷载的垂直方向和水平方向相关系数； $b\left(z\right)$是局部轮廓宽度； ${\zeta }_1$是一阶模态的阻尼比； $n_1$是一阶模态频率值。

但该类输电塔在现实中很少见。一般输电塔的塔身成锥形。均匀锥形输电塔的 $m\left(z\right)$和 $b_s\left(z\right)$随高度变化，可通过锥度变化进行近似。为分析更为现实输电塔的风振系数计算模型，在此不考虑横担和法兰盘的影响。为了避免混淆，上标“*”被添加到 ${\varphi }_1\left(z\right)$等，表示结构的形状随高度而变化，如 ${\varphi }_1^{*}\left(z\right)$等。

$B_z\left(z\right)=k_{\gamma }{H}^{a_{\gamma }}{\rho }_z{\rho }_x\frac{{\varphi }_1\left(z\right)}{{\mu }_z\left(z\right)}{\alpha }_v{\alpha }_b\left(z\right)$,(9)

${\alpha }_v=\frac{{\displaystyle {\int }_0^H{\mu }_z\left(z\right){\varphi }_1^{*}\left(z\right)I_z\left(z\right)b_s\left(z\right)dz}}{{\displaystyle {\int }_0^H{\mu }_z\left(z\right){\varphi }_1\left(z\right)I_z\left(z\right)dz}}\frac{{\displaystyle {\int }_0^H{\varphi }_1^2\left(z\right)dz}}{{\displaystyle {\int }_0^{H}m\left(z\right){\varphi }^{*}{}_1^2\left(z\right)dz}}$,(10)

${\alpha }_b\left(z\right)=\frac{m\left(z\right)/m\left(0\right)}{b_s\left(z\right)/b_s\left(0\right)}$,(11)

其中 $I_z\left(z\right)$是局部湍流强度； ${\alpha }_v$是考虑整体形状变化的 $\beta \left(z\right)$修正系数； ${\alpha }_b\left(z\right)$是考虑局部形状变化的 $\beta \left(z\right)$的校正系数。

通过公式(6)计算 ${\rho }_x$时， $b\left(0\right)=b_1$。将公式(9)代入公式(4)，可以获得均匀锥形输电塔的 $\beta \left(z\right)$。

与主塔身不同，横担的质量和挡风面积随高度局部突变。在此讨论横担的质量和挡风面积的变化规律，建立了输电塔风振系数的现实计算模型。

如图2所示，横担的宽度大于主塔身的宽度，引入了 $\beta \left(z\right)$的修正系数 ${\alpha }_n$：

$\begin{array}{c}{\alpha }_n=\frac{\sqrt{{\displaystyle {\int }_0^{b\left(z_1\right)}{\displaystyle {\int }_0^{b\left(z_2\right)}co{h}_x\left(x_1,x_2\right)d{x}_{1}d{x}_2}}}}{\sqrt{{\displaystyle {\int }_0^{b\left(0\right)}{\displaystyle {\int }_0^{b\left(0\right)}co{h}_x\left(x_1,x_2\right)d{x}_{1}d{x}_2}}}}[{\displaystyle {\int }_0^H{\displaystyle {\int }_0^H{\mu }_z\left(z_1\right){\varphi }_1^{*}\left(z_1\right)I_z\left(z_1\right){\mu }_z\left(z_2\right){\varphi }_1^{*}\left(z_2\right)I_z\left(z_2\right)}}\\ \times {co{h}_z\left(z_1,z_2\right)d{z}_{1}d{z}_2]}^{0.5}/\sqrt{{\displaystyle {\int }_0^H{\displaystyle {\int }_0^H{\mu }_z\left(z_1\right){\varphi }_1\left(z_1\right)I_z\left(z_1\right){\mu }_z\left(z_2\right){\varphi }_1\left(z_2\right)I_z\left(z_2\right)co{h}_z\left(z_1,z_2\right)d{z}_{1}d{z}_2}}}\\ \times \frac{b\left(0\right){\displaystyle {\int }_0^H{\mu }_z\left(z\right){\varphi }_1\left(z\right)I_z\left(z\right)dz}}{{\displaystyle {\int }_0^H{\mu }_z\left(z\right){\varphi }_1^{*}\left(z\right)I_z\left(z\right)b_s\left(z\right)dz}},\end{array}$(12)

其中 $co{h}_x\left(x_1,x_2\right)$和 $co{h}_z\left(z_1,z_2\right)$分别是水平相关函数和垂直相关函数。

${\alpha }_n$主要受输电塔外形的影响，计算模型可简化为图3。 $b_1$为主塔身宽度； $b_2$为每个横担的单个横向平均宽度； $\Delta h_{\text{1}}$为塔身附近每个横担的厚度相同且平均值； $\Delta h_{\text{2}}$为两个相邻横担之间的中心距离平均值。通过分析， ${\alpha }_n$主要受横担宽度和数量的影响。此外，每个横担宽度的差异对于塔架来说并不显著，因此图3的简化计算模型无误。

根据上述分析， ${\alpha }_n$的影响参数为 $b_1$， $b_2$， $\Delta h_{\text{1}}$， $\Delta h_2$，h和n_c，其中n_c是横担的数量。根据塔结构的控制关系， $b_1$随h增加； $b_2$随 $\Delta h_{\text{1}}$增加。由电气要求控制， $b_2$、 $\Delta h_2$与电压水平相关，与结构要求无关。同样，n_c也受电气要求控制。法兰盘的形状分布受主塔身的限制。随着h的增加，法兰盘的挡风面积、质量和 $b_1$将保持不变。基于上述分析， ${\alpha }_n$的影响参数可简化为 $b_2$，h和n_c。

通过对3座悬臂输电塔的分析(如图4所示)，得到表达式为 $b_2=2.291\Delta h_1$， $\Delta h_2=2.052b_1$和 $h=5.856b_1$。根据塔的有限数量，此处给出的平均数值的标准偏差分别为0.032 (2.291)、0.055 (2.052)和0.314 (5.856)。规定标称高度h_n不得小于15 m，可以限制n_c值的范围。显然，通过公式计算 ${\alpha }_n$很麻烦。为了方便设计， ${\alpha }_n$可查表获取，如表1。

需考虑横担质量和挡风面积对 $\beta \left(z\right)$的影响。为此引入了两个校正系数：

$\begin{array}{l}{\alpha }_u=[{\displaystyle {\int }_0^H{\mu }_z\left(z\right){\varphi }_{a1}\left(z\right)I_z\left(z\right)b_s\left(z\right)dz}+{\displaystyle {\sum }_I{\mu }_z\left(z_I\right){\varphi }_{a1}\left(z_I\right)I_z\left(z_I\right)A_s\left(z_I\right)}\\ +{\displaystyle {\sum }_J{\mu }_z\left(z_J\right){\varphi }_{a1}\left(z_J\right)I_z\left(z_J\right)A_s\left(z_J\right)}]/{\displaystyle {\int }_0^H{\mu }_z\left(z\right){\varphi }_{a1}\left(z\right)I_z\left(z\right)b_s\left(z\right)dz},\end{array}$(13)

${\alpha }_m=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{H}m\left(z\right){\varphi }_{a1}^2\left(z\right)dz}}{{\displaystyle {\int }_0^{H}m\left(z\right){\varphi }_{a1}^2\left(z\right)dz}+{\displaystyle {\sum }_{I}M\left(z_I\right){\varphi }_{a1}^2\left(z_I\right)}+{\displaystyle {\sum }_{J}M\left(z_J\right){\varphi }_{a1}^2\left(z_J\right)}}$,(14)

其中 ${\alpha }_u$是 $\beta \left(z\right)$的附加质量修正系数； ${\alpha }_m$是 $\beta \left(z\right)$的附加挡风面积修正系数； ${{{\displaystyle \sum }}^{}}_I$和 ${{{\displaystyle \sum }}^{}}_J$是所有横担和法兰盘的总和符号。

法兰盘布置在主塔身的二分之一处。在确定塔身中法兰盘的布置方式后，需确定挡风面积以及横担和法兰盘的质量。对3个悬臂输电塔(如图4所示)进行了统计分析，以获得以下关系： $A_s\left(z_I\right)=4.576b_s\left(0\right)\left(b_2^2/h\right)$， $A_s\left(z_J\right)=2.071b_s\left(0\right){\mu }_{b_s}^{1.5}\left(z_J\right)$， $M\left(z_I\right)=3.325m\left(0\right)\left(b_2^2/h\right)$和 $M\left(z_J\right)=2.676m\left(z_J\right)$。此处给出的平均数值的标准偏差分别为0.012 (4.576)、0.061 (2.071)、0.034 (3.325)和0.057 (2.676)。

本文确定的横担和法兰盘的M和A_s的简化分布不仅建立了与主塔身的关系，而且采用了图3中的计算模型。这些分布达到了简化计算的目的。因为 ${\alpha }_u$和 ${\alpha }_m$的独立影响参数是 $b_2$，h，n_c和 $b_s\left(h\right)/b_s\left(0\right)$，为了方便制表，设 ${\alpha }_y={\alpha }_u{\alpha }_m$。

将 $A_s\left(z_I\right)$、 $A_s\left(z_J\right)$、 $M\left(z_I\right)$和 $M\left(z_J\right)$代入公式(13)和(14)，可计算 ${\alpha }_y$。同样，在工程设计参数范围内，为便于计算，将 ${\alpha }_y$制成表格，如表2所示。在表2中，令 $T=b_s\left(H\right)/b_s\left(0\right)$，列出了与T= 0.3和T= 0.5相对应的 ${\alpha }_n$。

主塔身的 ${\alpha }_b\left(z\right)$、横担的 ${\alpha }_b\left(z_I\right)$和法兰盘的 ${\alpha }_b\left(z_J\right)$可用以下公式计算：

${\alpha }_b\left(z\right)={\mu }_{b_s}\left(z\right)$,(15)

${\alpha }_b\left(z_J\right)=\frac{M\left(z_I\right)/m\left(0\right)}{A_s\left(z_I\right)/b_s\left(0\right)}=0.689$,(16)

${\alpha }_b\left(z_J\right)=\frac{M\left(z_J\right)/m\left(0\right)}{A_s\left(z_J\right)/b_s\left(0\right)}=1.269\sqrt{{\mu }_{bs}}$,(17)

${\mu }_{b_s}\left(z\right)=1+\frac{z}{H}\left[\frac{b_s\left(H\right)}{b_s\left(0\right)}-1\right]$,(18)

当计算悬臂输电塔的 $\beta \left(z\right)$时， $B_z\left(z\right)$将修正系数 ${\alpha }_n$和 ${\alpha }_y$添加到公式(9)中。为了确保表达式的简单性和与中国荷载规范(GB 50009-2012, 2012)中的 $\beta \left(z\right)$表达式的一致性，将主塔身和横担的 $B_z\left(z\right)$合并为一个 $B_z\left(z\right)$公式(公式(19))。横担是离散分布的，因此可以分段计算，每个分段的计算高度作为其几何中心的高度。由局部形状变化引起的校正系数 ${\alpha }_b\left(z\right)$分别根据公式(15)至(17)计算。

$B_z\left(z\right)=k_{\gamma }{H}^{a_{\gamma }}{\rho }_z{\rho }_x\frac{{\varphi }_1\left(z\right)}{{\mu }_z\left(z\right)}{\alpha }_v{\alpha }_n{\alpha }_y{\alpha }_b\left(z\right)$,(19)

将公式(19)代入公式(4)，可以获得带有悬臂的输电塔的 $\beta \left(z\right)$值。

3. 影响参数分析

本节讨论了横担和法兰盘对悬臂输电塔的 $\beta \left(z\right)$和 $\hat{u}\left(z\right)$的影响，并对影响参数进行计算和分析。

为此设置了三种工况。用于图2中1号塔分析这三种工况。工况1仅考虑主塔身；工况2在工况1的基础上增加法兰盘；工况3在工况2的基础上增加横臂。本文涉及的计算是对悬臂输电塔进行有限元分析，本文有限元建模方法与参考文献 [5] 中的一致，该建模方法的准确性在文献 [5] 中得到了充分验证，能够保证计算结果的准确性。

如图5所示，计算了三种工况下输电塔的 $\beta \left(z\right)$和 $\hat{u}\left(z\right)$值。如图5(a)所示，图5(a)中主塔身的工况1和工况2以及图5(b)中主塔身的工况2和工况3的R.M.S.差异分别为0.024和0.135。因此，主塔身的 $\beta \left(z\right)$随考虑法兰盘的影响而下降，但主塔身和法兰盘的 $\beta \left(z\right)$考虑横臂的影响而下降。 $\beta \left(z\right)$受法兰盘影响小，受横担影响大。因此，在计算 $\beta \left(z\right)$时不可忽略横担的因素，现行规范中未考虑横担的影响，本文提出的方法相较规范更为准确。同时使用本文的方法计算 $\beta \left(z\right)$时大约2秒，而有限元计算约3小时10分钟，因此使用本文提出的方法相较有限元计算更便捷。如图5(b)所示，主塔身的 $\hat{u}\left(z\right)$随考虑法兰盘的影响而增加，但主塔身和法兰盘的 $\hat{u}\left(z\right)$考虑横臂的影响而增加。横臂和法兰盘对 $\beta \left(z\right)$和 $\hat{u}\left(z\right)$的影响相反的。由于横臂的挡风面积和质量较大，且位于输电塔的上部，横臂对输电塔的 $\beta \left(z\right)$和 $\hat{u}\left(z\right)$的影响很明显。

图5. 基于惯性力法悬臂输电塔的 $\beta \left(z\right)$和 $\hat{u}\left(z\right)$值

4. 结论

●为了分析法兰盘和横担的影响，设置了三种工况，并计算了三种工况下输电塔的 $\beta \left(z\right)$和 $\hat{u}\left(z\right)$值。经过分析，对于输电塔而言， $\beta \left(z\right)$受法兰盘影响小，受横担影响大；而 $\hat{u}\left(z\right)$受法兰盘影响大，受横担影响小。因此，作为近似计算，法兰盘对风振系数的影响可以忽略不计。

●悬臂输电塔三部分的 $\beta \left(z\right)$随高度增加而增加。对于给定高度，法兰盘的 $\beta \left(z\right)$最大，但对整体风振系数贡献小；横担的 $\beta \left(z\right)$最小，但对整体风振系数贡献大。通过时域分析得到的输电塔的 $\hat{u}\left(z\right)$与风振系数计算结果吻合良好，表明本文提出的风振系数公式符合工程要求。

●本文基于惯性力法，提出了输电塔风振系数实用计算方法，该方法与现有规范中计算方法相比计算更为准确，与ANSYS有限元计算对比计算速度更快。但输电塔的类型很多，本文仅确定了悬臂输电塔的风振系数表达式，其他类型的输电塔需酌情考虑。

基金项目

本研究项目由重庆科技学院校企协同创新中心开放研究项目资助，批准号为YKJCX2220624。

参考文献