DOI:10.12677/PM.2018.86096,PDF,HTML,XML,被引量下载: 1,095浏览: 1,794国家自然科学基金支持
作者:杨宗文,何青海：云南大学数学系，云南 昆明
关键词:点态化完备代数正规类；遗传幂等根；补根；对偶根；子幂等根；诣零根；Normal Classes of Complete Pointwise Algebras；Hereditary Idempotent Radicals；Supplementing Radicals；Dual Radicals；Sub-Idempotent Radicals；Nil Radicals

文章引用：杨宗文, 何青海. 点态化完备代数正规类中的遗传幂等根、补根、对偶根、子幂等根及诣零根[J]. 理论数学, 2018, 8(6): 712-722. https://doi.org/10.12677/PM.2018.86096

1. 引言

环及其它代数系统根理论的统一研究促使一般代数正规类根理论的建立 [1] - [15] ，但由于一般代数正规类缺乏理想乘积等概念，一般代数正规类根理论研究受到极大的限制。为了能在一般代数正规类中进行进一步的研究，文献 [16] [17] 引入了可积代数正规类、文献 [18] - [23] 引入了完备代数正规类，对特殊根等进行了研究，并对一类特殊的半环——大半环(可做单侧减法的半环)建立了相应的根理论；文献 [24] 对完备代数正规类进行了点态化，研究了点态化完备代数正规类中的亚直既约代数类及其确定的上根——反单根的结构性质。

本文在文献 [24] 建立的点态化完备代数正规类概念基础上，研究点态化完备代数正规类中的遗传幂等根、补根、对偶根、子幂等根及诣零根的结构性质。

2. 预备知识及基本引理

点态化完备代数正规类的相关概念及性质参见文献 [24] 。

引理2.1 [15]：A是一个完备代数正规类，则：

1) 如果 $i,j⊲a$，则 $ij\le i\wedge j$，特别 $ii\le i$；

2) 如果 $i,j⊲a$，则 $ij⊲a$；

3) n是正整数，如果 $t\in {\varphi }_a(i)$，则 $i_1{i}_2\cdots i_n⊲a$。

引理2.2 [13] [14]：A是一个完备代数正规类，R为A中的一个根类， $a\in A$， $i⊲a$。如果 $a/i\in \text{PR}$，则 $\text{R}(a)\le i$。

引理2.3 [15]：A是一个完备代数正规类，K为A的一个子类，K中每个代数的理想都在K中(即K对理想封闭)。则 $t\in {\varphi }_a({(t)}^2)$是一个根类(称由K确定的上根，记为UK)，且 $\text{K}\subseteq \text{PR}$。进一步有：如果 ${\text{R}}_1$是一个根类，且 $\text{K}\subseteq {\text{PR}}_1$，则 ${\text{R}}_1\subseteq \text{R}$，记为根类 ${\text{R}}_1\le \text{R}$。

引理2.4 [15]：A是一个完备代数正规类， $\forall a\in A$， $i⊲a$， $k⊲i$， $\bar{k}$是a的包含k的最小理想。则 $\bar{k}=k\vee ak\vee ka\vee aka$，且 ${\bar{k}}^3\le k$。

引理2.5 [24]：设 $a\in A$是一个非零代数， ${\varphi }_a:L_a^s\to P(S_a)$如上定义。则 $\forall i,j\in L_a^s$有：

$i\le j$当且仅当 ${\varphi }_a(i)\subseteq {\varphi }_a(j)$；

证明：此处只证明当 ${\varphi }_a(i)\subseteq {\varphi }_a(j)$时有 $i\le j$。

当 ${\varphi }_a(i)\subseteq {\varphi }_a(j)$时有 ${\varphi }_a(i\wedge j)={\varphi }_a(i)\cap {\varphi }_a(j)={\varphi }_a(i)$，而 ${\varphi }_a:L_a^s\to P(S_a)$是单射，故 $i\wedge j=i$，故 $i\le j$。证毕。

引理2.6 [24]：设 $a\in A$是一个非零代数， ${\varphi }_a:L_a^s\to P(S_a)$如上定义， $0\ne t\in S_a$， $\varnothing \ne A\subseteq S_a$。则：

1) 存在a的一个最大的理想 $i_t$，使得 $t\notin {\varphi }_a(i_t)$；

2) 分别存在a的一个最小的在 ${\varphi }_a$下的像包含t的子代数 $\langle t\rangle$、右理想 $\langle t)$、左理想 $(t\rangle$、理想 $(t)$，且

$\langle t\rangle =\wedge \left\{b\in L_a^s|t\in {\varphi }_a(b)\right\}$， $\langle t)=\wedge \left\{b\in L_a^r|t\in {\varphi }_a(b)\right\}$，

$(t\rangle =\wedge \left\{b\in L_a^l|t\in {\varphi }_a(b)\right\}$， $(t)=\wedge \left\{b\in L_a|t\in {\varphi }_a(b)\right\}$，

分别称t生成的主子代数 $\langle t\rangle$、主右理想 $\langle t)$、主左理想 $(t\rangle$及主理想 $(t)$；

3) 分别存在a的一个最小的 ${\varphi }_a$下的像包含A的子代数 $\langle A\rangle$、右理想 $\langle A)$、左理想 $(A\rangle$、理想 $(A)$，且

$\langle A\rangle =\wedge \left\{b\in L_a^s|A\in {\varphi }_a(b)\right\}$， $\langle A)=\wedge \left\{b\in L_a^r|A\subseteq {\varphi }_a(b)\right\}$，

$(A\rangle =\wedge \left\{b\in L_a^l|A\in {\varphi }_a(b)\right\}$， $(t)=\wedge \left\{b\in L_a|A\in {\varphi }_a(b)\right\}$，

分别称A生成的子代数 $\langle A\rangle$、右理想 $\langle A)$、左理想 $(A\rangle$及理想 $(A)$；

4) $\forall i\in L_a^s$， $i=\vee \left\{\langle t\rangle |t\in {\varphi }_a(i)\right\}$； $\forall i\in L_a^r$， $i=\vee \left\{\langle t)|t\in {\varphi }_a(i)\right\}$； $\forall i\in L_a^l$， $i=\vee \left\{(t\rangle |t\in {\varphi }_a(i)\right\}$； $\forall i\in L_a$， $i=\vee \left\{(t)|t\in {\varphi }_a(i)\right\}$；

5) ∀ $i\in L_a,t\in S_a$，则 $i\vee \langle t\rangle =\langle t\rangle$当且仅当 $t\in {\varphi }_a(i)$。

引理2.7 [24]：a是有幂等心h的亚直既约代数的亚直和， $0\ne i⊲a$，则i也是有幂等心h的亚直既约代数的亚直和。

3. 点态化完备代数正规类中的遗传幂等根、补根、对偶根、子幂等根

A是一个完备代数正规类。

定义3.1：1) 设R，S为A中的2个根类。如果 $\forall a\in A$，满足下列条件：

i) $\text{R}(a)\wedge \text{S}(a)=0$；

ii) 对任意A中的根类T，若 $\forall a\in A$都有 $\text{R}(a)\wedge \text{T}(a)=0$，则 $\text{T}\le \text{S}$；

则称根S是R的补根，记为 $\text{S}={\mathrm{R}}^{\prime }$。

2) 设R，S为A中的2个根类。如果根S是R的补根，且根R也是S的补根，则称R与S互为双补根或互为对偶根。此时有 $\text{S}={\mathrm{R}}^{\prime },\text{R}={\mathrm{S}}^{\prime },\text{S}={\mathrm{S}}^{″},\text{R}={\mathrm{R}}^{″}$。

定义3.2：设R为A中的一个根类。 $\forall a\in A$，如果a的商都是R-半单代数，则称代数a为强R-半单代数。

引理3.3：设R，S为A中的2个根类，S是R的补根，即 $\text{S}={\mathrm{R}}^{\prime }$。则：

1) 每个R-半单代数的理想是R-半单代数 [14] ；

2) 每个S根代数都是强R-半单代数；每个R根代数都是强S-半单代数。

证明：2) $\forall a\in \text{R}\subseteq A$， $i⊲a$，由根的定义( [24] )及定义3.1， $\text{R}(a/i)=a/i$，且 $\text{R}(a/i)\wedge \text{S}(a/i)=\text{S}(a/i)=0$，即 $a/i$是R-半单代数。再由定义3.2，a是强S-半单代数，即每个R根代数都是强S-半单代数。

同理，每个S根代数都是强R-半单代数。证毕。

引理3.4：设R为A中的一个根类， $a\in A$， $\left\{a_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$是一个代数集， $\forall \alpha \in \Gamma$， $a_{\alpha }$是R-半单代数， $a={\displaystyle {\sum }_s\left\{a_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}}$，则a是R-半单代数。

证明：因为 $a={\displaystyle {\sum }_s\left\{a_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}}$，故存在a的一个理想集 $\left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$满足 $\wedge \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}=0$，且 $\forall \alpha \in \Gamma ,a_{\alpha }\sim a/i_{\alpha }$。因为 $\forall \alpha \in \Gamma$， $a_{\alpha }$是R-半单代数，所以 $\text{R}(a)\le i_{\alpha }$，因此 $\text{R}(a)\le \wedge \left\{i_{\alpha }\right\}=0$，即a是R-半单代数。证毕。

设R为A中的一个根类，所有R根心的亚直既约代数类确定的上根记为S_R。

引理3.5：设 $a={\displaystyle {\sum }_s\left\{a/i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}}$， $\left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$是a的满足 $\wedge \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}=0$理想集， $\forall \alpha \in \Gamma$， $a/i_{\alpha }$是心为 $h_{\alpha }$的亚直既约代数，i是a的理想。则 $i={\displaystyle {\sum }_s\left\{i/(i\wedge i_{\alpha })|\alpha \in \Gamma \right\}}$，其中 $i/(i\wedge i_{\alpha })\ne 0$时是心为 ${h^{\prime }}_{\alpha }\sim h_{\alpha }$的亚直既约代数。

证明：因为 $a={\displaystyle {\sum }_s\left\{a/i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}}$，i是a的理想，故对于i的理想集 $\left\{i\wedge i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$有 $\wedge \{i\wedge i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \}=i\wedge (\wedge \left\{i_{\alpha }\right|\alpha \in \Gamma \})=0$，所以 $i={\displaystyle {\sum }_s\left\{i/(i\wedge i_{\alpha })|\alpha \in \Gamma \right\}}$。又因为 $\forall \alpha \in \Gamma$， $i/(i\wedge i_{\alpha })\sim (i\vee i_{\alpha })/i_{\alpha }⊲a/i_{\alpha }$，当 $(i\vee i_{\alpha })/i_{\alpha }\ne 0$时，由引理2.7知 $(i\vee i_{\alpha })/i_{\alpha }$是心为 $h_{\alpha }$的亚直既约代数，从而 $i/(i\wedge i_{\alpha })\ne 0$是心为 ${h^{\prime }}_{\alpha }\sim h_{\alpha }$的亚直既约代数。证毕。

定义3.6：1) $a\in A$，如果 $\forall i⊲a$，都有 $i^2=i$，则称代数a是遗传幂等的；

2) $a\in A$，如果 $\forall t\in S_a$，都有 $t\in {\varphi }_a({(t)}^2)$，则称代数a是f-正则的。

定理3.7：设S是反单根， $a\in A$，则以下7个条件等价。

1) a是遗传幂等的；

2) a是f-正则的；

3) $\forall i,j⊲a$，都有 $i\wedge j=ij$；

4) 不存在a的非0商b是有幂0心的亚直既约代数；

5) a的非0商b都是有幂等心的亚直既约代数的亚直和；

6) a是强S-半单代数；

7) $\forall i⊲a$，都有 $i=\wedge \{p⊲a|i\le p$，p是素理想且 $i\le p$和 $a/p$有极小理想}。

证明：1) Þ 2)如果a是遗传幂等代数，则 $\forall i⊲a$， $t\in {\varphi }_a(i)$，有 ${(t)}^2=(t)$，故 $t\in {\varphi }_a(t)={\varphi }_a({(t)}^2)$，从而a是f-正则的；

2) Þ 1)如果a是f-正则的， $\forall i⊲a$， $t\in {\varphi }_a(i)$，则 $t\in {\varphi }_a({(t)}^2)$及 $(t)\le {(t)}^2$，从而 $(t)={(t)}^2$， $i=\vee \left\{(t)|t\in {\varphi }_a(i)\right\}=\vee \left\{{(t)}^2|t\in {\varphi }_a(i)\right\}=i^2$，所以 $i^2=i$，即a是遗传幂等的；

1) Þ 3)如果a是遗传幂等代数，则 $\forall i,j⊲a$，有 $i\wedge j={(i\wedge j)}^2\le ij$；又因为 $ij\le i\wedge j$，故 $i\wedge j=ij$；

3) Þ 1)如果 $\forall i,j⊲a$， $i\wedge j=ij$，则 $i=i\wedge i=i^2$，即a是遗传幂等代数；

1) Þ 4)如果a是遗传幂等代数，b是a的非0商，如果b是有幂0心的亚直既约代数 $\left\{b_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$的亚直和，则每个项 $b_{\alpha }\sim a/i_{\alpha }$也有幂0心 $0\ne h_{\alpha }\sim h/i_{\alpha }(h⊲b)$，因此 $0=h_{\alpha }^2={(h/i_{\alpha })}^2=(h^2\vee i_{\alpha })/i_{\alpha }=(h\vee i_{\alpha })/i_{\alpha }=h/i_{\alpha }\ne 0$，矛盾，故4)成立；

4) Þ 5)对a的非0商b，则b是有心 $\left\{0\ne h_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$的亚直既约代数 $\left\{b_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$的亚直和，如果有 $b_{\alpha }$有幂0心 $h_{\alpha }$，则 $b_{\alpha }$也是a的有幂0心 $h_{\alpha }$的非0商，矛盾，故5)成立；

5) Þ 6) $a\in A$， $b=a/i$是a的非0商，则由5)知b都是有幂等心 $\left\{h_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$的亚直既约代数 $\left\{b_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$的亚直和。因此 $b_{\alpha }$是S-半单代数，从而b也是S-半单代数，因此a是强S-半单代数，即6)成立；

6) Þ 5)设a是强S-半单代数，b是a的非0商 $b=a/i$，则b也是S-半单代数，从而b也是有幂等心 $\left\{h_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$的亚直既约代数 $\left\{b_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$的亚直和，即5)成立；

5) Þ 7) a的非0商都是有幂等心的亚直既约代数的亚直和， $i⊲a$，则 $b=a/i$是有幂等心 $\left\{h_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$的亚直既约代数 $\left\{b_{\alpha }=a/i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$的亚直和，因此 $i=\wedge \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$。因为 $\forall \alpha \in \Gamma$， $b_{\alpha }=b/i_{\alpha }$是有幂等心的亚直既约代数，所以 $b_{\alpha }=a/i_{\alpha }$是素代数， $i_{\alpha }$是a的素理想，且 $h_{\alpha }$是 $a/i_{\alpha }$的极小理想，即7)成立；

7) Þ 1) $\forall i⊲a$，则 $i^2=\wedge \{p_{\alpha }⊲a|i^2\le p_{\alpha }$， $p_{\alpha }$是素理想且 $a/p_{\alpha }$有极小理想}。 $\forall \alpha \in \Gamma$， $i^2\le p_{\alpha }$， $p_{\alpha }$是素理想，故 $i\le p_{\alpha }$，所以 $i\le \wedge \left\{p_{\alpha }⊲a|\alpha \in \Gamma \right\}=i^2\le i$，即 $i^2=i$，即a是遗传幂等的。证毕。

定义3.8：设R为A中的根类。如果1) R是遗传根；2) R根代数都是幂等的；则称R是一个子幂等根。

由具有定理3.7性质的代数类是根类，它的补根是反单根。

R为A中的根类，设S_R是所有具有R-根心的亚直既约代数类 ${\mathrm{K}}^{\prime }$确定的上根 $\mathrm{U}{\mathrm{K}}^{\prime }$。

定理3.9：设R为A中的一个遗传根类， $a\in A$，则以下4个条件等价。

1) a是S_R-根代数；

2) a的非0商b都是有R-半单心的亚直既约代数的亚直和；

3) a是强S-半单代数；

4) $\forall i⊲a$，都有 $i=\wedge \{i_{\alpha }⊲a|i\le i_{\alpha }$， $a/i_{\alpha }$是有R-半单心的亚直既约代数的亚直和}。

证明：1) Þ 2)如果a是S_R-根代数，对a的非0商b，则b是有心 $\left\{0\ne h_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$的亚直既约代数 $\left\{b_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$的亚直和。 $\forall \alpha \in \Gamma$，如果 $h_{\alpha }$不是R-半单，则 $h_{\alpha }$是R-根代数，从而a有非0商 $b_{\alpha }$是有R-根心的亚直既约代数的亚直和，因此a不是S_R-根代数，矛盾，故2)成立；

2) Þ 1)如果a不是S_R-根代数，则存在a的非0商b是有R-根心的亚直既约代数的亚直和，与2)矛盾，故(1)成立；

2) Þ 3) 对a的非0商b，则a的非0商b是有心 $\left\{0\ne h_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$的亚直既约代数 $\left\{b_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$的亚直和，所以 $\left\{b_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$都是R-半单的，从而b是R-半单的，即3)成立；

3) Þ 2)设a是强S-半单代数，b是a的非0商，则b是有心 $\left\{0\ne h_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$的亚直既约代数 $\left\{b_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$的亚直和。 $\forall \alpha \in \Gamma$， $b_{\alpha }$也是a的非0商，由条件3)知 $b_{\alpha }$是R-半单的，所以 $h_{\alpha }$是R-半单的，即2)成立；

2) Þ 4) $\forall i⊲a$，则 $i=\wedge \{i_{\alpha }⊲a|i\le i_{\alpha }$， $a/i_{\alpha }$是有R-半单心的亚直既约代数的亚直和}，即 $\forall i⊲a$，有 $b=a/i$是有R-半单心的 $\left\{0\ne h_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$亚直既约代数 $\left\{b_{\alpha }\sim a/i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$的亚直和，且 $i=\wedge \left\{i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$。所以 $\forall \alpha \in \Gamma$，则每个项 $b_{\alpha }\sim a/i_{\alpha }$也是有半单心的亚直既约代数的亚直和，故4)成立；

4) Þ 2)对a的非0商b，则有 $i⊲a$， $b\sim a/i$，由4)知 $i=\wedge \{i_{\alpha }⊲a|i\le i_{\alpha }$， $a/i_{\alpha }$是有R-半单心的亚直既约代数的亚直和}，从而 $b\sim a/i$是有R-半单心的亚直既约代数 $\left\{b_{\alpha }\sim a/i_{\alpha }|\alpha \in \Gamma \right\}$的亚直和，即2)成立。证毕。

定理3.10：设R为A中的一个遗传根类，则存在R的补根 ${\mathrm{R}}^{\prime }={\text{S}}_{\text{R}}=${a|a是强R-半单代数}。

证明：设a是 ${\mathrm{R}}^{\prime }$-根代数， $i⊲a$，则a是R-半单的，从而i也是R-半单的，所以i是有R-半单心的亚直既约代数的亚直和，即i也是 ${\mathrm{R}}^{\prime }$-根代数，故 ${\mathrm{R}}^{\prime }$是遗传根；

$\forall a\in A$，设 $d=\text{R(}a\text{)}\wedge {\mathrm{R}}^{\prime }\mathrm{(\; a\; )}$，则d是R-根代数也是R-半单代数，所以 $d=0$。

设T是一个根类，T-根代数a， $\forall i⊲a$，有 $0=\text{R(}a/i\text{)}\wedge \text{T(}a/i\text{)}$，则 $0=\text{R(}a/i\text{)}\wedge \text{T(}a/i\text{)}=\text{R(}a/i\text{)}\wedge \text{(}a/i\text{)}=\text{R(}a/i\text{)}$，即a的非0商 $a/i$是R-半单代数，所以a是强R-半单代数，因此a是 ${\mathrm{R}}^{\prime }$-根代数，即 $\text{T}\le {\mathrm{R}}^{\prime }$， ${\mathrm{R}}^{\prime }$是R的补根。证毕。

引理3.11：设S为A中的一个超幂0根类，则：

1) 强S-半单代数的理想是强S-半单代数；

2) 强S-半单代数是子幂等根代数。

证明：设S为A中的一个遗传超幂0根类， $a\in A$， $b⊲a$， $c⊲b$， $\bar{c}$是c在a中生成的理想，则 ${\bar{c}}^3\le c\le \bar{c}$。

1) 因为 $\bar{c}\text{/}{\bar{c}}^3\le a\text{/}{\bar{c}}^3$及 $a\text{/}{\bar{c}}^3$是S-半单代数，所以 ${\bar{c}}^3=\bar{c}$及 $c=\bar{c}$，从而 $c⊲a$， $b\text{/}c$是 $a\text{/}c$的S-半单理想，所以 $b\text{/}c$也是S-半单代数，从而b是强S-半单代数。

2) 因为 $b\text{/}{b}^2$是S-半单代数，所以 $b^2=b$。证毕。

引理3.12：设S为A中的超幂0根或者子幂等根， $a\in A$，则a的S-半单极小理想是强S-半单代数。

证明：设S为A中的超幂0根， $a\in A$，m是a的S-半单极小理想，则 $m^2=m$。设 $0\ne i⊲m$， $\bar{i}$是i在a中生成的理想，有 ${\bar{i}}^3\le i\le \bar{i}$，从而 $\bar{i}\ne 0$及，由m的极小性知 $i=\bar{i}=m$，因此m是单代数，故m是S-半单代数，所以m是强S-半单代数。

设S为A中的子幂等根， $a\in A$，m是a的S-半单极小理想。如果 $m^2=m$，与前面证明类似有m是单代数，由m的单性及S-半单性即得m是强S-半单代数。如果 $m^2=0$，则m的非0商都是0，因此得m也是强S-半单代数。证毕。

定理3.13：设S为A中的一个超幂0根类，则S的补根 ${\mathrm{S}}^{\prime }$及 ${\mathrm{S}}^{\prime }$的补根 ${\mathrm{S}}^{″}$都存在，且 ${\mathrm{S}}^{\prime }$与 ${\mathrm{S}}^{″}$形成一对对偶根。
${\mathrm{S}}^{\prime }={\mathrm{S}}^{‴}$， $\text{S}\le {\mathrm{S}}^{″}$及 ${\mathrm{S}}^{\prime }$都是子幂等根。更多地有， $\text{S}={\mathrm{S}}^{″}$当且仅当S为是由全部有S-半单心的亚直既约代数类确定的上根。从而当 $\text{S}={\mathrm{S}}^{″}$时S是特殊根。

证明：因为S是遗传根，由定理3.10及定理3.9有 ${\mathrm{S}}^{\prime }$存在并a是 ${\mathrm{S}}^{\prime }$根代数当且仅当a是强S-半单代数。由定理3.10， ${\mathrm{S}}^{\prime }$是遗传根。因为S是超幂0根，从而 ${\mathrm{S}}^{\prime }$是强S-半单代数，进而 ${\mathrm{S}}^{\prime }$是子幂等根。进一步有 ${\mathrm{S}}^{″}$存在并且 ${\mathrm{S}}^{″}$是由全部有 ${\mathrm{S}}^{\prime }$-根心的亚直既约代数类确定的上根，亦即由全部有S-半单心的亚直既约代数类确定的上根。故有 $\text{S}\le {\mathrm{S}}^{″}$，由于 ${\mathrm{S}}^{″}$是遗传根，故 ${\mathrm{S}}^{″}$也是超幂0根。设T是一个根类，如果 $\forall a\in A$，有 $\text{T(}a\text{)}\wedge {\mathrm{S}}^{″}\mathrm{(a)}=0$，则 $\text{T(}a\text{)}\wedge \text{S(}a\text{)}=0$。因为 $\text{T}\le {\mathrm{S}}^{\prime }$，故 ${\mathrm{S}}^{‴}\le {\mathrm{S}}^{\prime }$，因此 ${\mathrm{S}}^{‴}={\mathrm{S}}^{\prime }$。类似可证 ${\mathrm{S}}^{″}=\text{S}$。由于 ${\mathrm{S}}^{″}=\mathrm{(}{\mathrm{S}}^{\prime }\mathrm{)}\prime$且 ${\mathrm{S}}^{\prime }=\mathrm{(}{\mathrm{S}}^{″}{\mathrm{)}}^{\prime }$，因此 ${\mathrm{S}}^{\prime }$与 ${\mathrm{S}}^{″}$是一对对偶根。因为S是超幂0根， ${\mathrm{S}}^{″}$是特殊根，超幂0根故亚直既约代数的S-半单心是幂等的，因此当 $\text{S}={\mathrm{S}}^{″}$时，S是特殊根。证毕。

4. 点态化完备代数正规类中的诣零根

A是一个点态化完备代数正规类。

定义4.1： $\forall a\in A$：

1) $x\in S_a$，如果有正整数n，使得 ${\langle x\rangle }^n=0$，则称x是幂零元；

2) 如果 $\forall x\in S_a$，x都是幂零元，则称a是诣零代数；

3) $i⊲a(i\le a,i{⊲}_{r}a,i{⊲}_{l}a)$，如果i是诣零代数，则称i是a的一个诣零理想(诣零子代数、诣零右理想，诣零左理想)；

4) 如果对任意有限集 $\left\{x_1,x_2,\cdots ,x_k\right\}\subseteq S_a$生成的子代数 $\langle x_1,x_2,\cdots ,x_k\rangle$是幂零的，则称a是局部幂零代数；

5) $i⊲a(i\le a,i{⊲}_{r}a,i{⊲}_{l}a)$，如果i是局部幂零代数，则称i是a的一个局部幂零理想(局部幂零子代数、局部幂零右理想，局部幂零左理想)；

6) 如果对任意可数集 $A=\left\{x_n\in S_a|n=1,2,\cdots \right\}$生成的子代数 $\langle A\rangle$是幂零的，则称a是可数局部幂零代数；

7) $i⊲a(i\le a,i{⊲}_{r}a,i{⊲}_{l}a)$，如果i是可数局部幂零代数，则称i是a的一个可数局部幂零理想(可数局部幂零子代数、可数局部幂零右理想，可数局部幂零左理想)。

一个幂零代数是局部幂零代数、可数局部幂零代数，一个可数局部幂零代数是局部幂零代数，一个幂零代数、局部幂零代数、可数局部幂零代数都是诣零代数。

引理4.2： $\forall a\in A$， $0\ne p⊲a$。则：

1) p是半素理想当且仅当 $\forall x\in S_a$， $\langle x\rangle a\langle x\rangle \le p$可推出 $\langle x\rangle \le p$；

2) p是素理想当且仅当 $\forall x,y\in S_a$， $\langle x\rangle a\langle y\rangle \le p$可推出 $\langle x\rangle \le p$或 $\langle y\rangle \le p$。

证明：1) 设p是半素理想， $x\in S_a$， $\langle x\rangle a\langle x\rangle \le p$，则 ${(a\langle x\rangle a)}^2=(a\langle x\rangle a)(a\langle x\rangle a)\le (a\langle x\rangle aa\langle x\rangle a)\le (a\langle x\rangle a\langle x\rangle a)\le apa\le p$，据p是半素理想，故 $\langle x\rangle a\langle x\rangle \le p$及 ${\langle x\rangle }^3\le \langle x\rangle a\langle x\rangle \le p$，因此 ${(x)}^3\le a(x)a=a(\langle x\rangle \vee a(x)\vee a(x)\vee a(x)a)a\le a\langle x\rangle a\le p$，据p是半素理想，因此 $\langle x\rangle \le (x)\le p$。

反之，如果 $\langle x\rangle a\langle x\rangle \le p$可推出 $\langle x\rangle \le p$，如果 $i⊲a$， $i^2\le p$，则 $\forall x\in {\varphi }_a(i)$，有 $\langle x\rangle \le (x)\le i$，因此 $\langle x\rangle a\langle x\rangle \le (x)a(x)\le (x)a(x)\le {(x)}^2\le i^2\le p$，所以 $i=\vee \left\{\langle x\rangle |x\in {\varphi }_a(i)\right\}\le p$，即p是半素理想。

2) 设p是素理想， $x,y\in S_a$， $\langle x\rangle a\langle y\rangle \le p$，则 $(a\langle x\rangle a)(a\langle y\rangle a)\le a(\langle x\rangle a\langle y\rangle )a\le apa\le p$，据p是素理想，故 $a\langle x\rangle a\le p$或 $a\langle y\rangle a\le p$。由于p是素理想从而是p是半素理想，故如果 $a\langle x\rangle a\le p$则 $\langle x\rangle \le p$，如果 $a\langle y\rangle a\le p$则 $\langle y\rangle \le p$。

反之，如果 $\langle x\rangle a\langle y\rangle \le p$可推出 $\langle x\rangle \le p$或 $\langle y\rangle \le p$。如果 $i,j⊲a$， $ij\le p$，如果 $i\cancel{\le }p,j\cancel{\le }p$，则存在 $x,y\notin {\varphi }_a(p)$ $x\in {\varphi }_a(i)$， $y\in {\varphi }_a(j)$，所以 $\langle x\rangle \cancel{\le }p$或 $\langle y\rangle \cancel{\le }p$，因此 $\langle x\rangle a\langle y\rangle \cancel{\le }p$。但是 $\langle x\rangle a\langle y\rangle \le (x)a(y)\le (x)(y)\le ij\le p$，矛盾，所以 $i\le p$或 $j\le p$，即p是素理想。证毕。

引理4.3： $\forall a\in A$， $0\ne p⊲a$。则：

1) 诣零代数a (幂零代数、局部幂零代数、可数局部幂零代数)的商 $b=a/i$是诣零代数(幂零代数、局部幂零代数、可数局部幂零代数)；

2) $\forall i⊲a$，如果i及 $a/i$两者都是诣零代数(幂零代数、局部幂零代数、可数局部幂零代数)，则a是诣零代数(幂零代数、局部幂零代数、可数局部幂零代数)。

证明：下面只证明诣零情形，其他类似。

1) 如果a是幂零代数，显然商 $b=a/i$是幂零代数。

如果a是诣零代数， $\forall y\in S_{a/i}$，存在 $x\in S_a$使得 ${\phi }_i(x)=y$。因为a是诣零代数，所以存在n使得 ${\langle x\rangle }^n=0$，因此 $\langle y\rangle =\langle {\phi }_i(x)\rangle =(\langle x\rangle \vee i)/i$，故 ${\langle y\rangle }^n={((\langle x\rangle \vee i)/i)}^n=({\langle x\rangle }^n\vee i)/i=0$，即商 $b=a/i$是诣零代数。

如果a是可数局部幂零代数， $\forall B=\left\{y_n\in S_{a/i}|n=1,2,3,\cdots \right\}$，存在 $A=\left\{x_n\in S_a|n=1,2,3,\cdots \right\}$，使得 ${\phi }_i(x_n)=y_n,n=1,2,3,\cdots$。因为a是可数局部幂零代数，所以存在m使得 $A^m=0$，因此 $B^m={\langle \{{\phi }_i(x_n)|n=1,2,3,\cdots \}\rangle }^m={((\langle A\rangle \vee i)/i)}^m=({\langle A\rangle }^m\vee i)/i=0$，即商 $b=a/i$是可数局部幂零代数。

如果a是局部幂零代数，类似可证商 $b=a/i$是局部幂零代数。

2) 如果i及 $a/i$都是幂零代数，显然a是幂零代数。

如果i及 $a/i$都是诣零代数， $x\in S_a$，则存在正整数n使得 ${\langle {\phi }_i(x)\rangle }^n=0$，即 ${((\langle x\rangle \vee i)/i)}^n=({\langle x\rangle }^n\vee i)/i=0$，从而 ${\langle x\rangle }^n\le i$。因为存在 $z\in {\langle x\rangle }^n\le i$使得 ${\langle x\rangle }^{n+1}=\langle x\rangle \langle z\rangle =\langle z\rangle \langle x\rangle$，所以存在正整数m使得 ${\langle z\rangle }^m=0$，所以 ${\langle x\rangle }^{m(n+1)}={(\langle x\rangle \langle z\rangle )}^m={\langle x\rangle }^m{\langle z\rangle }^m=0$，即a是诣零代数。

如果i及 $a/i$都是可数局部幂零代数， $A=\left\{x_n\in S_a|n=1,2,3,\cdots \right\}\subseteq S_a$，则 $B={\phi }_i(a)=\left\{y_n={\phi }_i(x_n)|n=1,2,3,\cdots \right\}\subseteq S_{a/i}$是可数集，则存在正整数m使得 ${\langle B\rangle }^m={\langle {\phi }_i(A)\rangle }^m=0$，即 ${\langle A\rangle }^m\le i$，又存在 ${A^{\prime }}_s\subseteq {\langle A\rangle }^m\le i$使得 ${\langle A\rangle }^{m+1}=\langle A\rangle \langle {A^{\prime }}_s\rangle =\langle {A^{\prime }}_s\rangle \langle A\rangle$，所以存在正整数n使得 ${\langle {A^{\prime }}_s\rangle }^n=0$，所以 ${\langle A\rangle }^{n(m+1)}={\langle {A^{\prime }}_s\rangle }^n{\langle A\rangle }^n=0$，即a是可数局部幂零代数。

如果i及 $a/i$是局部幂零代数，类似可证a是局部幂零代数。证毕。

引理4.4： $\forall a\in A$， $i_1,i_2⊲a$， $i_1,i_2$诣零理想(幂零理想、局部幂零理想、可数局部幂零理想)，则 $i_1\vee i_2$也是诣零理想(幂零理想、局部幂零理想、可数局部幂零理想)。

证明：因为 $i_1$是诣零理想，因此 $(i_1\vee i_2)/i_1\sim i_1/(i_1\wedge i_2)$是诣零理想诣零理想(幂零理想、局部幂零理想、可数局部幂零理想)，又 $i_1$是诣零理想诣零理想(幂零理想、局部幂零理想、可数局部幂零理想)，所以由引理4.3有 $i_1\vee i_2$是诣零理想(幂零理想、局部幂零理想、可数局部幂零理想)。证毕。

引理4.5： $\forall a\in A$，则：

1) $U(a)=\vee \left\{i\right|i$是诣零理想}，则 $U(a)$是诣零理想；

2) $L(a)=\vee \left\{i\right|i$是局部幂零理想}，则 $L(a)$是局部幂零理想；

3) $L_C(a)=\vee \left\{i\right|i$是可数局部幂零理想}，则 $L_C(a)$是局部幂零理想；

4) $N(a)=\vee \left\{i\right|i$是幂零理想}，则 $N(a)$是诣零理想，且 $N(a)$包含a的所有幂零右理想及所有幂零左理想。

证明：1) 设 $x\in S_{U(a)}$，则存在正整数k及a的诣零理想是 $i_1,i_2,\cdots ,i_k$，使得 $x\in {\varphi }_a(i_1\vee i_2\vee \cdots \vee i_k)$。因为由引理4.4有 $i_1\vee i_2\vee \cdots \vee i_k$是a的诣零理想，所以存在正整数n，使得 ${\langle x\rangle }^n=0$，因此 $U(a)$是a的诣零理想；

2) 设 $x_1,x_2,\cdots ,x_l\in S_{L(a)}$，则存在正整数k及a的诣零理想是 $i_1,i_2,\cdots ,i_k$，使得 $x_1,x_2,\cdots ,x_l\in {\varphi }_a(i{}_1\vee i_2\vee \cdots \vee i_k)$。因为由引理4.4有 $i_1\vee i_2\vee \cdots \vee i_k$是a的局部幂零理想，所以存在正整数n，使得 ${\langle x_1,x_2,\cdots ,x_l\rangle }^n=0$，所以 $L(a)$是a的局部幂零理想；

3) 设 $x_1,x_2,\cdots ,x_l\in S_{L_C(a)}$，则存在正整数k及a的可数局部幂零理想是 $i_1,i_2,\cdots ,i_k$，使得 $x_1,x_2,\cdots ,x_l\in {\varphi }_a(i{}_1\vee i_2\vee \cdots \vee i_k)$。因为由引理4.4有 $i_1\vee i_2\vee \cdots \vee i_k$是a的局部幂零理想，所以存在正整数n，使得 ${\langle x_1,x_2,\cdots ,x_l\rangle }^n=0$，所以 $L_C(a)$是局部幂零理想；

4) $N(a)=\vee \left\{i\right|i$是幂零理想}，设 $x\in S_{N(a)}$，则由幂零理想是诣零理想及1)的证明知存在正整数n，使得 ${\langle x\rangle }^n=0$，故 $N(a)$是诣零理想。对a的每个幂零右理想i，且 $i^k=0$，则 $\bar{i}=i\vee ai⊲a$，因为 ${\bar{i}}^k={(i\vee ai)}^k\le i^k\vee a{i}^k=0$是a的幂零理想，因此 $i\le \bar{i}\le N(a)$，从而 $N(a)$包含a的所有幂零右理想。同理有 $N(a)$包含a的所有幂零左理想。证毕。

注1：通常 $N(a)$不是幂零理想， $L_C(a)$不是可数局部幂零理想。

$\forall a\in A$：

$\text{K}(a)=\vee \left\{i\right|i$是诣零理想}， ${\text{L}}_C(a)=\vee \left\{i\right|i$是局部幂零理想}。

对每个序数 $\alpha$，理想 $N(\alpha )$定义为：

1) $N(0)=0$；

假设 $\forall \alpha <\beta$， $N(\alpha )$已经定义，则：

2) 如果 $\beta =\alpha +1$，则 $N(\beta )/N(\alpha )=\vee \left\{i\right|i$是 $a/N(\alpha )$的幂零理想}；

3) 如果 $\beta$是极限序数， $N(\beta )=\vee \left\{N(\alpha )|\alpha <\beta \right\}$。

因为 $S_a$是一个集合，故 $\forall a\in A$，存在一个序数 $\gamma$使得 $N(\gamma )=N(\gamma +1)$，则理想 $N(\gamma )$记为 $\text{N}(a)$。

类似对每个序数 $\alpha$，理想 $L_C(\alpha )$定义为：

1) $L_C(0)=0$；

假设 $\forall \alpha <\beta$， $L_C(\alpha )$已经定义，则：

2) 如果 $\beta =\alpha +1$，则 $L_C(\beta )/L_C(\alpha )=\vee \left\{i\right|i$是 $a/L_C(\alpha )$的幂零理想}；

3) 如果 $\beta$是极限序数， $L_C(\beta )=\vee \left\{L_C(\alpha )|\alpha <\beta \right\}$。

因为 $S_a$是一个集合，故 $\forall a\in A$，存在一个序数 $\gamma$使得 $L_C(\gamma )=L_C(\gamma +1)$，则理想 $L_C(\gamma )$记为 ${\text{L}}_C(a)$。

设A是一个点态化完备代数正规类， $\text{N},\text{L},\text{K}$及 ${\text{L}}_C$是A的4个子类：

1) $\text{N}=\left\{a\in A|\text{N}(a)=a\right\}$；

2) $\text{L}=\left\{a\in A|\text{L}(a)=a\right\}$；

3) $\text{K}=\left\{a\in A|\text{K}(a)=a\right\}$；

4) ${\text{L}}_C=\left\{a\in A|{\text{L}}_C(a)=a(a)=a\right\}$。则：

定理4.6： $\forall a\in A$：

1) 存在 $\text{N}(a)⊲a$，且 $\text{N}(a/\text{N}(a))=0$；

2) 存在 $\text{L}(a)⊲a$，且 $\text{L}(a/\text{L}(a))=0$；

3) 存在 $\text{K}(a)⊲a$，且 $\text{K}(a/\text{K}(a))=0$；

4) 存在 ${\text{L}}_C(a)⊲a$，且。

因此， $\text{N},\text{L},\text{K}$及 ${\text{L}}_C$都是根类，且 $\text{N}\le {\text{L}}_C\le \text{L}<\text{K}$。

证明：首先存在a的理想 $\text{N}(a)$， $\text{L}(a)$， $\text{K}(a)$，及 ${\text{L}}_C(a)$。

1) 因为 $\text{N}(a)=N(\gamma )=N(\gamma +1)$。如果 $\text{N}(a/\text{N}(a))\ne 0$，则 $\text{N}(a/\text{N}(a))=k/\text{N}(a)$且 $k⊲a$， $\text{N}(a)\le k$， $\text{N}(a)\ne k$，从而 $N(\gamma +1)=k$，矛盾。所以 $\text{N}(a/\text{N}(a))=0$；

2) 如果 $\text{L}(a/\text{L}(a))\ne 0$，则 $\text{L}(a/\text{L}(a))=k/\text{L}(a)$且 $k⊲a$， $\text{L}(a)\le k$， $\text{L}(a)\ne k$，则由于 $k/\text{L}(a)$， $\text{L}(a)$都是局部幂零的，从而k局部幂零，与 $\text{L}(a)\ne k$矛盾。所以 $\text{L}(a/\text{L}(a))=0$；

3) 与2)类似可证；

4) 与1)类似可证。证毕。

定义4.7：根类 $\text{N},\text{L},\text{K}$及 ${\text{L}}_C$分别称Bear根、Levitzki根、Koethe根和可数Levitzki根。

注2：根类N即是Bear根B [16] 。

定义4.8： $\forall a\in A$。

1) $x_0,x_1,x_2,\cdots$是 $S_a$中的序列，如果存在是 $S_a$中的序列 $y_0,y_1,y_2,\cdots$，使得 $x_{k+1}\in {\varphi }_a(\langle x_k\rangle \langle y_k\rangle \langle x_k\rangle )$且 $\langle x_{k+1}\rangle \le \langle x_k\rangle \langle y_k\rangle \langle x_k\rangle$( $k=0,1,2,\cdots$)，则称 $x_0,x_1,x_2,\cdots$为一个m-序列；

2) $x_0,x_1,x_2,\cdots$为一个m-序列，如果存在一个k，使得 $\langle x_k\rangle =0$，则称m-序列 $x_0,x_1,x_2,\cdots$消失；

3) $x\in S_a$，如果所有以x开始的m-序列都消失，则称x是强幂0元；

4) $M\subseteq S_a$，如果 $\forall x,y\in M$，都存在 $z\in M$，使得 $\langle x\rangle \langle z\rangle \langle y\rangle \subseteq M$，则称M是一个m-系统。

引理4.9： $\forall a\in A$， $d,e⊲a$， $x_0,x_1,x_2,\cdots$为一个m-序列。如果 $x_i\in {\varphi }_a(d)$， $x_j\in {\varphi }_a(e)$，则存在 $x_k\in {\varphi }_a(de)$且 $\langle x_k\rangle \le de$( $i,j,k$是整数)。

证明： $\begin{array}{c}\langle x_k\rangle \le \langle x_j\rangle \langle y_j\rangle \langle x_j\rangle \le \langle x_{j-1}\rangle \langle y_{j-1}\rangle \langle x_{j-1}\rangle \langle y_j\rangle \langle x_j\rangle \\ \le \langle x_i\rangle \langle y_i\rangle \langle x_i\rangle \cdots \langle y_{j-1}\rangle \langle x_{j-1}\rangle \langle y_j\rangle \langle x_j\rangle \\ \le \langle x_i\rangle a\langle x_j\rangle \le \langle x_i\rangle \langle x_j\rangle \le de\end{array}$。证毕。

引理4.10： $\forall a\in A$， $b⊲a$， $a/b$不含非幂0理想， $c⊲a$， $b\le c$， $b\ne c$， $a/b$不含非0理想。则存在a的素理想p，使得 $b\le p$各 $c\cancel{\le }p$。

证明：因为 $b\le c$， $b\ne c$，因此 ${\varphi }_a(c)\cancel{\subseteq }{\varphi }_a(b)$。选取 $x_0\in {\varphi }_a(c)$使得 $x_0\notin {\varphi }_a(b)$，则由 $a/b$不含非幂零理想，对 $\forall k$有 ${(x_0)}^k\cancel{\le }b$。因为 ${(x_0)}^3\le a\langle x_0\rangle a$，故 $\forall k$有 ${(a\langle x_0\rangle a)}^k\cancel{\le }b$，所以 $\langle x_0\rangle a\langle x_0\rangle \cancel{\le }b$，因此存在 $y_0\in S_a$使得存在 $x_1\in {\varphi }_a(\langle x_0\rangle \langle y_0\rangle \langle x_0\rangle )$且 $x_1\notin {\varphi }_a(b)$及 $x_1\in {\varphi }_a(\langle x_0\rangle \langle y_0\rangle \langle x_0\rangle )\subseteq {\varphi }_a(\langle x_0\rangle a\langle x_0\rangle )\subseteq {\varphi }_a(cac)\subseteq {\varphi }_a(c)$。用 $x_1$代替 $x_0$重复以上过程可得 $x_2\in {\varphi }_a(\langle x_1\rangle \langle y_1\rangle \langle x_1\rangle )$且 $x_2\notin {\varphi }_a(b)$及 $x_2\in {\varphi }_a(c)$，进而可得 ${\varphi }_a(c)$在m-序列 $\text{X}=\left\{x_0,x_1,x_2,\cdots \right\}$且 $\forall k$， $x_k\notin {\varphi }_a(b)$。由Zorn引理存在满足条件 $b\le p$， $\text{X}\subseteq {\varphi }_a(c)$及 $\text{X}\cap {\varphi }_a(p)=Ø$的极大理想p，下面仅证明p是a的素理想。设 $d,e⊲a$， $d\cancel{\le }p$， $e\cancel{\le }p$，则 ${\varphi }_a(d\vee p)\cap \text{X}$， ${\varphi }_a(e\vee p)\cap \text{X}$都非空，所以存在 $x_i\in {\varphi }_a(d\vee p)$， $x_j\in {\varphi }_a(e\vee p)$，进而由引理4.9存在正整数n，使得 $\langle x_n\rangle \le (d\vee p)(e\vee p)=de\vee p$，故 $de\vee p\cancel{\le }p$，所以p是a的素理想。证毕。

定理4.11： $\forall a\in A$，B是Bear根，则有：

1) $\text{B}(a)=\wedge \{p⊲a|p$是素理想} [16] ；

2) $\text{B}(a)=\vee \{\langle x\rangle |x\in S_a$，每个以x开始的m-序列都消失} $=\vee \{\langle x\rangle |x\in S_a$，x是强幂0元}；

3) $\text{B}(a)=\vee \{\langle x\rangle |x\in S_a$，每个含x的m-序列都包含0}。

证明：2)与3)等价，下面只证2)。

设 $x\in S_a$， $x\notin {\varphi }_a(\text{B}(a))$，则 $\forall k$，有 ${(x)}^k\cancel{\le }\text{B}(a)$。因为 ${(x)}^3\le a(x)a$，因此 $\forall k$， ${(a(x)a)}^k\cancel{\le }\text{B}(a)$，因此 ${(a(x)a)}^3\cancel{\le }\text{B}(a)$，从而 $a(x)a\cancel{\le }\text{B}(a)$。从而存在 $x_1,y_1\in S_a$满足 $\langle x_1\rangle \langle y_1\rangle \langle x_1\rangle \cancel{\le }\text{B}(a)$，故存在 $x_2\in {\varphi }_a(\langle x_1\rangle \langle y_1\rangle \langle x_1\rangle )$满足， $\langle x_2\rangle \cancel{\le }\text{B}(a)$，即 $x_2\notin {\varphi }_a(\text{B}(a))$。类似，可得 $x_i,y_i\in S_a$， $x_i\in {\varphi }_a(\langle x_{i-1}\rangle \langle y_{i-1}\rangle \langle x_{i-1}\rangle )$且 $x_i\notin {\varphi }_a(\text{B}(a))$，即 $x=x_0,x_1,x_2,\cdots$为一个不消失的m-序列。

设 $x\in S_a$， $x\in {\varphi }_a(\text{B}(a))$， $x_1,x_2,x_3,\cdots$为一个m-序列，则 $\forall i$， $x_i\in {\varphi }_a(\text{B}(a))$。设 ${\alpha }_i$是使得 $x_i\in \text{N}({\alpha }_i)$的一个极小序数，则 ${\alpha }_i$不是极限序数。设 ${\alpha }_k$是所有 ${\alpha }_i$的极小序数。如果 ${\alpha }_k\ne 0$则 ${\alpha }_k=\beta +1$，从而对某个指数 $2^k$有 ${(x_k)}^{2^k}\cancel{\le }\text{N}(\beta )$。因为 $\langle x_{k+1}\rangle \le \langle x_k\rangle \langle y_k\rangle \langle x_k\rangle \le {\langle x_k\rangle }^2$及 $\langle x_{k+2}\rangle \le \langle x_{k+1}\rangle \langle y_{k+1}\rangle \langle x_{k+1}\rangle \le {\langle x_k\rangle }^4$，因此有 $\langle x_{k+l}\rangle \le {\langle x_k\rangle }^{2k}\le \text{N}(\beta )$。这与 ${\alpha }_k$的极小性矛盾，所以 ${\alpha }_k=0$，所以 $\langle x_k\rangle =0$。

综上， $\text{B}(a)=\vee \{\langle x\rangle |x\in S_a$，每个以x开始的m-序列都消失}。证毕。

5. 小结

本文在点态化的完备代数正规类中，进一步研究根的遗传幂等根、补根、对偶根、子幂等根、诣零代数、幂零代数、局部幂零代数、可数局部幂零代数的结构性质。

基金项目

国家自然科学基金(11261067)。

参考文献

[1]	Száse, F.A. (1981) Radicals of Rings. John Wiley & Sons, New York.
[2]	Ferrero, M. and Wisbauer, R. (2003) Unitary Stong-lyprimerings and Related Radicals. Journal of Pure and Applied Algebra, 181, 209-226. https://doi.org/10.1016/S0022-4049(02)00311-0
[3]	Beidar, K.I., Fong, Y. and Ke, W.-F. (1998) On Complemented Radicals. Journal of Algebra, 201, 328-356. https://doi.org/10.1006/jabr.1997.7254
[4]	Tumurbat, S. and Zand, H. (2001) Hereditariness, Strongness and Relationship between Brown-McCoy and Behrens Radicals. Contributions to Algebra and Geometry, 42, 275-280.
[5]	Krause, H. (1998) On the Nilpotecy of the Jacobson Radical for Noetherian Rings. Archiv der Mathematik, 70, 430-437. https://doi.org/10.1007/s000130050216
[6]	Singh, S. (1997) Artinian Right Serial Rings. Proceedings of the American Mathematical Society, 125, 2239-2240. https://doi.org/10.1090/S0002-9939-97-03820-3
[7]	Smith, P.F. (2004) Radical Submodules and Uniform Dimension of Modules. Turkish Journal of Mathematics, 28, 255-270.
[8]	Gűngűrogğlu, G. (2000) Strongly Prime Ideals in CS-Rings. Turkish Journal of Mathematics, 24, 233-238.
[9]	Kelarev, A.V. and Okniński, J. (1996) The Jacobson Radical of Graded PI-Rings and Related Classes of Rings. Journal of Algebra, 186, 818-830. https://doi.org/10.1006/jabr.1996.0397
[10]	蔡传仁. 对偶根和F A SZASZ的问题21[J]. 数学学报: 中文版, 1989, 32(3): 394-400.
[11]	蔡传仁. 半遗传根的一个特征性质[J]. 数学研究与评论, 1991, 11(1): 9-12.
[12]	Puczylowski, E.R. (1993) On General Theory of Radicals. Algebra Universalis, 39, 53-60. https://doi.org/10.1007/BF01196549
[13]	Wang, Y. and Zhang, A.H. (2002) Radicals and Semisimple Classes of the Class of Algebras. Journal of Anshan Normal University, 4, 5-10.
[14]	任艳丽, 王尧. 代数正规类中的遗传根与强半单根[J]. 数学研究与评论, 2004, 24(4): 597-602.
[15]	Yang, Z.W. (2006) The Upper Radical Classes of the Class of Algebras. Journal of Yunnan University (Natural Sciences Edition), 28, 8-11.
[16]	Yang, Z.W. and Pan, J.M. (2008) The Supernilpotent Radical, Special Radical and Bear Radical in Normal Classes of Product Algebras. Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 32, 181-192.
[17]	Yang, Z.W. and Yang, Z.Y. (2011) The Semihereditary and Semisupernilpotent Radicals in Normal Classes of Product Algebras. Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 35, 891-902.
[18]	杨宗文, 杨柱元. 完备代数正规类的根与右理想[J]. 昆明理工大学学报(理工版), 2006, 31(3): 112-116, 120.
[19]	杨宗文, 杨柱元. 子环的和与积[J]. 云南大学学报(自然科学版), 2007, 29(4): 335-338.
[20]	杨宗文, 杨柱元, 李友宝. 大半环子半环的和与积[J]. 昆明理工大学学报(理工版), 2007, 32(6): 113-118.
[21]	杨宗文, 杨柱元, 李友宝. 可积代数正规类中半素代数类及半素一致代数类确定的上根[J]. 数学理论与应用,2008, 28(4): 71-75.
[22]	Yang, Z.W., Yang, Z.Y. and Li, Y.B. (2010) The General Radicals Theory of the Big Semirings. Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 34, 1149-1167.
[23]	Yang, Z.W. and Pan, J.M. (2010) The Radicals and Likemodules in Normal Classes of Complete Alagebras. Southeast Asian Bulletin of Mathematics, 34, 377-386.
[24]	杨宗文, 何青海. 点态化完备代数正规类中的亚直既约代数类 [J]. 理论数学, 2018, 8(5): 546-554.