DOI:10.12677/AAM.2022.1110785,PDF,HTML,XML,被引量下载: 287浏览: 408科研立项经费支持
作者:张 进：牡丹江师范学院，黑龙江 牡丹江
关键词:θ-型Calderón-Zygmund算子；Toeplitz型算子；Lipschitz函数；Campanato空间；θ-Type Calderón-Zygmund Operator；Toeplitz Type Operator；Lipschitz Function；Campanato Space

文章引用：张进. 与θ-型Calderón-Zygmund算子相关的Toeplitz型算子的有界性[J]. 应用数学进展, 2022, 11(10): 7392-7399. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.1110785

1. 引言与主要结果

设T为经典的Calderón-Zygmund算子，T与 $R^n$上局部可积函数b生成的交换子 $\left[b,T\right]$定义为

$\left[b,T\right]f=bT\left(f\right)-T\left(bf\right)$。

1976年，Coifman等在 [1] 中证明了当 $b\in BMO\left(R^n\right)$时，Calderón-Zygmund算子与b生成的交换子 $\left[b,T\right]$在 $L^p\left(R^n\right)$ $\left(1<p<\infty \right)$上的有界性，并利用交换子 $\left[b,T\right]$的有界性给出了BMO空间的一种等价刻画。1978年，Janson在 [2] 中研究了Calderón-Zygmund算子与b生成的交换子 $\left[b,T\right]$从 $L^p\left(R^n\right)$到 $L^q\left(R^n\right)$有界的充分必要条件是 $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)$，其中 $0<\gamma <1$， $1<p<q<\infty$， $\frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{\gamma }{n}$。1995年，Paluszyński在 [3] 中得到Calderón-Zygmund算子与b生成的交换子 $\left[b,T\right]$从 $L^p\left(R^n\right)$到 ${\stackrel{\dot{}}{F}}_p^{\beta ,\infty }$有界的充分必要条件是 $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)$，其中 $0<\gamma <1$， $1<p<\infty$。2015年，Zhang等在 [4] 中研究了当 $\gamma =\beta +n/p$时，Calderón-Zygmund算子与b生成的交换子 $\left[b,T\right]$从 $L^p\left(R^n\right)$到 $C^{p,\beta }\left(R^n\right)$有界的充分必要条件是 $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)$。

1985年，Yabuta在 [5] 中把具有标准核的Calderón-Zygmund算子做了推广，引入了如下定义的 $\theta$-型Calderón-Zygmund算子，并将其应用于几类拟微分算子的研究中。

定义1.1 [5] 设 $\theta$是 $\left(0,\infty \right)$上的非负非减函数且 ${\displaystyle {\int }_0^1\theta \left(t\right)t^{-1}\text{d}t}<\infty$，称定义在 $R^n\times R^n\backslash \left\{\left(x,x\right):x\in R^n\right\}$上的可测函数 $K\left(x,y\right)$是一个 $\theta$型核，如果

1) $\left|K\left(x,y\right)\right|\le C{\left|x-y\right|}^{-n}$，当 $x\ne y$时；

2) 当 $2\left|x-z\right|<\left|x-y\right|$时，

$\left|K\left(x,y\right)-K\left(z,y\right)\right|+\left|K\left(y,x\right)-K\left(y,z\right)\right|\le C{\left|x-y\right|}^{-n}\theta \left(\frac{\left|x-z\right|}{\left|x-y\right|}\right)$.

称线性算子 $T:S\left(R^n\right)\to S^{\prime }\left(R^n\right)$是 $\theta$-型Calderón-Zygmund算子，如果

3) T能扩张成从 $L^2\left(R^n\right)$到其自身的有界线性算子；

4) 存在一个 $\theta$型核 $K\left(x,y\right)$，使得对所有的 $f\in C_c^{\infty }\left(R^n\right)$，成立

$Tf\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{R^n}K\left(x,y\right)f\left(y\right)\text{d}y}$， $\forall x\in R^n\backslash \text{supp}f$，

其中 $C_c^{\infty }\left(R^n\right)$为 $R^n$上具有紧支集的无穷次可微函数空间。

当 $\theta \left(t\right)=t^{\delta }\left(0<\delta \le 1\right)$时， $\theta$-型Calderón-Zygmund算子为具有标准核的Calderón-Zygmund算子。

设T是 $\theta$-型Calderón-Zygmund算子，T与 $R^n$上局部可积函数b生成的交换子 $\left[b,T\right]$定义为

$\left[b,T\right]f=bT\left(f\right)-T\left(bf\right)$.

以下用T表示 $\theta$-型Calderón-Zygmund算子。

2002年，Liu和Lu在 [6] 中研究了当 $b\in BMO$时，交换子 $\left[b,T\right]$的 $L\log L$型的弱型估计，其中 $\theta$满足 ${\displaystyle {\int }_0^1\theta \left(t\right)t^{-1}\left|\log t\right|\text{d}t<\infty }$。2005年，张璞和徐罕在 [7] 中建立了T与BMO函数b生成的高阶交换子的加权尖锐估计。2006年，程美芳和束立生在 [8] 中利用交换子的Sharp极大估计证明了当b属于Lipschitz空间时，交换子 $\left[b,T\right]$从 $L^p\left(R^n\right)$到 $L^q\left(R^n\right)$的有界性，其中 $\theta$满足 ${\displaystyle {\int }_0^1\theta \left(t\right)t^{-\left(\gamma +1\right)}\text{d}t<\infty }$。2007年，Zhao等在 [9] 中借助分数次积分算子的有界性也得到了交换子 $\left[b,T\right]$从 $L^p\left(R^n\right)$到 $L^q\left(R^n\right)$的有界性，其中b是Lipschitz函数且 ${\displaystyle {\int }_0^1\theta \left(t\right)t^{-1}\text{d}t<\infty }$。2022年，朱晓矇受 [4] 的启发在 [10] 中证明了当 $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)$ $\theta$时，交换子 $\left[b,T\right]$是从 $L^p\left(R^n\right)$到 $C^{p,\beta }\left(R^n\right)$有界的。

Toeplitz型算子是交换子的一种重要的推广，由Calderón-Zygmund算子生成的交换子可以看作Toeplitz型算子的特殊情形，其定义如下：

定义1.2 [11] 设 $T_{j,1}$， $T_{j,2}$ $\left(j=1,\cdots ,m\right)$是Calderón-Zygmund算子的有限序列或 $\pm I$(I是恒等算子)，且 $T_{j,1}$， $T_{j,2}$是 $L^2\left(R^n\right)$上有界算子， $M_{b}f\left(x\right)=b\left(x\right)f\left(x\right)$，则Toeplitz型算子定义为

$T_b={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{T}_{j,1}{M}_b{T}_{j,2}}$.

当 $m=2$，取 $T_{1,1}=I$， $T_{2,2}=-I$， $T_{1,2}$， $T_{2,1}$为Calderón-Zygmund算子， $M_{b}f\left(x\right)=b\left(x\right)f\left(x\right)$，此时Toeplitz型算子为由Calderón-Zygmund算子生成的交换子，即 $T_b\left(f\right)=bT\left(f\right)-T\left(bf\right)$。2001年，Krantz和Li在 [11] 中研究了当b属于BMO空间时， $T_b$在齐型空间上的 $L^p$有界性。2004年，张雅静和高慧在 [12] 中研究了齐型空间上与Calderón-Zygmund算子和Lipschitz函数相关的Toeplitz型算子从Lebesgue空间到Triebel-Lizorkin空间的有界性。2006年，林燕等在 [13] 中将标准的Calderón-Zygmund算子替换为强奇异Calderón-Zygmund算子，得到了与强奇异Calderón-Zygmund算子相关的Toeplitz型算子 $T_b$在Lebesgue空间上的有界性，其中b是BMO函数或Lipschitz函数。

受 [4] 和 [10] 的启发，本文将用 $\theta$-型Calderón-Zygmund算子替代标准的Calderón-Zygmund算子，考虑当 $\gamma =\beta +n/p$时，与 $\theta$-型Calderón-Zygmund算子和Lipschitz函数 $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)$相关的Toeplitz型算子 $T_b={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{T}_{j,1}{M}_b{T}_{j,2}}$从 $L^p\left(R^n\right)$到 $C^{p,\beta }\left(R^n\right)$的有界性，其中 $T_{j,1}$为 $\theta$-型Calderón-Zygmund算子或 $\pm I$， $T_{j,2}$是 $L^p\left(R^n\right)$上有界线性算子， $M_{b}f\left(x\right)=b\left(x\right)f\left(x\right)$。

定义1.3令 $0<\gamma <1$，如果存在一个常数 $C<\infty$，使得对任意的 $x,y\in R^n$，有

$\left|b\left(x\right)-b\left(y\right)\right|\le C{\left|x-y\right|}^{\gamma }$，

那么称b属于Lipschitz空间 ${\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)$，满足上式的最小常数C定义为b的模，记为 ${\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}$。

定义1.4令 $1\le p<\infty$， $-n/p\le \beta <1$，Campanato空间 $C^{p,\beta }\left(R^n\right)$定义为

$C^{p,\beta }\left(R^n\right)=\left\{f\in L_{loc}^p\left(R^n\right),{\Vert f\Vert }_{C^{p,\beta }\left(R^n\right)}<\infty \right\}$，

其中

${\Vert f\Vert }_{C^{p,\beta }\left(R^n\right)}:=\underset{B}{\sup }\frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|f\left(x\right)-f_B\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}$，

这里的上确界取遍 $R^n$中的所有球体B

下面建立本文的主要结论：

定理1.1设 $T_{j,1}\left(j=1,\cdots ,m\right)$是 $\theta$-型Calderón-Zygmund算子或 $\pm I$，且 $\theta$满足 ${\displaystyle {\int }_0^1\theta \left(t\right)t^{-1}\text{d}t<\infty }$。设 $1<p<\infty$， $-n/p\le \beta <0$。当 $f\in L^p\left(R^n\right)$， $b=1$时， $T_1\left(f\right)=0$。若 $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)$， $0<\gamma =\beta +n/p<\min \left\{1,n/p\right\}$，则 $T_b$是从 $L^p\left(R^n\right)$到 $C^{p,\beta }\left(R^n\right)$有界的，且有

${\Vert T_{b}f\Vert }_{C^{p,\beta }(R^n)}\le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\left(\Vert T_{j,1}\Vert +1\right)}\Vert T_{j,2}\Vert {\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}{\Vert f\Vert }_p$，

其中 $\Vert T_{j,i}\Vert \left(i=1,2\right)$是 $T_{j,i}$在 $L^p\left(R^n\right)$上的算子范数。

注：若 $\theta \left(t\right)=t$， $m=2$， $T_{1,1}=I$， $T_{2,2}=-I$， $T_{1,2}$， $T_{2,1}$是Calderón-Zygmund算子，则可以得到Calderón-Zygmund算子与Lipschitz函数b生成的交换子从 $L^p\left(R^n\right)$到 $C^{p,\beta }\left(R^n\right)$的有界性(见 [4])。当 $m=2$， $T_{1,1}=I$， $T_{2,2}=-I$， $T_{1,2}$， $T_{2,1}$是 $\theta$-型Calderón-Zygmund算子时，可以得到 $\theta$-型Calderón-Zygmund算子与Lipschitz函数b生成的交换子从 $L^p\left(R^n\right)$到 $C^{p,\beta }\left(R^n\right)$的有界性(见 [10])。

2. 定理1.1的证明

引理2.1设 $0<\gamma <1$， $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)$，B是 $R^n$上的球体，则有

$\underset{x\in B}{\sup }\left|b\left(x\right)-b_B\right|\le C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}{\left|B\right|}^{\gamma /n}$.

引理2.2 [5] 设T是 $\theta$-型Calderón-Zygmund算子。如果 $1<p<\infty$且 $w\in A_p$，那么存在一个常数 $C>0$，有

${\Vert Tf\Vert }_{L^p\left(w\right)}\le C\left(p,w\right){\Vert f\Vert }_{L^p\left(w\right)}$.

显然，当 $w=1$时， $\theta$-型Calderón-Zygmund算子T是 $\left(p,p\right)$有界的。

下面对定理1.1进行证明。

证明：对任意的 $x_0\in R^n$，记B是以 $x_0$为中心，r为半径的球体。令 $B^{*}=8B$，即 $B^{*}$是B的8倍同心扩张。对任意的 $f\in L^p\left(R^n\right)$，利用Hölder不等式可得

$\begin{array}{l}\frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b}f\left(y\right)-{\left(T_{b}f\right)}_B\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\\ =\frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b}f\left(y\right)-c+c-{\left(T_{b}f\right)}_B\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\\ \le \frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b}f\left(y\right)-c\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}+\frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|{\left(T_{b}f\right)}_B-c\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\\ =\frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b}f\left(y\right)-c\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}+\frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left(T_{b}f\left(x\right)-c\right)\text{d}x}\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}\\ \le \frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b}f\left(y\right)-c\right|}^p\text{d}y}\right)}^{1/p}+\frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B\left|T_{b}f\left(x\right)-c\right|\text{d}x}\\ \le \frac{C}{|B{|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b}f\left(x\right)-c\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}.\end{array}$

因为 $T_1\left(f\right)=0$，可得 $T_{b_B}\left(f\right)=b_B{T}_1\left(f\right)=0$，所以 $T_b\left(f\right)=T_{\left(b-b_B\right)}\left(f\right)$，有

$T_{\left(b-b_B\right)}\left(f\right)=T_{\left(b-b_B\right){\chi }_{B^{*}}}\left(f\right)+T_{\left(b-b_B\right){\chi }_{{\left(B^{*}\right)}^c}}\left(f\right)$.

取 $c={\left(T_{\left(b-b_B\right){\chi }_{{\left(B^{*}\right)}^c}}\left(f\right)\right)}_B$，有

$\begin{array}{l}\frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{b}f\left(x\right)-c\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ \le \frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{\left(b-b_B\right){\chi }_{B^{*}}}\left(f\right)\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ +\frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{\left(b-b_B\right){\chi }_{{\left(B^{*}\right)}^c}}\left(f\right)\left(x\right)-{\left(T_{\left(b-b_B\right){\chi }_{{\left(B^{*}\right)}^c}}\left(f\right)\right)}_B\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ ={{\rm I}}_1+{{\rm I}}_2.\end{array}$

对 ${{\rm I}}_1$进行估计。当 $T_{j,1}$是 $\theta$-型Calderón-Zygmund算子时，对任意的 $x\in B$，根据引理2.1，引理2.2和 $T_{j,2}$的 $\left(p,p\right)$有界性有

$\begin{array}{l}\frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{\left(b-b_B\right){\chi }_{B^{*}}}\left(f\right)\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ =\frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{T}_{j,1}{M}_{\left(b-b_B\right){\chi }_{B^{*}}}{T}_{j,2}\left(f\right)\left(x\right)}\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ \le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{j,1}{M}_{\left(b-b_B\right){\chi }_{B^{*}}}{T}_{j,2}\left(f\right)\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ \le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{\Vert T_{j,1}\Vert }{{\left|B\right|}^{\beta /n+1/p}}{\left({\displaystyle {\int }_{R^n}{\left|M_{\left(b-b_B\right){\chi }_{B^{*}}}{T}_{j,2}\left(f\right)\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}}\end{array}$

$\begin{array}{l}=C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{\Vert T_{j,1}\Vert }{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}}{\left({\displaystyle {\int }_{B^{*}}{\left|\left(b\left(x\right)-b_B\right)T_{j,2}\left(f\right)\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ \le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{\Vert T_{j,1}\Vert }{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}{\left|B\right|}^{\gamma /n}}{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}{\left({\displaystyle {\int }_{B^{*}}{\left|T_{j,2}\left(f\right)\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ \le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert T_{j,1}\Vert {\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}}{\left({\displaystyle {\int }_{R^n}{\left|T_{j,2}\left(f\right)\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ \le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert T_{j,1}\Vert \Vert T_{j,2}\Vert }{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}{\Vert f\Vert }_p.\end{array}$

若 $T_{j,1}=\pm I$，则根据引理2.1和 $T_{j,2}$的 $\left(p,p\right)$有界性可得

$\begin{array}{l}\frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{\left(b-b_B\right){\chi }_{{}_{B^{*}}}}\left(f\right)\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ \le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{j,1}{M}_{\left(b-b_B\right){\chi }_{B^{*}}}{T}_{j,2}\left(f\right)\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ =C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{1}{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}}{\left({\displaystyle {\int }_B{\left|M_{\left(b-b_B\right){\chi }_{B^{*}}}{T}_{j,2}\left(f\right)\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\end{array}$

$\begin{array}{l}=C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{1}{{\left|B\right|}^{\gamma /n}}}{\left({\displaystyle {\int }_B{\left|\left(b\left(x\right)-b_B\right)T_{j,2}\left(f\right)\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ \le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}}{\left({\displaystyle {\int }_{R^n}{\left|T_{j,2}\left(f\right)\left(x\right)\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ \le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert T_{j,2}\Vert }{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}{\Vert f\Vert }_p.\end{array}$

因此

${{\rm I}}_1\le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert T_{j,1}\Vert \Vert T_{j,2}\Vert }{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}{\Vert f\Vert }_p$.

再对 ${{\rm I}}_2$进行估计。若 $T_{j,1}$是 $\theta$-型Calderón-Zygmund算子且 $\gamma =\beta +n/p$，则对任意的 $x\in B$有

$\begin{array}{l}\frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{\left(b-b_B\right){\chi }_{{\left(B^{*}\right)}^c}}\left(f\right)\left(x\right)-{\left(T_{\left(b-b_B\right){\chi }_{{\left(B^{*}\right)}^c}}\left(f\right)\right)}_B\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ \le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\frac{1}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B|T_{j,1}{M}_{\left(b-b_B\right){\chi }_{{\left(B^{*}\right)}^c}}{T}_{j,2}\left(f\right)\left(x\right)}}}\\ {{-T_{j,1}{M}_{\left(b-b_B\right){\chi }_{{\left(B^{*}\right)}^c}}{T}_{j,2}\left(f\right)\left(w\right)|\text{d}w)}^p\text{d}x)}^{1/p}.\end{array}$

现考虑 $\left|T_{j,1}{M}_{\left(b-b_B\right){\chi }_{{\left(B^{*}\right)}^c}}{T}_{j,2}\left(f\right)\left(x\right)-T_{j,1}{M}_{\left(b-b_B\right){\chi }_{{\left(B^{*}\right)}^c}}{T}_{j,2}\left(f\right)\left(w\right)\right|$。

$\begin{array}{l}\left|T_{j,1}{M}_{\left(b-b_B\right){\chi }_{{\left(B^{*}\right)}^c}}{T}_{j,2}\left(f\right)\left(x\right)-T_{j,1}{M}_{\left(b-b_B\right){\chi }_{{\left(B^{*}\right)}^c}}{T}_{j,2}\left(f\right)\left(w\right)\right|\\ \le {\displaystyle {\int }_{{\left(B^{*}\right)}^c}|\left|k\left(x,z\right)-k\left(w,z\right)\right|\left|b\left(z\right)-b_B\right|\left|T_{j,2}\left(f\right)\left(z\right)\right|\text{d}z}.\end{array}$

由于 $x,w\in B$， $z\in {\left(B^{*}\right)}^c$，可知 $2\left|x-w\right|<\left|x-z\right|$，故有

$\left|k\left(x,z\right)-k\left(w,z\right)\right|\le C\theta \left(\frac{\left|x-w\right|}{\left|x-z\right|}\right)\frac{1}{{\left|x-z\right|}^n}$.

根据引理2.1， $T_{j,2}$的 $\left(p,p\right)$有界性和Hölder不等式有

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_{{\left(B^{*}\right)}^c}\left|k\left(x,z\right)-k\left(w,z\right)\right|\left|b\left(z\right)-b_B\right|\left|T_{j,2}\left(f\right)\left(z\right)\right|\text{d}z}\\ \le C{\displaystyle {\int }_{{\left(B^{*}\right)}^c}\theta \left(\frac{\left|x-w\right|}{\left|x-z\right|}\right)\frac{1}{{\left|x-z\right|}^n}\left|b\left(z\right)-b_B\right|\left|T_{j,2}\left(f\right)\left(z\right)\right|\text{d}z}\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}\backslash 2^{k-1}{B}^{*}}\theta \left(\frac{\left|x-w\right|}{\left|x-z\right|}\right)\frac{1}{{\left|x-z\right|}^n}\left|b\left(z\right)-b_B\right|\left|T_{j,2}\left(f\right)\left(z\right)\right|\text{d}z}}\\ \le C{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}\theta \left(2^{-k}\right)\frac{{\left|z-x_0\right|}^{\gamma }}{\left|2^k{B}^{*}\right|}{\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}}\left|T_{j,2}\left(f\right)\left(z\right)\right|\text{d}z}}\\ \le C{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}\theta \left(2^{-k}\right){\left|2^k{B}^{*}\right|}^{\gamma /n}\left(\frac{1}{\left|2^k{B}^{*}\right|}{\displaystyle {\int }_{2^k{B}^{*}}{\left|T_{j,2}\left(f\right)\left(z\right)\right|}^p\text{d}z}\right)}}^{1/p}\end{array}$

$\begin{array}{l}\le C{{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}\theta \left(2^{-k}\right){\left|2^k{B}^{*}\right|}^{\beta /n}\left({\displaystyle {\int }_{R^n}{\left|T_{j,2}\left(f\right)\left(z\right)\right|}^p\text{d}z}\right)}}^{1/p}\\ \le C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}\Vert T_{j,2}\Vert {\Vert f\Vert }_p{\left|B\right|}^{\beta /n}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\theta \left(2^{-k}\right)2^{k\beta }}\\ \le C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}\Vert T_{j,2}\Vert {\Vert f\Vert }_p{\left|B\right|}^{\beta /n}{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\theta \left(2^{-k}\right)}\\ \le C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}\Vert T_{j,2}\Vert {\Vert f\Vert }_p{\left|B\right|}^{\beta /n}{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\theta \left(t\right)}{t}\text{d}t}\\ \le C{\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}\Vert T_{j,2}\Vert {\Vert f\Vert }_p{\left|B\right|}^{\beta /n}.\end{array}$

其中

${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{\infty }{\sum }}\theta \left(2^{-k}\right)}\le C{\displaystyle {\int }_0^1\frac{\theta \left(t\right)}{t}\text{d}t}$.

因此可以得到

$\begin{array}{l}\frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{\left(b-b_B\right){\chi }_{{\left(B^{*}\right)}^c}}\left(f\right)\left(x\right)-{\left(T_{\left(b-b_B\right){\chi }_{{\left(B^{*}\right)}^c}}\left(f\right)\right)}_B\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ \le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert T_{j,2}\Vert {\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}}{\Vert f\Vert }_p.\end{array}$

若 $T_{j,1}=\pm I$，则

$\begin{array}{l}\frac{C}{{\left|B\right|}^{\beta /n}}{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|T_{\left(b-b_B\right){\chi }_{{\left(B^{*}\right)}^c}}\left(f\right)\left(x\right)-{\left(T_{\left(b-b_B\right){\chi }_{{\left(B^{*}\right)}^c}}\left(f\right)\right)}_B\right|}^p\text{d}x}\right)}^{1/p}\\ \le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert T_{j,2}\Vert {\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}}{\Vert f\Vert }_p.\end{array}$

故可得

${{\rm I}}_2\le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\Vert T_{j,2}\Vert {\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}}{\Vert f\Vert }_p.$

综上所述，

${\Vert T_{b}f\Vert }_{C^{p,\beta }\left(R^n\right)}\le C{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{m}{\sum }}\left(\Vert T_{j,1}\Vert +1\right)}\Vert T_{j,2}\Vert {\Vert b\Vert }_{{\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)}{\Vert f\Vert }_p$.

3. 总结

本文用 $\theta$-型Calderón-Zygmund算子替代标准的Calderón-Zygmund算子，得到了与 $\theta$-型Calderón-Zygmund算子和Lipschitz函数 $b\in {\stackrel{\dot{}}{\Lambda }}_{\gamma }\left(R^n\right)$相关的Toeplitz型算子 $T_b$从 $L^p\left(R^n\right)$到 $C^{p,\beta }\left(R^n\right)$的有界性，其中 $\gamma =\beta +n/p$。此结果包含了 [10] 中定理1.1的结论，显然也包含了 [4] 中定理1.1(a) $\Rightarrow$(b)的结论。

基金项目

黑龙江省省属本科高校中央支持地方高校改革发展资金(优秀青年人才)项目(No. 2020YQ07)；牡丹江师范学院科研团队项目(D211220637)。

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