1. 引言

功能梯度材料(FGM)是一种可设计的新型复合材料，其材料特性在特定方向上平滑连续变化。FGM在热环境中工作时，可以避免因温度的变化导致应力集中甚至结构失稳的发生。目前为止，已有大量关于FGM结构稳定性的研究论文发表，但大多仅限于弹性稳定性方面。例如，文献 [1] 和文献 [2] 采用有限元法分别研究了FGM板和FGM圆柱壳的弹性屈曲。文献 [3] [4] [5] 采用打靶法等分别研究了FGM圆板、环板和梁的弹性热屈曲、动态屈曲及后屈曲。文献 [6] [7] 运用了摄动法研究了弹性FGM圆柱壳的热后屈曲和FGM板的后屈曲。文献 [8] 研究了FGM梁的热屈曲问题，求得临界屈曲温度。

以上关于FGM结构屈曲的研究尚局限于弹性范围内。若结构厚度尺寸较大，内部应力也较大，同时由于作为FGM重要组分的金属是塑性材料，它的存在极易使结构在应力较大的区域产生塑性变形，发生弹塑性屈曲。目前有少量关于FGM结构弹塑性屈曲的研究成果，文献 [9] 用有限元法研究了受机械载荷作用的FGM梁的弹塑性屈曲。文献 [10] 用辛方法研究了轴压FGM欧拉梁的弹塑性屈曲，发现只有当幂律指数大于一定值时，才会发生弹塑性屈曲。文献 [11] 用GDQ法研究了FGM矩形板的弹塑性屈曲，发现板越厚，形变理论和增量理论的差异就越大。文献 [12] 研究了FGM板的弹塑性屈曲和后屈曲，发现弹塑性屈曲临界载荷比弹性屈曲临界载荷小得多。文献 [13] 研究了FGM杆的扭转弹塑性屈曲，发现塑性区域随着幂律指数的增加而更快地扩大。文献 [14] 研究了轴压FGM圆柱壳的弹塑性屈曲，发现随着体积分数的增加，临界载荷急剧下降。在此基础上，文献 [15] 加入了径向压力，研究了径压轴压共同作用下FGM圆柱壳的弹塑性屈曲，发现了材料的塑性流动对稳定区有显著影响。

研究FGM结构的弹塑性屈曲可更精确地预测临界载荷，从而更好地发挥材料的塑性性能。目前尚未见考虑温度依赖性的剪切可变形FGM梁的弹塑性屈曲的研究成果。因此本文考虑FGM物性参数的温度依赖性，研究FGM Timoshenko梁的弹塑性屈曲。在Hamilton体系下求解控制方程，并进行数值算例分析获得FGM梁的临界载荷和塑性变形域及其影响因素。

2. 控制方程及求解

考虑厚度方向梯度变化的矩形截面FGM梁，长为l、宽为b、高为h。在梁的几何中面上建立坐标系 $\left(x,y,z\right)$，原点O位于梁的左端横截面的中心，x轴沿轴向，该向位移记为u，几何中面上为 $u_0$；y轴沿宽度方向；z轴沿厚度方向，横向挠度记为w，几何中面上为 $w_0$；横截面的转角记为 $\phi$。弹塑性交界面为s，如图1所示。研究FGM梁在变温环境中的屈曲问题。

2.1. 等效物性参数

FGM考虑由陶瓷和金属两相材料制成，且假设其体积分数 $V_{\text{c}}$和 $V_{\text{m}}$沿厚度方向以幂函数形式连续变化：

$V_{\text{c}}\left(z\right)={\left(\frac{h-2z}{2h}\right)}^n$, $V_{\text{m}}\left(z\right)=1-V_{\text{c}}\left(z\right)$(1)

其中 $n\left(0\le n<\infty \right)$为体积分数指数，不同值代表了成分含量不同的功能梯度材料。 $n=0$时退化为纯陶瓷梁； $n\to \infty$时则为纯金属梁。对处于变温环境中的FGM梁，其材料的物性参数考虑与温度的相关性：

$P_j\left(T\right)=P_0\left(P_{-1}{T}^{-1}+1+P_{1}T+P_2{T}^2+P_3{T}^3\right)$(2)

其中P泛指金属和陶瓷的弹性模量、切线模量和屈曲极限；j为c或m，分别代表陶瓷和金属；T为绝对温度； $P_0$、 $P_{-1}$、 $P_1$、 $P_2$、 $P_3$为材料的温度相关系数。弹塑性FGM的弹性模量E、切线模量H和屈服极限 ${\sigma }_{\text{Y}}$基于TTO模型给出：

$E=E_{\text{m}}{V}_{\text{m}}+E_{\text{c}}{V}_{\text{c}}$, $H=H_{\text{m}}{V}_{\text{m}}+E_{\text{c}}{V}_{\text{c}}$, ${\sigma }_{\text{Y}}={\sigma }_{\text{Ym}}\left(V_{\text{m}}+\frac{E_{\text{c}}}{E_{\text{m}}}{V}_{\text{c}}\right)$(3)

其中 $E_{\text{m}}$、 $H_{\text{m}}$和 ${\sigma }_{\text{Ym}}$为金属的弹性模量、切线模量和屈曲极限； $E_{\text{c}}$为陶瓷的弹性模量。剪切弹性模量为 $G\left(z\right)=\frac{E\left(z\right)}{2\left(1+\mu \right)}$。泊松比 $\mu$随温度变化不大，一般取为常数 [16]。

2.2. 基本方程和边界条件

FGM梁的正应变 ${\epsilon }_x$和切应变 ${\gamma }_{xz}$基于Timoshenko梁理论建立：

${\epsilon }_x=\frac{\partial u_0}{\partial x}-z\frac{\partial \phi }{\partial x}$, ${\gamma }_{xz}={\gamma }_{xz}^0=\frac{\partial w_0}{\partial x}-\phi$(4)

FGM的本构关系基于线性强化弹塑性模型建立，正应力 ${\sigma }_x$和切应力分别为 [16]：

${\sigma }_x=\{\begin{array}{l}E\left({\epsilon }_x-\alpha \Delta T\right)-\frac{h}{2}\le z<s\\ {\sigma }_{\text{Y}}+H\left({\epsilon }_x-\frac{{\sigma }_{\text{Y}}}{E}-\alpha \Delta T\right)s\le z\le \frac{h}{2}\end{array}$(5a)

${\tau }_{xz}=G{\gamma }_{xz}$(5b)

上式中 $\Delta T=T-T_0$为温度增量，一般初始温度 $T_0=300\text{K}$； $\alpha$为热膨胀系数，由线性混合律模型 [10] 计算；s为FGM梁的弹塑性分界面到几何中面的距离， $-\frac{h}{2}\le s\le \frac{h}{2}$。若 $s=-\frac{h}{2}$，发生弹性屈曲； $s=\frac{h}{2}$，发生塑性屈曲； $-\frac{h}{2}<s<\frac{h}{2}$，则发生弹塑性屈曲。本文考虑固定(C)和不可移简支(S)两种边界约束，边界条件分别为：

$\text{C}:u_0\text{=}{w}_0=\phi =0$, $\text{S}:u_0\text{=}{w}_0=M=0$.

2.3. 正则方程

本文利用Hamilton体系下的辛方法研究FGM梁的弹塑性屈曲。为了引入Hamilton体系，定义

$\stackrel{\dot{}}{w}=\frac{\partial w}{\partial t}$、 $w^{\prime }=\frac{\partial w}{\partial x}$和 $\stackrel{\dot{}}{\phi }=\frac{\partial \phi }{\partial t}$、 ${\phi }^{\prime }=\frac{\partial \phi }{\partial x}$，FGM梁的Lagrange密度函数可表示为：

$\begin{array}{l}\bar{L}=\bar{T}-\bar{V}-\bar{U}\\ \frac{1}{2}\overline{I_0}{\left(\stackrel{\dot{}}{w}\right)}^2+\frac{1}{2}\overline{I_1}{\left(\stackrel{\dot{}}{\phi }\right)}^2-\frac{1}{2}Q{\left(w^{\prime }\right)}^2\\ -\frac{1}{2}{B}_1{\left({\phi }^{\prime }\right)}^2-\frac{1}{2}{B}_2\left({\phi }^{\prime }\right)-\frac{1}{2}{B}_3{\left(w^{\prime }-\phi \right)}^2\end{array}$(6)

其中：Q为轴向压缩荷载， $\bar{T}$为动能密度， $\bar{U}$为应变能密度， $\bar{V}$为势能密度， $\left({\bar{I}}_0,{\bar{I}}_1\right)={\displaystyle {\int }_{-h/2}^{h/2}\rho \left(z\right)}\left\{1,z^2\right\}\text{d}z$为FGM梁的单位面积的质量。 $B_1$和 $B_2$为FGM梁的刚度系数， $B_3$为剪切刚度系数。进行量纲为一的处理， $X=x/l$， $W=w/l$， $\varphi =h\phi /l$， $I_0=\frac{2{\bar{I}}_0{l}^4}{B_1}$， $I_1=\frac{2{\bar{I}}_1{l}^2}{B_1}$， $A_1=\frac{Q{l}^2}{B_1}$， $A_2=\frac{B_{2}l}{B_1}$， $A_3=\frac{B_3{l}^2}{B_1}$，将原变量记为 $W=q_1$， $\varphi =q_2$并引入对偶 $p={\left\{p_1,p_2\right\}}^{\text{T}}$，得到 $p_1=\frac{\delta L}{\delta {\stackrel{\dot{}}{q}}_1}=I_0{\stackrel{\dot{}}{q}}_1$和 $p_2=\frac{\delta L}{\delta {\stackrel{\dot{}}{q}}_2}=I_1{\stackrel{\dot{}}{q}}_2$，则系统的Hamilton函数表示为：

$F=p\stackrel{\dot{}}{q}-L=\frac{p_1^2}{2I_0}+\frac{p_2^2}{2I_1}+A_1{\left(W^{\prime }\right)}^2+{\left({\varphi }^{\prime }\right)}^2+A_2\left({\varphi }^{\prime }\right)+A_3{\left(W^{\prime }-\varphi \right)}^2$(7)

通过变分运算可得FGM梁在Hamilton系统下的对偶正则方程：

$\stackrel{\dot{}}{\psi }\equiv \left\{\begin{array}{c}\frac{\delta F}{\delta p}\\ -\frac{\delta F}{\delta q}\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{c}\frac{p_1}{I_0}\\ \frac{p_2}{I_1}\\ \left(A_1+A_3\right)\frac{{\partial }^2{q}_1}{\partial x^2}-A_3\frac{\partial q_2}{\partial x}\\ \frac{{\partial }^2{q}_2}{\partial x^2}+A_3\left(\frac{\partial q_1}{\partial x}-q_2\right)\end{array}\right\}$(8)

2.4. 方程的解析解

在辛空间中，FGM梁屈曲时满足条件 $\stackrel{\dot{}}{\psi }=0$，可得方程：

$\left(A_1+A_3\right)\frac{{\partial }^2{q}_1}{\partial x^2}-A_3\frac{\partial q_2}{\partial x}=0$(9a)

$\frac{{\partial }^2{q}_2}{\partial x^2}+A_3\left(\frac{\partial q_1}{\partial x}-q_2\right)=0$(9b)

联立求解以上方程组可得到FGM梁屈曲的挠度通解为：

$W=C\left[C_1+C_{2}x-\frac{C_3\cos \left(\sqrt{\theta }x\right)}{\theta }-\frac{C_4\sin \left(\sqrt{\theta }x\right)}{\theta }\right]$(10)

其中 $C=\frac{A_3}{\left(A_1+A_3\right)}$，待定系数 $C_1$、 $C_2$、 $C_3$和 $C_4$由边界条件确定，本文考虑两种边界条件梁，分别是两

端固定(C-C)和一端固定一端不可移简支(C-S)。把两种边界条件分别代入到通解式(10)中得线性方程组，并化简可得分叉条件，C-C边界为：

$2-2\cos \sqrt{\theta }-\sqrt{\theta }\sin \sqrt{\theta }=0$(11a)

C-S边界为：

$-\left(\theta +1\right)\cos \sqrt{\theta }+\sqrt{\theta }\sin \sqrt{\theta }+1=0$(11b)

分别求解方程(11a)和(11b)得到无量纲屈曲特征值 ${\theta }_i\left(i=1,2,3,\cdots \right)$。C-C边界的 ${\theta }_i\left(i=1,2,3,\cdots \right)$为39.47，80.76，157.91，238.72，……；C-S边界的 ${\theta }_i\left(i=1,2,3,\cdots \right)$为20.19，59.67，118.90，197.85，……。考虑边界条件、并同时利用归一化方法令 $C_4=1$，可得以上特征值对应的第i阶的弹塑性屈曲模态，C-C边界为：

$W_i=C\left[\frac{1-\cos \sqrt{\theta }}{\sin \sqrt{\theta }}-\sqrt{\theta }x-\frac{\sin \sqrt{\theta }x}{\theta }+\frac{\left(\cos \sqrt{\theta }-1\right)\cos \sqrt{\theta }x}{\sin \left(\sqrt{\theta }\right)\theta }\right]$(12a)

C-S边界为：

$W_i=C\left[\tan \sqrt{\theta }-\sqrt{\theta }x-\frac{\sin \sqrt{\theta }x}{\theta }+\frac{\sin \left(\sqrt{\theta }\right)\cos \left(\sqrt{\theta }x\right)}{\cos \left(\sqrt{\theta }\right)\theta }\right]$(12b)

FGM梁发生弹塑性屈曲，为了求解弹塑性变形的分界面到中面的距离 $s$，可利用屈服条件 $\sigma \left(s\right)={\sigma }_Y\left(s\right)$。将特征值 ${\theta }_i$依次回代，并通过数值解方程，可以得到临界屈曲载荷N和弹塑性交界面s。

3. 数值算例和讨论

本节将给出以上理论推导的数值算例。梁的长度取为 $l=0.5\text{m}$，长细比分别选 $L=5$和 $L=10$。组分材料选为陶瓷ZrO2和金属Ti-6Al-4V，两种材料的温度相关系数可见文献 [16] [17]。

3.1. 临界屈曲载荷

图2绘出了长细比 $L=5$时两种边界条件FGM梁的临界载荷随材料体积分数指数n的变化关系曲线。由图可见当幂指数n和环境温差增大时，FGM梁的临界载荷会逐渐减小，即FGM梁在热环境中的承受能力也逐渐减小。是因为随着幂指数n的增大，金属含量增大，FGM梁的弹性模量和抗弯刚度减小。而且对于两种边界条件下较小的n，即 $n<40$和 $n<15$时，无临界载荷，这是由于FGM梁中的陶瓷含量高而构件不发生弹塑性屈曲失效。当 $n\ge 40$和 $n\ge 15$时，FGM梁开始发生弹塑性屈曲。另外，环境温度越高临界载荷越小，若FGM梁的环境温度增加60K时，临界载荷的差值可达5%，这是由于材料在高温环境中的弹性模量和屈服强度降低，导致FGM梁的承载能力随即降低，计算发现当温差大于150 K时梁无弹塑性屈曲发生。

图3绘出了长细比 $L=10$时两种边界条件FGM梁的临界轴向载荷随材料体积分数指数n的变化关系，与图2对比可见 $L=5$时的临界载荷大于 $L=10$时的，显然长细比对临界载荷的影响较大。

3.2. 屈服界面

图4绘出了两种边界FGM梁的弹塑性分界面到中面的距离s随体积分数n的变化曲线。由图可见，当幂指数n增加时，FGM梁的弹塑性分界面的距离会逐渐增大，即逐渐远离陶瓷侧。即FGM梁发生弹塑性屈曲时，屈服界面随n的增大由陶瓷侧逐渐移向金属侧。这是由于当n增大，即金属的成分增大，FGM梁的塑性流动域逐渐减大。同时可见，当n较大时，环境温度的变化对弹塑性分界面的影响较明显。因为n较大时，FGM梁内的金属成分很大，金属的力学性能受温度的影响比陶瓷大，因此n越大，温度效应越明显。且温度越高屈服界面越靠近金属侧，塑性流动区域越大。

图5绘出了长细比 $L=10$时两种边界FGM梁发生弹塑性屈曲时弹塑性界面到中面的距离s随体积分数n的变化规律曲线。特别地，对于C-S边界条件，当 $n<10$时，弹塑性分界面的距离为非单调变化，这是因为梁中金属的成分增加导致临界轴力快速减小，屈服界面向陶瓷侧移动，致使FGM梁内的塑性流动区域反而减小。

4. 结论

1) 基于Timoshenko剪切变形理论和辛方法研究了FGM梁的弹塑性屈曲，建立了Hamilton体系中的屈曲模态方程和分叉条件，通过解析求解获得了屈曲载荷和屈曲模态，同时也得到了弹塑性分界面。

2) 临界载荷随体积分数指数、环境温度和长细比的增大而减小。

3) FGM梁弹塑性屈曲时的塑性流动域受到梯度参数、长细比和边界条件的影响。对于较小长细比的FGM梁，弹塑性屈曲时屈服界面靠近陶瓷侧，塑性流动区较大；对于较大长细比的FGM梁，屈服界面更偏向金属侧，塑性流动区较小。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献