DOI:10.12677/AAM.2019.86129,PDF,HTML,XML,被引量下载: 1,083浏览: 1,443
作者:王英霞,侯芊如,潘志刚：西南交通大学数学学院，四川 成都
关键词:Extended Fisher-Kolmogorov系统；Direchlet边界；Lyapunov-Schmidt约化；分歧解；正则性；Extended Fisher-Folmogorov System；Direchlet Boundary Condition；Lyapunov-Schmidt Reduction；Bifurcated Solution；Regularity

文章引用：王英霞, 侯芊如, 潘志刚. Extended Fisher-Kolmogorov系统在Direchlet边界条件下的定态分歧[J]. 应用数学进展, 2019, 8(6): 1114-1120. https://doi.org/10.12677/AAM.2019.86129

1. 引言及预备知识

关于Extended Fisher-Kolmogorov (EFK)系统，曾在19世纪80年代作为主要理论模型运用在相变以及双稳态系统的研究中 [1] [2] 。在过去的几十年里，研究者们对于EFK系统中进行了大量的研究 [3] [4] [5] ，其研究重点主要是解的渐进行为以及解的结构问题 [6] [7] ，但是对于EFK系统的分歧解问题研究较少。分歧是非线性问题中普遍存在的现象，主要研究当系统参数超过临界值时稳态解的变化过程。目前已有诸多论文文献 [8] [9] [10] [11] [12] 运用分歧理论对分歧问题进行研究讨论，其中，文献 [12] 主要采用了传统意义上的Lyapunov-Schmidt约化方法，而文献 [8] 则对Lyapunov-Schmidt约化方法的规范化过程进一步探讨，以及对线性的全连续场谱理论进行了研究，并将Lyapunov-Schmidt约化方法应用到了愈加普遍的非线性演化方程之中。而后文献 [4] [5] [12] [13] 在生物等许多领域中应用文献 [8] 中关于分歧理论方法进行了深度研究。文献 [14] 分别在Neumann边界条件下和Direchlet边界条件下对于Fisher-Kolmogorov-Petrovskii-Piskunov (FKPP)方程的定态分歧问题进行了研讨。

其中文献 [15] 运用了文献 [8] 中研究的规范化Lyapunov-Schmidt约化方法以及谱定理对于Neumann边界条件下的EFK系统的定态分歧问题进行了深入研究。本文运用文献 [8] 中的方法理论讨论在Direchlet边界条件下的EFK系统的定态分歧问题。

首先引入分歧的定义，考虑以下抽象算子方程：

$L_{\lambda }\phi +G\left(\phi ,\lambda \right)=0$，

这里线性算子 $L:X_1\to X$，非线性算子 $G:X_1\to X$， $X_1,X$是Hilbert空间。

定义1 (分歧定义) [9] 假设 $\left(0,\lambda \right)$， $\lambda \in R^1$是算子方程的一个平凡解。若存在 ${\lambda }_0\in R^1$，使得：当 $\lambda <{\lambda }_0$

或 $\lambda >{\lambda }_0$时，算子方程存在一个解 $\left({\phi }_{\lambda },\lambda \right)\ne \left(0,\lambda \right)$且 $\underset{\lambda \to {\lambda }_0}{\lim }\left({\phi }_{\lambda },\lambda \right)=\left(0,{\lambda }_0\right)$， $\underset{\lambda \to {\lambda }_0}{\lim }{\Vert {\phi }_{\lambda }\Vert }_{x_1}=0$，则称算子方程

在 $\left(0,{\lambda }_0\right)$处发生分歧。

考虑以下EFK系统的定态分歧问题：

$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial t}=-\mu \frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}+\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\lambda g\left(u\right),\left(x,t\right)\in \left(0,\text{π}\right)\times \left(0,\infty \right)\\ u\left(0\right)=u\left(\text{π}\right)=0\\ {\displaystyle \underset{0}{\overset{\text{π}}{\int }}u\left(x\right)\text{d}x=0,\forall t\ge 0}\\ u\left(x,0\right)=u_0,x\in \left(0,\text{π}\right)\end{array}$(1)

其中， $\lambda$是系统参数， $\mu >0$， $\alpha >0$是常数。

$g\left(s\right)={\displaystyle \underset{k=2}{\overset{p}{\sum }}{a}_k{s}^k}$

这里， $\text{2}\le p\in N$， $a_k$是给定的常数。

本论文将研究系统(1)所对应的平衡态系统 [14]

$\{\begin{array}{l}-\mu \frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}+\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\lambda u+g\left(u\right)=0,x\in \left(0,\text{π}\right)\\ u\left(0\right)=u\left(\text{π}\right)=0\\ {\displaystyle \underset{\text{0}}{\overset{\text{π}}{\int }}u\left(x\right)\text{d}x=0}\end{array}$(2)

考虑系统(2)，引入了以下的空间

$H=L^2\left(0,\text{π}\right)$，

$H_1=\left\{u\in H^4\left[0,\text{π}\right]|u\left(0\right)=u\left(\text{π}\right)=0,{\displaystyle \underset{\text{0}}{\overset{\text{π}}{\int }}u\left(x\right)\text{d}x=0}\right\}$，

接下来定义算子 $L_A=A+B_{\lambda }:H_1\to H$和 $G:H_1\to H$，且满足如下等式：

$Au=-\mu \frac{{\partial }^{4}u}{\partial x^4}+\alpha \frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$，(3)

$B_{\lambda }=\lambda u$

2. 主要结果

2.1. 定理

定理1 对于系统(2)有以下的结论成立：

1) 当 ${\alpha }_2\ne 0$时，系统(2)可从 $\left(u,\lambda \right)=\left(0,\alpha +\mu \right)$处产生1个正则分歧解，其表达式如下：

${\bar{u}}_1=-\frac{3\text{π}\left(\lambda -\alpha -\mu \right)}{8{\alpha }_2}\sin x+O\left({\left|\lambda -\alpha -\mu \right|}^2\right)$；(4)

2) 当 ${\alpha }_2=0,{\alpha }_3\ne 0$时，系统(2)从 $\left(u,\lambda \right)=\left(0,\alpha +\mu \right)$处产生2个正则分歧解，其表达式如下：

$\begin{array}{l}{\bar{u}}^{+}=\sqrt{\frac{4\left(\alpha +\mu -\lambda \right)}{3{\alpha }_3}}\sin x+O\left({\left|\lambda -\alpha -\mu \right|}^{\frac{1}{2}}\right)\\ {\bar{u}}^{-}=-\sqrt{\frac{4\left(\alpha +\mu -\lambda \right)}{3{\alpha }_3}}\sin x+O\left({\left|\lambda -\alpha -\mu \right|}^{\frac{1}{2}}\right)\end{array}$(5)

2.2. 定理证明

证明 下面对以上定理进行证明：

第1步 求出 $L_{\lambda }=A+B_{\lambda }$的所有特征值以及其对应的特征函数.

先令 ${\lambda }_k$和 ${\phi }_k$ $\left(k=1,2,\cdots \right)$是如下方程的第k个特征值和对应的特征函数

$-\frac{{\text{d}}^2{\phi }_k}{\text{d}{x}^2}={\lambda }_k{\phi }_k$，

${\phi }_k\left(0\right)={\phi }_k\left(\text{π}\right)=0$，

${\displaystyle {\int }_0^{\text{π}}{\phi }_k^2\text{d}x}=1$(6)

可解得方程(6)的特征值 $\left\{{\lambda }_k|k=1,2,3,\cdots \right\}$(计入重数)为 ${\lambda }_k=k^2$，且其对应的特征函数 $\left\{{\phi }_k|k=1,2,3,\cdots \right\}$为

${\phi }_k=\sqrt{\frac{2}{\text{π}}}\sin kx$

由此可得方程(3)中的算子 $L_{\lambda }$特征值为

$\left\{{\beta }_k\left(\lambda \right)=\lambda -\alpha k^2-\mu k^4|k=1,2,\cdots \right\}$，

且方程(6)的特征函数 $\left\{{\phi }_k|k=1,2,3,\cdots \right\}$满足正交性，即：

${\langle {\phi }_i,{\phi }_j\rangle }_H=\{\begin{array}{l}1,i=j,\\ 0,i\ne j.\end{array}$

参考文献 [8] 可知，算子 $L_{\lambda }$的特征函数 $\left\{{\phi }_k|k=1,2,3,\cdots \right\}$可以在空间 $H_1$中构成一组正交基.

易得算子 $L_{\lambda }$的第一特征值是

${\beta }_1\left(\lambda \right)=\lambda -\alpha -\mu$，

则可得其对应的特征向量为

${\phi }_{\text{1}}=\sqrt{\frac{2}{\text{π}}}\sin x$

且 ${\beta }_j$满足

${\beta }_j\left(\alpha +\mu \right)\ne 0,j\ge 2$

第2步 运用谱定理 [8] ，对空间H和算子 $L_{\lambda }$进行分解。

由谱定理 [8] 可得，在 $\lambda =\alpha +\mu$的邻域内，空间H可以被分解为：

$H_1=E_1\oplus E_{\text{2}}$， $H=E_1\oplus {\bar{E}}_{\text{2}}$，

在上式中，

$E_1=span\left\{{\phi }_1\right\}$， $E_{\text{2}}=span\left\{{\phi }_2,{\phi }_3,\cdots \right\}$.

且线性算子 $L_{\lambda }$在 $\lambda =\alpha +\mu$的邻域内可以被分解成：

$L_{\lambda }=L_{\lambda }^1+L_{\lambda }^2$，

其中，

$L_{\lambda }^1:E_1\to E_1$， $L_{\lambda }^2:E_2\to {\bar{E}}_2$.

先令 $u\in H_1$，则有 $u=u_1+u_2$，其中 $u_1,u_2$满足： $u_1\in E_1$， $u_2\in E_2$.

现不妨设

$u_1=x_1{\phi }_1$， $u_2={\displaystyle \underset{j=2}{\overset{\infty }{\sum }}{y}_j{\phi }_j}$， $y_j\in R$.

第3步 利用规范化的Lyapunov-Schmidt约化方法可以解出系统(2)的分歧解。

先将u₁和u₂代入方程(3)，可得如下等式：

${\beta }_{\text{1}}\left(\lambda \right)x_1+{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{p}{\sum }}{\alpha }_k}{\langle {\left(x_1{\phi }_1+{\displaystyle \underset{j=2}{\overset{\infty }{\sum }}{y}_j{\phi }_j}\right)}^k,{\phi }_1\rangle }_H=0$(7)

${\beta }_j\left(\lambda \right)y_j+{\displaystyle \underset{k=2}{\overset{p}{\sum }}{\alpha }_k}{\langle {\left(x_1{\phi }_1+{\displaystyle \underset{j=2}{\overset{\infty }{\sum }}{y}_j{\phi }_j}\right)}^k,{\phi }_j\rangle }_H=0,j\ge 2$(8)

由于在进行Lyapunov-Schmidt约化的过程中， ${\alpha }_2$的取值对约化方程的形式产生影响，所以本文根据 ${\alpha }_2$的取值分别做如下的分类讨论.

1) 当 ${\alpha }_2\ne 0$时，近似方程为

${\beta }_{\text{j}}\left(\lambda \right)y_i+{\alpha }_2{x}_1^2{\langle {\phi }_1^2,{\phi }_j\rangle }_H+O\left(x_1^2\right)=0,j\ge 2$

又因为 ${\phi }_1,{\phi }_j\left(j\ge 2\right)$满足

$\begin{array}{l}\langle {\phi }_1^2,{\phi }_1\rangle =\frac{8\sqrt{2}}{3\text{π}\sqrt{\text{π}}},\\ \langle {\phi }_1^2,{\phi }_j\rangle =0,j\ge 2\end{array}$

则可以解得

$y_j=O\left(x_1^2\right),j\ge 2$。

再将 $y_j\left(j=2,3,\cdots \right)$代入方程(7)，可得

${\beta }_1\left(\lambda \right)x_1+{\alpha }_2{x}_1^2{\langle {\phi }_1^2,{\phi }_1\rangle }_H+O\left(x_1^2\right)=0$

化简后的近似方程如下示：

${\beta }_1\left(\lambda \right)x_1+\frac{8\sqrt{2}{\alpha }_2{x}_1^2}{3\text{π}\sqrt{\text{π}}}=0$。(9)

进而可以得到1个分歧分支

$x_1=-\frac{3\text{π}\sqrt{\text{π}}\left(\lambda -\alpha -\mu \right)}{8\sqrt{2}{\alpha }_2}$(10)

由此可知，方程(9)在 $\left(x,\lambda \right)=\left(0,\alpha +\mu \right)$处产生了分歧，且分歧出了一个分歧解.

2) 当 ${\alpha }_2=0$， ${\alpha }_3\ne 0$时，由(7)式可得

${\beta }_1\left(\lambda \right)x_1+{\alpha }_3\langle x_1^3{\phi }_1^3,{\phi }_1\rangle =0$

又由 ${\phi }_1$满足

$\langle {\phi }_1^3,{\phi }_1\rangle =\frac{3}{2\text{π}}$

可得

${\beta }_1\left(\lambda \right)x_1+\frac{3{\alpha }_3}{2\text{π}}{x}_1^3=0$(11)

由以上可以解出如下分歧解：

$\begin{array}{l}{x}_1^{+}=\sqrt{\frac{2\text{π}\left(\alpha +\mu -\lambda \right)}{3{\alpha }_3}},\\ x_1^{-}=-\sqrt{\frac{2\text{π}\left(\alpha +\mu -\lambda \right)}{3{\alpha }_3}}\end{array}$(12)

由此可知，方程(11)在 $\left(x,\lambda \right)=\left(0,\alpha +\mu \right)$处产生了分歧，且分歧出两个不同的分歧解.

第4步 讨论平衡态系统的分歧解及分歧解的正则性.

先讨论方程(9)和方程(11)的分歧解的正则性.

在方程(9)和方程(11)中，对应的对 $x_1$求导的导数如下：

${\beta }_1\left(\lambda \right)+\frac{16\sqrt{2}{\alpha }_2}{3\text{π}\sqrt{\text{π}}}{x}_1=-\left(\lambda -\alpha -\mu \right)$(13)

${\beta }_1\left(\lambda \right)+\frac{3{\alpha }_3}{2\text{π}}{x}_1^2=-2\left(\lambda -\alpha -\mu \right)$(14)

易见，在 $\lambda =\alpha +\mu$的去心邻域内，若邻域充分小的情况下，则方程(13)和方程(14)皆不为零，由此可知方程(9)和方程(11)的分歧解都是正则的。再参考文献 [8] 分歧解的正则性相关定理，系统(2)的分歧解也都是正则的。

考虑当 ${\alpha }_2\ne 0$时，系统(2)的分歧解表达式如下

${\bar{u}}_1=-\frac{3\text{π}\left(\lambda -\alpha -\mu \right)}{8{\alpha }_2}\sin x+O\left({\left|\lambda -\alpha -\mu \right|}^2\right)$；

而当 ${\alpha }_2=0$时，系统(2)的分歧解表达式如下

$\begin{array}{l}{\bar{u}}^{+}=\sqrt{\frac{4\left(\alpha +\mu -\lambda \right)}{3{\alpha }_3}}\sin x+O\left({\left|\lambda -\alpha -\mu \right|}^{\frac{1}{2}}\right)\\ {\bar{u}}^{-}=-\sqrt{\frac{4\left(\alpha +\mu -\lambda \right)}{3{\alpha }_3}}\sin x+O\left({\left|\lambda -\alpha -\mu \right|}^{\frac{1}{2}}\right)\end{array}$

综上所述，定理得证。

NOTES

^*通讯作者。

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