DOI:10.12677/AAM.2020.93055,PDF,HTML,XML,被引量下载: 857浏览: 2,723科研立项经费支持
作者:刘永晴,汤 静,唐玲丽：大连民族大学理学院预科教育学院，辽宁 大连；孔庆欣,陆俞先,王天祎：大连民族大学计算机科学与工程学院，辽宁 大连
关键词:差族；几乎差族；分圆类；分圆数；Difference Family；Almost Difference Family；Cyclotomic Classes；Cyclotomic Numbers

文章引用：刘永晴, 孔庆欣, 陆俞先, 汤静, 王天祎, 唐玲丽. 一些新的差族和几乎差族[J]. 应用数学进展, 2020, 9(3): 451-457. https://doi.org/10.12677/AAM.2020.93055

1. 引言

在利用光纤作为通道的多分址码通信系统中，光正交码具有广泛的应用，一类差族或几乎差族的特征序列可以用来构造光正交码 [1] [2] [3]。另外，差族或几乎差族作为一种部分平衡不完全区块设计，可以用来解决很多组合和统计问题。差族和几乎差族的概念可以分别看作是差集和几乎差集概念的推广 [4] [5]，几乎差族的概念由Ding等人 [5] 首次提出，他们还给出了一些构造几乎差族的方法。分圆类是一种重要的构造差集、几乎差集及差族的工具 [6] [7]。最近，Dang等人 [8] 又利用2阶和4阶分圆类构造了若干几乎差族。本文在以往学者的研究基础上，利用6阶分圆类构造了一些新的差族和几乎差族。

2. 基础知识

2.1. 差族和几乎差族的定义

设G是一个阶数为v的加法交换群， $B_i\subset G$，且 $\left|B_i\right|=k_i\left(1\le i\le s\right)$，多重集 $\Delta B_i=\left\{a-b:a,b\in B_i,且a\ne b\right\}$。 $\mathcal{F}=\left\{B_1,B_2,\cdots ,B_s\right\}$称为一个集族，多重集 $\Delta \mathcal{F}={\displaystyle {\cup }_{i=1}^s\Delta B_i}={\displaystyle {\cup }_{i=1}^s\left\{a-b:a,b\in B_i,且a\ne b\right\}}$。

定义1 [5]：称集族 $\mathcal{F}=\left\{B_1,B_2,\cdots ,B_s\right\}$为一个 $\left\{v,\left\{k_1,k_2,\cdots ,k_s\right\},\lambda ,t\right\}$几乎差族(Almost Difference Family, ADF)，如果G中有t个非零元素，这些元素中的每一个在 $\text{Δ}\mathcal{F}$中出现的次数为 $\lambda$，而对于剩下的 $v-1-t$个非零元素，每个元素在 $\text{Δ}\mathcal{F}$中出现的次数为 $\lambda +1$。如果 $t=v-1$，则称 $\mathcal{F}=\left\{B_1,B_2,\cdots ,B_s\right\}$为一个 $\left\{v,\left\{k_1,k_2,\cdots ,k_s\right\},\lambda \right\}$差族(Difference Family, DF)。

由以上定义，不难得到如下结论： $\mathcal{F}=\left\{B_1,B_2,\cdots ,B_s\right\}$是一个 $\left\{v,\left\{k_1,k_2,\cdots ,k_s\right\},\lambda ,t\right\}$-ADF ( $\left\{v,\left\{k_1,k_2,\cdots ,k_s\right\},\lambda \right\}$-DF)当且仅当对于G中的每一个非零元素g， ${\displaystyle {\sum }_{i=1}^s\left|\left(B_i+g\right)\cap B_i\right|}=\lambda +1$或 $\lambda$。

不难验证，当 $\mathcal{F}=\left\{B_1,B_2,\cdots ,B_s\right\}$是一个 $\left\{v,\left\{k_1,k_2,\cdots ,k_s\right\},\lambda ,t\right\}$-ADF时， $t=\left(\lambda +1\right)\left(v-1\right)-{\displaystyle {\sum }_{i=1}^s{k}_i\times \left(k_i-1\right)}$。因此，当我们表示一个ADF时，常将参数t省略。

2.2. 分圆类的相关定义及性质

本文利用分圆类来构造差族和几乎差族，以下给出分圆类及分圆数的定义及性质。

设 $q=ef+1$为一个奇素数， $\theta$是 $\text{GF}\left(q\right)$的一个本原元， $\langle {\theta }^e\rangle =\left\{{\theta }^{ie}:0\le i\le f-1\right\}$是由 ${\theta }^e$生成的 ${\text{GF}}^{\text{*}}\left(q\right)$的乘法子群，它的陪集 $C_j^{\left(e,q\right)}={\theta }^j\langle {\theta }^e\rangle \left(0\le j\le e-1\right)$称为在 $\text{GF}\left(q\right)$中的e阶分圆类。定义分圆数 ${\left(j,k\right)}_e$为方程 $x+1=y,x\in C_j^{\left(e,q\right)},y\in C_k^{\left(e,q\right)}$解的个数，即

${\left(j,k\right)}_e=\left|\left(C_j^{\left(e,q\right)}+1\right)\cap C_k^{\left(e,q\right)}\right|.$

下面给出分圆数的性质。

1) ${\left(i,j\right)}_e={\left(i^{\prime },j^{\prime }\right)}_e$，其中 $i\equiv i^{\prime }\left(\mathrm{mod}e\right),j\equiv j^{\prime }\left(\mathrm{mod}e\right)$。

2) ${\left(i,j\right)}_e={\left(e-i,j-i\right)}_e=\{\begin{array}{l}{\left(j,i\right)}_e,f为偶数,\\ {\left(j+\frac{e}{2},i+\frac{e}{2}\right)}_e,f为奇数.\end{array}$

3. 六阶分圆类构造差族或几乎差族

3.1. 六阶分圆数

对于每一个素数 $p=6f+1$，p可以被分解为 $p=a^2+3b^2$。设 $\theta$是 $\text{GF}\left(p\right)$的一个本原元，且 ${\theta }^m=2$。36个分圆数有10个不同的值，这10个值由 $a,b$的取值，本原元 $\theta$的选取及m的值唯一决定 [9]。以下 ${\left(i,j\right)}_6$简写为 $\left(i,j\right)$， $C_j^{\left(6,p\right)}$简写为 $C_j$。下面的表1给出了f为奇数时6阶分圆数之间的关系，表2给出了基本的6阶分圆数 [9]。

3.2. 新的差族和几乎差族

下面我们给出利用6阶分圆类构造得到的差族和几乎差族的结论。

定理1：设奇素数 $p=6f+1=a^2+3b^2$， $a\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)$， $\theta$是 $\text{GF}\left(p\right)$的一个本原元，且 ${\theta }^m=2$，则

①当f为奇数， $m\equiv 0\left(\mathrm{mod}3\right)$，且 $a-6b=-2$时，

$\left(C_0\cup C_1,C_3\cup C_5\right)$是一个 $\left(p,\left\{\frac{p-1}{3},\frac{p-1}{3}\right\},\frac{2p-8}{9}\right)$-DF;

$\left(C_0\cup C_2,C_0\cup C_1\cup C_5\right)$是一个 $\left(p,\left\{\frac{p-1}{3},\frac{p-1}{2}\right\},\frac{13p-43}{36}\right)$-DF.

②当f为奇数， $m\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)$，且 $a+3b=7$时，

$\left(C_0\cup \left\{0\right\},C_1\cup C_2\right)$是一个 $\left(p,\left\{\frac{p+5}{6},\frac{p-1}{3}\right\},\frac{5p-11}{36}\right)$-DF.

③当f为奇数， $m\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)$，且 $a+3b=1$时，

$\left(C_0\cup \left\{0\right\},C_1\cup C_2\cup \left\{0\right\}\right)$是一个 $\left(p,\left\{\frac{p+5}{6},\frac{p+2}{3}\right\},\frac{5p+13}{36}\right)$-DF.

证明：只证①，②和③类似可证。

设 $x\in C_i\left(0\le i\le 5\right)$，则

$\begin{array}{l}\left|\left(\left(C_0\cup C_1\right)+x\right)\cap \left(C_0\cup C_1\right)\right|\\ =\left|\left(C_0+x\right)\cap C_0\right|+\left|\left(C_0+x\right)\cap C_1\right|+\left|\left(C_1+x\right)\cap C_0\right|+\left|\left(C_1+x\right)\cap C_1\right|\\ =\left(-i,-i\right)+\left(-i,1-i\right)+\left(1-i,-i\right)+\left(1-i,1-i\right)\\ =\left(i,0\right)+\left(i,1\right)+\left(i-1,-1\right)+\left(i-1,0\right).\end{array}$

$\begin{array}{l}\left|\left(\left(C_3\cup C_5\right)+x\right)\cap \left(C_3\cup C_5\right)\right|\\ =\left|\left(C_3+x\right)\cap C_3\right|+\left|\left(C_3+x\right)\cap C_5\right|+\left|\left(C_5+x\right)\cap C_3\right|+\left|\left(C_5+x\right)\cap C_5\right|\\ =\left(3-i,3-i\right)+\left(3-i,5-i\right)+\left(5-i,3-i\right)+\left(5-i,5-i\right)\\ =\left(i-3,0\right)+\left(i-3,2\right)+\left(i-5,-2\right)+\left(i-5,0\right).\end{array}$

令

${\text{Δ}}_i=\left(i,0\right)+\left(i,1\right)+\left(i-1,-1\right)+\left(i-1,0\right)+\left(i-3,0\right)+\left(i-3,2\right)+\left(i-5,-2\right)+\left(i-5,0\right),$

则

$\text{Δ}\left(C_0\cup C_1,C_3\cup C_5\right)={\displaystyle {\cup }_{i=0}^5{\text{Δ}}_i{C}_i}.$

当f为奇数， $m\equiv 0\left(\mathrm{mod}3\right)$时，由表1和表2的数据可得

${\text{Δ}}_0={\text{Δ}}_3=-\frac{10}{9}-\frac{a}{9}+\frac{2b}{3}+\frac{2p}{9},$

${\text{Δ}}_1={\text{Δ}}_2={\text{Δ}}_4={\text{Δ}}_5=-\frac{7}{9}+\frac{a}{18}-\frac{b}{3}+\frac{2p}{9}.$

$\left(C_0\cup C_1,C_3\cup C_5\right)$为差族，当且仅当 ${\text{Δ}}_0={\text{Δ}}_1$，即 $-\frac{10}{9}-\frac{a}{9}+\frac{2b}{3}+\frac{2p}{9}=-\frac{7}{9}+\frac{a}{18}-\frac{b}{3}+\frac{2p}{9}$。化简，得 $a-6b=-2$，此时，参数 $\lambda =\frac{2p-8}{9}$，所以 $\left(C_0\cup C_1,C_3\cup C_5\right)$是一个 $\left(p,\left\{\frac{p-1}{3},\frac{p-1}{3}\right\},\frac{2p-8}{9}\right)$-DF。

对于集族 $\left(C_0\cup C_2,C_0\cup C_1\cup C_5\right)$，仍然假设

$\text{Δ}\left(C_0\cup C_2,C_0\cup C_1\cup C_5\right)={\displaystyle {\cup }_{i=0}^5{\text{Δ}}_i{C}_i},$

与上面的计算过程类似，可得

${\text{Δ}}_0={\text{Δ}}_2={\text{Δ}}_3={\text{Δ}}_5=-\frac{47}{36}-\frac{a}{18}+\frac{b}{3}+\frac{13p}{36},$

${\text{Δ}}_1={\text{Δ}}_4=-\frac{35}{36}+\frac{a}{9}-\frac{2b}{3}+\frac{13p}{36}.$

要使 $\left(C_0\cup C_2,C_0\cup C_1\cup C_5\right)$是差族，当且仅当 ${\text{Δ}}_0={\text{Δ}}_1$，即

$-\frac{47}{36}-\frac{a}{18}+\frac{b}{3}+\frac{13p}{36}=-\frac{35}{36}+\frac{a}{9}-\frac{2b}{3}+\frac{13p}{36}.$

化简，得 $a-6b=-2$。此时，参数 $\lambda =\frac{13p-43}{36}$，所以 $\left(C_0\cup C_2,C_0\cup C_1\cup C_5\right)$是一个 $\left(p,\left\{\frac{p-1}{3},\frac{p-1}{2}\right\},\frac{13p-43}{36}\right)$-DF。证毕。

例如当 $p=16699$，对应的 $a=124,b=21$，此时， $\left(C_0\cup C_1,C_3\cup C_5\right)$是一个 $\left(16699,\left\{5566,5566\right\},3710\right)$-DF， $\left(C_0\cup C_2,C_0\cup C_1\cup C_5\right)$是一个 $\left(16699,\left\{5566,8349\right\},6029\right)$-DF。

定理2：设奇素数 $p=6f+1=a^2+3b^2$， $a\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)$， $\theta$是 $\text{GF}\left(p\right)$的一个本原元，且 ${\theta }^m=2$，则

①当f为奇数， $m\equiv 0\left(\mathrm{mod}3\right)$时，

若 $a=4$，则 $\left(C_0\cup \left\{0\right\},C_0\cup C_1\cup C_4\right)$是一个 $\left(p,\left\{\frac{p+5}{6},\frac{p-1}{2}\right\},\frac{5p-17}{18},\frac{2\left(p-1\right)}{3}\right)$-ADF， $\left(C_0\cup C_3\cup \left\{0\right\},C_1\cup C_5\right)$是一个 $\left(p,\left\{\frac{p+2}{3},\frac{p-1}{3}\right\},\frac{2p-5}{9},\frac{2\left(p-1\right)}{3}\right)$-ADF；

若 $a=16$，则 $\left(C_0\cup C_3\cup \left\{0\right\},C_1\cup C_5\right)$是一个 $\left(p,\left\{\frac{p+2}{3},\frac{p-1}{3}\right\},\frac{2p-8}{9},\frac{p-1}{3}\right)$-ADF。

②当f为奇数， $m\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)$时，若 $a=-2$，则 $\left(C_0\cup C_1\cup \left\{0\right\},C_1\cup C_5\right)$及 $\left(C_0\cup C_2\cup \left\{0\right\},C_0\cup C_3\right)$是 $\left(p,\left\{\frac{p+2}{3},\frac{p-1}{3}\right\},\frac{2p-5}{9},\frac{2\left(p-1\right)}{3}\right)$-ADF；

若 $a=10$，则 $\left(C_0\cup C_2\cup \left\{0\right\},C_0\cup C_3\right)$是一个 $\left(p,\left\{\frac{p+2}{3},\frac{p-1}{3}\right\},\frac{2p-8}{9},\frac{p-1}{3}\right)$-ADF。

③当f为奇数， $m\equiv 2\left(\mathrm{mod}3\right)$时，

若 $a-3b=-5$，则 $\left(C_0\cup C_2,C_0\cup C_1\cup C_3\right)$是一个 $\left(p,\left\{\frac{p-1}{3},\frac{p-1}{2}\right\},\frac{13p-55}{36},\frac{2\left(p-1\right)}{3}\right)$-ADF；

若 $a-3b=1$，则 $\left(C_0\cup C_2,C_0\cup C_1\cup C_3\right)$是一个 $\left(p,\left\{\frac{p-1}{3},\frac{p-1}{2}\right\},\frac{13p-67}{36},\frac{p-1}{3}\right)$-ADF；

若 $a=-2$，则 $\left(C_0\cup C_3,C_0\cup C_4\cup \left\{0\right\}\right)$是一个 $\left(p,\left\{\frac{p-1}{3},\frac{p+2}{3}\right\},\frac{2p-5}{9},\frac{2\left(p-1\right)}{3}\right)$-ADF；

若 $a=10$，则 $\left(C_0\cup C_3,C_0\cup C_4\cup \left\{0\right\}\right)$是一个 $\left(p,\left\{\frac{p-1}{3},\frac{p+2}{3}\right\},\frac{2p-8}{9},\frac{p-1}{3}\right)$-ADF。

证明：只证①。设 $x\in C_i\left(0\le i\le 5\right)$，则 $\left|\left(C_0+x\right)\cap C_0\right|=\left(-i,-i\right)=\left(i,0\right)$，所以 $\text{Δ}{C}_0={\displaystyle {\cup }_{i=0}^5\left(i,0\right)C_i}$。当f为奇数时，

$\text{Δ}\left(C_0\cup \left\{0\right\}\right)=\left(\left(0,0\right)+1\right)C_0\cup \left(1,0\right)C_1\cup \left(2,0\right)C_2\cup \left(\left(3,0\right)+1\right)C_3\cup \left(4,0\right)C_4\cup \left(5,0\right)C_5.$

$\begin{array}{l}\left|\left(\left(C_0\cup C_1\cup C_4\right)+x\right)\cap \left(C_0\cup C_1\cup C_4\right)\right|\\ =\left|\left(C_0+x\right)\cap C_0\right|+\left|\left(C_0+x\right)\cap C_1\right|+\left|\left(C_0+x\right)\cap C_4\right|\\ +\left|\left(C_1+x\right)\cap C_0\right|+\left|\left(C_1+x\right)\cap C_1\right|+\left|\left(C_1+x\right)\cap C_4\right|\\ +\left|\left(C_4+x\right)\cap C_0\right|+\left|\left(C_4+x\right)\cap C_1\right|+\left|\left(C_4+x\right)\cap C_4\right|\\ =\left(i,0\right)+\left(i,1\right)+\left(i,4\right)+\left(i-1,-1\right)+\left(i-1,0\right)\\ +\left(i-1,3\right)+\left(i-4,-4\right)+\left(i-4,-3\right)+\left(i-4,0\right).\end{array}$

$\begin{array}{c}\text{Δ}\left(C_0\cup C_1\cup C_4\right)={\displaystyle {\cup }_{i=0}^5(\left(i,0\right)+\left(i,1\right)+\left(i,4\right)+\left(i-1,-1\right)+\left(i-1,0\right)}\\ +\left(i-1,3\right)+\left(i-4,-4\right)+\left(i-4,-3\right)+\left(i-4,0\right))C_i.\end{array}$

令 $\text{Δ}\left(C_0\cup \left\{0\right\},C_0\cup C_1\cup C_4\right)={\displaystyle {\cup }_{i=0}^5{\text{Δ}}_i{C}_i}$，则

$\begin{array}{c}{\text{Δ}}_i=2\left(i,0\right)+\left(i,1\right)+\left(i,4\right)+\left(i-1,-1\right)+\left(i-1,0\right)+\left(i-1,3\right)\\ +\left(i-4,-4\right)+\left(i-4,-3\right)+\left(i-4,0\right)+{\delta }_i,\end{array}$

其中 ${\delta }_i=\{\begin{array}{l}0,i=1,2,4,5,\\ 1,i=0,3.\end{array}$由表1和表2，得

${\text{Δ}}_0={\text{Δ}}_3=-\frac{1}{18}-\frac{2a}{9}+\frac{5p}{18},$

${\text{Δ}}_1={\text{Δ}}_4=-\frac{25}{18}+\frac{a}{9}+\frac{5p}{18},$

${\text{Δ}}_2={\text{Δ}}_5=-\frac{7}{18}+\frac{a}{9}+\frac{5p}{18}.$

因为 ${\text{Δ}}_1-{\text{Δ}}_2=-1$，因此 $\left(C_0\cup \left\{0\right\},C_0\cup C_1\cup C_4\right)$为几乎差族，当且仅当 ${\text{Δ}}_0={\text{Δ}}_1$或 ${\text{Δ}}_0={\text{Δ}}_2$。由 ${\text{Δ}}_0={\text{Δ}}_1$，得 $a=4$。此时，参数 $\lambda =\frac{5p-17}{18},t=\frac{2\left(p-1\right)}{3}$。由 ${\text{Δ}}_0={\text{Δ}}_2$，得 $a=1$，此时 $a\equiv 1\left(\mathrm{mod}3\right)$，舍去。所以，当 $a=4$时， $\left(C_0\cup \left\{0\right\},C_0\cup C_1\cup C_4\right)$是一个

$\left(p,\left\{\frac{p+5}{6},\frac{p-1}{2}\right\},\frac{5p-17}{18},\frac{2\left(p-1\right)}{3}\right)$-ADF.

对于集族 $\left(C_0\cup C_3\cup \left\{0\right\},C_1\cup C_5\right)$，仍然假设 $\text{Δ}\left(C_0\cup C_3\cup \left\{0\right\},C_1\cup C_5\right)={\displaystyle {\cup }_{i=0}^5{\text{Δ}}_i{C}_i}$。与上面得计算过程类似，可得

${\text{Δ}}_0={\text{Δ}}_3=\frac{8}{9}-\frac{a}{9}+\frac{2p}{9},$

${\text{Δ}}_1={\text{Δ}}_2={\text{Δ}}_4={\text{Δ}}_5=-\frac{7}{9}+\frac{a}{18}+\frac{2p}{9}.$

$\left(C_0\cup C_3\cup \left\{0\right\},C_1\cup C_5\right)$为几乎差族，当且仅当 $\left|{\text{Δ}}_0-{\text{Δ}}_1\right|=1$，即

$\left|\frac{8}{9}-\frac{a}{9}+\frac{2p}{9}+\frac{7}{9}-\frac{a}{18}-\frac{2p}{9}\right|=1.$

化简计算，得 $a=16$或 $a=4$。当 $a=4$时，参数 $\lambda =\frac{2p-5}{9},t=\frac{2\left(p-1\right)}{3}$，此时， $\left(C_0\cup C_3\cup \left\{0\right\},C_1\cup C_5\right)$是一个 $\left(p,\left\{\frac{p+2}{3},\frac{p-1}{3}\right\},\frac{2p-5}{9},\frac{2\left(p-1\right)}{3}\right)$-ADF。当 $a=16$时，参数 $\lambda =\frac{2p-8}{9},t=\frac{p-1}{3}$，此时， $\left(C_0\cup C_3\cup \left\{0\right\},C_1\cup C_5\right)$是一个 $\left(p,\left\{\frac{p+2}{3},\frac{p-1}{3}\right\},\frac{2p-8}{9},\frac{p-1}{3}\right)$-ADF。证毕。

例如，当 $a=4,b=63$时， $p=11923$。此时， $\left(C_0\cup \left\{0\right\},C_0\cup C_1\cup C_4\right)$是一个 $\left(11923,\left\{1988,5961\right\},3311,7948\right)$-ADF， $\left(C_0\cup C_3\cup \left\{0\right\},C_1\cup C_5\right)$是一个 $\left(11923,\left\{3975,3974\right\},2649,7948\right)$-ADF。当 $a=16,b=51$时， $p=8059$。此时， $\left(C_0\cup C_3\cup \left\{0\right\},C_1\cup C_5\right)$是一个 $\left(8059,\left\{2687,2686\right\},1790,2686\right)$-ADF。

基金项目

大连民族大学校级大学生创新创业训练计划资助项目(201912026456)。

参考文献

[1]	Chung, F.R., Salehi, J.A. and Wei, V.K. (1989) Optical Orthogonal Codes: Design, Analysis and Applications. IEEE Transactions on Information Theory, 35, 595-604. https://doi.org/10.1109/18.30982
[2]	Gu, F.R. and Wu, J. (2005) Construction of Two-Dimensional Wavelength/Time Optical Orthogonal Codes Using Difference Family. Journal of Lightwave Technology, 23, 3642. https://doi.org/10.1109/JLT.2005.855860
[3]	Buratti, M. (2002) Cyclic Designs with Block Size 4 and Related Optimal Optical Orthogonal Codes. Designs, Codes and Cryptography, 26, 111-125. https://doi.org/10.1109/JLT.2005.855860
[4]	Colbourn, C.J. and Dinitz, J.H. (2006) Handbook of Combinatorial Designs. CRC Press, Boca Raton, Florida. https://doi.org/10.1201/9781420010541
[5]	Ding, C. and Yin, J. (2008) Constructions of Almost Difference Families, Discrete Mathematics, 308, 4941-4954. https://doi.org/10.1016/j.disc.2007.09.017
[6]	Storer, T. (1967) Cyclotomy and Difference Sets. Markham Pub-lishing Company, Chicago.
[7]	Wilson, R.M. (1972) Cyclotomy and Difference Families in Elementary Abelian Groups. Journal of Number Theory, 4, 17-47. https://doi.org/10.1016/0022-314X(72)90009-1
[8]	Dang, S., Qiu, L. and Wu, D. (2017) New -ADFs via Cyclotomy. Discrete Mathematics, 340, 704-707. https://doi.org/10.1016/0022-314X(72)90009-1
[9]	Dickson, L.E. (1935) Cyclotomy, Higher Congruences, and Waring’s Problem. American Journal of Mathematics, 57, 391-424. https://doi.org/10.2307/2371217