DOI:10.12677/AE.2023.131053,PDF,HTML,XML,被引量下载: 258浏览: 604
作者:贾瑞玲,孙铭娟,邢巧芳：信息工程大学，河南 郑州
关键词:科学思维方法；思政教育；技术路线；结构特征；积分思想；Scientific Thinking Method；Ideological and Political Education；Technical Route；Structural Characteristics；The Integral Idea

文章引用：贾瑞玲, 孙铭娟, 邢巧芳. 科学思维方法视域下数学分析概念的教学设计——以“定积分”和“对坐标的曲面积分”为例[J]. 教育进展, 2023, 13(1): 324-331. https://doi.org/10.12677/AE.2023.131053

1. 引言

《数学分析》是各大高校数学专业的必修基础课，它不仅是数学各分支的基础，还是后续专业知识的奠基石，基础不牢，地动山摇。著名数学家华罗庚先生曾说：新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。而概念本身就蕴含着丰富的数学思想和方法，比如极限思想、积分思想等。并且概念的产生过程也蕴含着科学家从事科学研究的一般方法，这些对学生思维观、方法论的形成至关重要。

2020年5月，教育部党组会议审议通过《高等学校课程思政建设指导纲要》 [1] ，《纲要》指出理学类课程要注重科学思维方法的训练和科学伦理的教育。但数学概念具有高度的抽象性、严密的逻辑性，那么如何将科学思维方法与抽象的概念 [2] [3] ，有机融合并春风化雨般渗透到教学实践中呢？本文以“定积分”和“对坐标的曲面积分”的教学设计为例阐述数学概念中蕴含的科学思维方法。

2. 定积分概念的教学设计

定积分 [2] [3] [4] [5] 是从实际问题中抽象出来的数学概念，是数学分析教学中的一个重要知识模块。它是学习微积分的基础知识，也是后续教学内容(定积分的应用、重积分、曲线积分、曲面积分)的必备知识，更是解决许多实际问题的工具。定积分理论的建立对于数学的发展产生了深远的影响。

2.1. 教学目标

1) 知识与技能：了解定积分的背景；理解定积分的概念、几何意义、物理意义；体会定积分的本质思想，会用定义计算简单的定积分。

2) 过程与方法：通过分析不同背景问题中蕴含的相同数学内涵，培养学生分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力，提高从数学角度分析和看待问题的能力。

3) 情感与价值观：第一：通过对不同背景下的问题用相同的数学方法进行揭示，认识数学与实际生活的联系。第二：探讨定义中所体现的数学思想，一是近似的思想，体现为以直线代替曲线，以规则代替不规则；二是极限的思想，体现为由近似值得到精确值时，需取极限；三是积分思想，主要解决不均匀型问题；进而折射出人生哲理，不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。

2.2. 教学内容、重点以及重难点的处理方法

1) 教学内容：定积分的概念和意义、可积性、定积分存在的充分条件、必要条件。

2) 教学重点：利用“分割、近似代替、求和、取极限”四个步骤，归纳出定积分的概念。

3) 教学难点：定积分概念、“无限逼近”思想的形成过程及理解。

4) 教学重难点的处理方法：通过问题引入，激发学生的学习兴趣。在问题探究中，结合PPT动画展示“小矩形面积和”无限接近“曲边梯形面积”的过程，化抽象理解为直观演示。然后从研究方法、技术路线、结构形式上对结果分析，抽象概括出定积分的概念(如图1)。

2.3. 教学过程

2.3.1. 问题引入

介绍当今世界上面积前十国家(播放视频)，每个国家的陆地边界，形状迥异，有的迂回曲折，有的犬牙交错。随之将话题转到各个国家的陆地面积是如何计算出来的呢？将知识迁移到实际问题中，使学生感受到数学知识来源于生活服务于生活，激发学生学习的积极性。

2.3.2. 问题探究

各个国家的陆地面积的计算问题，就抽象为数学问题：如何求平面封闭曲线所围成的图形的面积。对于这样一个不规则的平面图形，它的面积是无法直接求解的，如何处理呢？

问题简化：对问题简化是研究问题的第一步，这亦是一般性的科学研究方法。

分析：对图形分割，那么要求这个不规则图形的面积就转化为求曲边梯形的面积(问题的本质)。

引例1已知曲边梯形是由连续曲线 $y=f\left(x\right)\left(f\left(x\right)\ge 0\right)$及 $x$轴、直线 $x=a$， $x=b$所围成，求其面积A。

分析类比与求解问题关联最紧密的简单情形。

1) 若 $f\left(x\right)=c$(常数)，则面积 $A=c\left(b-a\right)$。

2) 若闭区间 $\left[a,b\right]$的长度很小，则 $f\left(x\right)$可近似看作常数，转化为情形1)。

3) 对一般的闭区间 $\left[a,b\right]$，如何求解呢？

根据1)和2)，可用矩形面积近似代替曲边梯形面积。直观上：小矩形的个数越多，其面积之和越接近曲边梯形的面积。

引导学生思考：如果无限细分下去，所得小矩形的面积之和的极限即为曲边梯形面积的精确值。

通过“分割、近似代替、求和、取极限”可求得曲边梯形的面积 $A=\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}f\left(x_i\right)\Delta x_i}$。

提问通过取极限，当无限细分时，实现从近似过渡到精确。那如何刻画无限细分？能否用 $n\to \infty$刻画呢？

注1引导学生体会用有限来研究无限的哲学思想。

引例2已知某物体作直线运动，速度 $v=v\left(t\right)\in C\left[T_1,T_2\right]$，且 $v\left(t\right)\ge 0$，求在运动时间内物体经过的路程s。

引例1与引例2完全类似，利用“分割、近似代替、求和、取极限”的思想，求得物体所经过的路程 $s=\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}v\left({\tau }_i\right)\Delta t_i}$。

2.3.3. 概念形成

详细的定积分概念不再陈述 [6] 。此时回看引例1和引例2。可知曲边梯形的面积 $A={\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}$，其

中 $f\left(x\right)\ge 0$，变速直线运动的路程 $s={\displaystyle {\int }_a^{b}v\left(t\right)\text{d}t}$，其中 $v\left(t\right)\ge 0$。它们分别从几何角度和物理角度阐述了定积分的意义。引导学生思考如下问题：

1) 若 $f\left(x\right)<0$，则 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}$与曲边梯形的面积有何关系呢？

2) 对任意的 $f\left(x\right)$， ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}$表示什么意思？

在此教学环节中，还要启发学生思考定积分存在的充分条件和必要条件。类比函数在一点处极限的定义，引导学生给出定积分 ${\displaystyle {\int }_a^{b}f\left(x\right)\text{d}x}=\underset{\lambda \to 0}{\lim }{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}f\left({\xi }_i\right)\Delta x_i}$定义的“ $\epsilon -\delta$”表述。

2.3.4. 巩固新知

例1 讨论下列函数在 $\left[0,1\right]$上的可积性。

1) $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}-1,x\in Q\\ 1,x\in R\backslash Q\end{array}$；

2) $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}0,x\in Q\\ x,x\in R\backslash Q\end{array}$。

例2求下列平面图形的面积。

1) 计算由 $y=x^2$， $x=1$及x轴所围成图形的面积A。

2) 计算由 $y=x^3$， $x=1$， $x=-1$及x轴所围成图形的面积A。

例3用定积分表示下列极限。

1) $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\sqrt{1+\frac{i}{n}}}\right)$；

2) $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1^p+2^p+\cdots +n^p}{n^{p+1}}$。

注2例3 考察学生逆向思维能力。定积分的本质是一类乘积的和式的极限，那么给定一个乘积的和式的极限，如何将其表示为定积分呢？

思考例3的1)中，若将 ${\xi }_i=1+\frac{i}{n}$，那么 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\sqrt{1+\frac{i}{n}}}\right)$的定积分表达式又是什么形式呢？

2.3.5. 总结思考

如图2中的定积分概念的教学设计可做如下思考：

思考与练习

1、定积分主要解决实际中的哪类问题？

2、函数 $f\left(x\right)$在 $\left[a,b\right]$上可积的充分条件?

3、用定积分表示极限： $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{n}\left(\sin \frac{\text{2π}}{n}+\sin \frac{\text{3π}}{n}+\cdots +\sin \frac{n\text{π}}{n}+\sin \frac{\left(n+1\right)\text{π}}{n}\right)\right)$。

3. 对坐标的曲面积分概念的教学设计

对坐标的曲面积分 [7] 是关于在坐标面投影的曲面积分，它是多元函数微积分学的重要组成部分之一，其与重积分、曲线积分、对面积的曲面积分都有联系。

3.1. 教学目标

1) 知识与技能：掌握对坐标的曲面积分概念、性质及其计算方法和步骤。了解利用数学知识解决实际问题的一般过程，提高应用数学知识的意识。

2) 过程与方法：能够将实际问题转化为一个数学问题，通过分析问题，建立不同变量对应的函数关系，求解对坐标的曲面积分，培养学生分析问题、转化问题和解决问题的数学思维和求解能力。

3) 情感与价值观：利用积分思想解决不均匀型问题，让学生体会黎曼积分的辩证统一，加强思政教育；积分思想折射出人生哲理，在奋斗的路上脚踏实地完成一个个小目标，不断追求，总有一天个人梦及中国梦都会实现。

3.2. 教学内容、重点以及重难点的处理方法

1) 教学内容：了解对坐标的曲面积分的物理背景；理解对坐标的曲面积分的概念、性质、计算方法及两类曲面积分之间的联系。

2) 教学重点：对坐标的曲面积分的计算。

3) 教学难点：对坐标的曲面积分的概念的理解、两类曲面积分之间的联系。

4) 教学重难点的处理方法：通过创设情境(三峡大坝泄洪)，引入问题，在问题探究中，从研究过程、技术路线、结构形式上分析流量问题，引导学生抽象概括对坐标的曲面积分的定义(如图3)。然后借助典型例题展示对坐标的曲面积分的计算，让学生仿照类比，内化于心，掌握其计算方法。

3.3. 教学过程

3.3.1. 问题引入

介绍当今世界上最大的水利发电工程——我国的三峡大坝，随之将话题转到三峡大坝的泄洪作用上，如何计算单位时间内从坝的一侧流向另一侧的河水流量呢？(以视频形式播放)。

3.3.2. 问题探究

引导学生思考：计算流量需要考虑哪些因素？

按照科学研究的一般方法：从简单到复杂、从特殊到一般，从具体到抽象。为方便分析问题和建立数学模型，作以下假设。

假设 不可压缩的流体通过同一个流管作定常流动时，每一时刻流管的各截面流量相同。此时可将上述问题抽象为数学模型。

模型 设流体不可压缩，密度 $\rho =1$，流体的速度

$v=\left(P\left(x,y,z\right),Q\left(x,y,z\right),R\left(x,y,z\right)\right)=\left(P,Q,R\right)$，

坝体所在的定向曲面为 $\Sigma$，函数P，Q，R在所讨论范围上连续，求单位时间内流体流过曲面 $\Sigma$指定侧的流量 $\Phi$。为简化符号，将速度v的三个分量分别记为P，Q，R。

分析 对于这种不均匀型问题，引导学生利用“分割–近似代替–求和–取极限”的积分思想和方法解决问题。

3.3.3. 概念形成

详细的对坐标的曲面积分的概念 [8] 不再陈述。在这个教学环节中，还要启发学生思考对坐标的曲面积分的性质和计算方法(略)。

3.3.4. 巩固新知

例4计算 $I={\displaystyle {\iint }_{\sum }\left(x+1\right)\text{d}y\text{d}z+y\text{d}z\text{d}x+\text{d}x\text{d}y}$，其中 $\Sigma$是平面 $x+y+z=1$与三个坐标面所围成的几何体的表面，方向取外侧。

例 5计算 $I={\displaystyle {\iint }_{\sum }yz\text{d}y\text{d}z+zx\text{d}z\text{d}x+xy\text{d}x\text{d}y}$，其中 $\Sigma$是圆柱面 $x^2+y^2=a^2\left(0\le z\le h\right)$，方向取外侧。

思考计算 $I={\displaystyle {\iint }_{\sum }yz\text{d}y\text{d}z+zx\text{d}z\text{d}x+xy\text{d}x\text{d}y}$，其中 $\Sigma$是圆柱体 $x^2+y^2\le a^2\left(0\le z\le h\right)$的整个表面，方向取外侧。

注3对比例5，注意二者的区别与联系。

3.3.5. 总结思考

如图4中的定积分概念的教学设计可做如下思考：

思考与练习

1、两类曲面积分之间的联系

${\displaystyle {\iint }_{\sum }P\text{d}y\text{d}z+Q\text{d}z\text{d}x+R\text{d}x\text{d}y}={\displaystyle {\iint }_{\sum }\left(P\cos \alpha +Q\cos \beta +R\cos \gamma \right)\text{d}S}$

其中 $n=\left(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma \right)$是 $\Sigma$指定侧的单位法向量。在两类曲面积分的定义中，一个与曲面的侧有关，一个与曲面的侧无关，上述关系式矛盾吗？

2、计算曲面积分 $I={\displaystyle {\iint }_{\sum }\left(z^2+x\right)\text{d}y\text{d}z+\sqrt{z}\text{d}x\text{d}y}$，其中 $\Sigma$是抛物面 $z=\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)$介于 $z=0$与 $z=2$之间的部分，方向取下侧。

3、计算曲面积分 $I={\displaystyle {\iint }_{\sum }\left(y^2-z\right)\text{d}y\text{d}z+\left(z^2-x\right)\text{d}z\text{d}x+\left(x^2-y\right)\text{d}x\text{d}y}$，其中 $\Sigma$是锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}\left(0\le z\le h\right)$，方向取外侧。

4. 结束语

定积分和对坐标的曲面积分是两个不同的概念，它们都蕴含了积分思想(处理不均型问题)，从横向分析的角度看，这二者之间既有联系也有区别。在概念的形成过程中，二者的研究方法(“分割、近似代替、求和、取极限”)、技术路线设计(从简单到复杂，从特殊到一般)是完全类似的；从结构形式上看，二者都是一类有限不定和式的极限，但对坐标的曲面积分是与曲面的侧有关的有限不定和式的极限。

在上述两个概念的教学设计中——问题探究环节，利用已知研究未知，借助积分思想解决不均匀型问题，分析问题特征，化归已知方法，抽象概括出数学概念。这种认识问题、分析问题、解决问题的一个过程，有助于训练学生的科学思维方法，进而培养学生探索未知世界的责任感和使命感。

参考文献

参考文献

[1]	http://www.gov.cn/zhengce/zhengceku/2020-06/06/content_5517606.htm
[2]	徐慧敏, 孟军, 李放歌. 数学教学中思政元素的渗透——以定积分及其应用为例[J]. 理科考试研究. 2022, 29(1): 20-22.
[3]	汪健. 指向数学核心素养的任务设计——以“定积分”的教学为例[J]. 中国数学教育, 2020(24): 22-25.
[4]	王海燕. “微课翻转”与“传统”融合的数学分析教学设计——以“定积分的概念”为例[J]. 佳木斯职业学院学报, 2020, 36(5): 132-133.
[5]	夏正喜. 渗透思想政治教育的定积分概念教学设计[J]. 数学学习与研究, 2019(17): 5.
[6]	陈纪修, 於崇华, 金路. 数学分析(上册) [M]. 第二版. 北京: 高等教育出版社, 2004.
[7]	杜金姬, 王阳洋, 秦闯亮, 王玉磊. 思政元素在《数学分析》概念教学中的应用——以“第二型曲面积分”概念为例[J]. 高等数学研究, 2020, 23(1): 26-28+59.
[8]	崔国忠, 石金娥, 郭从洲. 数学分析(第二册) [M]. 北京: 科学出版社, 2018.