DOI:10.12677/PM.2018.81006,PDF,HTML,XML,被引量下载: 1,685浏览: 4,605
作者:梁 娥^*：云南师范大学数学学院，云南 昆明
关键词:Fermat型函数方程；亚纯函数；增长极；Fermat Type Functional Equation；Meromorphic Functions；Order of Growth

文章引用：梁娥. 函数方程f ¹⁵(z)+g ¹⁵(z)+h ¹⁵(z)+w ¹⁵(z) =1的亚纯函数解的研究[J]. 理论数学, 2018, 8(1): 34-40. https://doi.org/10.12677/PM.2018.81006

1. 引言及主要结果

本文使用Nevanlinna值分布理论的基本结果及其标准记号 [1] 。我们考虑如下费马型函数方程：

$f^n+g^n+h^n+w^n=1$(1)

的非常数亚纯函数解，G.G.GUNDERSEN在文献 [2] 中给出了当时，函数方程(1)的超越亚纯函数解的例子。

我们也知道，用Cartan定理易证 $n\ge 16$时，函数方程(1)不存在非常数亚纯函数解，那么就存在一个公开性的问题；当 $9\le n\le 15$时，函数方程(1)是否存在非常数亚纯函数解？

基于这个问题，本文我们将研究当 $n=15$时，函数方程(1)的亚纯函数解的状况。

之前苏敏、李玉华 [3] 证明了：费马型函数方程 $f^6\left(z\right)+g^6\left(z\right)+h^6\left(z\right)=1$无级小于1的非常数整函数解以及费马型函数方程 $f^8\left(z\right)+g^8\left(z\right)+h^8\left(z\right)=1$不存在级小于1的非常数亚纯函数解。

加上直接研究费马型函数方程 $f^{15}\left(z\right)+g^{15}\left(z\right)+h^{15}\left(z\right)+w^{15}\left(z\right)=1$的非平凡亚纯解较难，从而在引入级小于1的条件的启发下，本文得到了以下结果：

定理1：若非常数亚纯函数 $f\left(z\right),g\left(z\right),h\left(z\right),w\left(z\right)$的极点中至多只有一个是公共单级极点，且 $\min \left\{{\rho }_f,{\rho }_g,{\rho }_h,{\rho }_w\right\}<1/2$，则 $f\left(z\right),g\left(z\right),h\left(z\right),w\left(z\right)$一定不是Fermat型函数方程 $f^{15}\left(z\right)+g^{15}\left(z\right)+h^{15}\left(z\right)+w^{15}\left(z\right)=1$的解。

2. 几个辅助结果

引理1 [4] ：设函数 $f\left(z\right)$于开平面亚纯，为正整数，则 $f\left(z\right)$与 $f^{\left(n\right)}\left(z\right)$有相同的级与下级。

引理2 [5] ：若是非常数亚纯函数，且，那么

.

特别的，若非常数亚纯函数 $f\left(z\right)$的级 ${\rho }_f<1$，则有。

引理3 [6] ：若 ${\psi }_j\left(z\right)\left(j=1,2,\cdots ,k\right)$为区域 $$上 $k$个亚纯函数，且 ${\psi }_1,{\psi }_2,\cdots ,{\psi }_k$线性无关，那么 ${\psi }_1,{\psi }_2,\cdots ,{\psi }_k$的Wronskian行列式

$W\left({\psi }_1,{\psi }_2,\cdots ,{\psi }_k\right)\triangleq \left|\begin{array}{ccc}{\psi }_1& \cdots & {\psi }_k\\ {{\psi }^{\prime }}_1& \cdots & {{\psi }^{\prime }}_k\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ {\psi }_1^{\left(k-1\right)}& \cdots & {\psi }_k^{\left(k-1\right)}\end{array}\right|\cancel{\equiv }0$.

引理4：若非常数亚纯函数无公共单级极点，且 $f\left(z\right),g\left(z\right),h\left(z\right),w\left(z\right)$满足函数方程

$f^{15}+g^{15}+h^{15}+w^{15}=1$,(2)

令

$\tau =\left|\begin{array}{cccc}{f}^3& g^3& h^3& w^3\\ f^2{f}^{\prime }& g^2{g}^{\prime }& h^2{h}^{\prime }& w^2{w}^{\prime }\\ 14f{\left(f^{\prime }\right)}^2+f^2{f}^{″}& 14g{\left(g^{\prime }\right)}^2+g^2{g}^{″}& 14h{\left(h^{\prime }\right)}^2+h^2{h}^{″}& 14w{\left(w^{\prime }\right)}^2+w^2{w}^{″}\\ L_3\left(f\right)& L_3\left(g\right)& L_3\left(h\right)& L_3\left(w\right)\end{array}\right|$,

其中 $L_3\left(\mu \right)=182{\left({\mu }^{\prime }\right)}^3+42\mu {\mu }^{\prime }{\mu }^{″}+{\mu }^2{\mu }^{‴}$，( $\mu$为非常数亚纯函数)。

则 $\tau$是整函数。

引理4的证明：

因为非常数亚纯函数 $f,g,h,w$满足函数方程(2)，则 $f^{15},g^{15},h^{15},w^{15}$线性无关。事实上，若 $f^{15},g^{15},h^{15},w^{15}$线性相关，则 $f,g,h,w$中至少有一个为常数函数，矛盾。结合引理3，则有：

$W\left(f^{15},g^{15},h^{15},w^{15}\right)=\left|\begin{array}{cccc}{f}^{15}& g^{15}& h^{15}& w^{15}\\ 15f^{14}{f}^{\prime }& 15g^{14}{g}^{\prime }& 15h^{14}{h}^{\prime }& 15w^{14}{w}^{\prime }\\ L_1\left(f\right)& L_1\left(g\right)& L_1\left(h\right)& L_1\left(w\right)\\ L_2\left(f\right)& L_2\left(g\right)& L_2\left(h\right)& L_2\left(w\right)\end{array}\right|=3375f^{12}{g}^{12}{h}^{12}{w}^{12}\tau \cancel{\equiv }0$(3)

其中 $L_1\left(\mu \right)=210{\mu }^{13}{\left({\mu }^{\prime }\right)}^2+15{\mu }^{14}{\mu }^{″}$； $L_2\left(\mu \right)=2730{\mu }^{12}{\left({\mu }^{\prime }\right)}^3+630{\mu }^{13}{\mu }^{\prime }{\mu }^{″}+15{\mu }^{14}{\mu }^{‴}$，(其中 $\mu$为非常数亚纯函数)。

故 $\tau \cancel{\equiv }0$。此外，结合函数方程 $f^{15}+g^{15}+h^{15}+w^{15}=1$以及伏朗斯基行列式的特点可得到：

$\begin{array}{l}W\left(f^{15},g^{15},h^{15},w^{15}\right)=\left|\begin{array}{ccc}15g^{14}{g}^{\prime }& 15h^{14}{h}^{\prime }& 15w^{14}{w}^{\prime }\\ L_1\left(g\right)& L_1\left(h\right)& L_1\left(w\right)\\ L_2\left(g\right)& L_2\left(h\right)& L_2\left(w\right)\end{array}\right|\\ =3375g^{12}{h}^{12}{w}^{12}\left|\begin{array}{ccc}{g}^2{g}^{\prime }& h^2{h}^{\prime }& w^2{w}^{\prime }\\ 14g{\left(g^{\prime }\right)}^2+g^2{g}^{″}& 14h{\left(h^{\prime }\right)}^2+h^2{h}^{″}& 14w{\left(w^{\prime }\right)}^2+w^2{w}^{″}\\ L_3\left(g\right)& L_3\left(h\right)& L_3\left(w\right)\end{array}\right|\end{array}$(4)

其中 $L_3\left(\mu \right)=182{\left({\mu }^{\prime }\right)}^3+42\mu {\mu }^{\prime }{\mu }^{″}+{\mu }^2{\mu }^{‴}$，(其中 $\mu$为非常数亚纯函数)。

由(3)、(4)可得

$\tau =\frac{1}{f^{12}}\left|\begin{array}{ccc}{g}^2{g}^{\prime }& h^2{h}^{\prime }& w^2{w}^{\prime }\\ 14g{\left(g^{\prime }\right)}^2+g^2{g}^{″}& 14h{\left(h^{\prime }\right)}^2+h^2{h}^{″}& 14w{\left(w^{\prime }\right)}^2+w^2{w}^{″}\\ L_3\left(g\right)& L_3\left(h\right)& L_3\left(w\right)\end{array}\right|$(5)

同理，可得：

(6)

(7)

$\tau =\frac{1}{w^{12}}\left|\begin{array}{ccc}{f}^2{f}^{\prime }& g^2{g}^{\prime }& h^2{h}^{\prime }\\ 14f{\left(f^{\prime }\right)}^2+f^2{f}^{″}& 14g{\left(g^{\prime }\right)}^2+g^2{g}^{″}& 14h{\left(h^{\prime }\right)}^2+h^2{h}^{″}\\ L_3\left(f\right)& L_3\left(g\right)& L_3\left(h\right)\end{array}\right|$(8)

实际上，因为定义的 $\tau \left(z\right)$为涉及 $f,g,h,w$的行列式，则若有极点，其极点只会在 $f,g,h,w$的极点处产生，设 $z_{\infty }$为 $f\left(z\right),g\left(z\right),h\left(z\right),w\left(z\right)$的 $m,n,p,q$重极点，设 $f,g,h,w$在 $z_{\infty }$处的洛朗展开式为

$f\left(z\right)=\frac{A}{{\left(z-z_{\infty }\right)}^m}\left(1+o\left(1\right)\right)$,,

, $w\left(z\right)=\frac{D}{{\left(z-z_{\infty }\right)}^q}\left(1+o\left(1\right)\right)$,

由(2)式成立可知，若继设 $\max \left\{m,n,p,q\right\}=m$，根据等式两边对称性，则中至少有两个亚纯函数的极点重数是相同的，不妨设 $\max \left\{m,n,p,q\right\}=m=n\ge p\ge q$。根据(5)式，

$\tau =\frac{g^2{g}^{\prime }{h}^2{h}^{\prime }{w}^2{w}^{\prime }}{f^{12}}\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 14\frac{g^{\prime }}{g}+\frac{g^{″}}{g^{\prime }}& 14\frac{h^{\prime }}{h}+\frac{h^{″}}{h^{\prime }}& 14\frac{w^{\prime }}{w}+\frac{w^{″}}{w^{\prime }}\\ L_4\left(g\right)& L_4\left(h\right)& L_4\left(w\right)\end{array}\right|$,(9)

其中，(其中 $\mu$为非常数亚纯函数)。

而行列式

$\begin{array}{l}\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 14\frac{g^{\prime }}{g}+\frac{g^{″}}{g^{\prime }}& 14\frac{h^{\prime }}{h}+\frac{h^{″}}{h^{\prime }}& 14\frac{w^{\prime }}{w}+\frac{w^{″}}{w^{\prime }}\\ L_4\left(g\right)& L_4\left(h\right)& L_4\left(w\right)\end{array}\right|\\ =\{\left[\left(14\frac{h^{\prime }}{h}+\frac{h^{″}}{h^{\prime }}\right)-\left(14\frac{g^{\prime }}{g}+\frac{g^{″}}{g^{\prime }}\right)\right]\left[\left(182{\left(\frac{w^{\prime }}{w}\right)}^2+42\frac{w^{″}}{w}+\frac{w^{‴}}{w^{\prime }}\right)-\left(182{\left(\frac{g^{\prime }}{g}\right)}^2+42\frac{g^{″}}{g}+\frac{g^{‴}}{g^{\prime }}\right)\right]\\ -\left[\left(14\frac{w^{\prime }}{w}+\frac{w^{″}}{w^{\prime }}\right)-\left(14\frac{g^{\prime }}{g}+\frac{g^{″}}{g^{\prime }}\right)\right]\left[\left(182{\left(\frac{h^{\prime }}{h}\right)}^2+42\frac{h^{″}}{h}+\frac{h^{‴}}{h^{\prime }}\right)-\left(182{\left(\frac{g^{\prime }}{g}\right)}^2+42\frac{g^{″}}{g}+\frac{g^{‴}}{g^{\prime }}\right)\right]\}\end{array}$(10)

通过代换 $f,g,h,w$的洛朗展开式进行运算可得，上面的行列式实际可以表示为，同样通过代换 $f,g,h,w$的洛朗展开式计算可得到 $\frac{g^2{g}^{\prime }{h}^2{h}^{\prime }{w}^2{w}^{\prime }}{f^{12}}=R{\left(z-z_{\infty }\right)}^{12m-3\left(n+p+q+1\right)}\left(1+o\left(1\right)\right)$(其中 $R=\frac{-B^3{C}^3{D}^{3}npq}{A^{12}}$是常数)，从而由(9)式可知，当

$12m-3\left(n+p+q+1\right)\ge 3$(*)

时， $z_{\infty }$不是 $\tau$的极点。下面我们将分类讨论如下：

I) 若 $m=n=p=q\ge 2$，

易见此情况下满足(*)式，故此时 $z_{\infty }$不是 $\tau$的极点。

II) 若，

此情况下 $q\ge 2,m\ge 3$，也是符合(*)式，故此时 $z_{\infty }$不是 $\tau$的极点。

III) 若 $m=n>p\ge q\ge 1$，

此情况下 $q\ge 1,p\ge 1,m\ge 2$，也是符合(*)式，故此时 $z_{\infty }$不是 $\tau$的极点。

IV) $m=n\ge p>q\ge 1$，

此情况下 $q\ge 1,p\ge 2,m\ge 2$，符合(*)式，故此时 $z_{\infty }$不是 $\tau$的极点。

V) $m=n\ge p>q=0$，

即在 $z_{\infty }$处函数解析而另外三个函数不解析，该情况下 $q=0,p\ge 1,m=n\ge 1$，显然符合(*)式，故此时 $z_{\infty }$不是 $\tau$的极点。

VI) $m=n=p=q=1$，

不妨设 $z_{\infty }=0$为的公共单级极点，则 $f\left(z\right),g\left(z\right),h\left(z\right),w\left(z\right)$在0处的洛朗展开式为

， $g\left(z\right)=\frac{B}{z}+B_0+B_{1}z+B_2{z}^2+B_3{z}^3+O\left(z^4\right)$，

$h\left(z\right)=\frac{C}{z}+C_0+C_{1}z+C_2{z}^2+C_3{z}^3+O\left(z^4\right)$， $w\left(z\right)=\frac{D}{z}+D_0+D_{1}z+D_2{z}^2+D_3{z}^3+O\left(z^4\right)$。

通过计算可知(10)式在公共单级极点处可能产生一阶极点，从而 $$在公共单级极点处可能不解析。

综上所述，若非常数亚纯函数 $f\left(z\right),g\left(z\right),h\left(z\right),w\left(z\right)$无公共单级极点，则 $\tau$为整函数，引理4得证。

3. 定理1的证明

记为引理4中所定义的行列式，由引理4的证明过程知，且由(5)、(6)、(7)、(8)可得

${\tau }^4=\frac{1}{{\left(fghw\right)}^3}\left|\begin{array}{ccc}\frac{g^{\prime }}{g}& \frac{h^{\prime }}{h}& \frac{w^{\prime }}{w}\\ L_5\left(g\right)& L_5\left(h\right)& L_5\left(w\right)\\ L_6\left(g\right)& L_6\left(h\right)& L_6\left(w\right)\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{ccc}\frac{f^{\prime }}{f}& \frac{h^{\prime }}{h}& \frac{w^{\prime }}{w}\\ L_5\left(f\right)& L_5\left(h\right)& L_5\left(w\right)\\ L_6\left(f\right)& L_6\left(h\right)& L_6\left(g\right)\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{ccc}\frac{f^{\prime }}{f}& \frac{g^{\prime }}{g}& \frac{w^{\prime }}{w}\\ L_5\left(f\right)& L_5\left(g\right)& L_5\left(w\right)\\ L_6\left(f\right)& L_6\left(g\right)& L_6\left(w\right)\end{array}\right|\cdot \left|\begin{array}{ccc}\frac{f^{\prime }}{f}& \frac{g^{\prime }}{g}& \frac{h^{\prime }}{h}\\ L_5\left(f\right)& L_5\left(g\right)& L_5\left(h\right)\\ L_6\left(f\right)& L_6\left(g\right)& L_6\left(h\right)\end{array}\right|$

其中 $L_5\left(\mu \right)=14{\left(\frac{{\mu }^{\prime }}{\mu }\right)}^2+\frac{{\mu }^{″}}{\mu }$； $L_6\left(\mu \right)=182{\left(\frac{{\mu }^{\prime }}{\mu }\right)}^3+42\frac{{\mu }^{\prime }}{\mu }\cdot \frac{{\mu }^{″}}{\mu }+\frac{{\mu }^{‴}}{\mu }$( $\mu$为非常数亚纯函数)。

从而有

$\begin{array}{c}{\tau }^{15}=\frac{{\tau }^3}{{\left(fghw\right)}^9}{\left|\begin{array}{ccc}\frac{g^{\prime }}{g}& \frac{h^{\prime }}{h}& \frac{w^{\prime }}{w}\\ L_5\left(g\right)& L_5\left(h\right)& L_5\left(w\right)\\ L_6\left(g\right)& L_6\left(h\right)& L_6\left(w\right)\end{array}\right|}^3\cdot {\left|\begin{array}{ccc}\frac{f^{\prime }}{f}& \frac{h^{\prime }}{h}& \frac{w^{\prime }}{w}\\ L_5\left(f\right)& L_5\left(h\right)& L_5\left(w\right)\\ L_6\left(f\right)& L_6\left(h\right)& L_6\left(g\right)\end{array}\right|}^3\\ \cdot {\left|\begin{array}{ccc}\frac{f^{\prime }}{f}& \frac{g^{\prime }}{g}& \frac{w^{\prime }}{w}\\ L_5\left(f\right)& L_5\left(g\right)& L_5\left(w\right)\\ L_6\left(f\right)& L_6\left(g\right)& L_6\left(w\right)\end{array}\right|}^3\cdot {\left|\begin{array}{ccc}\frac{f^{\prime }}{f}& \frac{g^{\prime }}{g}& \frac{h^{\prime }}{h}\\ L_5\left(f\right)& L_5\left(g\right)& L_5\left(h\right)\\ L_6\left(f\right)& L_6\left(g\right)& L_6\left(h\right)\end{array}\right|}^3\end{array}$(**)

因为非常数亚纯函数满足费马型函数方程(2)，所以，又 $\min \left\{{\rho }_f,{\rho }_g,{\rho }_h,{\rho }_w\right\}<\frac{1}{2}$，所以有 ${\rho }_f={\rho }_g={\rho }_h={\rho }_w<\frac{1}{2}$，下面分两种情况来讨论：

情况一：若非常数亚纯函数 $f\left(z\right),g\left(z\right),h\left(z\right),w\left(z\right)$无公共单级极点，则采用反证法，假设函数方程(2)存在级小于 $\frac{1}{2}$的非常数亚纯函数解，根据引理1知

${\rho }_f={\rho }_{f^{\prime }}={\rho }_{f^{″}}={\rho }_{f^{‴}}$, ${\rho }_g={\rho }_{g^{\prime }}={\rho }_{g^{″}}={\rho }_{g^{‴}}$,

${\rho }_h={\rho }_{h^{\prime }}={\rho }_{h^{″}}={\rho }_{h^{‴}}$,。

于是 $\max \left\{{\rho }_f,\cdots ,{\rho }_{f^{‴}},{\rho }_g,\cdots ,{\rho }_{g^{‴}},{\rho }_h,\cdots ,{\rho }_{h^{‴}},{\rho }_w,\cdots ,{\rho }_{w^{‴}}\right\}<\frac{1}{2}$，又根据引理2和(**)式有

再结合引理4的结论知 $\tau$为整函数，则 $\tau \left(z\right)=0$，这与 $\tau \left(z\right)\cancel{\equiv }0$矛盾。

情况二：若非常数亚纯函数 $f\left(z\right),g\left(z\right),h\left(z\right),w\left(z\right)$仅有一个公共单级极点 $z_0$，不妨设 $z_0=0$，由函数方程(2)有 $f^{15}\left(z^2\right)+g^{15}\left(z^2\right)+h^{15}\left(z^2\right)+w^{15}\left(z^2\right)=1$成立，兹令

$F\left(z\right)=f\left(z^2\right),G\left(z\right)=g\left(z^2\right),H\left(z\right)=h\left(z^2\right),W\left(z\right)=w(z2)$

则有 $F^{15}\left(z\right)+G^{15}\left(z\right)+H^{15}\left(z\right)+W^{15}\left(z\right)=1$，且 ${\rho }_F={\rho }_G={\rho }_H={\rho }_W=2{\rho }_f<2\times \frac{1}{2}=1$，而非常数亚纯函数 $f\left(z\right),g\left(z\right),h\left(z\right),w\left(z\right)$仅有一个公共单重极点0，则 $F\left(z\right),G\left(z\right),H\left(z\right),W\left(z\right)$无公共单级极点，此时可转化为同情况一一样的讨论亦得出矛盾。

综上，定理1得证。

[1] 杨乐. 值分布论及其新研究[M]. 北京: 科学出版社, 1982.

[2] Gundersen, G.G. (2003) Complex Functional Equations.

[3] 苏敏, 李玉华. 关于函数方程非平凡亚纯解的研究[J]. 云南师范大学学报: 自然科学版, 2009, 29(2): 44.

[4] 仪洪勋, 杨重骏. 亚纯函数唯一性理论[M]. 北京: 科学出版社, 1995.

[5] Li, Y.H. (2000) Uniqueness Theorems for Meromorphic Functions of Order Less than One. Northeastern Mathematical Journal, 16, 411-416.

[6] 顾永兴, 庞学诚, 方明亮. 正规族理论及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2007.

参考文献

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