DOI:10.12677/AAM.2018.79134,PDF,HTML,XML,被引量下载: 1,282浏览: 1,925科研立项经费支持
作者:陈会利,廖新元^*,鲁银霞,李佳季：南华大学数理学院，湖南 衡阳
关键词:随机离散模型；Lyapunov函数；经济模型；渐近均方稳定；Stochastic Discrete Model；Lyapunov Function；Economic Model；Asymptotic Mean Square Stability

文章引用：陈会利, 廖新元, 鲁银霞, 李佳季. 随机差分方程在一类经济模型中的应用[J]. 应用数学进展, 2018, 7(9): 1153-1158. https://doi.org/10.12677/AAM.2018.79134

1. 引言

考虑到自然界中的随机扰动，在确定性模型的基础上，众多学者添加各种随机因素，构建更符合实际动力学性态的随机离散模型进行研究，在生物种群、流行病等方面取得了许多成果 [1] - [8] 。例如，Leonid-Shaikhet [6] 研究了一类带有对数的随机差分方程解的渐近行为，得到平衡点的稳定性条件；Peter Palmer [7] 使用Euler-Maruyama法将1-维随机方程线性化，应用伊藤公式研究随机差分方程解的稳定性；Anqi Miao [8] 等分析了一类随机SIS传染病模型，将确定性系统与随机系统进行比较，发现随机扰动有着不可忽视的影响。

在市场行为中，经济活动也会受到不同程度的随机干扰，然而目前动力系统在经济模型中的应用还处于初级阶段 [9] [10] [11] ，其模型建立及算法需要人们更进一步的探索和研究。本文研究一类差分方程经济模型，在一定随机干扰的影响下，模型平衡解的稳定性。

2. 建立模型

随着中国经济的飞速发展，各种新产品层出不穷，为了让它们更快地进入大众视野，广告成为一种重要的营销手段。许多学者致力于广告量-购物水平的研究 [12] [13] [14] ，然而他们大多忽略了经济活动中随机干扰这一因素。

首先，我们考虑下面传统的广告量-购物水平模型 [12] ：

$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }\left(t\right)=\alpha \left(X_0-x\left(t\right)\right)+\beta y\left(t\right)\left(Y_0-y\left(t\right)\right)\hfill \\ y^{\prime }\left(t\right)=\gamma \left(X_0-x\left(t\right)\right)\hfill \end{array}$(1)

其中 $\alpha$、 $\beta$、 $\gamma$是正系数， $x\left(t\right)$表示t时刻的购物水平， $y\left(t\right)$表示t时刻的广告投入量， $X_0$是最大购物水平， $Y_0$是最大广告量；当广告量不超过一定额度时，随着广告投放量的增加销售量也会增加，当广告量超过一定额度时，可能会引起人们的逆反心理，广告量的增加反而会影响销售量。从方程(1)中我们容易求出系统存在两个平衡点 $\left(X_0,0\right)$和 $\left(X_0,Y_0\right)$。

在市场行为中，各种随机因素也会影响广告的效果，因此本文对模型(1)引入随机干扰项，通过欧拉离散方法，得到下面的随机差分方程：

$\{\begin{array}{l}x\left(n+1\right)=\alpha X_0+\left(1-\alpha \right)x\left(n\right)+\beta Y_{0}y\left(n\right)-\beta y^2\left(n\right)+{\sigma }_1\left(x\left(n\right)-X_0\right){\xi }_1\left(n+1\right)\hfill \\ y\left(n+1\right)=\gamma X_0-\gamma x\left(n\right)+y\left(n\right)+{\sigma }_2\left(y\left(n\right)-Y_0\right){\xi }_2\left(n+1\right)\hfill \end{array}$(2)

其中 ${\sigma }_i\left(i=1,2\right)$表示随机干扰强度；n表示离散的时间， $n\in Z$， $Z=\left\{0,1,\cdots \right\}$； ${\xi }_i\left(n+1\right)\left(i=1,2\right)$表示相互独立的随机变量序列，且满足 $E{\xi }_i\left(n\right)=0$， $E{\xi }_i^2\left(n\right)=1$， $E{\xi }_1\left(n\right){\xi }_2\left(n\right)=0$。

考虑到模型的实际情况，本文中我们只讨论正平衡点的稳定性。令 $x\left(n\right)=u\left(n\right)+X_0$， $y\left(n\right)=v\left(n\right)+Y_0$，在平衡点 $\left(X_0,Y_0\right)$处，对模型(2)进行Jacobi线性化，得到下面线性方程：

$\{\begin{array}{l}u\left(n+1\right)=\left(1-\alpha \right)u\left(n\right)-\beta Y_{0}v\left(n\right)+{\sigma }_{1}u\left(n\right){\xi }_1\left(n+1\right)\hfill \\ v\left(n+1\right)=-\gamma u\left(n\right)+v\left(n\right)+{\sigma }_{2}v\left(n\right){\xi }_2\left(n+1\right)\hfill \end{array}$(3)

显然，模型(2)正解的局部稳定性等价于模型(3)在零解处的稳定性。

设 $z\left(n\right)={\left(u\left(n\right),v\left(n\right)\right)}^{\prime }$，模型(3)可以写成下面这种形式：

$z\left(n+1\right)=Az\left(n\right)+\vartheta \left(\xi \left(n+1\right)\right)z\left(n\right)$(4)

其中：

$A=\left(\begin{array}{cc}1-\alpha & -\beta Y_0\\ -\gamma & 1\end{array}\right)$， $\vartheta \left(\xi \left(n+1\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}{\sigma }_1{\xi }_1\left(n+1\right)& 0\\ 0& {\sigma }_2{\xi }_2\left(n+1\right)\end{array}\right)$

3. 平衡点的稳定性

为了讨论方程(3)在零解处的稳定性，我们还需要下面一些定义与引理。

定义1. [15] 如果任意的 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得对任意的初始函数 ${\Vert \phi \Vert }^2=\sup E{\left|{\phi }_0\right|}^2<\delta$，有 $E{\left|z\left(n\right)\right|}^2<\epsilon$， $n\in Z$，则称方程(3)的零解是均方稳定的；如果解是均方稳定的且对任意初始函数 ${\Vert \phi \Vert }^2<\infty$，方程的解满足条件 ${\lim }_{n\to \infty }E{\left|z\left(n\right)\right|}^2=0$，则称方程(3)的零解是渐近均方稳定的。

定义2. [16] 设P、Q均为实对称正定矩阵，若 $P-Q$也为实对称正定矩阵，即有 $P-Q>0$，则称P大于Q，记作 $P>Q$。

引理1. [15] 如果存在一个非负函数 $V_i=V\left(i,z\left(-\tau \right),\cdots ,z\left(i\right)\right)$满足下面的条件：

$EV\left(0,\phi \left(-\tau \right),\cdots ,\phi \left(0\right)\right)\le c_1{\Vert \phi \Vert }^2$,

$E\Delta V_i\le -c_{2}E{\left|z\left(i\right)\right|}^2$

$c_1$， $c_2$是正常数， $i\in Z$，那么方程(3)的解是渐近均方稳定的。

定理1. 对于一些二维正定矩阵P，矩阵方程：

$-P=A^{\prime }DA-D+C$(5)

解为半正定矩阵D，那么方程(3)的零解是渐近均方稳定的。

证明：首先我们构造一个Lyapunov函数：

$V\left(n\right)=z^{\prime }\left(n\right)Dz(n)$

其中 $D=\left(\begin{array}{cc}{d}_{11}& d_{12}\\ d_{12}& d_{22}\end{array}\right)$是一个半正定矩阵。

计算 $\Delta V\left(n\right)$的期望，我们可以得到下面的式子：

$\begin{array}{c}E\Delta V\left(n\right)=E\left[V(n+1)-V\left(n\right)\right]\\ =E\left[z^{\prime }\left(n+1\right)Dz\left(n+1\right)-z^{\prime }\left(n\right)Dz\left(n\right)\right]\\ =E\left[{\left(Az\left(n\right)+\vartheta \left(\xi \left(n+1\right)\right)z\left(n\right)\right)}^{\prime }D\left(Az\left(n\right)+\vartheta \left(\xi \left(n+1\right)\right)z\left(n\right)\right)-z^{\prime }\left(n\right)Dz\left(n\right)\right]\\ =E\left[z^{\prime }\left(n\right)\left(A^{\prime }DA-D\right)z\left(n\right)+z\left(n\right){\vartheta }^{\prime }\left(\xi \left(n+1\right)\right)D\vartheta \left(\xi \left(n+1\right)\right)z\left(n\right)\right]\\ =E\left[z^{\prime }\left(n\right)\left(A^{\prime }DA-D+C\right)z\left(n\right)\right]\end{array}$

其中 $C={\vartheta }^{\prime }\left(\xi \left(n+1\right)\right)D\vartheta \left(\xi \left(n+1\right)\right)=\left(\begin{array}{cc}{d}_{11}{\sigma }_1^2& 0\\ 0& d_{22}{\sigma }_2^2\end{array}\right)$。

因此：

$E\Delta V\left(n\right)=-E\left(z^{\prime }\left(n\right)Pz\left(n\right)\right)\le -cE{\left|z\left(n\right)\right|}^2$

其中 $-P=A^{\prime }DA-D+C$，c是一个大于零的常数。于是根据引理1，定理得证。

4. 数值模拟

由第2节中我们知道：

$A=\left(\begin{array}{cc}1-\alpha & -\beta Y_0\\ -\gamma & 1\end{array}\right)$， $C=\left(\begin{array}{cc}{d}_{11}{\sigma }_1^2& 0\\ 0& d_{22}{\sigma }_2^2\end{array}\right)$

因此矩阵方程(5)可以写成下面这种形式：

$p_{11}=d_{11}-2\gamma \left(\alpha -1\right)d_{12}-{\gamma }^2{d}_{22}-{\left(\alpha -1\right)}^2{d}_{11}-{\sigma }_1^2{d}_{11}$,

$p_{12}=\left(\alpha -\gamma \beta Y_0\right)d_{12}+\gamma d_{22}-\left(\alpha -1\right)\beta Y_0{d}_{11}$,

$p_{22}=-{\beta }^2{Y}_0^2{d}_{11}+2\beta Y_0{d}_{12}-{\sigma }_2^2{d}_{22}$

其中， $P=\left(\begin{array}{cc}{p}_{11}& p_{12}\\ p_{12}& p_{22}\end{array}\right)$。

理论上P和D存在多个解，在此我们只给出一个具体的例子。令 $\alpha =0.5718$， $\beta =0.0095$， $\gamma =-0.148$， ${\sigma }_1={\sigma }_2=0.1$，平衡点， $Y_0=30$，矩阵 $D=\left(\begin{array}{cc}1.5& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$，通过MATLAB计算可以得到一个正定矩阵P： $P=\left(\begin{array}{cc}1.0394& 0.501\\ 0.501& 0.4282\end{array}\right)$。

根据定理1，方程(3)在零解处渐近均方稳定，因此方程(2)在正解处是局部渐近均方稳定。设初值为 $\left(70,20\right)$，通过数值仿真得到方程解的稳定性图像如下图1和图2。

5. 总结

本文通过构造Lyapunov函数的方法研究一类随机经济模型解的稳定性问题。首先我们建立一个随机模型，经过欧拉离散化方法，得到了随机差分方程，然后将随机差分方程在正平衡点处线性化得到线性随机差分方程，证明当线性方程满足一定条件时，在零点处是渐进均方稳定的，由此得出方程在正平衡点处的局部渐进均方稳定性充分条件，并通过数值仿真验证了结论的正确性。本文研究的经济模型只考虑了随机扰动这一影响，如果还能得到方程解在时滞影响下的稳定性将更有现实意义，这也是我们今后所要研究的方向。

基金项目

湖南省自然科学基金(2016JJ2104)资助。

NOTES

^*通讯作者。

参考文献

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