1. 引言
时间序列 [1] 是按时间顺序排列的，随时间变化且相互关联的数据序列。从统计意义上看，时间序列就是将某一个指标在不同时间上的不同数值，按时间顺序排列的数列。时间序列有以下特点：第一，时间序列中的数值或数据点的位置与时间有关，即数据的取值依赖于时间的变化，但不一定是时间t的严格函数；第二，每一时刻的取值或数据点的位置具有随机性，不能完全用历史值预测；第三，前后时刻(不一定是相邻时刻)的数值或数据点的位置有一定的相关性(系统的动态规律性)；第四，从整体上看，时间序列往往具有某种趋势性或周期性变化。
时间序列分析方法分为描述性时间序列分析和统计性时间序列分析，描述性时间序列分析是指通过直观的数据比较，寻找时间序列的内在规律；统计性时间序列分析又可以分为频域分析法和时域分析法，频域分析法是把时间序列看作互不相关的周期(频率)分量的叠加，通过研究各分量的周期变化，以充分揭示时间序列的规律；时域分析法的基本思想是：序列值之间存在着一定的相关关系，这种相关关系具有一定的统计规律，我们的目的就是寻找这种规律，并构建数学模型来描述这种规律，进一步利用这个模型来预测序列未来的走势。
时域分析法最早产生于1927年，由英国统计学家尤尔提出了自回归模型，1931年，英国数学家、天文学家沃克提出了移动平均模型和自回归移动平均模型。1970年，美国统计学家博克斯与英国统计学家詹金斯合著了《时间序列分析、预测与控制》。1982年，美国统计学家、计量经济学家恩格尔提出了自回归条件异方差模型。1985年博勒斯洛夫提出了广义自回归条件异方差模型。1987年，英国统计学家、计量经济学家格兰杰提出了协整理论，为多变量时间序列建模拓宽了条件，使得“变量是平稳的”不再是必需条件。
2. 主要内容
2.1. 背景
麻疹 [2] 是现今儿童非常常见的急性呼吸道传染病之一，它的传染性很强，特别是在人口密集但没有普种疫苗的地区易发生流行。麻疹病毒属于副黏液病毒，通过呼吸道分泌物飞沫传播。其发病特征是：发热、上呼吸道炎症、眼结膜炎及皮肤出现红色斑丘疹和颊黏膜上有麻疹黏膜斑，疹退后遗留色素沉着伴糠麸样脱屑。常并发呼吸道疾病如中耳炎、喉–气管炎、肺炎等，麻疹脑炎、亚急性硬化性全脑炎等严重并发症。目前尚无特效药物进行治疗。
本文研究旨在利用历年的麻疹监测数据，通过曲线拟合和参数估计建立数学模型，对麻诊发病进行预测和预警，为麻疹的预防控制提供理论依据 [3] 。
2.2. 数据来源
本文的数据资料来自公共卫生科学数据中心，其采集了从1950年到2014年期间，北京市，安徽省，河北省等三十多个省市地区的发病人数，死亡人数，发病率以及死亡率。
首先，我们来看一下从1950年到2014年期间，全国的麻疹 [4] 发病率和死亡率如图1，图2所示，我们可以看出在1956年之前，麻疹的发病率呈直线上升趋势，但死亡率呈周期性变化，在1956年到1974
Figure 1. Morbidity time series chart
图1. 发病率时间序列图
Figure 2. Mortality time series chart
图2. 死亡率时间序列图
年之间，麻疹发病率和死亡率呈周期性波动，从1974年到2014年，麻疹的发病率以及死亡率逐渐减小，趋于一个定值。下面我们就全国麻疹发病率数据进行研究。
2.3. 模型
20世纪60年代，George Box与Gwilym Jenkins提出了一种关于时间序列分析、预测的方法，称之为B-J模型，也叫做ARMA (Auto Regression Moving Average)模型。ARMA模型 [5] 的基本模型有三种情况：自回归模型(AR模型)；滑动平均模型(MA模型)；自回归滑动平均模型(ARMA模型) [6] 。
下面介绍一下指数平滑法 [7] ，这是一种加权移动平均，即可以用来描述时间序列的变化趋势，也可以实现时间序列的预测。它实现预测的基本原理是：用时间序列过去取值的加权平均来作为未来的预测值，离当前时间越近，它的权重就越大。
其模型的数学表达式为：对于一个时间序列
，满足：
其中，
表示时间序列第
时刻的预测值，
表示时间序列在第
时刻的实际观测值，
表示时间序列在第
时刻的预测值，
表示平滑系数，其中
。
下面我们对每年全国麻疹发病率进行拟合，则模型统计指标如表1，表2所示。
我们可以看一下2010年到2014年的真实值与预测值(置信区间为95%)如表3所示。
如图3所示，我们可以看出，拟合效果较好。且模型参数
的估计值为0.491。
2.4. 结论
由上述的模型，我们可以很好的预测短期麻疹发病率，并基于所得到的预测值进行麻疹预防工作 [8] ，有效防止麻疹的传染，并对麻疹病人进行有效治疗与控制，不过我们的模型还可以进一步的改进，使预测值更加准确。我们可以观察一下我国各个省份的麻疹发病率如图4所示。
从图4可以看出，不同的地域，麻疹的发病率并不相同，前期，上海，北京的麻疹发病率明显高于其他地区，但后期的麻疹发病率低于其他地区，其原因可能与人口密集度有关，由于北京和上海的人口密度明显大于其他地区，人口流动性也最快，后期由于其医疗水平提升的最快，所以麻疹的发病率低于其他地区，当然麻疹的发病率也有其他原因，还需要我们进一步研究。
表1. 模型统计量
Table 2. Exponential smoothing model parameters
表2. 指数平滑法模型参数
表3. 预测值与实际值
Figure 4. Measles incidence map around
图4. 各地麻疹发病率统计图
致谢
感谢我的导师对我的悉心教导，感谢我的同学和朋友在学习、生活上的关心和帮助，最后，感谢我的家人，一直以来，无论是学习和生活，都离不开他们的支持、照顾和理解。
基金项目
安徽工业大学研究生创新基金资助(2016137)。