一致模糊偏序集及其应用

doi:10.12677/PM.2018.86091

期刊菜单

一致模糊偏序集及其应用
Uniformly Fuzzy Posets and Its Applications

DOI: 10.12677/PM.2018.86091, PDF, HTML, XML, 下载: 1,268 浏览: 1,680
作者: 李辉, 陈璐：淮北师范大学数学科学学院，安徽淮北
关键词: 一致模糊集；一致模糊完备集；一致模糊连续集；Uniformly Fuzzy Posets； Uniformly Fuzzy Complete Posets； Uniformly Fuzzy Continuous Posets

摘要: 本文在模糊定向集上引入一致模糊集的概念，讨论一致模糊集的基本性质。其次在一致模糊集的基础上引入一致模糊完备集，最后通过给出一种新的模糊way-below关系引入一致模糊连续集的概念，给出其若干性质。

Abstract: In this paper, the concept of uniform fuzzy posets is introduced on the fuzzy directed posets, and the basic properties of the uniformly fuzzy posets are discussed. Secondly, the uniformly fuzzy complete posets are introduced on the basis of uniformly fuzzy posets. Finally, by introducing a new fuzzy way-below relation, the concept of uniformly fuzzy continuous posets is introduced and some properties are given.

文章引用：李辉, 陈璐. 一致模糊偏序集及其应用[J]. 理论数学, 2018, 8(6): 676-680. https://doi.org/10.12677/PM.2018.86091

1. 引言

1965年Zadeh, L.A.提出模糊集 [1] 的概念，它的提出标志着模糊数学的诞生。模糊数学是传统数学的一个推广。文献 [2] 讨论了模糊偏序集上的若干性质，得到了若干好的等价刻画。文献 [3] 提出模糊DCPO的概念，给出了若干好的性质，然后在模糊DCPO的基础上引入模糊Domain的概念，进而得到了模糊Domain上的若干重要结果。文献 [4] 给出了模糊半连续格的概念，并讨论了其上的一些范畴性质。文献 [5] 在模糊Dcpo的基础上讨论了模糊Domain上的Ω范畴性质。文献 [6] 引入完备模糊格的概念，给出模糊完备格上若干好的性质。本文在以上文献基础上引入一致模糊集和一致模糊完备集的概念，讨论其上的若干性质。其次在一致模糊完备的基础上利用新的模糊way-below关系给出一致模糊Domain的概念，探讨其若干性质。一致模糊集是模糊定向集的一个推广。

2. 预备

本节给出本文所需的基本概念和符号。

定义2.1 [2] ：设X是非空偏序集， $e : X \times X \to L$ 为映射，称e是X上的一个模糊偏序关系，若e满足：

i) 自反性： $\forall x \in X$ ， $e (x, x) = 1$ ；

ii) 传递性： $\forall x, y, z \in X$ ， $e (x, y) \land e (y, z) \leq e (x, z)$ ；

iii) 反对称性： $\forall x, y \in X$ ， $e (x, y) = e (y, x) = 1 \Rightarrow x = y$ ；

称偶对 $(X, e)$ 为模糊偏序集，简称模糊集。

例2.1 [2] ：设X为非空集合，定义 $s u b_{X} : L^{X} \times L^{X} \to L$ 为 $\forall A, B \in L^{X}$ ，

$s u b_{X} (A, B) = \underset{x \in X}{\land} A (x) \to B (x)$

定义1.2 [3] ：设 $(X, e)$ 是模糊偏序集， $x_{0} \in X$ ， $A \in L^{X}$ ，如果：

1) $\forall x \in X$ ， $A (x) \leq e (x, x_{0})$ ；(相应的， $\forall x \in X$ ， $A (x) \leq e (x_{0}, x)$ )

2) $\forall y \in X$ ， $\underset{x \in X}{\land} (A (x) \to e (x, y)) \leq e (x_{0}, y)$

(相应的， $\forall y \in X$ ， $\underset{x \in X}{\land} (A (x) \to e (y, x)) \leq e (y, x_{0})$ )，则称 $x_{0}$ 为A的上确界(相应的，下确界)，记作 $x_{0} = ∐ A$ (相应的， $x_{0} = \prod A$ )。

定义2.3 [3] ：设 $(X, e)$ 是模糊偏序集， $A \in L^{X}$ ，若 $\forall x, y \in X$ ， $e (x, y) \land_{L} A (x) \leq A (y)$ ( $e (x, y) \land_{L} A (y) \leq A (x)$ )，则称A为模糊上集(模糊下集)。

定义2.4 [3] ：设 $(X, e)$ 是模糊偏序集， $\forall A \in L^{X}$ ，定义 $↓ A \in L^{X}$ 为：

$\forall y \in X$ ， $↓ A (x) = \underset{y \in X}{\lor} A (y) \land e (x, y)$ ( $↑ A (x) = \underset{y \in X}{\lor} A (y) \land e (y, x)$ ).

对于 $A \subseteq X$ ， $χ_{A} \in L^{X}$ (称为A的特征函数)定义为 $χ_{A} (x) = 1$ ，若 $x \in A$ ；否则为0.0，1分别为L的最小元和最大元。

定义2.5 [3] ：设 $(X, e)$ 是模糊偏序集， $\forall D \in L^{X}$ ，如果D满足：

1) $\underset{x \in X}{\lor} D (x) = 1$ ；2) $\forall x, y \in X$ ， $D (x) \land D (y) \leq \underset{z \in X}{\lor} D (z) \land e (x, z) \land e (y, z)$ ，

则称D为模糊定向集。如果模糊定向集 $D \in L^{X}$ 还是一个下集，则称D为模糊理想。 $(X, e)$ 上的全体模糊定向子集记为 $D (X)$ 。

定义2.6 [3] ：设 $(X, e)$ 是模糊偏序集，如果 $\forall A \in D (X)$ ， $∐ A$ 存在，则称 $(X, e)$ 是模糊Dcpo。

定义2.7 [7] ：设 $(X, e_{X})$ 、 $(X, e_{Y})$ 是模糊偏序集， $f : X \to Y, g : Y \to X$ 是两个保模糊序的映射。如果 $\forall x \in X, y \in Y, e_{Y} (f (x), y) = e_{X} (x, g (y))$ ，则称 $(f, g)$ 为X和Y之间的一个模糊Galois伴随。f称为g的左伴随，g称为f的右伴随。

3. 主要结果

在本节中引入一致模糊偏序集和一致模糊连续偏序集的概念。

定义3.1：设 $(X, e)$ 为模糊偏序集， $A \in L^{X}$ 为模糊子集，若 $\forall D \subseteq A$ ， $\forall x, y \in X$ 满足：

1) $\underset{x \in X}{\lor} A (x) = 1$ ；

2) $D (x) \land D (y) \leq \underset{z \in X}{\lor} A (z) \land e (x, z) \land e (y, z)$ 。

则称A为一致模糊偏序集。 $(X, e)$ 上的一致模糊偏序集的全体记为 $U F (X)$ ，若A还是一个模糊下集，则称A为一致模糊理想，全体一致模糊理想记为 $U F I (X)$ 。

注3.1：在定义2.1中若令 $D = A$ ，则此时A为模糊定向集。即模糊定向集为一致模糊集。

定义3.2：设 $(X, e)$ 为模糊偏序集，若 $\forall A \in U F (X)$ ， $∐ A$ 存在，则称 $(X, e)$ 为一致模糊完备偏序集。记为UFCPO。

注3.2：设 $(X, e)$ 是UFCPO， $A \in U F (X)$ ， $D \subseteq A$ 为模糊子集，则 $∐ D \leq ∐ A$ ，等号成立当且仅当 $D = A$ 。

定义3.3：设 $(X, e)$ 为UFCPO，定义其上的一致模糊way-below关系为， $\forall x, y \in X$ ，

$⇓_{U F} x (y) = \underset{I \in U F I (X)}{\land} (e (x, ∐ I) \to I (y))$ .

称 $⇓_{U F} : X \times X \to L$ 为 $(X, e)$ 上的一致模糊way-below关系，且 $⇓_{U F} x (y) = ⇓_{U F} (y, x)$ 。如果 $\forall x \in X$ ， $⇓_{U F} x \in U F (X)$ 且 $x = ⇓_{U F} ∐ x$ ，则称 $(X, e)$ 为一致模糊连续偏序集或一致模糊Domain。

定理3.1：设 $(X, e)$ 为UFCPO， $\forall x \in X, A \in U F (X)$ ，若 $x = ∐ A$ ，则 $⇓_{U F} x \leq ↓ A$ 。

证明：设 $(X, e)$ 为UFCPO，故 $\forall A \in U F (X)$ ， $∐ A$ 存在，且 $↓ A$ 为一致模糊理想，故 $x = ∐ A = ∐ ↓ A$ 。因此 $\forall y \in X$ ，有

$⇓_{U F} x (y) \leq e (x, ∐ A) \to ↓ A (y) = 1 \to ↓ A (y) = ↓ A (y)$ .

命题3.1：设 $(X, e)$ 为UFCPO， $\forall x, y \in X$ ， $\forall I \in U F I (X)$ ，则以下条件成立：

1) $\underset{y \in X}{\land} e (x, y) \leq I (x)$ ；

2) $\underset{z \in X}{\land} e (x, y) \leq ⇓_{U F} y (x)$ ；

3) $⇓_{U F} x \leq ↓ x$ ；

4) 对任意的 $u, v \in X, e (u, x) \land ⇓_{U F} y (x) \land e (y, v) \leq ⇓_{U F} v (u)$ 。

证明：

1) $\underset{y \in X}{\land} e (x, y) = (\underset{y \in X}{\land} e (x, y)) \land (\underset{z \in X}{\lor} I (z)) = \underset{z \in X}{\lor} (\underset{y \in X}{\land} e (x, y) \land I (z)) \leq \underset{z \in X}{\lor} (e (x, z) \land I (z)) \leq I (x)$ 。

2) $⇓_{U F} y (x) = \underset{I \in U F I (X)}{\land} e (y, ∐ I) \to I (x) \geq \underset{I \in U F I (X)}{\land} I (x) \geq \underset{z \in X}{\land} e (x, z)$ 。

3) $⇓_{U F} x (y) \leq e (x, ∐ ↓ x) \to ↓ x (y) = e (x, x) \to e (y, x) = e (y, x) = ↓ x (y)$ 。

4) $\begin{array}{l} e (v, ∐ I) \land e (u, x) \land e (y, u) \land (e (y, ∐ I) \to I (x)) \leq e (y, ∐ I) \land (e (y, ∐ I) \to I (x)) \land e (u, x) \\ \leq e (u, x) \land I (x) \leq I (u) \end{array}$ 。

且 $e (u, x) \land e (y, u) \land (e (y, ∐ I) \to I (x)) \leq e (v, ∐ I) \to I (u)$ 。

进而 $\begin{array}{l} e (u, x) \land ⇓_{U F} y (x) \land e (y, v) \\ = e (u, x) \land e (y, u) \land (\underset{I \in U F I (X)}{\land} e (y, ∐ I) \to I (x)) \\ \leq \underset{I \in U F I (X)}{\land} e (u, x) \land e (y, u) \land (e (y, ∐ I) \to I (x)) \\ \leq \underset{I \in U F I (X)}{\land} e (v, ∐ I) \to I (u) = ⇓_{U F} v (u) \end{array}$ 。

定理3.2：设 $(X, e)$ 为一致模糊Domain，则 $\forall x, y \in X$ ， $⇓_{U F} y (x) = \underset{z \in X}{\lor} ⇓_{U F} z (x) \land ⇓_{U F} y (z)$ 。

证明：由命题3.1可知 $\underset{z \in X}{\lor} ⇓_{U F} z (x) \land ⇓_{U F} y (z) \leq ⇓_{U F} y (x)$ 。下证

$⇓_{U F} y (x) \leq \underset{z \in X}{\lor} ⇓_{U F} z (x) \land ⇓_{U F} y (z)$ .

$\forall a \in X$ ，令 $A (a) = \underset{z \in X}{\lor} ⇓_{U F} z (x) \land ⇓_{U F} y (z)$ 。故只需证 $⇓_{U F} y (a) \leq A (x)$ 。

首先证A是一致模糊理想。

1) $\begin{matrix} \underset{a \in X}{\lor} A (a) = \underset{a \in X}{\lor} \underset{z \in X}{\lor} ⇓_{U F} z (a) \land ⇓_{U F} y (z) = \underset{z \in X}{\lor} \underset{a \in X}{\lor} ⇓_{U F} z (a) \land ⇓_{U F} y (z) \\ = \underset{z \in X}{\lor} (⇓_{U F} y (z) \land (\underset{a \in X}{\lor} ⇓_{U F} z (a))) = \underset{z \in X}{\lor} ⇓_{U F} y (z) = 1 \end{matrix}$

2) $\forall a, b \in X$ ，

$A (a) \land e (b, a) = \underset{z \in X}{\lor} ⇓_{U F} z (a) \land ⇓_{U F} y (z) \land e (b, a) \leq \underset{z \in X}{\lor} ⇓_{U F} z (b) \land ⇓_{U F} y (z) = A (b)$ .

因此A是模糊下集。

3) $\forall a, b \in X$ ， $\forall D \subseteq A$ ，由命题3.1 (4)，

$\begin{array}{l} D (a) \land D (b) \\ = \underset{a_{1}, b_{1} \in X}{\lor} ⇓_{U F} a_{1} (a) \land ⇓_{U F} b_{1} (b) \land ⇓_{U F} y (a_{1}) \land ⇓_{U F} y (b_{1}) \\ \leq \underset{a_{1}, b_{1} \in X}{\lor} \underset{c \in X}{\lor} ⇓_{U F} a_{1} (a) \land ⇓_{U F} b_{1} (b) \land ⇓_{U F} y (c) \land e (a, c) \land e (b, c) \\ = \underset{a_{1}, b_{1} \in X}{\lor} \underset{c \in X}{\lor} (⇓_{U F} a_{1} (a) \land e (a, c)) \land (⇓_{U F} b_{1} (b) \land e (b, c)) \land ⇓_{U F} y (c) \\ \leq \underset{a_{1}, b_{1} \in X}{\lor} \underset{c \in X}{\lor} ⇓_{U F} c (a) \land ⇓_{U F} c (b) \land ⇓_{U F} y (c) \end{array}$

$\begin{array}{l} = \underset{c \in X}{\lor} ⇓_{U F} c (a) \land ⇓_{U F} c (b) \land ⇓_{U F} y (c) \\ \leq \underset{c \in X}{\lor} \underset{d \in X}{\lor} ⇓_{U F} c (d) \land e (a, d) \land e (b, d) \land ⇓_{U F} y (c) \\ = \underset{d \in X}{\lor} (e (a, d) \land e (b, d) \land (\underset{c \in X}{\lor} ⇓_{U F} c (d) \land ⇓_{U F} y (c))) \\ = \underset{d \in X}{\lor} e (a, d) \land e (b, d) \land A (d) \end{array}$

其次， $y = ∐ A$ 。事实上， $\forall a \in X$ ，

$\begin{array}{l} \underset{z \in X}{\land} A (z) \to e (z, a) = \underset{z \in X}{\land} \underset{a_{1} \in X}{\land} (⇓_{U F} a_{1} (z) \land ⇓_{U F} y (a_{1}) \to e (z, a)) \\ = \underset{a_{1} \in X}{\land} (⇓_{U F} y (a_{1}) \to \underset{z \in X}{\land} (⇓_{U F} a_{1} (z) \to e (z, a))) \\ = \underset{a_{1} \in X}{\land} ⇓_{U F} y (a_{1}) \to e (∐ ⇓_{U F} a_{1}, a) \\ = \underset{a_{1} \in X}{\land} ⇓_{U F} y (a_{1}) \to e (a_{1}, a) = e (y, a) \end{array}$ .

最后， $⇓_{U F} y (x) = \underset{I \in U F I (X)}{\land} e (y, ∐ I) \to I (x) \leq e (y, ∐ A) \to A (x) = 1 \to A (x) = A (x)$ 。

定理3.3： $(X, e)$ 是一致模糊Domain当且仅当 $(⇓_{U F}, ∐)$ 是 $(X, e)$ 和 $(U F I (X), s u b X)$ 之间的一个模糊Galois伴随。

证明：

1) 必要性。 $\forall x, y \in X$ ，

$\begin{matrix} s u b (⇓_{U F} x, ⇓_{U F} y) = \underset{z \in X}{\land} (\underset{I \in U F I (X)}{\land} e (x, ∐ I) \to I (z)) \to (\underset{J \in U F I (X)}{\land} e (y, ∐ J) \to J (z)) \\ \geq \underset{z \in X}{\land} (\underset{J \in U F I (X)}{\land} e (y, ∐ I) \to J (z)) \to (e (y, ∐ J) \to J (z)) \\ \geq \underset{J \in U F I (X)}{\land} e (y, ∐ J) \to e (x, ∐ J) \geq e (x, y) \end{matrix}$ .

则 $⇓_{U F}$ 是保模糊序的。 $\forall I, J \in U F I (X)$ ，

$e (∐ I, ∐ J) = \underset{x \in X}{\land} I (x) \to e (x, ∐ J) \geq \underset{x \in X}{\land} I (x) \to J (x) = s u b_{X} (I, J)$ ，故 $∐$ 也是保模糊序的。

$\forall x \in X, I \in U F I (X)$ ,

$s u b_{X} (⇓_{U F} x, I) = \underset{y \in X}{\land} ⇓_{U F} x (y) \to I (y) \geq \underset{y \in I}{\land} (e (x, ∐ I) \to I (y)) \to I (y) \geq e (x, ∐ I)$ .

并且， $e (x, ∐ I) = \underset{y \in X}{\land} ⇓_{U F} x (y) \to e (y, ∐ I) \geq \underset{y \in X}{\land} ⇓_{U F} x (y) \to I (y) = s u b_{X} (⇓_{U F} x, I)$ 。

因此， $(⇓_{U F}, ∐)$ 是 $(X, e)$ 和 $(U F I (X), s u b X)$ 之间的一个模糊Galois伴随。

2) 充分性。因 $(⇓_{U F}, ∐)$ 是 $(X, e)$ 和 $(U F I (X), s u b_{X})$ 之间的一个模糊Galois伴随，故 $\forall x \in X$ ， $⇓_{U F} x \in U F I (X)$ 且 $e (x, ∐ ⇓_{U F} x) = 1$ ，进而 $x \leq ∐ ⇓_{U F} x \leq ∐ ↓ x = x$ ，故 $x = ∐ ⇓_{U F} x$ 。所以 $(X, e)$ 是一致模糊Domain。

map

参考文献

[1]	Zadeh, L.A. (1965) Fuzzy Sets. Information and Control, 8, 338-353. https://doi.org/10.1016/S0019-9958(65)90241-X
[2]	张奇业. L-Fuzzy Domain理论[D]: [博士学位论文]. 北京: 首都师范大学, 2002.
[3]	Yao, W. and Shi, F.G. (2010) Quantitative Domain via Fuzzy Sets: Part I: Continuity of Fuzzy Directed Complete Posets. Fuzzy Sets and Systems, 161, 973-987. https://doi.org/10.1016/j.fss.2009.06.018
[4]	韩艳伟. 模糊半连续格及其范畴性质[D]: [硕士学位论文]. 西安: 陕西师范大学, 2011.
[5]	Lai, H. and Zhang, D. (2007) Complete and Directed Complete Ω-Categories. Theoretical Computer Science, 388, 1-25. https://doi.org/10.1016/j.tcs.2007.09.012
[6]	Lai, H.L. (2005) Complete Fuzzy Lattice. Foundations of Fuzzy Set Theory, Beijing, IFSA: 246-251.
[7]	Yao, W. and Lu, L.X. (2009) Fuzzy Galois Connections on Fuzzy Posets. Mathematical Logic Quarterly, 55, 84-91. https://doi.org/10.1002/malq.200710079

为你推荐

友情链接