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又一类三次李氏卵圆
A New Kind of Cubic Li’s Oval

DOI:10.12677/AAM.2022.115330,PDF,HTML,XML,下载: 486浏览: 678
作者:李湘江：长沙理工大学工程训练中心，湖南长沙
关键词:李氏卵圆；卵圆方程；卵心；长半径；短半径；对称半径；定形系数；Li’s Oval；Oval Equation；Oval Center；Long Radius；Short Radius；Symmetric Radius；Shaping Coefficient

摘要:本文提出了李氏卵圆的定义，及卵圆的卵心，卵圆的长半径、短半径和对称半径等相关概念的定义。给出一类三次方程，并证明其为李氏卵圆方程。推出了某些三次方程为李氏卵圆方程的判定定理，及此类李氏卵圆的周长、面积和旋转卵球体的表面积和体积。

Abstract:A definition of Li’s oval is provided, and the definitions of the oval center, and the long radius, and the short radius, and the symmetrical radius of the oval are provided. A kind of cubic equation is given and proved to be Li’s oval equation. The judgment theorems that some cubic equations are Li’s oval equation is derived, the perimeter and area of Li’s oval and the surface area and volume of rotating oval ball are deduced.

文章引用：李湘江. 又一类三次李氏卵圆[J]. 应用数学进展, 2022, 11(5): 3098-3113. https://doi.org/10.12677/AAM.2022.115330

1. 引言

笔者在文献 [1] 中给出了李氏卵圆及其相关概念的定义，并提出了一类四次李氏卵圆方程，在文献 [2] 中提出了一类三次李氏卵圆方程，在文献 [3] 中提出了一类参数式李氏卵形曲线方程。本文在此基础上提出另一类三次李氏卵圆方程，并获得该类卵圆的一些性质。

2. 定义

定义1：平面曲线L，若满足如下条件：

①L有一条对称轴且是闭合的；

②L上有唯一一对对称点，设为S，T到对称轴的距离最大；

③L与其对称轴有且仅有两个交点，设为P，Q，又PQ与ST交于一点设为O，且 $O P > O Q$ ；

④L处处光滑，或者除点P，Q外处处光滑。

则称曲线L为李氏卵形曲线，称点O为李氏卵形曲线的卵心、点P为远端点、Q为近端点，点S和T为对称端点、线段OP为长半径、线段OQ为短半径，线段OS和OT为对称半径。

又过PQ的中点 $O^{'}$ 作对称轴的垂线交L于 $S^{'}$ 和 $T^{'}$ 两点，称点 $O^{'}$ 为李氏卵形曲线的轴心、线段 $O^{'} P$ 和 $O^{'} Q$ 为轴半径、线段 $O^{'} S^{'}$ 和 $O^{'} T^{'}$ 为次对称半径、线段 $O O^{'}$ 为偏心距。并将李氏卵形曲线的长半径、短半径、对称半径、轴半径、次对称半径、偏心距的长度分别记为a，b，c，e，g，h，而把正数a，b，c ( $a > b$ )称为李氏卵形曲线的三个特征参数。

定义2：处处光滑且凸的李氏卵形曲线称为李氏卵圆。

定义3：远端点为尖点，其它点处处光滑且凸的李氏卵形曲线称为李氏弹头线。

若取李氏卵形曲线的卵心为坐标系原点，远端点方向作为x轴的正向，则李氏卵圆在直角坐标系的示意图如图1所示。

Figure 1. Li’s oval and its rectangular coordinate system

图1. 李氏卵圆及其在直角坐标系示意图

3. 又一类三次李氏卵圆

定理1：设

$a, b, c$ 均 $> 0$ 且 $b < a < 2 b$ (1)

$\frac{- (a - b) x^{3} + (a^{2} - a b + b^{2}) x^{2}}{{(a b)}^{2}} + \frac{y^{2}}{c^{2}} = 1, x \in [- b, a]$ (2)

$y = \pm \frac{c}{a b} \sqrt{(x + b) (x - a) [(a - b) x - a b]}, x \in [- b, a]$ (3)

$x^{3} - \frac{a^{2} - a b + b^{2}}{a - b} x^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{(a - b) c^{2}} y^{2} + \frac{a^{2} b^{2}}{a - b} = 0, x \in [- b, a]$ (4)

$(a - b) c^{2} x^{3} - (a^{2} - a b + b^{2}) c^{2} x^{2} - a^{2} b^{2} y^{2} + a^{2} b^{2} c^{2} = 0, x \in [- b, a]$ (5)

$\frac{(a - b) y^{3} + (a^{2} - a b + b^{2}) y^{2}}{{(a b)}^{2}} + \frac{x^{2}}{c^{2}} = 1, y \in [- a, b]$ (6)

$x = \pm \frac{c}{a b} \sqrt{(y + a) (y - b) [(a - b) y + a b]}, y \in [- a, b]$ (7)

$y^{3} + \frac{a^{2} - a b + b^{2}}{a - b} y^{2} + \frac{a^{2} b^{2}}{(a - b) c^{2}} x^{2} - \frac{a^{2} b^{2}}{a - b} = 0, y \in [- a, b]$ (8)

$(a - b) c^{2} y^{3} + (a^{2} - a b + b^{2}) c^{2} y^{2} + a^{2} b^{2} x^{2} - a^{2} b^{2} c^{2} = 0, x \in [- a, b]$ (9)

${\begin{cases} x = c \cos t \\ (a - b) y^{3} + (a^{2} - a b + b^{2}) y^{2} - a^{2} b^{2} \sin^{2} t = 0 \end{cases}, t \in [0, 2 π]$ (10)

且(10)中的y满足

${\begin{cases} y > 0, t \in (0, π) \\ y < 0, t \in (π, 2 π) \\ y (0) = y (π) = y (2 π) = 0 \end{cases}$ (11)

则(2)~(10)为相互等价的李氏卵圆方程，其图形曲线均为全等的以a、b、c为长、短、对称半径的李氏卵圆，且其轴半径e、偏心距h、次对称半径g为

$e = \frac{a + b}{2}, h = \frac{a - b}{2}, g = \frac{c (a + b)}{2 \sqrt{2} a b} \sqrt{4 a b - a^{2} - b^{2}}$ (12)

为了证明定理1，先引入如下引理：

引理1：设(1)成立，则(2)~(10)互相等价。

证明：因(1)成立，由(2)经过恒等变形即可得到(3)~(5)，故(2)~(5)互相等价。施行坐标轴绕原点顺时针旋转90˚的坐标变换，则(2)~(5)分别变成(6)~(9)，故(2)~(9)互相等价。

下面证明(10)与(6)等价：

由(10)的第二式得

$\frac{(a - b) y^{3} + (a^{2} - a b + b^{2}) y^{2}}{{(a b)}^{2}} = \sin^{2} t$ (13)

由(10)的第一式得

$\frac{x^{2}}{c^{2}} = \cos^{2} t$ (14)

将(13)与(14)相加即得(6)，故(10)与(6)等价。从而(2)~(10)等价。

引理2：设参数式(10)所确定的函数 $y (x)$ 的一阶导数和二阶导数分别记为 ${y^{'}}_{x} (t)$ 和 ${y^{″}}_{x} (t)$ ，则

(i)

${y^{'}}_{x} (t) = - \frac{2 a b}{c y} \cdot \frac{\cos t}{h (y)}$ (15)

${y^{″}}_{x} (t) = \frac{2 a^{2} b^{2}}{c^{2} y^{3}} \cdot \frac{w (t)}{h^{3} (y)}$ (16)

其中

$h (y) = 3 (a - b) y + 2 (a^{2} - a b + b^{2})$ (17)

$w (t) = 4 a^{2} b^{2} [3 (a - b) y + (a^{2} - a b + b^{2})] \cos^{2} t + y^{2} \cdot h^{2} (y)$ (18)

(ii) 若

$a, b, c$ 均 $> 0$ ， $b < a < 2 b$ (19)

则

$h (y) > 0, y \in [- a, b]$ (20)

$w (t) > 0, t \in (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ (21)

${y^{″}}_{x} (t) < 0, t \in (0, \frac{π}{2})$ (22)

${y^{″}}_{x} (t) > 0, t \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ (23)

证明：(i)由(10)的第二式，令

$F (y, t) = (a - b) y^{3} + (a^{2} - a b + b^{2}) y^{2} - a^{2} b^{2} \sin^{2} t$

则

$F_{y} = 3 (a - b) y^{2} + 2 (a^{2} - a b + b^{2}) y$ (24)

$F_{t} = - 2 a^{2} b^{2} \sin t \cos t$ (25)

由(10)的第一式得

${x^{'}}_{t} = - c \sin t$ (26)

由(24)、(25)和(26)得

${y^{'}}_{t} = - \frac{F_{t}}{F_{y}} = \frac{2 a^{2} b^{2} \sin t \cos t}{3 (a - b) y^{2} + 2 (a^{2} - a b + b^{2}) y}$ (27)

${y^{'}}_{x} = \frac{{y^{'}}_{t}}{{x^{'}}_{t}} = \frac{- 2 a^{2} b^{2} \cos t}{c [3 (a - b) y^{2} + 2 (a^{2} - a b + b^{2}) y]}$ (28)

由(28)、(17)知(15)成立。

由(27)和(28)得

$\begin{matrix} {({y^{'}}_{x})}^{'}_{t} = {({y^{'}}_{x})}^{'}_{y} \cdot {y^{'}}_{t} + {({y^{'}}_{x})}^{'}_{t} \\ = {(\frac{- 2 a^{2} b^{2}}{c} \cdot \frac{\cos t}{3 (a - b) y^{2} + 2 (a^{2} - a b + b^{2}) y})}^{'}_{y} \cdot \frac{2 a^{2} b^{2} \sin t \cos t}{3 (a - b) y^{2} + 2 (a^{2} - a b + b^{2}) y} \\ + {(\frac{- 2 a^{2} b^{2}}{c} \cdot \frac{\cos t}{3 (a - b) y^{2} + 2 (a^{2} - a b + b^{2}) y})}^{'}_{t} \\ = \frac{2 a^{2} b^{2}}{c^{2}} \cdot \frac{\sin t}{y^{3} {[3 (a - b) y^{2} + 2 (a^{2} - a b + b^{2})]}^{3}} \\ \cdot {4 a^{2} b^{2} \cos^{2} t [3 (a - b) y + (a^{2} - a b + b^{2})] + y^{2} {[3 (a - b) y + (a^{2} - a b + b^{2})]}^{2}} \end{matrix}$

由上式及(26)得

${y^{″}}_{x} = \frac{{({y^{'}}_{x})}^{'}_{t}}{{x^{'}}_{t}} = - \frac{2 a^{2} b^{2}}{c^{2} y^{3}} \cdot \frac{4 a^{2} b^{2} \cos^{2} t [3 (a - b) y + (a^{2} - a b + b^{2})] + y^{2} [3 (a - b) y + (a^{2} - a b + b^{2})]}{{[3 (a - b) y + 2 (a^{2} - a b + b^{2})]}^{3}}$ (29)

由(29)即知(16)、(17)和(18)成立。

(ii)由(17)和(1)得 $h^{'} (y) = 3 (a - b) > 0$ ，则 $h (y)$ 在 $y \in [- a, b]$ 上严格递增，故

$h (y) \geq h (- a) = (a + b) (2 b - a), y \in [- a, b]$

由上式及(1)得

$h (y) > 0, y \in [- a, b]$

故(20)成立。

由(18)和(27)得

$\begin{matrix} W^{'} (t) = {4 a^{2} b^{2} \cos^{2} t [3 (a - b) y + (a^{2} - a b + b^{2})] + y^{2} h^{2} (y)}^{'}_{y} \cdot {y^{'}}_{t} \\ + {4 a^{2} b^{2} \cos^{2} t [3 (a - b) y + (a^{2} - a b + b^{2})] + y^{2} h^{2} (y)}^{'}_{t} \\ = {12 (a - b) a^{2} b^{2} \cos^{2} t + 2 y \cdot h^{2} (y) + 2 y^{2} \cdot h (y) \cdot h^{'} (y)} \cdot \frac{2 a^{2} b^{2} \sin t \cos t}{y \cdot h (y)} \\ - 8 a^{2} b^{2} \cos t \sin t [3 (a - b) y + (a^{2} - a b + b^{2})] \end{matrix}$

$\begin{array}{l} = \frac{24 (a - b) a^{4} b^{4} \sin t \cos^{3} t}{y \cdot h (y)} \\ + \frac{[2 y \cdot h^{2} (y) + 6 (a - b) y^{2} \cdot h (y)] 2 a^{2} b^{2} \sin t \cos t - 8 a^{2} b^{2} \sin t \cos t [3 (a - b) y + (a^{2} - a b + b^{2})]}{y \cdot h (y)} \\ = \frac{24 (a - b) a^{4} b^{4} \sin t \cos^{3} t}{y \cdot h (y)} \\ + \frac{8 a^{2} b^{2} \sin t \cos t [3 (a - b) y + (a^{2} - a b + b^{2})] - 8 a^{2} b^{2} \sin t \cos t [3 (a - b) y + (a^{2} - a b + b^{2})]}{y \cdot h ( y )} \end{array}$

即

$W^{'} (t) = \frac{24 (a - b) a^{4} b^{4} \sin t \cos^{3} t}{y \cdot h (y)}$ (30)

当 $t \in (0, \frac{π}{2})$ 时，有 $\sin t > 0$ ， $\cos t > 0$ ，且由(11)知 $y > 0$ ，进而由(20)知 $h (y) > 0$ ，于是由(30)知 $W^{'} (t) > 0, t \in (0, \frac{π}{2})$ $\Rightarrow$ $W (t)$ 在 $t \in (0, \frac{π}{2})$ 上严格单调递增，故

$W (t) > W (0) = 4 a^{2} b^{2} (a^{2} - a b + b^{2}) = 4 a^{2} b^{2} [{(a - b)}^{2} + a b] > 0$

即

$W (t) > 0, t \in (0, \frac{π}{2})$ (31)

当 $t \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ 时，有 $\sin t < 0$ ， $\cos t < 0$ ，且由(11)知 $y < 0$ ，进而由(20)知 $h (y) > 0$ ，于是由(30)知 $W^{'} (t) > 0, t \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ $\Rightarrow$ $W (t)$ 在 $t \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ 上严格单调递增，故

$W (t) > W (\frac{3 π}{2}), t \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ (32)

由(17)和(18)得

$W (\frac{3 π}{2}) = y^{2} h^{2} (y) \geq 0$ (33)

由(32)和(33)得

$W (t) > 0, t \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ (34)

由(31)和(34)即知(21)成立。

当 $t \in (0, \frac{π}{2})$ 时，由(11)、(20)和(31)得

$y > 0, h (y) > 0, W (t) > 0, t \in (0, \frac{π}{2})$ (35)

故由(16)和(35)即知(22)成立。

当 $t \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ 时，由(11)、(20)和(34)得

$y < 0, h (y) > 0, W (t) > 0, t \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$

故由上式及(16)即知(23)成立。

引理3：参数式方程(10)的图形曲线L是凸的。

证明：由文献 [4] 之P₁₄₈及引理2之(ii)即(22)知曲线L在 $t \in (0, \frac{π}{2})$ 是上凸的，由(23)知，L在 $t \in (\frac{3 π}{2}, 2 π)$ 是下凸的，故L的右半部是凸的。由引理1 知L与(7)的图形是全等的，而(7)的图形显然关于y轴对称，故L是关于y轴对称的。由对称性知L左半部是凸的，故整个L是凸的。

定理1的证明：由引理1知，当(1)成立时，(2)~(10)是互相等价的，其图形曲线都是全等的。

由(3)知，L显然关于x轴对称且是闭合的，故L满足定义1的条件①。

再考察(3)带“+”号的函数

$y = \frac{c}{a b} \sqrt{(x - a) (x + b) [(a - b) x - a b]}, x \in [- b, a]$ (36)

求出函数(36)的导数，并化简得

$y^{'} (x) = \frac{c}{2 a b \sqrt{a - b}} \cdot \frac{x [3 (a - b) x - 2 (a^{2} - a b + b^{2})]}{\sqrt{(x + b) (x - a) (x - \frac{a b}{a - b})}}, x \in [- b, a]$ (37)

由(37)知，函数(36)的导数 $y^{'} (x)$ 在区间 $(- b, a)$ 上处处有限存在，在端点 $x = - b, x = a$ 处其导数为 $\infty$ ，故函数(36)的曲线在 $x \in [- b, a]$ 上处处存在切线从而处处光滑，由对称性知L处处光滑，L满足定义1的条件④。

由(37)，令 $y^{'} (x) = 0$ ，得函数(36)仅有两个稳定点

$x_{1} = 0, x_{2} = \frac{2 (a^{2} - a b + b^{2})}{3 (a - b)}$ (38)

由(38)的第二式及 $a > b$ 知

$x_{2} > a \Leftrightarrow \frac{2 (a^{2} - a b + b^{2})}{3 (a - b)} > a \Leftrightarrow a^{2} - a b - 2 b^{2} < 0 \Leftrightarrow - b < a < 2 b \Rightarrow b < a < 2 b$

由上式及(1)知，必有 $x_{2} > a$ ，故 $x_{1} = 0$ 是函数(36)在区间 $[- b, a]$ 上唯一的稳定点，且由(37)知

$y^{'} (x) > 0, x \in (- b, 0), y^{'} (x) < 0, x \in (0, a)$ (39)

由文献 [4] 之P₁₅₃及(39)知，点 $x = 0$ 是函数(36)在区间 $[- b, a]$ 上的唯一极大值点，从而也是其最大极值点，且最大值由(36)知 $y (0) = c$ 。于是知曲线L上存在唯一对称点 $S (0, c)$ 、 $T (0, - c)$ 到其对称轴x轴的距离最大。故L满足定义1的条件②。

由(3)知，其图形曲线L是与其对称轴x仅有两个交点 $P (a, 0)$ 、 $Q (- b, 0)$ ，且由(1)知 $O P = a > b = O Q$ ，故L满足定义1的条件③。

故(2)~(10)的图形曲线L满足定义1的条件①~④，因此L是李氏卵形曲线，且a，b，c ( $b < a < 2 b$ )为其长、短、对称半径，而其轴半径e、偏心距h及次对称半径g由定义1及(3)得

$\begin{array}{l} e = \frac{a + b}{2}, h = \frac{a - b}{2}, \\ g = | y (h) | = \frac{c \sqrt{a - b}}{a b} \sqrt{(h + b) (h - a) (h - \frac{a b}{a - b})} \\ = \frac{c \sqrt{a - b}}{a b} \sqrt{(\frac{a - b}{2} + b) (\frac{a - b}{2} - a) (\frac{a - b}{2} - \frac{a b}{a - b})} = \frac{c (a + b)}{2 \sqrt{2} a b} \sqrt{4 a b - a^{2} - b^{2}} \end{array}$

故(12)成立。

又前已证明曲线L在 $x \in [- b, a]$ 区间上处处光滑，且由引理3知L是凸的，故L为李氏卵圆。

为了叙述方便，我们引入如下定义：

定义4：将文献 [2] 中给出的一类三次李氏卵圆称为三次1型李氏卵圆，其全体记为 $L_{3.1}$ ，而将本文定理1给出的又一类三次李氏卵圆称为三次2型李氏卵圆，其全体记为 $L_{3.2}$ 。又将本文定理3中的 $k (0 < k < 1)$ 称为三次2型李氏卵圆的定形系数。

引理4：施行平移坐标变换 $(0, 0) \to (h, 0) = (\frac{a - b}{2}, 0)$ ，则(3)变成

$y = \pm \frac{g \sqrt{λ}}{e} \sqrt{(x + e) (x - e) (x - \frac{1}{λ})}, x \in [- e, e]$ (40)

其中

$e = \frac{a + b}{2}, λ = \frac{2 (a - b)}{4 a b - a^{2} - b^{2}}, g = \frac{c (a + b) \sqrt{a - b}}{2 a b \sqrt{λ}} = \frac{c (a + b) \sqrt{4 a b - a^{2} - b^{2}}}{2 \sqrt{2} a b}$ (41)

证明：由平移坐标变换公式知，当施行题设平移坐标变换后(3)变成

$y = \pm \frac{c \sqrt{a - b}}{a b} \cdot \sqrt{(x + \frac{a - b}{2} + b) (x + \frac{a - b}{2} - a) (x + \frac{a - b}{2} - \frac{a b}{a - b})}$

上式化简得

$y = \pm \frac{c \sqrt{a - b}}{a b} \sqrt{(x + \frac{a + b}{2}) (x - \frac{a + b}{2}) (x - \frac{4 a b - a^{2} - b^{2}}{2 (a - b)})}$ (42)

由(42)及(41)即得(40)。

定理2：设

$e, g, λ$ 均 $> 0$ 且 $λ < \frac{1}{e}$ (43)

$\frac{x^{2}}{e^{2}} + \frac{y^{2}}{g^{2} (1 - λ x)} = 1, x \in [- e, e]$ (44)

$y = \pm \frac{g \sqrt{λ}}{e} \sqrt{(x + e) (x - e) (x - \frac{1}{λ})}, x \in [- e, e]$ (45)

$λ g^{2} x^{3} - g^{2} x^{2} - e^{2} y^{2} - λ e^{2} g^{2} x + e^{2} g^{2} = 0, x \in [- e, e]$ (46)

${\begin{cases} x = e \cos t \\ y = g \sqrt{1 - λ e \cos t} \cdot \sin t \end{cases}, t \in [0, 2 π]$ (47)

则(44)~(47)为等价的三次2型李氏卵圆方程，且此卵圆的长半径a、短半径b、对称半径c、偏心距h分别为

${\begin{cases} a = \frac{1 + \sqrt{1 + 3 λ^{2} e^{2}} + λ e}{1 + \sqrt{1 + 3 λ^{2} e^{2}}} \cdot e \\ b = \frac{1 + \sqrt{1 + 3 λ^{2} e^{2}} - λ e}{1 + \sqrt{1 + 3 λ^{2} e^{2}}} \cdot e \\ c = \frac{\sqrt{2} g \cdot [{(1 + \sqrt{1 + 3 λ^{2} e^{2}})}^{2} + λ^{2} e^{2}]}{{(1 + \sqrt{1 + 3 λ^{2} e^{2}})}^{3 / 2}} \\ h = \frac{λ e}{1 + \sqrt{1 + 3 λ^{2} e^{2}}} \cdot e \end{cases}$ (48)

证明：由引理4知，经过平移变换后(3)变成(45)，且由(41)知

$a, b, c$ 均 $> 0$ 且 $b < a < 2 b$ $\Leftrightarrow$ $e, g, λ$ 均 $> 0$ 且 $λ < \frac{1}{e}$

于是由上式及定理1即知(45)为李氏卵圆，且将(41)反解即得(48)。

又易证(44)~(47)是互相等价的，故定理 2的结论成立。

在定理2中令 $λ = \frac{k}{e}$ ，即

$k = λ e = \frac{a^{2} - b^{2}}{4 a b - a^{2} - b^{2}}$ (49)

可得如下：

定理3：设

$e, g, k$ 均 $> 0$ 且 $k < 1$ (50)

$\frac{x^{2}}{e^{2}} + \frac{y^{2}}{g^{2} (1 - \frac{k}{e} x)} = 1, x \in [- e, e]$ (51)

$y = \pm \frac{g}{e \sqrt{e}} \sqrt{(x + e) (x - e) (k x - e)}, x \in [- e, e]$ (52)

$k g^{2} x^{3} - g^{3} x^{2} - e^{2} g y^{2} - k e^{4} x + e^{2} g^{3} = 0, x \in [- e, e]$ (53)

${\begin{cases} x = e \cos t \\ y = g \sqrt{1 - k \cos t} \cdot \sin t \end{cases}, t \in [0, 2 π]$ (54)

则(51)~(54)为等价的三次2型李氏卵圆方程，且其长半径a、短半径b、对称半径c、偏心距h分别为

${\begin{cases} a = (1 + \frac{k}{1 + \sqrt{1 + 3 k^{2}}}) e \\ b = (1 - \frac{k}{1 + \sqrt{1 + 3 k^{2}}}) e \\ c = \frac{1 + k^{2} + \sqrt{1 + 3 k^{2}}}{{(1 + \sqrt{1 + 3 k^{2}})}^{3 / 2}} \cdot \sqrt{2} g \\ h = \frac{k}{1 + \sqrt{1 + 3 k^{2}}} \cdot e \end{cases}$ (55)

定理4：设三次方程

$L x^{3} - M x^{2} - N y^{2} + G = 0$ (56)

其中

$L, M, N, G$ 均 $> 0$ (57)

且

$M G > \frac{3}{2} L^{2} N$ (58)

$M = \frac{L^{2} N^{2} + G^{2} \sqrt{N}}{N G}$ (59)

则(56)为三次2型李氏卵圆，且其长半径a、短半径b、对称半径c、偏心距h分别为

$a = \frac{L N + \sqrt{4 M N G - 3 L^{2} N^{2}}}{2 G}, b = \frac{- L N + \sqrt{4 M N G - 3 L^{2} N^{2}}}{2 G}, c = \sqrt{\frac{G}{N}}, h = \frac{L N}{G}$ (60)

证明：比较(5)与(56)的系数，得

$(a - b) c^{2} = L$ (61)

$(a^{2} - a b + b^{2}) c^{2} = M$ (62)

$a^{2} b^{2} = N$ (63)

$a^{2} b^{2} c^{2} = G$ (64)

将(64)除以(63)得

$c^{2} = \frac{G}{N}$ (65)

将(65)代入(61)得

$a = b + \frac{L N}{G}$ (66)

将(65)代入(62)得

$a^{2} - a b + b^{2} = \frac{M N}{G}$ (67)

将(66)代入(67)并化简得

$G^{2} b^{2} + L N G b - (M N G - L^{2} N^{2}) = 0.$

解上述以b为未知数的二次方程，并注意到 $b > 0$ ，则得

$b = \frac{- L N + \sqrt{4 M N G - 3 L^{2} N^{2}}}{2 G}$ (68)

将(68)代入(66)得

$a = \frac{L N + \sqrt{4 M N G - 3 L^{2} N^{2}}}{2 G}$ (69)

由(65)得

$c = \sqrt{\frac{G}{N}}$ (70)

又由定理1知，欲使(56)成为三次2型李氏卵圆还须满足 $a < 2 b$ ，于是结合(68)和(69)得

$\begin{array}{l} a < 2 b \Leftrightarrow L N + \sqrt{4 M N G - 3 L^{2} N^{2}} < - 2 L N + 2 \sqrt{4 M N G - 3 L^{2} N^{2}} \Leftrightarrow 3 L N < \sqrt{4 M N G - 3 L^{2} N^{2}} \\ \Leftrightarrow 9 L^{2} N^{2} < 4 M N G - 3 L^{2} N^{2} \Leftrightarrow 3 L^{2} N^{2} < 2 M N G \Leftrightarrow M G > \frac{3}{2} L^{2} N \end{array}$ (71)

由(66)得

${(a - b)}^{2} = \frac{L^{2} N^{2}}{G^{2}}$ (72)

由(63)得

$a b = \sqrt{N}$ (73)

由(62)、(72)、(63)和(65)得

$M = [{(a - b)}^{2} + a b] c^{2} = (\frac{L^{2} N^{2}}{G^{2}} + \sqrt{N}) \frac{G}{N}$

即

$M = \frac{L^{2} N^{2} + G^{2} \sqrt{N}}{N G}$ (74)

综上，即知(56)与(4)是等价的，故由定理1知(56)为三次2型李氏卵圆方程，且由(61)~(64)知(57)成立，由(71)知(58)成立，由(74)知(59)成立，由(69)、(68)和(70)知(60)成立。

定理5：设

$L, N, G$ 均 $> 0$ 且 $G^{4} > \frac{1}{4} L^{4} N^{2}$ (75)

则

$L x^{3} - \frac{L^{2} N^{2} + G^{2} \sqrt{N}}{N G} x^{2} - N y^{2} + G = 0$ (76)

为三次2型李氏卵圆方程，且其长半径a、短半径b、对称半径c、偏心距h分别为

$a = \frac{L N + \sqrt{L^{2} N^{2} + 4 G^{2} \sqrt{N}}}{2 G}, b = \frac{- L N + \sqrt{L^{2} N^{2} + 4 G^{2} \sqrt{N}}}{2 G}, c = \sqrt{\frac{G}{N}}, h = \frac{L N}{G}$ (77)

证明：将定理4的(59)代入(58)及(60)，并化简即得(75)、(76)和(77)，故定理5的结论成立。

4. 三次2型李氏卵圆的周长和面积

定理6：设三次2型李氏卵圆的周长为l，面积为S。

(i) 已知三次2型李氏卵圆的长、短、对称半径为a，b，c ( $b < a < 2 b$ )，则

$l = \frac{1}{a b} \int_{- b}^{a} \sqrt{4 a^{2} b^{2} + \frac{c^{2} x^{2} {[3 (a - b) x - 2 (a^{2} - a b + b^{2})]}^{2}}{(x + b) (x - a) [(a - b) x - a b]}} d x$ (78)

$S = \frac{2 c}{a b} \int_{- b}^{a} \sqrt{(x + b) (x - a) [(a - b) x - a b]} d x$ (79)

(ii) 已知三次2型李氏卵圆的轴半径为e，次对称半径为g，则

$l = \int_{0}^{2 π} \sqrt{e^{2} \sin^{2} t + g^{2} \frac{{(k + 2 \cos t - 3 k \cos^{2} t)}^{2}}{4 (1 - k \cos t)}} d t$ (80)

$S = \frac{1}{2} e g \int_{0}^{2 π} \frac{2 - k \cos t - k \cos^{3} t}{2 \sqrt{1 - k \cos t}} d t$ (81)

证明：(i)由文献 [4] 之P₂₇₈和P₂₆₉的公式得

$l = 2 \int_{- b}^{a} \sqrt{1 + {(y^{'} (x))}^{2}} d x$ (82)

$S = 2 \int_{- b}^{a} y (x) d x$ (83)

将(37)代入(82)并化简即得(78)。将(36)代入(83)并化简即得(79)。

(ii) 由文献 [4] 及文献 [5] 知参数式表示的封闭曲线的周长与面积公式为

$l = \int_{0}^{2 π} \sqrt{{x^{'}}_{t}^{2} + {y^{'}}_{t}^{2}} d t$ (84)

$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} (x y^{'} - y x^{'}) d t$ (85)

由(54)得

${\begin{cases} {x^{'}}_{t} = - e \sin t \\ {y^{'}}_{t} = g \frac{k + 2 \cos t - 3 k \cos^{2} t}{2 \sqrt{1 - k \cos t}} \end{cases}, t \in [0, 2 π]$ (86)

将(54)和(82)分别代入(84)和(85)，化简即得(80)和(81)。

5. 三次2型李氏卵球体的体积和表面积

定理7：设三次2型李氏卵圆绕x轴旋转而成的卵球体的体积为V，表面积为 $S_{v}$ 。

(i) 已知三次2型李氏卵圆的长、短、对称半径为a，b，c( $b < a < 2 b$ )，则

$V = \frac{π c^{2}}{12 a^{2} b^{2}} {(a + b)}^{3} (4 a b - a^{2} - b^{2})$ (87)

$S_{v} = \frac{π c}{a^{2} b^{2}} \int_{- b}^{a} \sqrt{4 a^{2} b^{2} (x + b) (x - a) [(a - b) x + a b] + c^{2} x^{2} {[3 (b - a) x + 2 (a^{2} - a b + b^{2})]}^{2}} d x$ (88)

(ii) 已知三次2型李氏卵圆的轴半径为e，次对称半径为g，定形系数为 $k (0 < k < 1)$ ，则

$V = \frac{4}{3} π e g^{2}$ (89)

$S_{v} = \frac{π g}{e^{2}} \int_{- e}^{e} \sqrt{4 e^{3} (x + e) (x - e) (k x - e) + g^{2} {(3 k x^{2} + 2 e x - k e^{2})}^{2}} d x$ (90)

证明：(i)由文献 [4] 之P₂₇₃的旋转体体积公式及(3)得

$\begin{matrix} V = π \int_{- b}^{a} y^{2} (x) d x = \frac{π c^{2} (a - b)}{a^{2} b^{2}} \int_{- b}^{a} (x^{3} - \frac{a^{2} - a b + b^{2}}{a - b} x^{2} + \frac{a^{2} b^{2}}{a - b}) d x \\ = \frac{π c^{2} (a - b)}{a^{2} b^{2}} {[\frac{x^{4}}{4} - \frac{a^{2} - a b + b^{2}}{3 (a - b)} x^{3} + \frac{a^{2} b^{2}}{a - b} x]}_{- b}^{a} \\ = \frac{π c^{2} (a - b)}{a^{2} b^{2}} [\frac{a^{4} - b^{4}}{4} - \frac{a^{2} - a b + b^{2}}{3 (a - b)} (a^{3} + b^{3}) + \frac{a^{2} b^{2} (a + b)}{a - b}] \\ = \frac{π c^{2} (a - b)}{12 a^{2} b^{2}} (- a^{5} - b^{5} + a^{4} b + a b^{4} + 8 a^{3} b^{2} + 8 a^{2} b^{3}) \\ = \frac{π c^{2}}{12 a^{2} b^{2}} {(a + b)}^{3} (4 a b - a^{2} - b^{2}) \end{matrix}$

故(87)成立。

由文献 [6] 之P₂₁₅的旋转体表面积公式及(3)得

$\begin{matrix} S_{v} = 2 π \int_{- b}^{a} y (x) \sqrt{1 + y^{'} {(x)}^{2}} d x \\ = 2 π \int_{- b}^{a} \frac{c}{a b} \sqrt{(x + b) (x - a) [(a - b) x - a b]} \cdot \sqrt{1 + \frac{x^{2} c^{2} {(2 a^{2} - 2 a b - 3 a x + 2 b^{2} + 3 b x)}^{2}}{4 a^{2} b^{2} (x - a) (x + b) [(a - b) x - a b]}} d x \\ = \frac{π c}{a^{2} b^{2}} \int_{- b}^{a} \sqrt{4 a^{2} b^{2} (x + b) (x - a) [(a - b) x + a b] + c^{2} x^{2} {[3 (b - a) x + 2 (a^{2} - a b + b^{2})]}^{2}} d x \end{matrix}$

故(88)成立。

(ii)同样由旋转体体积公式及(45)得

$\begin{matrix} V = π \int_{- e}^{e} y^{2} (x) d x = \frac{π λ g^{2}}{e^{2}} \int_{- e}^{e} (x^{2} - e^{2}) (x - \frac{1}{λ}) d x = \frac{π λ g^{2}}{e^{2}} \int_{- e}^{e} (x^{3} - \frac{1}{λ} x^{2} - e^{2} x - \frac{e^{2}}{λ}) d x \\ = \frac{π λ g^{2}}{e^{2}} {[\frac{1}{4} x^{4} - \frac{1}{3 λ} x^{3} + \frac{e^{2}}{2} x^{2} + \frac{e^{2}}{λ} x]}_{- e}^{e} \\ = \frac{π λ g^{2}}{e^{2}} (- \frac{2}{3 λ} e^{3} + \frac{2}{λ} e^{3}) = \frac{π λ g^{2}}{e^{2}} \cdot \frac{4 e^{3}}{3 λ} = \frac{4}{3} π e g^{2} \end{matrix}$

故(89)成立。

将(52)求导并化简得

$g^{'} (x) = \frac{g {(3 k x^{2} - 2 e x - k e^{2})}^{2}}{2 e \sqrt{e} \sqrt{(x + e) (x - e) (k x - e)}}, x \in [- e, e]$ (91)

将(52)及(91)代入文献 [6] 之P₂₁₅的表面积公式并化简即得(90)。

6. 三次李氏弹头线

前面讨论了当 $a < 2 b$ 时，(2)~(10)为全等的李氏卵圆，而当 $a = 2 b$ 时，其远端点为尖点，故这时(2)~(10)为全等的满足定义3的李氏弹头线，因此，当 $a = 2 b$ 即 $k = 1$ 时，定理1和定理3分别变成如下的定理1'和定理3'。

定理1'：设

$b > 0, c > 0, a = 2 b$ (92)

$\frac{- b x^{3} + 3 b^{2} x^{2}}{4 b^{4}} + \frac{y^{2}}{c^{2}} = 1, x \in [- b, 2 b]$ (93)

$y = \pm \frac{c}{2 b \sqrt{b}} \sqrt{(x + b) {(x - 2 b)}^{2}}, x \in [- b, 2 b]$ (94)

$x^{3} - 3 b x^{2} - \frac{4 b^{3}}{c^{2}} y^{2} + 4 b^{3} = 0, x \in [- b, 2 b]$ (95)

$c^{2} x^{3} - 3 b c^{2} x^{2} - 4 b^{3} y^{2} + 4 b^{3} c = 0, x \in [- b, 2 b]$ (96)

$\frac{b y^{3} + 3 b^{2} y^{2}}{4 b^{2}} + \frac{x^{2}}{c^{2}} = 1, y \in [- 2 b, b]$ (97)

$x = \pm \frac{c}{2 b \sqrt{b}} \sqrt{(y - b) {(y + 2 b)}^{2}}, y \in [- 2 b, b]$ (98)

$y^{3} + 3 b y^{2} + \frac{4 b^{3}}{c^{2}} x^{2} - 4 b^{3} = 0, y \in [- 2 b, b]$ (99)

$c^{2} y^{3} + 3 b c^{2} y^{2} + 4 b^{3} x^{2} - 4 b^{3} c = 0, x \in [- 2 b, b]$ (100)

${\begin{cases} x = c \cos t \\ b y^{3} + 3 b^{2} y^{2} - 4 b^{4} \sin^{2} t = 0 \end{cases}, t \in [0, 2 π]$ (101)

且(101)中的y满足

${\begin{cases} y > 0, t \in (0, π) \\ y < 0, t \in (π, 2 π) \\ y (0) = y (π) = y (2 π) = 0 \end{cases}$ (102)

则(93)~(101)为相互等价的李氏弹头线方程，其图形曲线均为全等的以2b、b、c为长、短、对称半径的李氏弹头线，而其轴半径e、偏心距h、次对称半径g及旋转弹头体的体积V分别为

$e = \frac{3}{2} b, h = \frac{b}{2}, g = \frac{3 \sqrt{3}}{4 \sqrt{2}} c, V = \frac{27}{16} b c^{2}$ (103)

定理3'：设

$e > 0, g > 0$ (104)

$\frac{x^{2}}{e^{2}} + \frac{y^{2}}{g^{2} (1 - \frac{x}{e})} = 1, x \in [- e, e]$ (105)

$y = \pm \frac{g}{e \sqrt{e}} \sqrt{(x + e) {(x - e)}^{2}}, x \in [- e, e]$ (106)

$g^{2} x^{3} - g^{3} x^{2} - e^{2} g y^{2} - e^{4} x + e^{2} g^{3} = 0, x \in [- e, e]$ (107)

${\begin{cases} x = e \cos t \\ y = g \sqrt{1 - \cos t} \cdot \sin t \end{cases}, t \in [0, 2 π]$ (108)

则(105)~(108)为等价的李氏弹头线方程，其图形为全等的李氏弹头线，其长半径a、短半径b、对称半径c、偏心距h、及旋转弹头体的体积V分别为

$a = \frac{4}{3} e, b = \frac{2}{3} e, c = \frac{4 \sqrt{2}}{3 \sqrt{3}} g, h = \frac{1}{3} e, V = \frac{4}{3} π e g^{2}$ (109)

7. 实例与仿真验证

7.1. 实例

下面分别给出一个具体的三次2型李氏卵圆方程和三次李氏弹头线方程，比如取 $a = 5$ 、 $b = 4$ 、 $c = 3$ (满足 $b < a < 2 b$ )，代入(3)得三次2型李氏卵圆方程

$y = \pm \frac{3}{20} \sqrt{(x + 4) (x - 5) (x - 20)}, x \in [- 4, 5]$ (110)

用计算机绘制方程(110)的图形如图2所示。

Figure 2. Equation (110) graphics

图2. 方程(110)图形

再比如取 $a = 6$ 、 $b = 3$ 、 $c = 3.5$ ( $a = 2 b$ )，代入(94)得三次李氏弹头线方程

$y = \pm \frac{3}{6 \sqrt{3}} \sqrt{(x + 3) {(x - 6)}^{2}}, x \in [- 3, 6]$ (111)

用计算机绘制方程(111)的图形如图3所示。

Figure 3. Equation (111) graphics

图3. 方程(111)图形

7.2. 仿真验证

为了验证本文所建三次2型李氏卵圆方程图形与真实鸡蛋的卵形对比效果，用计算机编写仿真绘图程序。取一张鸡蛋照片作为绘图区的背景。通过像素分析和计算，获得图片中鸡蛋图像横向最大像素为386，纵向最大像素为294，在鸡蛋图像横向和纵向最大像素处画两条直线作为x、y轴，x轴与y轴的交点即为鸡蛋的卵心，并将卵心位置设定为绘图区的原点。仿真程序界面如图4(a)所示。

按卵圆方程的需求量取鸡蛋以像素为单位的长、短、对称半径三个参数值，得出 $a = 206$ 、 $b = 180$ 、 $c = 147$ 。则由(3)即得其三次2型李氏卵圆方程。

$y = \pm \frac{147}{37080} \sqrt{(x + 180) (x - 206) (26 x - 37080)}, x \in [- 180, 206]$ (112)

绘图程序对方程(112)进行计算并绘制图形。程序界面右侧文本框中显示方程取点的计算值。绘图程序运行结果如图4(b)所示。

(a) 绘图程序界面(b) 绘图程序运行结果

Figure 4. Drawing program of simulating

图4. 仿真绘图程序

图4(b)中鸡蛋外轮廓的黑色图线是绘图程序根据方程(112)绘制的卵圆图形，图片中黑色卵圆图线与图片中鸡蛋外轮廓高度吻合，说明本文所得三次2型李氏卵圆方程能仿真真实卵圆。

8. 结语

众所周知，圆只有一个参数(半径r)，椭圆有两个参数(半长轴p，半短轴q)，而卵圆与它们的主要区别在于它有三个参数(长半径a，短半径b，对称半径c)，本文所提出的李氏卵圆的定义正是抓住了卵圆的这种本质特征。当然符合所述定义的李氏卵圆方程是很多的，本文与文献 [1]、文献 [2] 和文献 [3] 所得三次、四次和参数式方程只是李氏卵圆的几个特类，其他满足李氏卵圆定义的方程有待进一步研究。

参考文献

[1]	李湘江. 一类四次李氏卵圆[J]. 应用数学进展, 2019, 8(2): 193-202. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.82022
[2]	李湘江. 一类三次李氏卵圆[J]. 甘肃科学学报, 2020, 32(1): 22-27.
[3]	李湘江. 一类参数式李氏卵形曲线[J]. 应用数学进展, 2021, 10(1): 311-327. https://doi.org/10.12677/AAM.2021.101036
[4]	同济大学应用数学系. 高等数学第五版上册[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002: 148, 153, 269, 273, 278.
[5]	同济大学应用数学系. 高等数学第五版下册[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002: 145.
[6]	Г.М.菲赫金哥尔茨. 微积分学教程二册一分册[M]. 北京大学高等数学教研组, 译. 北京: 人民教育出版社, 1959: 21.

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