DOI:10.12677/AAM.2022.117516,PDF,HTML,XML,被引量下载: 389浏览: 638
作者:权沈爱^*,熊良林^*：云南民族大学，数学与计算机科学学院，云南 昆明
关键词:忆阻神经网络；采样控制；半马尔科夫跳变；同步问题；采样周期；Memristive Neural Networks；Sampled-Data Control；Semi-Markovian Jump；Synchronous Problems；Sampling Period

文章引用：权沈爱, 熊良林. 半马尔科夫跳变忆阻神经网络的同步采样控制研究[J]. 应用数学进展, 2022, 11(7): 4917-4932. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.117516

1. 引言

自从忆阻器被发现以来 [1]，很多学者致力于忆阻器的研究。如在文献 [2] 中，Sah等研究发现忆阻器能够很好的模拟人类的大脑行为。文献 [3] 中，Prezioso等首次研发出基于忆阻器的神经网络芯片。该芯片的顺利研发，开启了忆阻神经网络的研究热潮。此后，忆阻神经网络的动力学行为的研究也受到了大量的关注。

近几十年，由于忆阻神经网络同步的重要性，时滞忆阻神经网络的同步问题引起了许多研究者的关注。对于忆阻神经网络的指数同步问题，文献 [4] 利用李雅普诺夫泛函理论，结合不等式技术和牵制控制方法得到了具有反应扩散项的时滞忆阻神经网络指数同步的充分条件。文献 [5] 将复值忆阻神经网络的驱动–响应模型转化为两个实值忆阻神经网络，建立了时变时滞复值忆阻神经网络指数同步的一些充分条件。而针对忆阻神经网络的反同步问题，文献 [6] 在驱动–响应系统的框架下，通过Lyapunov函数方法和一些不等式技巧，给出了复值忆阻神经网络反同步的几个充分条件。文献 [7] 在Filippov意义下，结合不等式技巧得到了随机忆阻神经网络的有限时间反同步准则。

目前，学者们也提出了许多忆阻神经网络的同步控制方法。比如文献 [8] 建立了一种新颖的忆阻神经网络的同步误差，根据同步误差设计相应的自适应控制器，从而得到了忆阻神经网络的同步充分条件。文献 [9] 设计了一种具有反馈控制的自适应控制器，通过Lyapunov函数方法实现了一类具有混合时变时滞的广义忆阻神经网络的指数同步。而文献 [10] 通过设计状态反馈控制器，研究了具有随机扰动和时变时滞的忆阻递归神经网络的指数同步问题。文献 [11] 利用状态反馈控制方法，获得了耦合惯性忆阻神经网络有限时间同步的充分条件。对比以上连续控制方法，在采样控制的过程中，仅需要将系统在采样点处的信息传输到控制器中。因此采样控制方法具有以下优点：1) 有效的减少了信息传输量，从而节约了网络的通讯资源；2) 成本较低，容易实现，具有较高的可靠性。然而，使用采样控制器研究忆阻神经网络同步问题的结果还比较少；因此，使用采样控制研究忆阻神经网络的同步问题是本文的研究动机之一。

另一方面，马尔科夫现象在实际情况中是普遍存在的，比如突然加剧的环境干扰、组件故障等情况。因此，具有马尔科夫跳变的神经网络也吸引了许多研究者的关注。文献 [12] 实现了具有部分未知转移概率的马尔科夫跳变忆阻神经网络的有限时间稳定。文献 [13] 研究了具有反应扩散项的马尔科夫跳变复值忆阻神经网络的有限/固定时间的同步问题及其应用。文献 [14] 基于采样控制器，使用代数的方法获得了具有反应扩散项的马尔科夫跳变时滞忆阻神经网络同步的充分条件。然而，与马尔科夫过程不同，半马尔科夫的逗留时间不再服从指数分布，而是服从更一般的概率分布，如拉普拉斯分布、韦伯分布等。因此，研究具有半马尔科夫跳变的忆阻神经网络更具有一般性。所以，本文的另外一个研究动机是基于采样控制研究具有半马尔科夫跳变的时滞忆阻神经网络的同步问题。

根据上述分析，本文主要研究基于采样控制的半马尔科夫跳变时滞忆阻神经网络的同步问题。本文内容组织如下：在第二节中，将具有半马尔科夫跳变的时滞忆阻神经网络模型通过微分包含理论、集值映射理论以及鲁棒分析技巧转化为具有半马尔科夫跳变的带不确定参数的传统神经网络，并设计系统相关的采样控制器以及给出必要的引理和定理。在第三节中，基于采样控制器，构建一个包含采样信息的Lyapunov泛函，得到具有半马尔科夫跳变的时滞忆阻神经网络同步的充分条件。在第四节中，给出实例仿真来验证所得理论结果的可行性与有效性。最后，在第五节给出本文的一个总结。

符号： $\ast$表示对称矩阵中的对称块，R是实数域， $A>0$表示A是正定矩阵， $A<0$表示矩阵A是负定矩阵， $I_n$是n维单位矩阵， $A^{\text{T}}$表示矩阵A的转置， $A^{-1}$表示矩阵A的逆， $\Vert \cdot \Vert$表示一个向量的Euclid范数或一个矩阵的诱导范数， $diag\{\cdots \}$是块对角矩阵， $Sym\left\{X\right\}$表示 $X+X^{\text{T}}$， $\epsilon \left\{x\right\}$表示随机变量x的

数学期望。设 ${\bar{a}}_{ij}\left(r_t\right)=\max \left\{{\stackrel{⌣}{a}}_{ij}\left(r_t\right),{\stackrel{⌢}{a}}_{ij}\left(r_t\right)\right\}$， ${\underset{\_}{a}}_{ij}\left(r_t\right)=\min \left\{{\stackrel{⌣}{a}}_{ij}\left(r_t\right),{\stackrel{⌢}{a}}_{ij}\left(r_t\right)\right\}$， $a_{ij}^{+}\left(r_t\right)=\frac{1}{2}\left({\bar{a}}_{ij}\left(r_t\right)+{\underset{\_}{a}}_{ij}\left(r_t\right)\right)$， $a_{ij}^{-}\left(r_t\right)=\frac{1}{2}\left({\bar{a}}_{ij}\left(r_t\right)-{\underset{\_}{a}}_{ij}\left(r_t\right)\right)$， ${\bar{b}}_{ij}\left(r_t\right)=\max \left\{{\stackrel{⌣}{b}}_{ij}\left(r_t\right),{\stackrel{⌢}{b}}_{ij}\left(r_t\right)\right\}$， ${\underset{\_}{b}}_{ij}\left(r_t\right)=\min \left\{{\stackrel{⌣}{b}}_{ij}\left(r_t\right),{\stackrel{⌢}{b}}_{ij}\left(r_t\right)\right\}$， $b_{ij}^{+}\left(r_t\right)=\frac{1}{2}\left({\bar{b}}_{ij}\left(r_t\right)+{\underset{\_}{b}}_{ij}\left(r_t\right)\right)$， $b_{ij}^{-}\left(r_t\right)=\frac{1}{2}\left({\bar{b}}_{ij}\left(r_t\right)-{\underset{\_}{b}}_{ij}\left(r_t\right)\right)$。

2. 模型描述与预备知识

2.1. 模型描述

本文考虑以下具有半马尔科夫跳变的时滞忆阻神经网络

$\stackrel{\dot{}}{x}\left(t\right)=-C\left(r_t\right)x\left(t\right)+A\left(x\left(t\right),r_t\right)f\left(x\left(t\right)\right)+B\left(x\left(t\right),r_t\right)f\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+I$(1)

其中， $x\left(t\right)={\left[x_1\left(t\right),x_2\left(t\right),\cdots ,x_n\left(t\right)\right]}^{\text{T}}$是神经状态向量， $f\left(x(\cdot )\right)={\left[f_1\left(x_1(\cdot )\right),f_2\left(x_2(\cdot )\right),\cdots ,f_n\left(x_n(\cdot )\right)\right]}^{\text{T}}$表示非线性神经激活函数； $C\left(r_t\right)=diag\left\{c_1\left(r_t\right),c_2\left(r_t\right),\cdots ,c_n\left(r_t\right)\right\}>0$是一个对角矩阵， $A\left(x\left(t\right),r_t\right)={\left(a_{ij}\left(x_i\left(t\right),r_t\right)\right)}_{n\times n}$和 $B\left(x\left(t\right),r_t\right)={\left(b_{ij}\left(x_i\left(t\right),r_t\right)\right)}_{n\times n}$分别是具有随机跳变过程 $r\left(t\right)$的非时滞和时滞忆阻连接权矩阵，其中 $r\left(t\right)$是一个表示系统模态有限状态半马尔科夫过程，即 $r\left(t\right)$在一个给定的有限集 $\wp =\left\{1,2,\cdots ,N\right\}$上取离散值。I是一个外部输入向量， $\tau \left(t\right)$是时变时滞且满足： $0\le \tau \left(t\right)\le \tau$， $\stackrel{\dot{}}{\tau }\left(t\right)\le v<1$(τ与v是常数)。为了后续描述的方便，令 $C\left(r_t\right)$， $A\left(x\left(t\right),r_t\right)$， $B\left(x\left(t\right),r_t\right)$为 $C_{\lambda }$， $A_{\lambda }\left(x\left(t\right)\right)$， $B_{\lambda }\left(x\left(t\right)\right)$，其中 $\lambda \in \wp$。

令 $\left\{r\left(t\right),t\ge 0\right\}$是概率空间 $\left(\Omega ,\Psi ,\mathcal{P}\right)$上右连续离散状态半马尔科夫过程，且在有限集 $\wp =\left\{1,2,\cdots ,N\right\}$上取值，其转移概率与转移速率之间的关系有如下定义：

$\mathrm{Pr}\left\{r\left(t+\sigma \right)=j|r\left(t\right)=i\right\}=\{\begin{array}{l}{\pi }_{ij}\left(\sigma \right)\sigma +o\left(\sigma \right),i\ne j\\ 1+{\pi }_{ii}\left(\sigma \right)\sigma +o\left(\sigma \right),i=j\end{array}$,

其中 $\sigma >0$， $\underset{\sigma \to 0}{\lim }\frac{o\left(\sigma \right)}{\sigma }=0$； ${\pi }_{ij}\left(\sigma \right)$表示当 $i\ne j$时，由t时刻模态i跳跃到 $t+\sigma$时刻模态j的转移速率；且每个模态i都有 ${\pi }_{ii}\left(\sigma \right)=-{\displaystyle {\sum }_{j=1,j\ne i}^N{\pi }_{ij}\left(\sigma \right)}$。

根据忆阻器的电流–电压特征，系统(1)的参数可以表示为：

$a_{ij}\left(x_i\left(t\right),r_t\right)=\{\begin{array}{ll}{\stackrel{⌣}{a}}_{ij}\left(r_t\right),\hfill & \left|x_i\left(t\right)\right|\le T_i\hfill \\ {\stackrel{⌢}{a}}_{ij}\left(r_t\right),\hfill & \left|x_i\left(t\right)\right|>T_i\hfill \end{array}$,

$b_{ij}\left(x_i\left(t\right),r_t\right)=\{\begin{array}{ll}{\stackrel{⌣}{b}}_{ij}\left(r_t\right),\hfill & \left|x_i\left(t\right)\right|\le T_i\hfill \\ {\stackrel{⌢}{b}}_{ij}\left(r_t\right),\hfill & \left|x_i\left(t\right)\right|>T_i\hfill \end{array}$,

其中 ${\stackrel{⌣}{a}}_{ij}\left(r_t\right)$， ${\stackrel{⌢}{a}}_{ij}\left(r_t\right)$， ${\stackrel{⌣}{b}}_{ij}\left(r_t\right)$， ${\stackrel{⌢}{b}}_{ij}\left(r_t\right)$ $\left(i,j=1,2,\cdots ,n\right)$都是常数。

根据集值映射理论 [15] 和微分包含理论 [16]，系统(1)可以转化为以下神经网络

${\stackrel{\dot{}}{x}}_i\left(t\right)\in -c_i\left(r_t\right)x\left(t\right)+co\left\{{\stackrel{⌣}{a}}_{ij}\left(r_t\right),{\stackrel{⌢}{a}}_{ij}\left(r_t\right)\right\}f\left(x\left(t\right)\right)+co\left\{{\stackrel{⌣}{b}}_{ij}\left(r_t\right),{\stackrel{⌢}{b}}_{ij}\left(r_t\right)\right\}f\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+I_i$(2)

或等价的，对于 $i=1,2,\cdots ,n$存在可测函数 $a_{ij}^{\ast }\left(r_t\right)\in co\left\{{\stackrel{⌣}{a}}_{ij}\left(r_t\right),{\stackrel{⌢}{a}}_{ij}\left(r_t\right)\right\}$， $b_{ij}^{\ast }\left(r_t\right)\in co\left\{{\stackrel{⌣}{b}}_{ij}\left(r_t\right),{\stackrel{⌢}{b}}_{ij}\left(r_t\right)\right\}$使得

${\stackrel{\dot{}}{x}}_i\left(t\right)=-c_i\left(r_t\right)x\left(t\right)+a_{ij}^{\ast }\left(r_t\right)f\left(x\left(t\right)\right)+b_{ij}^{\ast }\left(r_t\right)f\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+I_i$(3)

由 [17] 中的引理2.1，系统(3)可以转化为如下神经网络：

$\stackrel{\dot{}}{x}\left(t\right)=-C_{\lambda }x\left(t\right)+\left(A_{\lambda }^{+}+M{a}_{\lambda }{\Theta }_{1\lambda }\left(t\right)N{a}_{\lambda }\right)f\left(x\left(t\right)\right)+\left(B_{\lambda }^{+}+M{b}_{\lambda }{\Theta }_{2\lambda }\left(t\right)N{b}_{\lambda }\right)f\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+I$(4)

其中，

$A_{\lambda }^{+}={\left(a_{ij}^{+}\left(r_t\right)\right)}_{n\times n}$, $B_{\lambda }^{+}={\left(b_{ij}^{+}\left(r_t\right)\right)}_{n\times n}$,

$M{a}_{\lambda }={\left(\sqrt{a_{11}^{-}\left(r_t\right)}{\varsigma }_1,\cdots ,\sqrt{a_{1n}^{-}\left(r_t\right)}{\varsigma }_1,\cdots ,\sqrt{a_{n1}^{-}\left(r_t\right)}{\varsigma }_n,\cdots ,\sqrt{a_{nn}^{-}\left(r_t\right)}{\varsigma }_n\right)}_{n\times n^2}$,

$N{a}_{\lambda }={\left(\sqrt{a_{11}^{-}\left(r_t\right)}{\varsigma }_1,\cdots ,\sqrt{a_{1n}^{-}\left(r_t\right)}{\varsigma }_1,\cdots ,\sqrt{a_{n1}^{-}\left(r_t\right)}{\varsigma }_n,\cdots ,\sqrt{a_{nn}^{-}\left(r_t\right)}{\varsigma }_n\right)}_{n^2\times n}^{\text{T}}$,

$M{b}_{\lambda }={\left(\sqrt{b_{11}^{-}\left(r_t\right)}{\varsigma }_1,\cdots ,\sqrt{b_{1n}^{-}\left(r_t\right)}{\varsigma }_1,\cdots ,\sqrt{b_{n1}^{-}\left(r_t\right)}{\varsigma }_n,\cdots ,\sqrt{b_{nn}^{-}\left(r_t\right)}{\varsigma }_n\right)}_{n\times n^2}$,

$N{b}_{\lambda }={\left(\sqrt{b_{11}^{-}\left(r_t\right)}{\varsigma }_1,\cdots ,\sqrt{b_{1n}^{-}\left(r_t\right)}{\varsigma }_1,\cdots ,\sqrt{b_{n1}^{-}\left(r_t\right)}{\varsigma }_n,\cdots ,\sqrt{b_{nn}^{-}\left(r_t\right)}{\varsigma }_n\right)}_{n^2\times n}^{\text{T}}$,

${\varsigma }_i\in R^n$表示第i个元素为1，其他元素为0的列向量；并且 ${\Theta }_{i\lambda }^{\text{T}}\left(t\right){\Theta }_{i\lambda }\left(t\right)\le I$， $i=1,2$。

本文考虑(1)为主系统，对应的从系统如下：

$\stackrel{\dot{}}{y}\left(t\right)=-C\left(r_t\right)y\left(t\right)+A\left(y\left(t\right),r_t\right)f\left(y\left(t\right)\right)+B\left(y\left(t\right),r_t\right)f\left(y\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+I+u\left(t\right)$(5)

其中，系统的参数表示为

$a_{ij}\left(y_i\left(t\right),r_t\right)=\{\begin{array}{ll}{\stackrel{⌣}{a}}_{ij}\left(r_t\right),\hfill & \left|y_i\left(t\right)\right|\le T_i\hfill \\ {\stackrel{⌢}{a}}_{ij}\left(r_t\right),\hfill & \left|y_i\left(t\right)\right|>T_i\hfill \end{array}$,

$b_{ij}\left(y_i\left(t\right),r_t\right)=\{\begin{array}{ll}{\stackrel{⌣}{b}}_{ij}\left(r_t\right),\hfill & \left|y_i\left(t\right)\right|\le T_i\hfill \\ {\stackrel{⌢}{b}}_{ij}\left(r_t\right),\hfill & \left|y_i\left(t\right)\right|>T_i\hfill \end{array}$,

其中， ${\stackrel{⌣}{a}}_{ij}\left(r_t\right)$， ${\stackrel{⌢}{a}}_{ij}\left(r_t\right)$， ${\stackrel{⌣}{b}}_{ij}\left(r_t\right)$， ${\stackrel{⌢}{b}}_{ij}\left(r_t\right)$，I与系统(1)中的参数一致， $u\left(t\right)$是控制输入向量。

经处理得：

$\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{y}\left(t\right)=-C_{\lambda }y\left(t\right)+\left(A_{\lambda }^{+}+M{a}_{\lambda }{\Theta }_{3\lambda }\left(t\right)N{a}_{\lambda }\right)f\left(y\left(t\right)\right)\\ +\left(B_{\lambda }^{+}+M{b}_{\lambda }{\Theta }_{4\lambda }\left(t\right)N{b}_{\lambda }\right)f\left(y\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+I+u\left(t\right)\end{array}$(6)

其中 $A_{\lambda }^{+}$， $B_{\lambda }^{+}$， $M{a}_{\lambda }$， $N{a}_{\lambda }$， $M{b}_{\lambda }$， $N{b}_{\lambda }$与系统(4)一致， ${\Theta }_{i\lambda }^{\text{T}}\left(t\right){\Theta }_{i\lambda }\left(t\right)\le I$， $i=3,4$。

定义误差信号为 $e\left(t\right)=y\left(t\right)-x\left(t\right)$，由(4)和(6)可表示误差系统如下：

$\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)=-C_{\lambda }e\left(t\right)+\left(A_{\lambda }^{+}+M{a}_{\lambda }{\Theta }_{3\lambda }\left(t\right)N{a}_{\lambda }\right)g\left(e\left(t\right)\right)\\ +\left(B_{\lambda }^{+}+M{b}_{\lambda }{\Theta }_{4\lambda }\left(t\right)N{b}_{\lambda }\right)g\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+u\left(t\right)+G_1\end{array}$(7)

其中 $g\left(e(\cdot )\right)=f\left(y(\cdot )\right)-f\left(x(\cdot )\right)$,

$G_1=\left(M{a}_{\lambda }{\Theta }_{3\lambda }\left(t\right)N{a}_{\lambda }-M{a}_{\lambda }{\Theta }_{1\lambda }\left(t\right)N{a}_{\lambda }\right)f\left(x\left(t\right)\right)+\left(M{b}_{\lambda }{\Theta }_{4\lambda }\left(t\right)N{b}_{\lambda }-M{b}_{\lambda }{\Theta }_{2\lambda }\left(t\right)N{b}_{\lambda }\right)f\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)$.

假设系统的控制信号由零阶保持器生成，保持时间的序列为 $0=t_0<t_1<t_2<\cdots <t_k<\cdots$。本文拟采用的采样控制器设计为：

$u\left(t\right)=-Ke\left(t_k\right)-\Omega sign\left(\gamma e\left(t\right)+\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)\right)$, $t_k\le t\le t_{k+1}$(8)

其中K为采样反馈控制器的增益矩阵， $\gamma$是可谐调的参数， $\Omega =diag\left\{v_1\left(t\right),v_2\left(t\right),\cdots ,v_n\left(t\right)\right\}$，且有

$v_i\left(t\right)=\{\begin{array}{cc}0& \left|x_i\left(t\right)\right|\le T_i且\left|y_i\left(t\right)\right|\le T_i,或\left|x_i\left(t\right)\right|>T_i且\left|y_i\left(t\right)\right|>T_i\\ r_i& 其它\end{array}$,

$e\left(t_k\right)$是 $e\left(t\right)$在采样瞬间 $t_k$时刻的离散测量值，且有 $\underset{x\to \infty }{\lim }{t}_k=+\infty$。假设对任意整数 $k\ge 0$有 $t_{k+1}-t_k=h_k\le h$，其中h是最大的采样区间。

将控制器(8)代入(7)式可得

$\begin{array}{l}\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)=-C_{\lambda }e\left(t\right)+\left(A_{\lambda }^{+}+M{a}_{\lambda }{\Theta }_{3\lambda }\left(t\right)N{a}_{\lambda }\right)g\left(e\left(t\right)\right)+\left(B_{\lambda }^{+}+M{b}_{\lambda }{\Theta }_{4\lambda }\left(t\right)N{b}_{\lambda }\right)g\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)\\ +G_1-Ke\left(t-h\left(t\right)\right)-\Omega sign\left(\gamma e\left(t\right)+\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)\right)\end{array}$(9)

其中 $t_k\le t\le t_{k+1}$， $h\left(t\right)=t-t_k$， $0\le h\left(t\right)\le h$，并且对于所有的 $t\ne t_k$， $\stackrel{\dot{}}{h}\left(t\right)=1$。

注1：受到文献 [18] 的启发，本文引入具有符号函数项的控制器(8)。本文控制器中的符号函数项在误差系统的参数匹配时取0，在误差系统的参数不匹配时取 $r_i$，从而便于系统的处理。

2.2. 预备知识

为了方便推导具有半马尔科夫跳变的时滞忆阻神经网络采样同步的充分条件，本文给出以下定义、假设和引理。

定义1 [19] 对于定义在区间 $\left[-\max \left\{\tau ,h\right\},0\right]$上的初值条件 $e\left(t\right)=\psi \left(t\right)$和 $r\left(0\right)\in N$，如果满足以下条件

$\underset{x\to \infty }{\lim }\epsilon \left\{{\displaystyle {\int }_0^T{\Vert e\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s\left(\psi \left(t\right),e\left(0\right)\right)}\right\}<\infty$(10)

则误差系统(9)随机稳定，即主系统(1)与从系统(5)随机同步。

假设1 假设系统(1)的神经激活函数 $f_i(\cdot )$ $\left(i=1,2,\cdots ,n\right)$满足下列条件：对任意的 $x_1,x_2\in R$，有

${\beta }_i^{-}\le \frac{f_i\left(x_1\right)-f_i\left(x_2\right)}{x_1-x_2}\le {\beta }_i^{+}$, $x_1\ne x_2$, $j=1,2,\cdots ,n$,

$\left|f_i(\cdot )\right|\le F_i$,

其中， ${\beta }_i^{-}$， ${\beta }_i^{+}$， $T_i>0$是已知常数。

引理2 [20] 对于矩阵 $\mathfrak{U}$、 $\mathfrak{J}$和对称矩阵 $\Re$，若 $\Re +\text{є}\mathfrak{U}{\mathfrak{U}}^{\text{T}}+{\text{є}}^{-1}{\mathfrak{J}}^{\text{T}}\mathfrak{J}<0$，则当且仅当以下不等式成立

$\Re +\mathfrak{U}\mathfrak{F}\mathfrak{J}+{\left(\mathfrak{U}\mathfrak{F}\mathfrak{J}\right)}^{\text{T}}<0$,

其中 $\text{є}>0$， ${\mathfrak{F}}^{\text{T}}\mathfrak{F}<I$。

引理3 [20] 对于给定的矩阵 ${\Delta }_1$, ${\Delta }_2$, ${\Delta }_3$，且满足 ${\Delta }_1={\Delta }_1^{\text{T}}$， $0<{\Delta }_2={\Delta }_2^{\text{T}}$，若

$\left(\begin{array}{cc}{\Delta }_1& {\Delta }_3^{\text{T}}\\ {\Delta }_3& -{\Delta }_2\end{array}\right)<0$或 $\left(\begin{array}{cc}-{\Delta }_2& {\Delta }_3\\ {\Delta }_3^{\text{T}}& {\Delta }_1\end{array}\right)<0$,

当且仅当 ${\Delta }_1+{\Delta }_3^{\text{T}}{\Delta }_2^{-1}{\Delta }_3<0$。

引理4 [21] 对于矩阵 $0<T\in R^{n\times n}$和任意可微函数 $\sigma :\left[{\beta }_1,{\beta }_2\right]\to R^n$，有

$-\left({\beta }_2-{\beta }_1\right){\displaystyle {\int }_{{\beta }_1}^{{\beta }_2}{\stackrel{\dot{}}{\sigma }}^{\text{T}}\left(\theta \right)T{\stackrel{\dot{}}{\sigma }}^{\text{T}}\left(\theta \right)\text{d}\theta }\le -{\left[\sigma \left({\beta }_2\right)-\sigma \left({\beta }_1\right)\right]}^{\text{T}}T\left[\sigma \left({\beta }_2\right)-\sigma \left({\beta }_1\right)\right]-3{\Omega }_1^{\text{T}}T{\Omega }_1$

其中 ${\Omega }_1=\sigma \left({\beta }_2\right)+\sigma \left({\beta }_1\right)-\frac{2}{{\beta }_2-{\beta }_1}{\displaystyle {\int }_{{\beta }_1}^{{\beta }_2}\sigma \left(\theta \right)\text{d}\theta }$。

3. 主要内容

本节在定理3.1中给出具有半马尔科夫跳变的时滞忆阻神经网络采样同步的充分条件。推导出该条件的Lyapunov函数由包含半马尔科夫跳变的二次函数和包含采样信息的积分项组成。

为了方便表达，我们定义块矩阵 $I_i=\left[\begin{array}{ccc}{0}_{n,\left(i-1\right)n}& I_n& 0_{n,\left(11-i\right)n}\end{array}\right]$ $\left(i=1,2,\cdots ,11\right)$，部分向量和矩阵定义如下：

${\beta }_1=diag\left({\beta }_1^{-},{\beta }_2^{-},\cdots ,{\beta }_n^{-}\right)$, ${\beta }_2=diag\left({\beta }_1^{+},{\beta }_2^{+},\cdots ,{\beta }_n^{+}\right)$,

${\Lambda }_1\left(t\right)={\left[e^{\text{T}}\left(t\right)+e^{\text{T}}\left(t-\tau \left(t\right)\right)-\frac{2}{\tau \left(t\right)}{\displaystyle {\int }_{t-\tau \left(t\right)}^{t}e\left(s\right)\text{d}s}\right]}^{\text{T}}$,

${\Lambda }_2\left(t\right)={\left[e^{\text{T}}\left(t-\tau \left(t\right)\right)+e^{\text{T}}\left(t-\tau \right)-\frac{2}{\tau -\tau \left(t\right)}{\displaystyle {\int }_{t-\tau }^{t-\tau \left(t\right)}e\left(s\right)\text{d}s}\right]}^{\text{T}}$,

${\Lambda }_3\left(t\right)={\left[e^{\text{T}}\left(t\right)+e^{\text{T}}\left(t-h\left(t\right)\right)-\frac{2}{h\left(t\right)}{\displaystyle {\int }_{t-h\left(t\right)}^{t}e\left(s\right)\text{d}s}\right]}^{\text{T}}$,

${\Lambda }_4\left(t\right)={\left[e^{\text{T}}\left(t-h\left(t\right)\right)+e^{\text{T}}\left(t-h\right)-\frac{2}{h-h\left(t\right)}{\displaystyle {\int }_{t-h}^{t-h\left(t\right)}e\left(s\right)\text{d}s}\right]}^{\text{T}}$,

$\begin{array}{l}{\eta }_1\left(t\right)=[e^{\text{T}}\left(t\right)-e^{\text{T}}\left(t-\tau \left(t\right)\right),e^{\text{T}}\left(t\right)+e^{\text{T}}\left(t-\tau \left(t\right)\right)-\frac{2}{\tau \left(t\right)}{\displaystyle {\int }_{t-\tau \left(t\right)}^{t}e\left(s\right)\text{d}s},\\ {e^{\text{T}}\left(t-\tau \left(t\right)\right)-e^{\text{T}}\left(t-\tau \right),e^{\text{T}}\left(t-\tau \left(t\right)\right)+e^{\text{T}}\left(t-\tau \right)-\frac{2}{\tau -\tau \left(t\right)}{\displaystyle {\int }_{t-\tau }^{t-\tau \left(t\right)}e\left(s\right)\text{d}s}]}^{\text{T}},\end{array}$

$\begin{array}{l}{\eta }_2\left(t\right)=[e^{\text{T}}\left(t\right)-e^{\text{T}}\left(t-h\left(t\right)\right),e^{\text{T}}\left(t\right)+e^{\text{T}}\left(t-h\left(t\right)\right)-\frac{2}{h\left(t\right)}{\displaystyle {\int }_{t-h\left(t\right)}^{t}e\left(s\right)\text{d}s},\\ {e^{\text{T}}\left(t-h\left(t\right)\right)-e^{\text{T}}\left(t-h\right),e^{\text{T}}\left(t-h\left(t\right)\right)+e^{\text{T}}\left(t-h\right)-\frac{2}{h-h\left(t\right)}{\displaystyle {\int }_{t-h}^{t-h\left(t\right)}e\left(s\right)\text{d}s}]}^{\text{T}},\end{array}$

$\begin{array}{l}\xi \left(t\right)=[e^{\text{T}}\left(t\right),e^{\text{T}}\left(t-\tau \left(t\right)\right),e^{\text{T}}\left(t-\tau \right),e^{\text{T}}\left(t-h\left(t\right)\right),e^{\text{T}}\left(t-h\right),{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(t\right),\frac{2}{\tau \left(t\right)}{\displaystyle {\int }_{t-\tau \left(t\right)}^{t}e\left(s\right)\text{d}s},\\ \frac{2}{\tau -\tau \left(t\right)}{\displaystyle {\int }_{t-\tau }^{t-\tau \left(t\right)}e\left(s\right)\text{d}s},\frac{2}{h\left(t\right)}{\displaystyle {\int }_{t-h\left(t\right)}^{t}e\left(s\right)\text{d}s},\frac{2}{h-h\left(t\right)}{\displaystyle {\int }_{t-h}^{t-h\left(t\right)}e\left(s\right)\text{d}s},g^{\text{T}}\left(e\left(t\right)\right),g^{\text{T}}\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)].\end{array}$

定理3.1 假设1成立，对给定参数 $\gamma$， $\tau$， $\mu$，具有半马尔科夫跳变的时滞忆阻神经网络(1)和(5)是随机同步的，如果存在对称正定矩阵 $Q_1$、 $Q_2$、 $Q_3$、 $R_1$、 $R_2$、 $P_{\lambda }$ $\left(\lambda \in \wp \right)$，正定对角矩阵W、 $M_1$、 $M_2$，任意合适维数的矩阵R、 $X_{m1}$、 $X_{m2}$、 $X_{m3}$ $\left(m=1,2\right)$和正参数 $s_k$ $\left(k=1,2,3,4\right)$，使得下列线性矩阵不等式成立

${\bar{R}}_m=\left[\begin{array}{cccc}{R}_m& 0& X_{m1}& X_{m2}\\ *& 3R_m& X_{m2}^{\text{T}}& X_{m3}\\ *& *& R_m& 0\\ *& *& *& 3R_m\end{array}\right]>0$, ( $m=1,2$)(11)

${\Pi }_i=\left[\begin{array}{ccccc}{\Omega }_i& \sqrt{\gamma }WM{a}_i& \sqrt{\gamma }WM{b}_i& WM{a}_i& WM{b}_i\\ *& -s_{1}I& 0& 0& 0\\ *& *& -s_{2}I& 0& 0\\ *& *& *& -s_{3}I& 0\\ *& *& *& *& -s_{4}I\end{array}\right]<0$(12)

其中，

$\begin{array}{l}{\Omega }_i=Sym\left\{I_1^{\text{T}}{P}_i{I}_6\right\}+I_1^{\text{T}}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{\pi }_{ij}}{P}_j{I}_1+I_1^{\text{T}}\left(Q_1+Q_2+Q_3\right)I_1-\left(1-\mu \right)I_2^{\text{T}}{Q}_1{I}_2-I_3^{\text{T}}{Q}_2{I}_3-I_5^{\text{T}}{Q}_3{I}_5\\ +I_6^{\text{T}}\left({\tau }^2{R}_1+h^2{R}_2\right)I_6-{\varsigma }_1^{\text{T}}{\bar{R}}_1{\varsigma }_1-{\varsigma }_2^{\text{T}}{\bar{R}}_1{\varsigma }_2-I_1^{\text{T}}{\beta }_1{M}_1{\beta }_2+Sym\left\{I_1^{\text{T}}\left(\frac{1}{2}{M}_1\left({\beta }_1+{\beta }_2\right)\right)I_{11}\right\}\\ -I_{11}^{\text{T}}{M}_1{I}_{11}-I_2^{\text{T}}{\beta }_1{M}_2{\beta }_2+Sym\left\{I_2^{\text{T}}\left(\frac{1}{2}{M}_2\left({\beta }_1+{\beta }_2\right)\right)I_{12}\right\}-I_{12}^{\text{T}}{M}_2{I}_{12}\\ +Sym\left\{-\gamma I_1^{\text{T}}W{I}_6-\gamma I_1^{\text{T}}W{C}_i{I}_1+\gamma I_1^{\text{T}}W{A}_i^{+}{I}_{11}+\gamma I_1^{\text{T}}W{B}_i^{+}{I}_{12}-\gamma I_1^{\text{T}}L{I}_4\right\}\\ +Sym\left\{-I_6^{\text{T}}W{I}_6-I_6^{\text{T}}W{C}_i{I}_1+I_6^{\text{T}}W{A}_i^{+}{I}_{11}+I_6^{\text{T}}W{B}_i^{+}{I}_{12}-I_6^{\text{T}}L{I}_4\right\}\\ +I_{11}^{\text{T}}\left(\gamma \ast s_1+s_3\right)N{a}_i^{\text{T}}N{a}_i{I}_{11}+I_{12}^{\text{T}}\left(\gamma \ast s_2+s_4\right)N{b}_i^{\text{T}}N{b}_i{I}_{12}\end{array}$

且，

${\varsigma }_1={\left[I_1-I_2,I_1+I_2-I_7,I_2-I_3,I_2+I_3-I_8\right]}^{\text{T}}$,

${\varsigma }_2={\left[I_1-I_4,I_1+I_4-I_9,I_4-I_5,I_4+I_5-I_{10}\right]}^{\text{T}}$.

设计的采样控制器(8)式中的参数有如下限制：

$r_i={\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\left(\left|{\bar{a}}_{ij}-{\underset{\_}{a}}_{ij}\right|+\left|{\bar{b}}_{ij}-{\underset{\_}{b}}_{ij}\right|\right)F_j}$,(13)

并且控制增益矩阵为 $K=W^{-1}L$。

证明：对于误差系统(9)，选取如下Lyapunov泛函

$V\left(e\left(t\right),r\left(t\right)\right)={\displaystyle \underset{l=1}{\overset{3}{\sum }}{V}_l\left(e\left(t\right),r\left(t\right)\right)}$(14)

其中，

$V_1\left(e\left(t\right),r\left(t\right)\right)=e^{\text{T}}\left(t\right)P\left(r\left(t\right)\right)e\left(t\right)$,

$V_2\left(e\left(t\right),r\left(t\right)\right)={\displaystyle {\int }_{t-\tau \left(t\right)}^t{e}^{\text{T}}\left(s\right)Q_{1}e\left(s\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_{t-\tau }^t{e}^{\text{T}}\left(s\right)Q_{2}e\left(s\right)\text{d}s}+{\displaystyle {\int }_{t-h}^t{e}^{\text{T}}\left(s\right)Q_{3}e\left(s\right)\text{d}s}$,

$V_3\left(e\left(t\right),r\left(t\right)\right)=\tau {\displaystyle {\int }_{t-\tau }^t{\displaystyle {\int }_{\theta }^t{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(s\right)R_1\stackrel{\dot{}}{e}\left(s\right)\text{d}s\text{d}\theta }}+h{\displaystyle {\int }_{t-h}^t{\displaystyle {\int }_{\theta }^t{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(s\right)R_2\stackrel{\dot{}}{e}\left(s\right)\text{d}s\text{d}\theta }}$.

半马尔科夫跳变过程的若无穷小算子为：

$\mathcal{L}V\left(e\left(t\right),r\left(t\right)\right)=\underset{\Delta \to 0}{\lim }\frac{E\left\{V\left(x\left(t+\Delta \right),r\left(t+\Delta \right)|x\left(t\right),r\left(t\right)\right)\right\}-V\left(x\left(t\right),r\left(t\right)\right)}{\Delta }$,(15)

其中 $\Delta$是一个很小的正数。令 $r\left(t\right)=i$，应用全概率公式和条件概率公式，且根据文献 [22] 的计算公式，可得：

$\begin{array}{l}\mathcal{L}{V}_1\left(e\left(t\right),r\left(t\right)\right)=\underset{\Delta \to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta }[{\displaystyle {\sum }_{j=1,j\ne i}^N\mathrm{Pr}\left\{r\left(t+\Delta \right)=j|r\left(t\right)=i\right\}{e}^{\text{T}}\left(t+\Delta \right)P_{j}e\left(t+\Delta \right)}\\ +\mathrm{Pr}\left\{r\left(t+\Delta \right)=i|r\left(t\right)=i\right\}{e}^{\text{T}}\left(t+\Delta \right)P_{i}e\left(t+\Delta \right)-e^{\text{T}}\left(t\right)P_{i}e\left(t\right)]\\ =\underset{\Delta \to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta }[{\displaystyle \underset{j=1,j\ne i}{\overset{N}{\sum }}\frac{q_{ij}\left(G_i\left(\sigma +\Delta \right)-G_i\left(\sigma \right)\right)}{1-G_i\left(\sigma \right)}{e}^{\text{T}}\left(t+\Delta \right)P_{j}e\left(t+\Delta \right)}\\ +\frac{1-G_i\left(\sigma +\Delta \right)}{1-G_i\left(\sigma \right)}{e}^{\text{T}}\left(t+\Delta \right)P_{i}e\left(t+\Delta \right)-e^{\text{T}}\left(t\right)P_{i}e\left(t\right)]\end{array}$(16)

其中 $\sigma$表示系统从最后一次跳跃开始保持在模态i时逗留的时间， $G_i\left(t\right)$是系统保持在模态i时逗留时间的概率分布函数， $q_{ij}$是系统从模态i跳跃到模态j的概率密度。给定的 $\Delta$很小， $e\left(t+\Delta \right)$的一阶近似为

$e\left(t+\Delta \right)=e\left(t\right)+\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)\Delta +o\left(\Delta \right)$(17)

因此，将(17)式带入(16)式且由于 $\underset{\sigma \to 0}{\lim }\frac{o\left(\Delta \right)}{\Delta }=0$，所以有

$\begin{array}{l}\mathcal{L}{V}_1\left(e\left(t\right),r\left(t\right)\right)=\underset{\Delta \to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta }[{\displaystyle \underset{j=1,j\ne i}{\overset{N}{\sum }}\frac{q_{ij}\left(G_i\left(\sigma +\Delta \right)-G_i\left(\sigma \right)\right)}{1-G_i\left(\sigma \right)}\left(e^{\text{T}}\left(t\right)+\Delta {\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(t\right)\right)P_j\left(e\left(t\right)+\Delta \stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)\right)}\\ +\frac{1-G_i\left(\sigma +\Delta \right)}{1-G_i\left(\sigma \right)}\left(e^{\text{T}}\left(t\right)+\Delta {\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(t\right)\right)P_i\left(e\left(t\right)+\Delta \stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)\right)-e^{\text{T}}\left(t\right)P_{i}e\left(t\right)]\end{array}$(18)

根据概率分布函数的性质，有如下式子成立

$\underset{\Delta \to 0}{\lim }\frac{q_{ij}\left(G_i\left(\sigma +\Delta \right)-G_i\left(\sigma \right)\right)}{\left(1-G_i\left(\sigma \right)\right)\Delta }={\pi }_i\left(\sigma \right)$, $\underset{\Delta \to 0}{\lim }\frac{1-G_i\left(\sigma +\Delta \right)}{1-G_i\left(\sigma \right)}=1$, $\underset{\Delta \to 0}{\lim }\frac{q_{ij}\left(G_i\left(\sigma +\Delta \right)-G_i\left(\sigma \right)\right)}{1-G_i\left(\sigma \right)}=0$

其中 ${\pi }_i\left(\sigma \right)$表示系统从模态i跳跃的转移速率。定义 ${\pi }_{ij}\left(\sigma \right)\triangleq q_{ij}{\pi }_i\left(\sigma \right)$ $\left(i\ne j\right)$，且满足

${\pi }_{ii}\left(\sigma \right)\triangleq -{\displaystyle \underset{j=1,j\ne i}{\overset{N}{\sum }}{\pi }_{ij}\left(\sigma \right)}$。

综上，可得

$\begin{array}{l}\mathcal{L}{V}_1\left(e\left(t\right),r\left(t\right)\right)=Sym\left\{e^{\text{T}}\left(t\right)P_i\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)\right\}+e^{\text{T}}\left(t\right)\left[{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{\pi }_{ij}\left(\sigma \right)P_j}\right]e\left(t\right)\\ ={\xi }^{\text{T}}\left(t\right)\left(Sym\left\{I_1^{\text{T}}{P}_i{I}_6\right\}+I_1^{\text{T}}{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{N}{\sum }}{\pi }_{ij}}\left(\sigma \right)P_j{I}_1\right)\xi \left(t\right)\end{array}$(19)

此外，

$\begin{array}{l}\mathcal{L}{V}_2\left(e\left(t\right),r\left(t\right)\right)=e^{\text{T}}\left(t\right)\left(Q_1+Q_2+Q_3\right)e\left(t\right)-\left(1-\mu \right)e^{\text{T}}\left(t-\tau \left(t\right)\right)Q_{1}e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\\ -e^{\text{T}}\left(t-\tau \right)Q_{2}e\left(t-\tau \right)-e^{\text{T}}\left(t-h\right)Q_{3}e\left(t-h\right)\\ ={\xi }^{\text{T}}\left(t\right)\left(I_1^{\text{T}}\left(Q_1+Q_2+Q_3\right)I_1-\left(1-\mu \right)I_2^{\text{T}}{Q}_1{I}_2-I_3^{\text{T}}{Q}_2{I}_3-I_5^{\text{T}}{Q}_3{I}_5\right)\xi \left(t\right)\end{array}$(20)

$\mathcal{L}{V}_3\left(e\left(t\right),r\left(t\right)\right)={\tau }^2{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(t\right)R_1\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)+h^2{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(t\right)R_2\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)-\tau {\displaystyle {\int }_{t-\tau }^t{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(s\right)R_1\stackrel{\dot{}}{e}\left(s\right)\text{d}s}-h{\displaystyle {\int }_{t-h}^t{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(s\right)R_2\stackrel{\dot{}}{e}\left(s\right)\text{d}s}$(21)

因为 ${\bar{R}}_m>0\left(m=1,2\right)$，利用引理4和文献 [23] 中的互凸技术，可以得到

$\begin{array}{l}-\tau {\displaystyle {\int }_{t-\tau }^t{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(s\right)R_1\stackrel{\dot{}}{e}\left(s\right)\text{d}s}\\ \le -\frac{\tau }{\tau \left(t\right)}\left\{{\left[e(\left(t\right)-e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right]}^{\text{T}}{R}_1\left[e\left(t\right)-e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right]+3{\Lambda }_1^{\text{T}}\left(t\right)R_1{\Lambda }_1\left(t\right)\right\}\\ -\frac{\tau }{\tau -\tau \left(t\right)}\left\{{\left[e\left(t-\tau \left(t\right)\right)-e\left(t-\tau \right)\right]}^{\text{T}}{R}_1\left[e\left(t-\tau \left(t\right)\right)-e\left(t-\tau \right)\right]+3{\Lambda }_2^{\text{T}}\left(t\right)R_1{\Lambda }_2\left(t\right)\right\}\\ \le -{\eta }_1^{\text{T}}\left(t\right){\bar{R}}_1{\eta }_1\left(t\right),\end{array}$(22)

$\begin{array}{l}-h{\displaystyle {\int }_{t-h}^t{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(s\right)R_2\stackrel{\dot{}}{e}\left(s\right)\text{d}s}\\ \le -\frac{h}{h\left(t\right)}\left\{{\left[e\left(t\right)-e\left(t-h\left(t\right)\right)\right]}^{\text{T}}{R}_2\left[e\left(t\right)-e\left(t-h\left(t\right)\right)\right]+3{\Lambda }_3^{\text{T}}\left(t\right)R_2{\Lambda }_3\left(t\right)\right\}\\ -\frac{h}{h-h\left(t\right)}\left\{{\left[e\left(t-h\left(t\right)\right)-e\left(t-h\right)\right]}^{\text{T}}{R}_2\left[e\left(t-h\left(t\right)\right)-e\left(t-h\right)\right]+3{\Lambda }_4^{\text{T}}\left(t\right)R_2{\Lambda }_4\left(t\right)\right\}\\ \le -{\eta }_2^{\text{T}}\left(t\right){\bar{R}}_2{\eta }_2\left(t\right).\end{array}$(23)

所以，

$\mathcal{L}{V}_3\left(e\left(t\right),r\left(t\right),t\right)\le {\xi }^{\text{T}}\left(t\right)\left(I_6^{\text{T}}\left({\tau }^2{R}_1+h^2{R}_2\right)I_6-{\varsigma }_1^{\text{T}}{\bar{R}}_1{\varsigma }_1-{\varsigma }_2^{\text{T}}{\bar{R}}_1{\varsigma }_2\right)\xi \left(t\right)$(24)

下面考虑激活函数的信息，并且利用系统的信息，根据假设1和对角矩阵 $M_1>0$， $M_2>0$，有

$e^{\text{T}}\left(t\right){\beta }_1{M}_1{\beta }_{2}e\left(t\right)-e^{\text{T}}\left(t\right)M_1\left({\beta }_1+{\beta }_2\right)g\left(e\left(t\right)\right)+g^{\text{T}}\left(e\left(t\right)\right)M_{1}g\left(e\left(t\right)\right)\le 0$(25)

$\begin{array}{l}{e}^{\text{T}}\left(t-\tau \left(t\right)\right){\beta }_1{M}_2{\beta }_{2}e\left(t-\tau \left(t\right)\right)-e^{\text{T}}\left(t-\tau \left(t\right)\right)M_2\left({\beta }_1+{\beta }_2\right)g\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)\\ +g^{\text{T}}\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)M_{2}g\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)\le 0\end{array}$(26)

根据(25)式和(26)式，有：

$\begin{array}{l}0\le {\xi }^{\text{T}}\left(t\right)(-I_1^{\text{T}}{\beta }_1{M}_1{\beta }_2+sym\left\{I_1^{\text{T}}\left(\frac{1}{2}{M}_1\left({\beta }_1+{\beta }_2\right)\right)I_{11}\right\}-I_{11}^{\text{T}}{M}_1{I}_{11}-I_2^{\text{T}}{\beta }_1{M}_2{\beta }_2\\ +sym\left\{I_2^{\text{T}}\left(\frac{1}{2}{M}_2\left({\beta }_1+{\beta }_2\right)\right)I_{12}\right\}-I_{12}^{\text{T}}{M}_2{I}_{12})\xi \left(t\right)\end{array}$(27)

根据系统(9)，对于任意合适维数的对角矩阵W和正标量 $\gamma$有

$\begin{array}{l}0=2\left(\gamma e^{\text{T}}\left(t\right)+{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(t\right)\right)W[-\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)-C_{\lambda }e\left(t\right)+\left(A_{\lambda }^{+}+M{a}_{\lambda }{\Theta }_{3\lambda }\left(t\right)N{a}_{\lambda }\right)g\left(e\left(t\right)\right)\\ +\left(B_{\lambda }^{+}+M{b}_{\lambda }{\Theta }_{4\lambda }\left(t\right)N{b}_{\lambda }\right)g\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+G_1+G_2-Ke\left(t-h\left(t\right)\right)-\Omega sign\left(\gamma e\left(t\right)+\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)\right)]\end{array}$(28)

其中，

$\begin{array}{l}2\left(\gamma e\left(t\right)+\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)\right)W\left[G_1-\Omega sign\left(\gamma e\left(t\right)+\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)\right)\right]\\ =2\left(\gamma e\left(t\right)+\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)\right)W[\left(M{a}_{\lambda }{\Theta }_{3\lambda }\left(t\right)N{a}_{\lambda }-M{a}_{\lambda }{\Theta }_{1\lambda }\left(t\right)N{a}_{\lambda }\right)f\left(x\left(t\right)\right)\\ +\left(M{b}_{\lambda }{\Theta }_{4\lambda }\left(t\right)N{b}_{\lambda }-M{b}_{\lambda }{\Theta }_{2\lambda }\left(t\right)N{b}_{\lambda }\right)\times f\left(x\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)-\Omega sign\left(\gamma e\left(t\right)+\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)\right)]\\ \le 2{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}\left|\gamma e_i\left(t\right)+{\stackrel{\dot{}}{e}}_i\left(t\right)\right|}{w}_i\left[{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{n}{\sum }}\left(\left|{\bar{a}}_{ij}-{\underset{\_}{a}}_{ij}\right|+\left|{\bar{b}}_{ij}-{\underset{\_}{b}}_{ij}\right|\right)F_j-r_i}\right]\\ =0.\end{array}$(29)

对任意参数 $s_1>0$，利用引理2可得

$\begin{array}{l}2\gamma e^{\text{T}}\left(t\right)WM{a}_{\lambda }{\Theta }_{3\lambda }\left(t\right)N{a}_{\lambda }g\left(e\left(t\right)\right)\\ \le \gamma s_1{g}^{\text{T}}\left(e\left(t\right)\right)N{a}_{\lambda }^{\text{T}}N{a}_{\lambda }g\left(e\left(t\right)\right)+\gamma s_1^{-1}{e}^{\text{T}}\left(t\right)WM{a}_{\lambda }M{a}_{\lambda }^{\text{T}}We\left(t\right).\end{array}$(30)

同理

$\begin{array}{l}2\gamma e^{\text{T}}\left(t\right)WM{b}_{\lambda }{\Theta }_{4\lambda }\left(t\right)N{b}_{\lambda }g\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)\\ \le \gamma s_2{g}^{\text{T}}\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)N{b}_{\lambda }^{\text{T}}N{b}_{\lambda }g\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+\gamma s_2^{-1}{e}^{\text{T}}\left(t\right)WM{b}_{\lambda }{M}_{b\lambda }^{\text{T}}{W}^{\text{T}}e\left(t\right).\end{array}$(31)

$\begin{array}{l}2{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(t\right)WM{a}_{\lambda }{\Theta }_{3\lambda }\left(t\right)N{a}_{\lambda }g\left(e\left(t\right)\right)\\ \le s_3{g}^{\text{T}}\left(e\left(t\right)\right)N{a}_{\lambda }^{\text{T}}N{a}_{\lambda }g\left(e\left(t\right)\right)+s_3^{-1}{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(t\right)WM{a}_{\lambda }M{a}_{\lambda }^{\text{T}}W\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right).\end{array}$(32)

$\begin{array}{l}2{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(t\right)WM{b}_{\lambda }{\Theta }_{4\lambda }\left(t\right)N{b}_{\lambda }g\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)\\ \le s_4{g}^{\text{T}}\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)N{b}_{\lambda }^{\text{T}}N{b}_{\lambda }g\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+s_4^{-1}{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(t\right)W{M}_b{M}_b^{\text{T}}{W}^{\text{T}}\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right).\end{array}$(33)

令 $L=WK$，整理可得：

$\begin{array}{l}0\le -2\gamma e^{\text{T}}\left(t\right)W\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)-2\gamma e^{\text{T}}\left(t\right)W{C}_{\lambda }e\left(t\right)+2\gamma e^{\text{T}}\left(t\right)W{A}_{\lambda }^{+}g\left(e\left(t\right)\right)+2\gamma e^{\text{T}}\left(t\right)W{B}_{\lambda }^{+}g\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)\\ -2\gamma e^{\text{T}}\left(t\right)WKe\left(t-h\left(t\right)\right)-2{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(t\right)W\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)-2{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(t\right)W{C}_{\lambda }e\left(t\right)+2{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(t\right)W{A}_{\lambda }^{+}g\left(e\left(t\right)\right)\\ +2{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(t\right)W{B}_{\lambda }^{+}g\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)-2{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(t\right)WKe\left(t-h\left(t\right)\right)+\gamma s_1{g}^{\text{T}}\left(e\left(t\right)\right)N{a}_{\lambda }^{\text{T}}N{a}_{\lambda }g\left(e\left(t\right)\right)\\ +\gamma s_1^{-1}{e}^{\text{T}}\left(t\right)WM{a}_{\lambda }M{a}_{\lambda }^{\text{T}}We\left(t\right)+\gamma s_2{g}^{\text{T}}\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)N{b}_{\lambda }^{\text{T}}N{b}_{\lambda }g\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)\\ +\gamma s_2^{-1}{e}^{\text{T}}\left(t\right)WM{b}_{\lambda }{M}_{b\lambda }^{\text{T}}{W}^{\text{T}}e\left(t\right)+s_3{g}^{\text{T}}\left(e\left(t\right)\right)N{a}_{\lambda }^{\text{T}}N{a}_{\lambda }g\left(e\left(t\right)\right)+s_3^{-1}{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(t\right)WM{a}_{\lambda }M{a}_{\lambda }^{\text{T}}W\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right)\\ +s_4{g}^{\text{T}}\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)N{b}_{\lambda }^{\text{T}}N{b}_{\lambda }g\left(e\left(t-\tau \left(t\right)\right)\right)+s_4^{-1}{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(t\right)W{M}_b{M}_b^{\text{T}}{W}^{\text{T}}\stackrel{\dot{}}{e}\left(t\right).\end{array}$(34)

根据(34)式，有

$\begin{array}{l}0\le {\xi }^{\text{T}}\left(t\right)(Sym\left\{-\gamma I_1^{\text{T}}W{I}_6-\gamma I_1^{\text{T}}W{C}_i{I}_1+\gamma I_1^{\text{T}}W{A}_i^{+}{I}_{11}+\gamma I_1^{\text{T}}W{B}_i^{+}{I}_{12}-\gamma I_1^{\text{T}}L{I}_4\right\}\\ +Sym\left\{-I_6^{\text{T}}W{I}_6-I_6^{\text{T}}W{C}_i{I}_1+I_6^{\text{T}}W{A}_i^{+}{I}_{11}+I_6^{\text{T}}W{B}_i^{+}{I}_{12}-I_6^{\text{T}}L{I}_4\right\}\\ +I_{11}^{\text{T}}\left(\gamma \ast s_1+s_3\right)N{a}_i^{\text{T}}N{a}_i{I}_{11}+I_{12}^{\text{T}}\left(\gamma \ast s_2+s_4\right)N{b}_i^{\text{T}}N{b}_i{I}_{12})\xi \left(t\right)\\ +\gamma s_1^{-1}{I}_1^{\text{T}}WM{a}_{\lambda }M{a}_{\lambda }^{\text{T}}{W}^{\text{T}}{I}_1+\gamma s_2^{-1}{I}_1^{\text{T}}WM{b}_{\lambda }{M}_{b\lambda }^{\text{T}}{W}^{\text{T}}{I}_1\\ +s_3^{-1}{I}_6^{\text{T}}WM{a}_{\lambda }M{a}_{\lambda }^{\text{T}}{W}^{\text{T}}{I}_6+s_4^{-1}{I}_6^{\text{T}}W{M}_b{M}_b^{\text{T}}{W}^{\text{T}}{I}_6.\end{array}$(35)

将(27)式和(35)式加到 $\mathcal{L}V\left(e\left(t\right),r\left(t\right),t\right)$中，对于任意的 $i\in N$，并对(12)式运用引理3，可得到

$\mathcal{L}V\left(e\left(t\right),r\left(t\right),t\right)\le {\xi }^{\text{T}}\left(t\right){\Pi }_i\xi \left((t)\right)$(36)

由定理3.1的条件可知，必存在常数 $c>0$，使得

$\mathcal{L}V\left(e\left(t\right),r\left(t\right),t\right)\le -c{\Vert e\left(t\right)\Vert }^2$(37)

然后，使用Dynkin公式，对于所有的 $t>0$，都有

$\epsilon \left\{V\left(e\left(t\right),r\left(t\right),t\right)\right\}-\epsilon \left\{V\left(\psi \left(t\right),r\left(0\right),t_0\right)\right\}<-c\epsilon \left\{{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{\Vert e\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\right\}$(38)

得

$\epsilon \left\{{\displaystyle \underset{0}{\overset{t}{\int }}{\Vert e\left(s\right)\Vert }^2\text{d}s}\right\}\le c^{-1}\epsilon \left\{V\left(\psi \left(t\right),r\left(0\right),t_0\right)\right\}$(39)

因此，(10)式成立。根据定义1，可得主系统(1)和从系统(5)是随机同步的；证明完成。

注2：因为网络的通讯资源有限，所以减少具有时滞的忆阻神经网络的信息传输量是十分关键的。而采样控制器仅将系统在采样点的信息传输到控制器中，所以能有效的节约网络通讯资源。因此，本文设计了采样控制器来研究具有半马尔科夫跳变的时滞忆阻神经网络，该采样控制器有效的减少了系统的信息传输量。

注3：当处理 $-h{\displaystyle {\int }_{t-h}^t{\stackrel{\dot{}}{e}}^{\text{T}}\left(s\right)R_2\stackrel{\dot{}}{e}\left(s\right)\text{d}s}$时，利用引理4和文献 [23] 中的互凸技术，能够充分利用采样区间上的信息。

4. 仿真算例

为了验证本文给出的定理3.1的可行性和有效性，本节将使用一个仿真算例来进行说明。

例4.1 考虑一个含有两个神经元的半马尔科夫跳变的时滞忆阻神经网络(1)，所含参数如下：

$C_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$, $C_2=\left[\begin{array}{cc}0.9& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$,

${a^{\prime }}_{11}\left(x_1\right)=\{\begin{array}{ll}1.75,\hfill & \left|x_1\right|\le 3\hfill \\ 2.1,\hfill & \left|x_1\right|>3\hfill \end{array}$, ${a^{\prime }}_{12}\left(x_1\right)=\{\begin{array}{ll}-0.1,\hfill & \left|x_1\right|\le 3\hfill \\ -0.12,\hfill & \left|x_1\right|>3\hfill \end{array}$,

${a^{\prime }}_{21}\left(x_2\right)=\{\begin{array}{ll}-4.7,\hfill & \left|x_2\right|\le 3\hfill \\ -5.1,\hfill & \left|x_2\right|>3\hfill \end{array}$, ${a^{\prime }}_{22}\left(x_2\right)=\{\begin{array}{ll}2.85,\hfill & \left|x_2\right|\le 3\hfill \\ 3.2,\hfill & \left|x_2\right|>3\hfill \end{array}$,

${b^{\prime }}_{11}\left(x_1\right)=\{\begin{array}{ll}-1.7,\hfill & \left|x_1\right|\le 3\hfill \\ -1.6,\hfill & \left|x_1\right|>3\hfill \end{array}$, ${b^{\prime }}_{12}\left(x_1\right)=\{\begin{array}{ll}-0.08,\hfill & \left|x_1\right|\le 3\hfill \\ -0.11,\hfill & \left|x_1\right|>3\hfill \end{array}$,

${b^{\prime }}_{21}\left(x_2\right)=\{\begin{array}{ll}-0.3,\hfill & \left|x_2\right|\le 3\hfill \\ -0.2,\hfill & \left|x_2\right|>3\hfill \end{array}$, ${b^{\prime }}_{22}\left(x_2\right)=\{\begin{array}{ll}-2.5,\hfill & \left|x_2\right|\le 3\hfill \\ -2.38,\hfill & \left|x_2\right|>3\hfill \end{array}$,

${a^{″}}_{11}\left(x_1\right)=\{\begin{array}{ll}1.7854,\hfill & \left|x_1\right|\le 3\hfill \\ 2.0472,\hfill & \left|x_1\right|>3\hfill \end{array}$, ${a^{″}}_{12}\left(x_1\right)=\{\begin{array}{ll}0.8,\hfill & \left|x_1\right|\le 3\hfill \\ 1.2,\hfill & \left|x_1\right|>3\hfill \end{array}$,

${a^{″}}_{21}\left(x_2\right)=\{\begin{array}{ll}-0.2,\hfill & \left|x_2\right|\le 3\hfill \\ 0.4,\hfill & \left|x_2\right|>3\hfill \end{array}$, ${a^{″}}_{22}\left(x_2\right)=\{\begin{array}{ll}1.5236,\hfill & \left|x_2\right|\le 3\hfill \\ 1.6283,\hfill & \left|x_2\right|>3\hfill \end{array}$,

${b^{″}}_{11}\left(x_1\right)=\{\begin{array}{ll}-2.2214,\hfill & \left|x_1\right|\le 3\hfill \\ -1.3329,\hfill & \left|x_1\right|>3\hfill \end{array}$, ${b^{″}}_{12}\left(x_1\right)=\{\begin{array}{ll}-0.1,\hfill & \left|x_1\right|\le 3\hfill \\ 0.3,\hfill & \left|x_1\right|>3\hfill \end{array}$,

${b^{″}}_{21}\left(x_2\right)=\{\begin{array}{ll}-0.5,\hfill & \left|x_2\right|\le 3\hfill \\ 0.7,\hfill & \left|x_2\right|>3\hfill \end{array}$, ${b^{″}}_{22}\left(x_2\right)=\{\begin{array}{ll}-1.9252,\hfill & \left|x_2\right|\le 3\hfill \\ -1.6661,\hfill & \left|x_2\right|>3\hfill \end{array}$,

根据以上参数，计算如下：

$M{a}_1=\left(\begin{array}{cccc}\sqrt{0.175}& \sqrt{0.01}& 0& 0\\ 0& 0& \sqrt{0.2}& \sqrt{0.175}\end{array}\right)$,

$N{a}_1={\left(\begin{array}{cccc}\sqrt{0.175}& 0& \sqrt{0.2}& 0\\ 0& \sqrt{0.01}& 0& \sqrt{0.175}\end{array}\right)}^{\text{T}}$,

$M{b}_1=\left(\begin{array}{cccc}\sqrt{0.05}& \sqrt{0.015}& 0& 0\\ 0& 0& \sqrt{0.05}& \sqrt{0.06}\end{array}\right)$,

$N{b}_1={\left(\begin{array}{cccc}\sqrt{0.05}& 0& \sqrt{0.05}& 0\\ 0& \sqrt{0.015}& 0& \sqrt{0.06}\end{array}\right)}^{\text{T}}$,

$M{a}_2=\left(\begin{array}{cccc}\sqrt{0.131}& \sqrt{0.2}& 0& 0\\ 0& 0& \sqrt{0.3}& \sqrt{0.05235}\end{array}\right)$,

$N{a}_2={\left(\begin{array}{cccc}\sqrt{0.131}& 0& \sqrt{0.3}& 0\\ 0& \sqrt{0.2}& 0& \sqrt{0.05235}\end{array}\right)}^{\text{T}}$,

$M{b}_2=\left(\begin{array}{cccc}\sqrt{0.44425}& \sqrt{0.2}& 0& 0\\ 0& 0& \sqrt{0.6}& \sqrt{0.12955}\end{array}\right)$,

$N{b}_2={\left(\begin{array}{cccc}\sqrt{0.44425}& 0& \sqrt{0.6}& 0\\ 0& \sqrt{0.2}& 0& \sqrt{0.12955}\end{array}\right)}^{\text{T}}$.

假设 $\tau \left(t\right)=\frac{{\text{e}}^t}{1+{\text{e}}^t}$，则有 $\tau =1$， $v=0.25$。激活函数为 $f\left(s\right)=0.6\ast \tanh \left(s\right)$。显然，激活函数满足假设

1，且 ${\beta }_1^{-}={\beta }_2^{-}=-0.6$， ${\beta }_1^{+}={\beta }_2^{+}=0.6$。 $r\left(t\right)$是右连续的半马尔科夫过程，转移速率矩阵取为 ${\pi }_{12}\left(\sigma \right)\in \left[2.4,2.6\right]$， ${\pi }_{21}\left(\sigma \right)\in \left[2.2,2.8\right]$。根据文献 [24] 可知

${\pi }_{ij}\left(\sigma \right)\triangleq {\displaystyle \underset{k=1}{\overset{N}{\sum }}{\xi }_k{\pi }_{ij,k}}$, ${\displaystyle \underset{k=1}{\overset{N}{\sum }}{\xi }_k=1}$, ${\xi }_k>0$, $k=1,2,\cdots ,N$,

且有 ${\pi }_{ij,k}=\{\begin{array}{lll}{\pi }_{ij}^{+}-\left(k-1\right)\frac{{\pi }_{ij}^{+}-{\pi }_{ij}^{-}}{N-1},\hfill & i\ne j,\hfill & j\in N\hfill \\ {\pi }_{ij}^{-}+\left(k-1\right)\frac{{\pi }_{ij}^{+}-{\pi }_{ij}^{-}}{N-1},\hfill & i=j,\hfill & j\in N\hfill \end{array}$。

所以，当 $N=2$时，可得 ${\pi }_{12,1}=2.6$， ${\pi }_{12,2}=2.4$， ${\pi }_{21,1}=2.8$， ${\pi }_{21,2}=2.2$。

现在，本文在控制器(8)下验证定理3.1的有效性。当初值条件为 $x\left(t\right)={\left[\begin{array}{cc}-0.5& 0.3\end{array}\right]}^{\text{T}}$， $y\left(t\right)={\left[\begin{array}{cc}0.9& 0.5\end{array}\right]}^{\text{T}}$时，取 $\gamma =2$，利用定理3.1可得主从系统实现同步的最大采样周期为 $h=0.11$，并且可以得到(8)中的增益矩阵为：

$K=\left[\begin{array}{cc}5.2725& 0.0049\\ -0.0347& 5.1649\end{array}\right]$.

图1表示当控制输入为0时，误差系统的状态轨迹；由图1可知，两个系统均为不稳定的忆阻系统。图2表示由定理3.1获得的控制增益下，误差系统的状态轨迹；图2验证了定理3.1的有效性。图3表示控制输入的轨迹。图4表示具有半马尔科夫跳变的系统模态轨迹。

5. 结论

本文通过采样控制器，研究了具有半马尔科夫跳变的时滞忆阻神经网络的同步问题。该方法有效的减少了网络通讯资源的浪费。本文首先通过微分包含、集值映射以及鲁棒分析方法将具有半马尔科夫跳变的时滞忆阻神经网络转化为带不确定参数的传统半马尔科夫跳变神经网络。然后，基于Lyapunov稳定性理论，构造了一个包含采样信息的Lyapunov泛函，得到了保守性更低的同步判据，从而设计出了有效的采样控制器。最后，通过实例仿真来验证了所得理论结果的有效性。

NOTES

^*通讯作者。