DOI:10.12677/PM.2018.81012,PDF,HTML,XML,被引量下载: 1,687浏览: 5,690国家自然科学基金支持
作者:张 蕊^*：西北师范大学数学与统计学院，甘肃 兰州；马统一：河西学院数学与统计学院，甘肃 张掖
关键词:L_p仿射表面积；L_p对偶仿射表面积；i阶L_p对偶表面积；Brunn-Minkowski-Firey理论；i阶L_p对偶仿射表面积；L_pAffine Surface Area；L_pDual Affine Surface Area；i-th L_pAffine Surface area；Brunn-Minkowski-Firey Theory；i-th L_pDual Affine Surface Area

文章引用：张蕊, 马统一. i阶L _p对偶仿射表面积[J]. 理论数学, 2018, 8(1): 99-104. https://doi.org/10.12677/PM.2018.81012

1. 引言和主要结果

这篇文章的背景是 $n$维欧氏空间 ${ℝ}^n$。设 ${\mathcal{K}}^n$是 $n$维欧氏空间 ${ℝ}^n$中的凸体(有非空内点的紧凸集)的集合。用 ${\mathcal{K}}_o^n$， ${\mathcal{K}}_c^n$和 ${\mathcal{K}}_s^n$分别表示 ${ℝ}^n$中包含原点为内点的凸体集合，中心在原点的凸体集合和关于原点对称的凸体集合。用 $V_i\left(K\right)$表示的 $i$维体积凸体 $K$的 $i$维体积， ${\mathcal{S}}_o^n$表示 ${ℝ}^n$中的凸体(关于原点)，标准单位球 $B$的 $n$维体积用 ${\omega }_n$表示，并用 $S^{n-1}$表示 ${ℝ}^n$中的单位球面。

Leichtweiß ( [1] )给出仿射表面积的定义，若 $K\in {\mathcal{K}}^n$， $K$的仿射表面积 $\Omega \left(K\right)$被定义为：

$n^{-\frac{1}{n}}{\Omega }_p{\left(K\right)}^{\frac{n+1}{n}}=\inf \left\{n{V}_1\left(K,Q^{\ast }\right)V{\left(Q\right)}^{\frac{1}{n}}:Q\in S_o^n\right\}$(1.1)

Lutwak根据 $L_p$混合体积引进了 $L_p$仿射表面积( [2] )。若 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$， $p\ge 1$， $K$的 $L_p$仿射表面积 $\Omega \left(K\right)$被定义为：

$n^{-\frac{p}{n}}{\Omega }_p{\left(K\right)}^{\frac{n+p}{n}}=\inf \left\{n{V}_p\left(K,Q^{\ast }\right)V{\left(Q\right)}^{\frac{p}{n}}:Q\in S_o^n\right\}$(1.2)

显然，当 $p=1$， ${\Omega }_p\left(K\right)$就是经典的仿射表面积。

2008年，根据 $L_p$混合体积的定义( [3] )，汪和何给出对偶仿射表面积的定义，若 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$， $1\le p\le n$， $L_p$对偶仿射表面积 ${\tilde{\Omega }}_{-p}\left(K\right)$被定义为：

$n^{\frac{p}{n}}{\tilde{\Omega }}_{-p}{\left(K\right)}^{\frac{n-p}{n}}=\inf \left\{n{\tilde{V}}_{-p}\left(K,Q^{\ast }\right)V{\left(Q\right)}^{-\frac{p}{n}}:Q\in S_o^n\right\}$(1.3)

近年来，马统一( [4] )将 $L_p$仿射表面积 ${\Omega }_p\left(K\right)$引入到 $i$阶 $L_p$仿射表面积 ${\Omega }_p^i\left(K\right)$，若

$K\in {\mathcal{K}}_o^n$， $i\in \left\{0,1,\cdots ,n\right\}$， $i$阶 $L_p$仿射表面积 ${\Omega }_p^i\left(K\right)$被定义为：

$n^{-\frac{p}{n-i}}{\Omega }_p^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{\frac{n+p-i}{n-i}}=\inf \left\{n{W}_{p,i}\left(K,Q^{\ast }\right){\tilde{W}}_i{\left(Q\right)}^{\frac{p}{n-i}}:Q\in S_o^n\right\}$(1.4)

随后，马统一和冯宜彬给出了 $i$阶 $L_p$仿射表面积的完整定义( [5] )。若 $p\ge 0,i\in \left\{0,1,\cdots ,n\right\}$，且 $K\in {\mathcal{F}}_{i,o}^n$，则 $i$阶 $L_p$仿射表面积 ${\Omega }_p^i\left(K\right)$的定义如下：

${\tilde{\Omega }}_p^{\left(i\right)}\left(K\right)={\displaystyle {\int }_{S_{n-1}}{f}_{p,i}}{\left(K,u\right)}^{\frac{n-i}{n+p-i}}\text{d}S\left(u\right)$(1.5)

令(1.5)中的 $i=0$， $i$阶 $L_p$对偶仿射表面积就是经典的 $L_p$仿射表面积( [6] )。

现在我们定义 $i$阶 $L_p$对偶仿射表面积。若 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$， $i\in \left\{0,1,\cdots ,n\right\},p\ge 1$，则 $i$阶 $L_p$对偶仿射表面积 ${\Omega }_{-p}^i\left(K\right)$的定义如下：

$n^{\frac{p}{n-i}}{\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{\frac{n-p-i}{n-i}}=\inf \left\{n{\tilde{W}}_{-p,i}\left(K,Q^{\ast }\right){\tilde{W}}_i{\left(Q\right)}^{-\frac{p}{n-i}}:Q\in S_o^n\right\}$(1.6)

定理1.1：若 $K\in {\mathcal{K}}_c^n$， $i\in \left\{0,1,\cdots ,n-1\right\}$，且 $p\ge 1$，则

${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{n-p-i}\le n^{n-p-i}{\omega }_n^{-2p}{W}_i{\left(K\right)}^{n-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^p$(1.7)

当 $i=0$时，等号成立当且仅当 $K$是一个椭球体，当 $0<i<n-1$时，当且仅当 $K$是一个中心在原点的 $n$维球。

定理1.2：若 $K\in {\mathcal{K}}_c^n$， $i\in \left\{0,1,\cdots ,n-1\right\}$，且 $p\ge 1$，则

${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{n-p-i}\le n^{n-p-i}{\left({\omega }_i{\omega }_{n-i}\right)}^{-2p}{\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}^{2p}{W}_i{\left(K\right)}^{n+p-i}$(1.8)

当 $i=0$时，等号成立当且仅当 $K$是一个椭球体，当 $0<i<n-1$时，当且仅当 $K$是一个中心在原点的 $\left(n-i\right)$维球。

定理1.3：若 $K\in {\mathcal{K}}_c^n$， $i\in \left\{0,1,\cdots ,n-1\right\}$，且 $p\ge 1$，则

${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}\left(K\right){\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}\left(K^{\ast }\right)\le n^2{W}_i\left(K\right){\tilde{W}}_i\left(K^{\ast }\right)$(1.9)

当 $i=0$时，等号成立当且仅当 $K$是一个中心在原点的椭球体，当 $0<i<n-1$时，当且仅当 $K$是一个中心在原点的球。

定理1.1~1.3的证明在第三部分。

2. 预备知识

如果 $K\in {\mathcal{K}}^n$， $K$的支撑函数 $h_K=h\left(K,\cdot \right):{ℝ}^n\left(-\infty ,\infty \right)$被定义为( [7] [8] )

$h\left(K,x\right)=\max \left\{x\cdot y:y\in K\right\},x\in {ℝ}^n$(2.1)

这里 $x\cdot y$表示 $x$和 $y$的标准内积。

如果如果 $K$是 ${ℝ}^n$中一个紧的星形(关于原点)，则 $K$的径向函数 ${\rho }_K=\rho \left(K,\cdot \right):{ℝ}^n\backslash \left[0,\infty \right)$被定义为( [7] [8] )：

$\rho \left(K,x\right)=\max \left\{\lambda >0:\lambda x\in K\right\},x\in {ℝ}^n\backslash \left\{0\right\}$(2.2)

如果 ${\rho }_K$是正连续的函数，则称 $K$是一个星体(关于原点)。如果 $\rho \left(K,u\right)/\rho \left(L,u\right)$是与 $u\in S^{n-1}$无关的，则称星体 $K$和 $L$是互相膨胀的。

对于 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$， $K$的极体 $K^{\ast }$被定义为：( [7] [8] )

$K^{\ast }=\left\{x\in {ℝ}^n:x\cdot y\le 1,y\in K\right\}$(2.3)

根据(2.3)，我们有 ${\left(K^{\ast }\right)}^{\ast }=K$，且

$h_{K^{\ast }}=\frac{1}{{\rho }_K}$， ${\rho }_{K^{\ast }}=\frac{1}{h_K}$(2.4)

对于 $K\in {\mathcal{K}}_c^n$和它的极体 $K^{\ast }$，Blaschke-Santaló不等式( [6] )的证明如下：

引理2.1：若 $K\in {\mathcal{K}}_c^n$，则

$V\left(K\right)V\left(K^{\ast }\right)\le {\omega }_n^2$(2.5)

等号成立当且仅当 $K$是一个椭球体。

注意当 $K\in S_o^n$， $K$的体积 $V\left(K\right)$如下：

$V\left(K\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}{\rho }_K^n\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}$(2.6)

这里 $S$是 $S^{n-1}$上Lebesgue测度。

如果 $K,L\in {\mathcal{S}}_o^n$， $p>0,\lambda ,\mu \ge 0$，(不同时为零)， $K$和 $L$的 $L_p$线性组合 $\lambda \cdot K+{}_P\mu \cdot L\in S_o^n$被定义为( [2] )

$\rho {\left(\lambda \cdot K+p\mu \cdot L,\cdot \right)}^p=\lambda \rho {\left(K,\cdot \right)}^p=\mu \rho {\left(L,\cdot \right)}^p$(2.7)

1996年，给出了 $L_p$对偶混合体积的概念( [2] )：如果 $K,L\in S_o^n$， $p\ge 1$且 $\epsilon >0$， $K$和 $L$的 $L_p$对偶混合体积被定义为：

$\frac{n}{-p}{\tilde{V}}_{-p}\left(K,L\right)=\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\frac{V\left(K+{}_{-p}\epsilon \cdot L\right)-V\left(K\right)}{\epsilon }$(2.8)

由(2.2)和(2.3)，Haberl给出了 $L_p$对偶混合体积的完整表述：如果 $K,L\in S_o^n$，且 $p>0$，则

${\tilde{V}}_{-p}\left(K,L\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}{\rho }_K^{n+p}\left(u\right){\rho }_L^{-p}\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}$(2.9)

由(2.3)和(2.4)，我们可以得到对任意 $K\in S_o^n$，且 $p>0$，

${\tilde{V}}_{-p}\left(K,K\right)=V\left(K\right)$(2.10)

$L_p$对偶混合均质积分的定义如下：如果 $K,L\in S_o^n$， $p\ge 1$， $\epsilon >0$且实数 $i\ne n$， $K$和 $L$的 $L_p$对偶混合均质积分 ${\tilde{W}}_{-p,i}\left(K,L\right)$被定义为( [9] )：

$\frac{n-i}{-p}{\tilde{W}}_{-p,i}\left(K,L\right)=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }\frac{{\tilde{W}}_i\left(K+{}_{-p}\epsilon \cdot L\right)-{\tilde{W}}_i\left(K\right)}{\epsilon }$(2.11)

若 $i=0$，则(2.11)就是经典的 $L_p$对偶混合体积，即 ${\tilde{W}}_{-p,0}\left(K,L\right)={\tilde{V}}_{-p}\left(K,L\right)$。

根据(2.11)，王卫东和冷岗松给出了 $L_p$对偶混合均质积分的完整表述( [9] )：如果 $K,L\in S_o^n$， $p\ge 1$且实数 $i\ne n$， $n+p$，则

${\tilde{W}}_{-p,i}\left(K,L\right)=\frac{1}{n}{\displaystyle {\int }_{S^{n-1}}{\rho }_K^{n+p-i}\left(u\right){\rho }_L^{-p}\left(u\right)\text{d}S\left(u\right)}$(2.12)

结合(2.10)和(2.12)，若 $K\in {\mathcal{S}}_o^n$， $p\ge 1$，且 $i\ne n$， $n+p$，则：

${\tilde{W}}_{-p,i}\left(K,K\right)={\tilde{W}}_i\left(K\right)$(2.13)

引理2.2：( [10] )如果 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$，且 $0<i<n,i\in ℝ$，则

${\tilde{W}}_i\left(K\right)\le V{\left(K\right)}^{\frac{n-i}{n}}{\omega }_n^{\frac{i}{n}}$(2.14)

等号成立当且仅当 $K$是一个中心在原点的 $n$维椭球体。

引理2.2：( [10] )若 $K\in {\mathcal{K}}_o^n$，且 $i\in \left\{1,\cdots ,n-1\right\}$，则

${\tilde{W}}_i\left(K\right)\le W_i\left(K\right)$(2.15)

等号成立当且仅当 $K$是一个中心在原点的 $n$维椭球体。

3. 定理1.1~1.3的证明

定理1.1的证明：根据定义 ${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}\left(K\right)$，可以得到如果 $K\in {\mathcal{K}}_c^n$， $Q\in {\mathcal{S}}_o^n$，

${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{n-p-i}\le n^{n-p-i}{\tilde{W}}_{-p,i}{\left(K,Q^{\ast }\right)}^{n-i}{\tilde{W}}_i{\left(Q\right)}^{-p}$。

令 $Q=K^{\ast }$，则有

${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{n-p-i}\le n^{n-p-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n-i}{\tilde{W}}_i{\left(K^{\ast }\right)}^{-p}$(3.1)

结合Blaschke-Santaló不等式(2.5)和引理2.2，可以得到：

$\begin{array}{c}{\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{n-p-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{-p}\le n^{n-p-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n-i}\left({\tilde{W}}_i{\left(K^{\ast }\right)}^{-p}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{-p}\right)\\ \le n^{n-p-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n-i}{\omega }_n^{\frac{-2ip}{n}}\left(V{\left(K\right)}^{-p}V{\left(K^{\ast }\right)}^{\frac{-(n-ip}{n}}\right)\\ \le n^{n-p-i}{\omega }_n^{-2p}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n-i}\end{array}$。

因此，

${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{n-p-i}\le n^{n-p-i}{\omega }_n^{-2p}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^p$。

由Blaschke-Santaló不等式(2.5)和引理2.2中等号成立的条件可得，当 $i=0$时等号在不等式(1.7)中成立当且仅当 $K$是一个椭球体。当 $0<i<n-1$时，等号在不等式(1.7)中成立当且仅当 $K$是一个中心在原点的 $n$维椭球体。

定理1.2的证明：结合不等式(3.1)和Blaschke-Santaló不等式(2.5)，我们有

$\begin{array}{c}{\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{n-p-i}\le n^{n-p-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n-i}\widetilde{W_i}{(}^{K^{\ast }}\\ =n^{n-p-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n+p-i}{\left[{\tilde{W}}_i\left(K\right){\tilde{W}}_i\left(K^{\ast }\right)\right]}^{-p}\\ =n^{n-p-i}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n+p-i}{\omega }_i^{-2p}{\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}^{2p}{\left[V_{n-i}\left(K\right)V_{n-i}\left(K^{\ast }\right)\right]}^{-p}\\ \le n^{n-p-i}{\left({\omega }_i{\omega }_{n-i}\right)}^{-2p}{\left(\begin{array}{c}n\\ i\end{array}\right)}^{2p}{\omega }_n{}^{-2p}{\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{n+p-i}\end{array}$。

在证明过程中我们很容易得到当在证明过程中我们很容易得到当 $i=0$时，等号在不等式(1.8)中成立当且仅当 $K$是一个椭球体。当 $0<i\le n-1$时，等号在不等式(1.8)中成立当且仅当 $K$是一个中心在原点的 $\left(n-i\right)$维椭球体。

定理1.3的证明：由 ${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}\left(K\right)$定义可得

$n^{\frac{p}{n-i}}{\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{\frac{n-p-i}{n-i}}\le n{\tilde{W}}_{-p,i}\left(K,Q^{\ast }\right){\tilde{W}}_i{\left(Q\right)}^{\frac{-p}{n-i}}$。

对任何 $Q\in {\mathcal{S}}_o^n$，令 $Q=K^{\ast }$，我们有

$n^{\frac{p}{n-i}}{\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K\right)}^{\frac{n-p-i}{n-i}}\le n{\tilde{W}}_i\left(K\right){\tilde{W}}_i{\left(K^{\ast }\right)}^{\frac{-p}{n-i}}$(3.2)

令 $K=K^{\ast }$，我们有

$n^{\frac{p}{n-i}}{\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}{\left(K^{\ast }\right)}^{\frac{n-p-i}{n-i}}\le n{\tilde{W}}_i\left(K^{\ast }\right){\tilde{W}}_i{\left(K\right)}^{\frac{-p}{n-i}}$(3.3)

结合(3.2)，(3.3)和引理，可以得到：

$\begin{array}{l}{\left({\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}\left(K\right){\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}\left(K^{\ast }\right)\right)}^{\frac{n-p-i}{n-i}}\\ \le n^{\frac{2\left(n-p-i\right)}{n-i}}{\tilde{W}}_i\left(K\right){\tilde{W}}_i\left(K^{\ast }\right){\left({\tilde{W}}_i\left(K\right){\tilde{W}}_i\left(K^{\ast }\right)\right)}^{{}^{\frac{-p}{n-i}}}\\ \le n^{\frac{2\left(n-p-i\right)}{n-i}}{\left({\tilde{W}}_i\left(K\right){\tilde{W}}_i\left(K^{\ast }\right)\right)}^{{}^{\frac{n-p-i}{n-i}}}\end{array}$。

因此，

${\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}\left(K\right){\tilde{\Omega }}_{-p}^{\left(i\right)}\left(K^{\ast }\right)\le n^2{\tilde{W}}_i\left(K\right){\tilde{W}}_i\left(K^{\ast }\right)$，

根据引理2.3中等号成立的条件，可以得到当 $i=0$时，在不等式(1.9)中等号成立当且仅当 $K$是一个椭球体。当 $0<i\le n-1$时，等号在不等式(1.9)中成立当且仅当 $K$是一个中心在原点的椭球体。

基金项目

国家自然科学基金资助(11561020, 11371224)。

参考文献

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