1. 引言
上世纪70年代以来，扩散方程/热传导方程的系数反问题一直是数学物理反问题研究的热点，主要包括反演解的条件适定性分析、数值求解及其应用研究。对于反问题的条件适定性，证明存在性的方法主要是利用不动点原理，证明惟一性与构建条件稳定性的方法主要是利用调和分析、极值原理、Carleman估计以及变分伴随等方法(见 [1] [2] [3] [4] 等)。另一方面，对于反问题的数值求解研究，一般是基于最优化理论与正则化方法构建稳定的数值迭代方法(见专著 [5] [6] [7] [8] [9] 等)。反演算法实施中要多次迭代求解正问题,因而计算量相对较大、计算成本高。
对于热传导方程/扩散方程系数反演问题的研究，Cannon [10] 与Beck [11] 均有开创性的工作。最近，刘进贤教授提出了不需要反复求解正问题的Trefftz型反演方法(见 [12] [13] [14] 等)。这类方法对于线性热传导方程的确定初始函数、边值函数或源项系数的参数反演问题，基于边界–区域积分方程和Green公式，利用附加数据和相容性条件，通过选取试验函数得到一类带辅助参数的线性方程组，进而应用梯度类算法获得反问题的数值解。
本文考虑扩散方程的逆时问题与源项反问题的数值反演。应用变分伴随方法，建立联系已知数据函数与未知量的变分恒等式。通过适当选择伴随方程的解获得变分恒等式的离散形式，进而结合Tikhonov正则化实现有效的数值反演。文中主要内容的安排是：第2节给出文中讨论的正问题与参数反演问题，第3节构建一个联系已知与未知的变分恒等式，并提出相应的反演算法，第4节给出几个数值算例，验证反演算法的有效性，最后一节给出结论。
2. 正问题与反问题
2.1. 正问题
设是带有(分片)光滑边界的有界开区域。对于，记，，G为W的边界。考虑线性扩散方程：
(2.1)
其中表示空间点x处与时刻t时的状态分布，是扩散系数，表示源/汇项。给定初边值条件给定为
(2.2)
及
(2.3)
如果正问题(2.1)~(2.3)中的模型参数与初边值函数都是已知的且属于适当的函数空间，则正问题是适定的且在上存在唯一解。有关正问题适定性的论断可参见标准的偏微分方程教材，本文主要讨论两个基于(2.1)~(2.3)的反问题的数值反演。
2.2. 逆时问题与源项反问题
假设正问题模型中的边值函数与源项都是已知的，则逆时问题是给定某个时刻的终值观测数据，确定初始分布函数。换言之，给定附加条件，
(2.4)
逆时问题是基于(2.1)~(2.3)，由确定。
如果正问题(2.1)~(2.3)中的初边值函数都是已知的，则源项反问题是利用解的部分附加信息确定。这时，由于源项函数既依赖时间变量同时又依赖空间变量，单纯由终值数据条件(2.4)难以唯一确定时间–空间依赖的源项函数。根据边值条件(2.3)，再补充Neumann边界数据条件
(2.5)
其中v表示边界点处的单位外法向量。以下考虑的源项反问题即是基于正问题(2.1)~(2.3)，由附加条件(2.4)~(2.5)确定源项。
下面基于一个联系已知数据与未知参数的变分恒等式，给出上述两类反问题的数值求解方法，并结合正则化策略进行数值反演。
3. 变分恒等式与反演算法
3.1. 变分恒等式
基于正问题(2.1)~(2.3)，通过对其伴随问题解的控制，可以构建一个联系已知与未知的变分恒等式，这是一类边界-区域积分方程。
定理1：设，，且，则成立变分恒等式：
(3.1)
其中是下述伴随问题的解
(3.2)
这里初值与边界输入均为可控制的已知函数。
证明：记选择光滑试验函数乘以方程(2.1)的两边，并在上积分，可得
(3.3)
首先，由分部积分可知
(3.4)
其次，利用Green公式可得
对上式左边各项分部积分，利用(3.3)中的零初值条件，可得
(3.5)
令是伴随问题(3.2)的解，则将式(3.4)与(3.5)代入(3.3)，并注意到初始函数与终值数据，整理即得(3.1)。证毕。
3.2. 反演算法
本小节以逆时问题为例，基于变分恒等式(3.1)给出反演算法。不妨设区域内没有源项作用，即设模型中的源项。则变分恒等式(3.1)简化为
(3.6)
其中在在上满足方程及齐次边值条件，且有。根据Laplace算子的性质，存在完备的特征系统，伴随问题的解具有广义Fourier展开形式
(3.7)
其中，是在W上的Fourier展开系数。
对于常数，记为初始函数的容许集合。则存在一组基，有展开式
(3.8)
其中称为展开系数。若取有限项近似，则有
(3.9)
再注意到(3.7)式,可选取适当的及相应伴随问题的解，并依次代入恒等式(3.6)，得到
(3.10)
记
(3.11)
可得一个线性系统
(3.12)
由于系数矩阵G的病态性，以及观测数据误差与计算误差的作用，通常需要采用正则化策略求解方程(3.12)的扰动形式:
(3.13)
这里，x为分布于[−1,1]的随机数，为扰动水平。根据Tikhonov正则化，适当选取正则参数，则初始函数有限逼近部分的系数由下式近似计算
(3.14)
注1：在具体的算法实施中，可以利用数据的相容性等条件，降低系统(3.12)~(3.13)的病态性。此外，由于这种反演算法不需要迭代过程，多数情况下只要先验选取正则参数，就可以获得稳定的数值解。
注2：该算法依赖于截断项数N与K的选取。从(3.9)式看出，当时，近似解逼近真解；另一方面，K的大小意味着附加信息量的多少，理论上也是越大越好。关于这些讨论以及数值解的收敛性分析都是重要的问题，我们将另文再表。
4. 数值反演
4.1. 逆时问题的数值反演
考虑一维齐次扩散方程在第一边值条件下的逆时问题。
算例1：设研究区域，终值时刻，且正问题的真解为。则两个边值函数分别为及；无扰动的终值数据为。假设初始分布函数具有近似表达式
(4.1)
这里数值反演即是求解向量。
对于伴随方程，取其解为
(4.2)
而。取，利用上一节所述的反演方法进行直接计算。图1绘制了
采用精确数据的反演解与精确解；图2(a)，图2(b)分别绘制了扰动水平时与时的反演解与精确解，其中正则参数均取。
算例2：设研究区域，终值时刻，且正问题的真解为。则两个边值函数分别为及，无扰动的终值数据为。这里初始分布函数仍沿用(4.1)近似表达式。类似于算例1中的计算，取，正则参数，图3(a)，图3(b)分别绘制了扰动水平时与时的反演解与精确解。
Figure 1. Inversion result for the backward problem with accurate data in Ex.1.
图1. 算例1中精确数据下逆时问题的反演结果，
Figure 2. Inversion result for the backward problem with noisy data in Ex.1. (a); (b)
图2. 算例1中扰动数据下逆时问题的反演结果，。(a)；(b)
4.2. 源项的数值反演
考虑一维非齐次扩散方程在第一边值条件下的源项反问题。
算例3：设研究区域，终值时刻，正问题的真解为，而源项真解为。正问题的两个边值函数分别为及。终值附加数据为。根据第2节的论述，还需要两个边界处的Neumann附加数据及，。
假设源项具有近似表达式
(4.3)
Figure 3. Inversion results for the backward problem with noisy data in Ex.2. (a); (b)
图3. 算例2中扰动数据下逆时问题的反演结果，。(a)；(b)
Figure 4. Exact source and inversion source solutions with accurate data in Ex.3. (a) Exact source; (b) Inversion source with accurate data
图4. 算例3中源项真解与精确数据下的反演解，。(a) 源项真解；(b)时的反演解
数值反演即是求解向量。注意到时空依赖源项反问题的病态性，对于，取伴随方程的两个解：
(4.4)
其中分别为双曲正弦、余弦函数，为调节参数。取及，利用所述的反演方法进行直接计算。图4(a)，图4(b)分别绘制了源项真解与采用精确数据的反演解；图5(a)，图5(b)分别绘制了扰动水平与时的反演解与真解，其中正则参数分别取与。
算例4：继续考虑区域，终值时刻，而正问题的真解为，源项真解为。正问题的两个边值函数分别为及；终值附加数据为。另外，两个端点处的Neumann边界数据为及。
假设源项仍具有(4.3)式的近似表达式，且反演参数也同于算例3中所取，图6(a)，图6(b)分别绘制了源项真解与采用精确数据的反演解；图7(a)，图7(b)分别绘制了扰动水平与时的反演解与真解，其中正则参数分别取与。
5. 结论
本文对于扩散方程/热方程的逆时问题与源项反问题，基于变分伴随方法，建立了一类联系已知数据
Figure 5. The inversion source solutions with noisy data in Ex.3. (a); (b)
图5. 算例3中扰动数据下的源项反演解。(a)；(b)
Figure 6. Exact source and the inversion source solutions with accurate data in Ex.4. (a) Exact source; (b) Inversion source solution with accurate data
图6. 算例4中源项真解与精确数据下的反演解，。(a) 源项真解；(b)时的反演解
Figure 7. Inversion source solutions with noisy data in Ex.4. (a); (b)
图7. 算例4中扰动数据下的源项反演解。(a)；(b)
函数与未知量的积分恒等式，通过适当选取伴随方程的解并结合Tikhonov正则化实现了参数的有效反演。这种反演方法推广并简化了Trefftz型参数反演算法，可适用于一般线性数理方程系数反问题的数值求解。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(No. 11371231)。
致谢
感谢审稿人提出的修改意见。
参考文献