1. 引言

图像压缩是图像处理的一个重要部分，随着科学技术的发展现在我们的生活越来越多元化，每天我们都会浏览甚至下载很多的图片，这极大地占据了我们的存储空间，而图像压缩的目的就是减少图片的存储空间，尽量提取图片中的有用信息，减少冗余信息。在不影响图片的清晰度及不减少图片所蕴含的重要信息的前提下对图片进行压缩。近年来，小波变换在信号消噪、信号的奇异性检测、图像压缩、图像融合 [1]、图像边缘检测 [2] 等中的广泛应用使其在电力信号检测 [3]、材料检测 [4]、地质检测 [5]、机械故障诊断 [6]、计算机视觉 [7] 等方面都起到了很大的作用，甚至有时在求解非线性问题 [8] 中也会用到小波变换。

本文主要将小波变换 [9] 应用于图像压缩处理。小波用于图像压缩的基本思想就是将图像进行多分辨率分解，分解成不同空间，不同频率的子图像，然后再对子图像进行系数筛选，去除冗余系数。根据Mallat算法 [10] 将图像分割成低频系数和高频系数，其中高频系数又包括水平、垂直和对角线三个方向。高频系数展示图片的细节信息，低频系数含有图像更多的能量。

2. 不同小波压缩效果的比较

2.1. 多分辨分析

1) 设 ${\left\{V_j\right\}}_{j\in Z}$是由尺度函数 $\phi$生成的多分辨分析， $\left\{W_j\right\}$是 $V_j$在 $V_{j+1}$中的正交补空间，并有两尺度方程

$\{\begin{array}{l}\phi \left(x\right)=\sqrt{2}{\displaystyle \underset{k\in Z}{\sum }{h}_k\phi \left(2x-k\right)}\\ \psi \left(x\right)=\sqrt{2}{\displaystyle \underset{k\in Z}{\sum }{g}_k\phi \left(2x-k\right)}\end{array}$

其中 $h_k\left(x\right)=\sqrt{2}{\displaystyle {\int }_{-\infty }^{+\infty }\phi \left(x\right)\overline{\phi \left(2x-k\right)}\text{d}x}$, $g_k\left(x\right)={\left(-1\right)}^k\overline{h_{1-k}}$。

${\left\{{\phi }_{jk}\left(x\right)=2^{\frac{j}{2}}\phi \left(2^{j}x-k\right)\right\}}_{k\in Z}$是 $V_j$的标准正交基， ${\left\{{\psi }_{jk}\left(x\right)=2^{\frac{j}{2}}\psi \left(2^{j}x-k\right)\right\}}_{k\in Z}$是 $W_j$的标准正交基，并且有 $V_{j+1}=V_j\oplus W_j$， $V_j\perp W_j$，且 $L^2\left(ℝ\right)={\oplus }_{j\in Z}{W}_j$。

2) Mallat分解算法 [10]：设 $f\in L^2\left(R\right)$， $f_j\in V_j$， ${\left\{{\phi }_{jk}\left(x\right)=2^{\frac{j}{2}}\phi \left(2^{j}x-k\right)\right\}}_{k\in Z}$是 $V_j$的标准正交基，

$f_j\left(x\right)={\displaystyle \underset{k\in Z}{\sum }{c}_{jk}{\phi }_{jk}\left(x\right)}={\displaystyle \underset{k\in Z}{\sum }{c}_{j-1,k}{\phi }_{j-1,k}\left(x\right)}+{\displaystyle \underset{k\in Z}{\sum }{d}_{j-1,k}{\psi }_{j-1,k}(\; x\; )}$

故有

$c_{jk}=\langle f_j,{\phi }_{jk}\rangle ,c_{j-1,k}=\langle f_j,{\phi }_{j-1,k}\rangle ,d_{j-1,k}=\langle f_j,{\psi }_{j-1,k}\rangle$

其中 $c_{jk}$为尺度系数， $d_{jk}$为小波系数，且有

$c_{j-1,k}={\displaystyle \underset{n\in Z}{\sum }\overline{h_{n-2k}}{c}_{jn}},d_{j-1,k}={\displaystyle \underset{n\in Z}{\sum }\overline{g_{n-2k}}{c}_{jn}}$

Mallat重构算法：

$c_{jn}={\displaystyle \underset{k\in Z}{\sum }{h}_{n-2k}{c}_{j-1,k}}+{\displaystyle \underset{k\in Z}{\sum }{g}_{n-2k}{d}_{j-1,k}}$

2.2. Haar小波压缩图像

Haar尺度函数为

$\phi \left(x\right)=\{\begin{array}{l}1,0\le x<1\\ 0,其他\end{array},$

利用Haar小波将图像进行2层分解得到如下结果：

如上图1中的压缩效果，其中第一次压缩提取的是原始图像中小波分解第一层的低频信息ca1，从表1中可以看到此时压缩比较小，大约是25%，且图像的尺寸与内存都有了明显的缩减，图像也比较清晰，压缩效果较好。第二次压缩是提取小波分解第二层的低频部分，由表1知其压缩比大约为6.25%，内存与尺寸减小的更多，因为此时省略的高频信息不仅有第一层分解中的高频信息，还有第二层中的高频信息，这些信息省略的越多，压缩比就越小，但是压缩后图像的一些重要信息就很有可能会丢失，从而造成图像失真、模糊等情况。

2.3. db4小波压缩图像

利用“db4”小波将图像进行2层分解，并分别提取其低频系数，在压缩过程中只保存原始图像中的低频信息，不经过其他处理，得到下面的压缩结果。

如上图2的压缩结果，其中第一次压缩提取的是原始图像中小波分解第一层的低频信息ca1，由表2可以看到此时压缩比较小，大约是25.28%，图像的尺寸与内存有明显的缩减，图像也比较清晰，压缩效果较好。第二次压缩是提取小波分解第二层的低频部分，由表2知其压缩比大约为6.47%。

比较：从表1和表2中数据可以看出，用“db4”小波进行2层分解所得到的图像的压缩比与使用“haar”小波进行2层压缩得到的图像的压缩比相差不大，“db4”的压缩比略大于“haar”的压缩比。

3. 小波包压缩图像

3.1. 小波包分解

我们知道，给定一个f可以运用Mallat算法对其进行分解与重构，得到高频和低频两部分，且低频部分可以再次进行分解为高频和低频。而高频部分的分解则要通过小波包方法来完成，小波包的定义 [10] 如下：

使用记号 $u_0\left(x\right)=\phi \left(x\right),u_1\left(x\right)=\psi \left(x\right)$。

定义 $u_n$如下： $\{\begin{array}{l}{u}_{2n}\left(x\right)=\sqrt{2}{\displaystyle {\sum }_{k\in Z}{h}_k{u}_n\left(2x-k\right)}\\ u_{2n+1}\left(x\right)=\sqrt{2}{\displaystyle {\sum }_{k\in Z}{g}_k{u}_n\left(2x-k\right)}\end{array}$称函数集合 ${\left\{u_n\left(x\right)\right\}}_{n=0}^{+\infty }$为由 $u_0=\phi$所确定的小波包，即正交小波包。

小波包分解算法 [10]： $\{\begin{array}{l}{d}_{jl}^{2n}={\displaystyle {\sum }_{k\in Z}\overline{h_{k-2l}}{d}_{j+1,k}^n}\\ d_{jl}^{2n+1}={\displaystyle {\sum }_{k\in Z}\overline{g_{k-2l}}{d}_{j+1,k}^n}\end{array}$。

小波包重构算法 [10]： $d_{j+1,l}^n={\displaystyle {\sum }_{k\in Z}\left(h_{l-2k}{d}_{jk}^{2n}+g_{l-2k}{d}_{jk}^{2n+1}\right)}$。

3.2. 小波包压缩结果及分析

利用“sym4”小波包对图像进行压缩，压缩结果如下图所示。

从图3中可以看出虽然全局阈值化压缩图像所保留的原图像的能量更多，但是其零系数成分比较少，对图片的压缩比率较小；而分层阈值化压缩图像能够保证在拥有较高原图像能量的前提下使零系数的成分也很高，这就使得图像压缩达到了很好的效果。

4. 结论

1) 同一张图像，采用相同的压缩方法，相同压缩层数的不同小波去压缩图像所得到的效果相差不大。

2) 通过对比Haar小波、db4小波和“sym4”小波包压缩的结果发现，小波包压缩的结果压缩比更大，保留原图像的能量成分更高。这是由于在进行小波压缩时，我们采用的压缩方法是在重构过程中只分别保留第一层和第二层的低频信号进行新图像的重构，所以得到了更小的压缩比，这种方法虽然简单有效地减小了压缩比，但是这种省略高频细节信息的压缩方法如果遇到了高频系数居多的图像情况，就会使图像的能量损失增大，可能会使图片失真，而不再适用。而这种高频成分较多的图像，小波包的分解细节信息的特点尤其能发挥其优势，能够既保留大部分能量，又达到较小的压缩比。

参考文献