DOI:10.12677/SA.2017.65058,PDF,HTML,XML,被引量下载: 1,473浏览: 2,802国家自然科学基金支持
作者:韩 咪^*,马世霞,李 桐：河北工业大学，天津
关键词:二维对偶模型；阈值策略；扩散；比例交易费用；拉普拉斯变换；Two-Dimensional Dual Model；Threshold Strategy；Diffusion；Proportional Transaction Costs；Laplace Transform

文章引用：韩咪, 马世霞, 李桐. 二维对偶模型的最优分红[J]. 统计学与应用, 2017, 6(5): 516-525. https://doi.org/10.12677/SA.2017.65058

1. 引言

在风险理论研究中分红问题是一个研究热点，以研究经典风险模型和对偶风险模型的分红问题为主。经典的风险模型主要适用于有长时间持续收入和随机支出的公司，在保险公司中的表现最为明显。对偶模型则适用于有长时间持续花费和随机收入的公司，在研发公司中的表现尤为明显。

近些年，有许多学者对二维的模型进行了研究。在2003年Chan等 [1] 首次就二维风险模型关于破产概率问题进行了研究。随后，文献 [2] [3] 对二维风险模型的破产问题做了进一步的研究。Czarna等 [4] 研究了脉冲控制下二维复合泊松风险模型的分红问题，当索赔服从指数时解得了值函数的确切表达式。Zhang等 [5] 建立了两类索赔相关联的风险模型并求得了最优边界分红策略。受以上文章的启发，我们考虑阈值策略下的二维对偶模型。此模型可适用于投资两种项目的企业，例如一个企业同时投资石油产业和制药产业。两种项目的初始准备金来自于同一企业，且有长时间的连续消费和各自随机的收入。考虑到比例交易费用和经济波动因素，我们研究的是带比例交易费用和扩散的二维对偶模型。目标是使得到破产时刻分红现值的期望最大化。

2. 模型的建立

设定一个完备的概率空间 $\left(\Omega ,F,{\left\{F_t\right\}}_{t\ge 0},P\right)$。 $\left\{X_1\left(t\right);t\ge 0\right\}$和 $\left\{X_2\left(t\right);t\ge 0\right\}$分别表示投资公司在 $t$时刻两种项目的盈余且它们关于 ${\left\{F_t\right\}}_{t\ge 0}$是适应的。两种项目盈余过程为

$X_1\left(t\right)=x_1-c_{11}t+{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{N_1\left(t\right)}{\sum }}{U}_n},X_2\left(t\right)=x_2-c_{12}t+{\displaystyle \underset{n=1}{\overset{N_2\left(t\right)}{\sum }}{V}_n},$

其中， $x_1\ge 0$， $x_2\ge 0$为两种项目的初始准备金， $c_{11}\ge 0$和 $c_{12}\ge 0$是对应的固定花费率。 $\left\{N_1\left(t\right);t\ge 0\right\}$， $\left\{N_2\left(t\right);t\ge 0\right\}$是两个参数分别为 ${\lambda }_1$， ${\lambda }_2$的相互独立的泊松过程。 $\left\{U_n;n\ge 1\right\}$是第一种项目的收益额， $\left\{V_n;n\ge 1\right\}$是第二种项目的收益额。我们设定 $U_1,U_2,U_3,\cdots$是相互独立且同分布的正随机变量，其分布函数为 $F_U\left(x\right)$。 $V_1,V_2,V_3,\cdots$是相互独立且同分布的正随机变量，其分布函数为 $F_V\left(x\right)$。

因主要考虑公司总的盈余情况，即

$X\left(t\right)=x-c_{1}t+S_1\left(t\right)+S_2\left(t\right)+\sigma W\left(t\right),t\ge 0$

此处， $x=x_1+x_2$， $c_1=c_{11}+c_{12}$， $S_1\left(t\right)={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{N_1\left(t\right)}{\sum }}{U}_n}$， $S_2\left(t\right)={\displaystyle \underset{n=1}{\overset{N_2\left(t\right)}{\sum }}{V}_n}$， $\left\{W\left(t\right);t\ge 0\right\}$为标准的布朗运动， $\sigma$是 $\left\{W\left(t\right);t\ge 0\right\}$的扩散系数。此外， $\left\{N_1\left(t\right);t\ge 0\right\}$， $\left\{N_2\left(t\right);t\ge 0\right\}$， $\left\{U_n;n\ge 1\right\}$， $\left\{V_n;n\ge 1\right\}$和 $\left\{W\left(t\right);t\ge 0\right\}$是相互独立的。

公司执行以 $b$为边界的阈值分红策略来控制公司盈余。当盈余超过 $b$时，公司以速率 $c_2-c_1$进行分红，即盈余下降速率为 $c_2$( $c_2>c_1$)；盈余未达 $b$时，没有分红，盈余下降速率为 $c_1$。可表示为

$\text{d}X\left(t\right)=-C\left(X\left(t\right)\right)\text{d}t+\text{d}{S}_1\left(t\right)+\text{d}{S}_2\left(t\right)+\sigma \text{d}W\left(t\right),X\left(0\right)=x,$

其中，

$C\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{c}_1,\hfill & 0<x\le b,\hfill \\ c_2,\hfill & x>b.\hfill \end{array}$(1)

定义 $T=inf\left\{t:X\left(t\right)<0\right\}$(任意 $t\ge 0$， $X\left(t\right)>0$则 $T=\infty$)为公司的破产时刻。 $I\left(A\right)$表示：事件 $A$发生，则 $I\left(A\right)$取值为1， $A$事件未发生，则 $I\left(A\right)$取值为0。设定交易比例为 $\eta \in \left(0,1\right]$，即若公司分红为 $\vartheta$，则股东实际可以得到 $\eta \vartheta$。故到破产时刻公司分红现值的期望表达式为

$V\left(x,b\right)=E\left[{\displaystyle {\int }_0^T\eta }\left(c_2-c_1\right){\text{e}}^{-\delta t}I\left(X\left(t\right)>b\right)\text{d}t\right],$

其中， $\delta >0$为折现因子。

3. 积分–微分方程

定理1： $V\left(x,b\right)$满足以下的积分微分方程组，

当 $0\le x<b$时，

$\begin{array}{l}\frac{{\sigma }^2}{2}{V}_{xx}\left(x,b\right)-c_1{V}_x\left(x,b\right)-\left({\lambda }_1+{\lambda }_2+\delta \right)V\left(x,b\right)\\ +{\lambda }_1{\displaystyle {\int }_0^{\infty }V}\left(x+u,b\right)\text{d}{F}_U\left(u\right)+{\lambda }_2{\displaystyle {\int }_0^{\infty }V}\left(x+v,b\right)\text{d}{F}_V\left(v\right)=0,\end{array}$(2)

当 $x>b$时，

$\begin{array}{l}\frac{{\sigma }^2}{2}{V}_{xx}\left(x,b\right)-c_2{V}_x\left(x,b\right)-\left({\lambda }_1+{\lambda }_2+\delta \right)V\left(x,b\right)\\ +{\lambda }_1{\displaystyle {\int }_0^{\infty }V}\left(x+u,b\right)\text{d}{F}_U\left(u\right)+{\lambda }_2{\displaystyle {\int }_0^{\infty }V}\left(x+v,b\right)\text{d}{F}_V\left(v\right)+\eta \left(c_2-c_1\right)=0,\end{array}$(3)

初始条件为 $V\left(0,b\right)=0$，连续条件为 $V\left(b-,b\right)=V\left(b+,b\right)$且 $V_x\left(b-,b\right)=V_x\left(b+,b\right)$。

证明：首先我们考虑 $x>b$时的情况，取一个足够小的时间 $h$使得 $x-c_{2}h>b$，则在区间 $\left(0,h\right)$内发生的时间分为以下四种情况：

(1) 在到时刻 $h$前，两类项目均无收益；

(2) 在到时刻 $h$前，第一类项目有收益第二类项目无收益；

(3) 在到时刻 $h$前，第一类项目无收益第二类项目有收益；

(4) 在到时刻 $h$前，两类项目都有收益；

$\begin{array}{c}V\left(x,b\right)=\eta \left(c_2-c_1\right){\displaystyle {\int }_0^h{\text{e}}^{-\delta t}}\text{d}t+\left(1-\delta h\right)\{\left(1-{\lambda }_{1}h\right)\left(1-{\lambda }_{2}h\right)E\left[V\left(x-c_{2}h+\sigma W\left(h\right),b\right)\right]\\ +{\lambda }_{1}h\left(1-{\lambda }_{2}h\right){\displaystyle {\int }_0^{\infty }E}\left[V\left(x+u-c_{2}h+\sigma W\left(h\right),b\right)\right]\text{d}{F}_U\left(u\right)\\ +\left(1-{\lambda }_{1}h\right){\lambda }_{2}h{\displaystyle {\int }_0^{\infty }E}\left[V\left(x+v-c_{2}h+\sigma W\left(h\right),b\right)\right]\text{d}{F}_V\left(v\right)\}+o\left(h\right).\end{array}$(4)

用泰勒公式展开 $V\left(x-c_{2}h+\sigma W\left(h\right),b\right)$，得到

$V\left(x-c_{2}h+\sigma W\left(h\right),b\right)=V\left(x,b\right)+V_x\left(x,b\right)\left(-c_{2}h+\sigma W\left(h\right)\right)+V_{xx}\left(x,b\right)\frac{{\left(-c_{2}h+\sigma W\left(h\right)\right)}^2}{2}+o\left(h\right).$

由布朗运动的性质，对上式取期望可得

$E\left[V\left(x-c_{2}h+\sigma W\left(h\right),b\right)\right]=V\left(x,b\right)-c_{2}h{V}_x\left(x,b\right)+\frac{{\sigma }^2}{2}h{V}_{xx}\left(x,b\right)+o\left(h\right).$(5)

将(5)代入(4)可得

$\begin{array}{l}\frac{{\sigma }^2}{2}h{V}_{xx}\left(x,b\right)+\eta h\left(c_2-c_1\right)-c_{2}h{V}_x\left(x,b\right)-\left({\lambda }_1+{\lambda }_2+\delta \right)hV\left(x,b\right)\\ +{\lambda }_{1}h{\displaystyle {\int }_0^{\infty }V}\left(x+u,b\right)\text{d}{F}_U\left(u\right)+{\lambda }_{2}h{\displaystyle {\int }_0^{\infty }V}\left(x+v,b\right)\text{d}{F}_V\left(v\right)+o\left(h\right)=0.\end{array}$(6)

然后对(6)式两侧关于 $h$求导并令 $h\to 0$可得(3)。利用类似的讨论方式可以得到积分微分方程(2)。

当公司的初始准备金为零时，公司立即破产，即分红现值的期望为零。故初始条件满足。

注1：① 尽管 $V\left(x,b\right)$和 $V_x\left(x,b\right)$在点 $b$是连续的，但 $V_{xx}\left(x,b\right)$未必是连续的。而由(2)可得

$\begin{array}{l}\frac{{\sigma }^2}{2}{V}_{xx}\left(b-,b\right)-c_1{V}_x\left(b-,b\right)-\left({\lambda }_1+{\lambda }_2+\delta \right)V\left(b-,b\right)\\ +{\lambda }_1{\displaystyle {\int }_0^{\infty }V}\left(b+u,b\right)\text{d}{F}_U\left(u\right)+{\lambda }_2{\displaystyle {\int }_0^{\infty }V}\left(b+v,b\right)\text{d}{F}_V\left(v\right)=0,\end{array}$

由(3)可得

$\begin{array}{l}\frac{{\sigma }^2}{2}{V}_{xx}\left(b+,b\right)-c_2{V}_x\left(b+,b\right)-\left({\lambda }_1+{\lambda }_2+\delta \right)V\left(b+,b\right)\\ +{\lambda }_1{\displaystyle {\int }_0^{\infty }V}\left(b+u,b\right)\text{d}{F}_U\left(u\right)+{\lambda }_2{\displaystyle {\int }_0^{\infty }V}\left(b+v,b\right)\text{d}{F}_V\left(v\right)+\eta \left(c_2-c_1\right)=0.\end{array}$

将以上两式相减可得

$\frac{{\sigma }^2}{2}\left[V_{xx}\left(b-,b\right)-V_{xx}\left(b+,b\right)\right]+c_2{V}_x\left(b+,b\right)-c_1{V}_x\left(b-,b\right)=\eta \left(c_2-c_1\right),$

上式说明当 $V_{xx}\left(b-,b\right)=V_{xx}\left(b+,b\right)$时，若 $V_x\left(b+,b\right)=V_x\left(b-,b\right)=\eta$则上式成立。这一结论在后面确定最优分红边界时会用到。

② $V\left(x,b\right)$是有界的。

因为 $\left(c_2-c_1\right){\displaystyle {\int }_0^T{\text{e}}^{-\delta t}}\eta I\left(X\left(t\right)>b\right)\text{d}t\le \left(c_2-c_1\right){\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-\delta t}}\eta I\left(X\left(t\right)>b\right)\text{d}t$,

易得 $0\le V\left(x,b\right)\le \frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }$。

注2：为方便起见，我们做如下定义：

$V\left(x,b\right)=\{\begin{array}{ll}{V}_1\left(x\right),\hfill & 0<x<b,\hfill \\ V_2\left(x\right),\hfill & x>b.\hfill \end{array}$(7)

则(2)和(3)可重新改写成如下方程组

当 $0\le x<b$时，

$\begin{array}{l}\frac{{\sigma }^2}{2}{V^{″}}_1\left(x\right)-c_1{V^{\prime }}_1\left(x\right)-\left(\lambda +\delta \right)V_1\left(x\right)+{\lambda }_1{\displaystyle {\int }_0^{b-x}{V}_1}\left(x+u\right)\text{d}{F}_U\left(u\right)\\ +{\lambda }_1{\displaystyle {\int }_{b-x}^{\infty }{V}_2}\left(x+u\right)\text{d}{F}_U\left(u\right)+{\lambda }_2{\displaystyle {\int }_0^{b-x}{V}_2}\left(x+v\right)\text{d}{F}_V\left(v\right)+{\lambda }_2{\displaystyle {\int }_{b-x}^{\infty }{V}_2}\left(x+v\right)\text{d}{F}_V\left(v\right)=0,\end{array}$(8)

当 $x>b$时，

$\begin{array}{l}\frac{{\sigma }^2}{2}{V^{″}}_2\left(x\right)-c_2{V^{\prime }}_2\left(x\right)-\left(\lambda +\delta \right)V_2\left(x\right)+{\lambda }_1{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{V}_2}\left(x+u\right)\text{d}{F}_U\left(u\right)\\ +{\lambda }_2{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{V}_2}\left(x+v\right)\text{d}{F}_V\left(v\right)+\eta \left(c_2-c_1\right)=0,\end{array}$(9)

其中， $\lambda ={\lambda }_1+{\lambda }_1$，初始条件为 $V_1\left(0\right)=0$，连续条件为 $V_1\left(b-\right)=V_2\left(b+\right)$且 ${V^{\prime }}_1\left(b-\right)={V^{\prime }}_2\left(b+\right)$。

3.1. 收益服从指数分布

第一类项目的收益分布为 $\text{d}{F}_U\left(u\right)=\alpha {\text{e}}^{-\alpha u}$，第二类项目的收益分布为 $\text{d}{F}_V\left(v\right)=\beta {\text{e}}^{-\beta v}$。不失一般性，我们给定 $\alpha >\beta$。将分布函数代入到(9)式，变量替换后得到

当 $x>b$时，

$\begin{array}{l}\frac{{\sigma }^2}{2}{V^{″}}_2\left(x\right)-c_2{V^{\prime }}_2\left(x\right)-\left(\lambda +\delta \right)V_2\left(x\right)+{\lambda }_1{\displaystyle {\int }_x^{\infty }{V}_2}\left(u\right)\alpha {\text{e}}^{-\alpha \left(u-x\right)}\text{d}u\\ +{\lambda }_2{\displaystyle {\int }_x^{\infty }{V}_2}\left(v\right)\beta {\text{e}}^{-\beta \left(v-x\right)}\text{d}v+\eta \left(c_2-c_1\right)=0.\end{array}$(10)

令 $\mathcal{I}$表示值函数 $V_2\left(x\right)$的恒等算子， $\mathcal{Q}$表示值函数 $V_2\left(x\right)$的微分算子。对(10)两侧进行 $\mathcal{Q}\left(\mathcal{Q}-\alpha \mathcal{I}\right)-\beta \left(\mathcal{Q}-\alpha \mathcal{I}\right)$运算得到

$\begin{array}{l}\frac{{\sigma }^2}{2}{V}_2^{\left(4\right)}\left(x\right)-\left[\frac{{\sigma }^2}{2}\left(\alpha +\beta \right)+c_2\right]V_2^{\left(3\right)}\left(x\right)+\left[c_2\left(\alpha +\beta \right)-\left(\lambda +\delta \right)+\alpha \beta \frac{{\sigma }^2}{2}\right]V_2^{\left(2\right)}\left(x\right)\\ +\left[\left(\alpha +\beta \right)\left(\delta +\lambda \right)-{\lambda }_1\alpha -{\lambda }_2\beta -\alpha \beta c_2\right]{V^{\prime }}_2\left(x\right)-\alpha \beta \delta V_2\left(x\right)+\alpha \beta \eta \left(c_2-c_1\right)=0.\end{array}$

易见上面的四阶非齐次微分方程有一个特解 $\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }$。其所对应的特征微分方程为

$\begin{array}{l}\frac{{\sigma }^2}{2}{r}^4-\left[\frac{{\sigma }^2}{2}\left(\alpha +\beta \right)+c_2\right]r^3+\left[c_2\left(\alpha +\beta \right)-\left(\lambda +\delta \right)+\alpha \beta \frac{{\sigma }^2}{2}\right]r^2\\ +\left[\left(\alpha +\beta \right)\left(\delta +\lambda \right)-{\lambda }_1\alpha -{\lambda }_2\beta -\alpha \beta c_2\right]r-\alpha \beta \delta =0,\end{array}$

其有一个负根 $r_1$和三个正根 $r_2,r_3,r_4$( $r_1<0<r_2<\beta <r_3<\alpha <r_4$)，故

$V_2\left(x\right)=D_1{\text{e}}^{r_{1}x}+D_2{\text{e}}^{r_{2}x}+D_3{\text{e}}^{r_{3}x}+D_4{\text{e}}^{r_{4}x}+\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta },$(11)

其中， $D_1,D_2,D_3$和 $D_4$是待定的系数。

由注2可推知 $D_4\le 0$。为证 $D_4=0$，我们需研究 $V_2\left(x\right)$的微分

${V^{\prime }}_2\left(x\right)=D_1{r}_1{\text{e}}^{r_{1}x}+D_2{r}_2{\text{e}}^{r_{2}x}+D_3{r}_3{\text{e}}^{r_{3}x}+D_4{r}_4{\text{e}}^{r_{4}x}.$

若 $D_4<0$，当 $x$足够大时有 ${V^{\prime }}_2\left(x\right)<0$，这与 $V_2\left(x\right)$是递增的事实相矛盾，所以 $D_4=0$。同样可证得 $D_3=D_2=0$且 $D_1<0$，故

$V_2\left(x\right)=D_1{\text{e}}^{r_{1}x}+\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }.$

为求解 $V_1\left(x\right)$，需将 $V_1$和 $V_2$代入(8)得

当 $0\le x\le b$时，

$\begin{array}{l}\frac{{\sigma }^2}{2}{V^{″}}_1\left(x\right)-c_1{V^{\prime }}_1\left(x\right)-\left(\lambda +\delta \right)V_1\left(x\right)\\ +\alpha {\lambda }_1{\text{e}}^{\alpha x}\left[{\displaystyle {\int }_x^b{V}_1}\left(u\right){\text{e}}^{-\alpha u}\text{d}u+D_1{\displaystyle {\int }_b^{\infty }{\text{e}}^{\left(r_1-\alpha \right)u}}\text{d}u+\eta \frac{c_2-c_1}{\delta }{\displaystyle {\int }_b^{\infty }{\text{e}}^{-\alpha u}}\text{d}u\right]\\ +\beta {\lambda }_2{\text{e}}^{\beta x}\left[{\displaystyle {\int }_x^b{V}_1}\left(v\right){\text{e}}^{-\beta v}\text{d}v+D_1{\displaystyle {\int }_b^{\infty }{\text{e}}^{\left(r_1-\beta \right)v}}\text{d}v+\eta \frac{c_2-c_1}{\delta }{\displaystyle {\int }_b^{\infty }{\text{e}}^{-\beta v}}\text{d}v\right]=0,\end{array}$(12)

对上式两侧进行 $\mathcal{Q}\left(\mathcal{Q}-\alpha \mathcal{I}\right)-\beta \left(\mathcal{Q}-\alpha \mathcal{I}\right)$运算可得

$\begin{array}{l}\frac{{\sigma }^2}{2}{V}_1^{\left(4\right)}\left(x\right)-\left[\frac{{\sigma }^2}{2}\left(\alpha +\beta \right)+c_1\right]V_1^{\left(3\right)}\left(x\right)+\left[c_1\left(\alpha +\beta \right)-\left(\lambda +\delta \right)+\alpha \beta \frac{{\sigma }^2}{2}\right]V_1^{\left(2\right)}\left(x\right)\\ +\left[\left(\alpha +\beta \right)\left(\delta +\lambda \right)-{\lambda }_1\alpha -{\lambda }_2\beta -\alpha \beta c_1\right]{V^{\prime }}_1\left(x\right)-\alpha \beta \delta V_1\left(x\right)=0.\end{array}$

因此 $V_1\left(x\right)=E_1{\text{e}}^{s_{1}x}+E_2{\text{e}}^{s_{2}x}+E_3{\text{e}}^{s_{3}x}+E_4{\text{e}}^{s_{4}x}$，

其中， $E_1,E_2,E_3$和 $E_4$是待定的系数。 $s_1,s_2,s_3$和 $s_4$( $s_1<0<s_2<\beta <s_3<\alpha <s_4$)是对应特征方程的解，特征方程如下

$\begin{array}{l}\frac{{\sigma }^2}{2}{s}^4-\left[\frac{{\sigma }^2}{2}\left(\alpha +\beta \right)+c_2\right]s^3+\left[c_1\left(\alpha +\beta \right)-\left(\lambda +\delta \right)+\alpha \beta \frac{{\sigma }^2}{2}\right]s^2\\ +\left[\left(\alpha +\beta \right)\left(\delta +\lambda \right)-{\lambda }_1\alpha -{\lambda }_2\beta -\alpha \beta c_1\right]s-\alpha \beta \delta =0.\end{array}$

因初始条件为 $V_1\left(0\right)=0$，即

$E_1+E_2+E_3+E_4=0$(13)

又由连续条件 $V_1\left(b-\right)=V_2\left(b+\right)$得

$D_1{\text{e}}^{r_{1}b}+\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }=E_1{\text{e}}^{s_{1}b}+E_2{\text{e}}^{s_{2}b}+E_3{\text{e}}^{s_{3}b}+E_4{\text{e}}^{s_{4}b}.$(14)

此外，由一阶连续性 ${V^{\prime }}_1\left(b-\right)={V^{\prime }}_2\left(b+\right)$可得

$D_1{r}_1{\text{e}}^{r_{1}b}=E_1{s}_1{\text{e}}^{s_{1}b}+E_2{s}_2{\text{e}}^{s_{2}b}+E_3{s}_3{\text{e}}^{s_{3}b}+E_4{s}_4{\text{e}}^{s_{4}b}.$(15)

将 $V_1$和 $V_2$的表达式代入(12)，可得

然后将 ${\text{e}}^{\alpha x}$和 ${\text{e}}^{\beta x}$的系数化为零，得到

$\frac{E_1}{s_1-\alpha }{\text{e}}^{s_{1}b}+\frac{E_2}{s_2-\alpha }{\text{e}}^{s_{2}b}+\frac{E_3}{s_3-\alpha }{\text{e}}^{s_{3}b}+\frac{E_4}{s_4-\alpha }{\text{e}}^{s_{4}b}-\frac{D_1}{r_1-\alpha }{\text{e}}^{r_{1}b}+\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\alpha \delta }=0,$(16)

$\frac{E_1}{s_1-\beta }{\text{e}}^{s_{1}b}+\frac{E_2}{s_2-\beta }{\text{e}}^{s_{2}b}+\frac{E_3}{s_3-\beta }{\text{e}}^{s_{3}b}+\frac{E_4}{s_4-\beta }{\text{e}}^{s_{4}b}-\frac{D_1}{r_1-\beta }{\text{e}}^{r_{1}b}+\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\beta \delta }=0.$(17)

联立(13)~(17)可解得 $E_i\left(i=1,2,3,4\right)$和 $D_1$。故 $V\left(x,b\right)$的表达式为

$V\left(x,b\right)=\{\begin{array}{ll}{E}_1{\text{e}}^{s_{1}x}+E_2{\text{e}}^{s_{2}x}+E_3{\text{e}}^{s_{3}x}+E_4{\text{e}}^{s_{4}x},\hfill & 0\le x\le b,\hfill \\ D_1{\text{e}}^{r_{1}x}+\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta },\hfill & x>b.\hfill \end{array}$(18)

3.2. 用 $V_1\left(x\right)$求解 $V\left(x,b\right)$

当收益服从指数分布时，我们得到

$V_2\left(x\right)=D_1{\text{e}}^{r_{1}x}+\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta },$(19)

本节证明当收益服从任何分布时 $V\left(x,b\right)$可以用 $V_1\left(x\right)$来表示，因此只需求解 $V_1\left(x\right)$就可以得到值函数。

引理1：考虑没有分红的二维复合泊松模型，其以 $c$速率进行花费，

$\tilde{X}\left(t\right)=x-ct+S_1\left(t\right)+S_2\left(t\right)+\sigma W\left(t\right).$

破产时刻的Laplace变换 $\psi$满足

$\psi \left(x\right)=E\left[{\text{e}}^{-\delta \tilde{T}}|\tilde{X}\left(0\right)=x\right]={\text{e}}^{R_{\delta }x}$(20)

其中， $\tilde{T}=inf\left\{t:\tilde{X}\left(t\right)<0\right\}$(任意 $t\ge 0$有 $\tilde{X}\left(t\right)>0$则 $\tilde{T}=\infty$)是破产时刻。 $R_{\delta }$是以下拓展的Lundberg基本方程的非正根

$-\delta -c\theta +{\lambda }_1\left(M_U\left(\theta \right)-1\right)+{\lambda }_2\left(M_V\left(\theta \right)-1\right)+\frac{{\sigma }^2{\theta }^2}{2}=0,$

其中， $M_U\left(\theta \right)$是 $\left\{U_i,i\ge 1\right\}$的矩母生成函数， $M_V\left(\theta \right)$是 $\left\{V_i,i\ge 1\right\}$的矩母生成函数。

证明：定义一个过程 $Z_{\theta }\left(t\right)={\text{e}}^{-\delta t+\theta \tilde{X}\left(t\right)}$，考虑过程 $\left\{Z_{\theta }\left(t\right):t\ge 0\right\}$，因 $\left\{\tilde{X}\left(t\right)\right\}$具有独立平稳增量性，且 $\left\{Z_{\theta }\left(t\right)\right\}$是鞅当且仅当 $E\left(Z_{\theta }\left(t\right)\right)=Z_{\theta }\left(0\right)$，即

${\text{e}}^{-\delta t+\theta x-ct\theta +{\lambda }_{1}t\left(M_U\left(\theta \right)-1\right)+{\lambda }_{2}t\left(M_V\left(\theta \right)-1\right)+t\frac{{\sigma }^2{\theta }^2}{2}}={\text{e}}^{\theta x}.$

于是可以得到拓展的Lundberg基本方程

$-\delta -c\theta +{\lambda }_1\left(M_U\left(\theta \right)-1\right)+{\lambda }_2\left(M_V\left(\theta \right)-1\right)+\frac{{\sigma }^2{\theta }^2}{2}=0.$

令 $\varphi \left(\theta \right):=-c\theta +{\lambda }_1\left(M_U\left(\theta \right)-1\right)+{\lambda }_2\left(M_V\left(\theta \right)-1\right)+\frac{{\sigma }^2{\theta }^2}{2}$，可得到

$\underset{\theta \to -\infty }{\lim }\varphi \left(\theta \right)=+\infty ,\varphi \left(0\right)=0,$

${\varphi }^{″}\left(\theta \right)={\lambda }_1{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{u}^2}{\text{e}}^{-\theta u}\text{d}{F}_U\left(u\right)+{\lambda }_2{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{v}^2}{\text{e}}^{-\theta v}\text{d}{F}_V\left(v\right)+{\sigma }^2>0,$

因此 $\varphi \left(\theta \right)$在 $\left(-\infty ,0\right)$是凹函数， $\varphi \left(\theta \right)-\delta =0\left(\delta >0\right)$有唯一非正根记为 $R_{\delta }$。当 $0\le t\le \tilde{T}$时，有 $0<Z_{R_{\delta }}\left(t\right)\le 1$，故 $\left\{Z_{R_{\delta }}\left(t\wedge \tilde{T}\right)\right\}$为有界鞅。又由最优停时定理得到对任意 $t$有 $E\left(Z_{R_{\delta }}\left(t\wedge \tilde{T}\right)\right)=Z_{R_{\delta }}\left(0\right)$。应用局部收敛定理得 $E\left(Z_{R_{\delta }}\left(\tilde{T}\right)\right)=Z_{R_{\delta }}\left(0\right)$，也就是(20)。

定理2：当 $x>b$时，

$V\left(x,b\right)=\eta \left(c_2-c_1\right)\frac{1-{\text{e}}^{{\bar{R}}_{\delta }\left(x-b\right)}}{\delta }+{\text{e}}^{{\bar{R}}_{\delta }\left(x-b\right)}V\left(b,b\right),$(21)

${\bar{R}}_{\delta }$是以下拓展的Lundberg基本方程的唯一非正根

$\frac{{\sigma }^2{\theta }^2}{2}+{\lambda }_1\left(M_U\left(\theta \right)-1\right)+{\lambda }_2\left(M_V\left(\theta \right)-1\right)=\delta +c_2\theta .$

证明：盈余第一次下降 $\chi$个单位所用时间记为 ${\bar{T}}_{-\chi }$，其中 $\chi =x-b$。以 $\delta$为折现率，在 ${\bar{T}}_{-\chi }$时刻支付1个单位的数额折现值的期望表达式为 $E\left[{\text{e}}^{-\delta \bar{T}}|X\left(0\right)-b=\chi \right]$，由引理1知其等值于 $e^{\overline{R_{\delta }}\chi }$。在盈余下降到

$b$后到破产时的分红现值期望为

$\begin{array}{c}V\left(b+\chi \right)=V\left(x,b\right)\\ =E\left[\eta \left(c_2-c_1\right){\displaystyle {\int }_0^{{\bar{T}}_{-\chi }}{\text{e}}^{-\delta t}}|X\left(0\right)-b=\chi \right]+{\text{e}}^{\overline{R_{\delta }}\chi }V\left(b,b\right)\\ =-\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\left({\text{e}}^{\overline{R_{\delta }}\chi }-1\right)+{\text{e}}^{\overline{R_{\delta }}\chi }V\left(b,b\right)\\ =\eta \left(c_2-c_1\right)\frac{1-{\text{e}}^{{\bar{R}}_{\delta }\left(x-b\right)}}{\delta }+{\text{e}}^{{\bar{R}}_{\delta }\left(x-b\right)}V\left(b,b\right).\end{array}$

由定理2可知在对 $V_2\left(x\right)$求解时可以不用(8)。当 $0<x\le b$时，可直接将(21)代入(2)得到一个如下的积分微分方程来求解 $V\left(x,b\right)$。

$\begin{array}{l}\frac{{\sigma }^2}{2}{V}_{xx}\left(x,b\right)-c_1{V}_x\left(x,b\right)-\left(\lambda +\delta \right)V\left(x,b\right)+{\lambda }_1{\displaystyle {\int }_0^{b-x}V}\left(x+u,b\right)\text{d}{F}_U\left(u\right)\\ +{\lambda }_1\left\{{\displaystyle {\int }_{b-x}^{\infty }\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\text{d}{F}_U\left(u\right)}+\left[V\left(b,b\right)-\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\right]{\displaystyle {\int }_{b-x}^{\infty }{\text{e}}^{{\bar{R}}_{\delta }\left(x+u-b\right)}}\text{d}{F}_U\left(u\right)\right\}\\ +{\lambda }_2{\displaystyle {\int }_0^{b-x}V\left(x+v,b\right)\text{d}{F}_V\left(v\right)}+{\lambda }_2\{{\displaystyle {\int }_{b-x}^{\infty }\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\text{d}{F}_V\left(v\right)}\\ +\left[V\left(b,b\right)-\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\right]{\displaystyle {\int }_{b-x}^{\infty }{\text{e}}^{{\bar{R}}_{\delta }\left(x+v-b\right)}}\text{d}{F}_V\left(v\right)\}=0.\end{array}$(22)

4. Laplace变换

在二维的对偶模型中，当 $0<x\le b$时，也可以类似于 [6] 用 Laplace变换来求解 $V\left(x,b\right)$。用变量 $z=b-x$来替换 $x$， $z$表示初始盈余与阈值边界之间的距离，并定义

$H\left(z,b\right)=V\left(b-z,b\right),0\le z\le b.$(23)

初始条件为 $H\left(0,b\right)=V\left(b,b\right)$，边界条件为 $H\left(b,b\right)=0$。(22)式可变为

$\begin{array}{l}\frac{{\sigma }^2}{2}{H}_{zz}\left(z,b\right)-c_1{H}_z\left(z,b\right)-\left(\lambda +\delta \right)H\left(z,b\right)+{\lambda }_1{\displaystyle {\int }_0^{z}H}\left(y,b\right)P_U\left(z-y\right)\text{d}y\\ +{\lambda }_1\left\{\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\left(1-F_U\left(u\right)\right)+\left[H\left(0,b\right)-\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\right]{\displaystyle {\int }_z^{\infty }{\text{e}}^{{\bar{R}}_{\delta }\left(u-z\right)}}\text{d}{F}_U\left(u\right)\right\}\\ +{\lambda }_2{\displaystyle {\int }_0^{z}H}\left(y,b\right)P_V\left(z-y\right)\text{d}y+{\lambda }_2\{\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\left(1-F_V\left(v\right)\right)\\ +\left[H\left(0,b\right)-\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\right]{\displaystyle {\int }_z^{\infty }{\text{e}}^{{\bar{R}}_{\delta }\left(u-z\right)}}\text{d}{F}_V\left(v\right)\}=0.\end{array}$(24)

将(24)的定义域扩展为 $z\ge 0$，用 $w$来表示的解，则 $w$满足

$\begin{array}{l}\frac{{\sigma }^2}{2}{w}^{″}\left(z\right)-c_1{w}^{\prime }\left(z\right)-\left(\lambda +\delta \right)w\left(z\right)+{\lambda }_1{\displaystyle {\int }_0^{z}w}\left(y\right)P_U\left(z-y\right)\text{d}y\\ +{\lambda }_1\left\{\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\left(1-F_U\left(u\right)\right)+\left[w\left(0\right)-\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\right]{\displaystyle {\int }_z^{\infty }{\text{e}}^{{\bar{R}}_{\delta }\left(u-z\right)}}\text{d}{F}_U\left(u\right)\right\}\\ +{\lambda }_2{\displaystyle {\int }_0^{z}w}\left(y\right)P_V\left(z-y\right)\text{d}y+{\lambda }_2\{\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\left(1-F_V\left(v\right)\right)\\ +\left[w\left(0\right)-\frac{\eta (c_2-c_1)}{\delta }\right]{\displaystyle {\int }_z^{\infty }{\text{e}}^{{\bar{R}}_{\delta }\left(u-z\right)}}\text{d}{F}_V\left(v\right)\}=0.\end{array}$(25)

并且 $w\left(0\right)=V\left(b,b\right)$， $w\left(b\right)=0$。

令 $\hat{w}$， ${\hat{P}}_U$和 ${\hat{P}}_V$分别表示 $w$， $P_U$和 $P_V$的Laplace变换。对上式中 $w\left(z\right)$， $P_U\left(u\right)$和 $P_V\left(v\right)$均做Laplace变换，可得

$\begin{array}{l}\frac{{\sigma }^2{\xi }^2}{2}\hat{w}\left(\xi \right)-\frac{{\sigma }^2\xi }{2}w\left(0\right)-\frac{{\sigma }^2}{2}{w}^{\prime }\left(0\right)-c_1\xi \hat{w}\left(\xi \right)+c_{1}w\left(0\right)\\ -\left(\lambda +\delta \right)\hat{w}\left(z\right)+{\lambda }_1\hat{w}\left(\xi \right){\hat{P}}_U\left(\xi \right)+\frac{{\lambda }_1\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\frac{1-{\hat{P}}_U\left(\xi \right)}{\xi }\\ +{\lambda }_1\left[w\left(0\right)-\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\right]\frac{{\hat{P}}_U\left(-{\bar{R}}_{\delta }\right)-{\hat{P}}_U\left(\xi \right)}{\xi +{\bar{R}}_{\delta }}+{\lambda }_2\hat{w}\left(\xi \right){\hat{P}}_v\left(\xi \right)\\ +\frac{{\lambda }_2\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\frac{1-{\hat{P}}_v\left(\xi \right)}{\xi }+{\lambda }_2\left[w\left(0\right)-\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\right]\frac{{\hat{P}}_v\left(-{\bar{R}}_{\delta }\right)-{\hat{P}}_v\left(\xi \right)}{\xi +{\bar{R}}_{\delta }}=0,\end{array}$

其中， $\xi$是Laplace变换参数。可解得

$\hat{w}\left(\xi \right)=\frac{f\left(\xi \right)}{\frac{{\sigma }^2{\xi }^2}{2}-c_1\xi -\left(\lambda +\delta \right)+{\lambda }_1{\hat{P}}_U+{\lambda }_2{\hat{P}}_V},$(26)

其中，

$\begin{array}{c}f\left(\xi \right)=-\frac{{\lambda }_1\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\frac{1-{\hat{P}}_U\left(\xi \right)}{\xi }-{\lambda }_1\left[w\left(0\right)-\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\right]\frac{{\hat{P}}_U\left(-{\bar{R}}_{\delta }\right)-{\hat{P}}_U\left(\xi \right)}{\xi +{\bar{R}}_{\delta }}\\ -\frac{{\lambda }_2\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\frac{1-{\hat{P}}_v\left(\xi \right)}{\xi }-{\lambda }_2\left[w\left(0\right)-\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }\right]\frac{{\hat{P}}_v\left(-{\bar{R}}_{\delta }\right)-{\hat{P}}_v\left(\xi \right)}{\xi +{\bar{R}}_{\delta }}\\ +\frac{{\sigma }^2\xi }{2}w\left(0\right)+\frac{{\sigma }^2}{2}{w}^{\prime }\left(0\right)-c_{1}w\left(0\right).\end{array}$

由 $w\left(0\right)=V\left(b,b\right)$和 $w^{\prime }\left(0\right)=V_x\left(b,b\right)$可解得 $V\left(x,b\right)$和 $b$。过程如下：对(26)式求逆得到 $w\left(z\right)$，由 $w\left(b\right)=0$可解得 $b$值，最后代换得到当 $0\le x\le b$时， $V\left(x,b\right)=w\left(b-x\right)$。

5. 求解最优策略

本部分主要是求解阈值策略下的最优边界。在初始准备金为 $x$的条件下，我们需要找到最优的边界 $b^{*}$使得到破产时刻分红现值的期望 $V\left(x,b\right)$最大化。故 $V\left(x,b\right)$必满足

${\frac{\partial V\left(x,b\right)}{\partial b}|}_{b=b^{*}}=0.$(27)

若我们微分 $V_x\left(b-,b\right)=V_x\left(b+,b\right)$，可以得到另外一个恒等式

$V_{xx}\left(b-,b\right)+{\frac{{\partial }^{2}V\left(x,b\right)}{\partial x\partial b}|}_{b=b-}=V_{xx}\left(b+,b\right)+{\frac{{\partial }^{2}V\left(x,b\right)}{\partial x\partial b}|}_{b=b+}.$

由(27)可知当 $b=b^{*}$时上式两侧第二部分变为零。得

$V_{xx}\left(b^{*}-,b^{*}\right)=V_{xx}\left(b^{*}+,b^{*}\right).$

因此 $V_{xx}\left(x,b^{*}\right)$在点 $b^{*}$是连续的。由注1可得

$V_x\left(b^{*},b^{*}\right)=V_x\left(b^{*}-,b^{*}\right)=V_x\left(b^{*}+,b^{*}\right)=\eta .$

由定理2知

$V_x\left(x,b\right)=-\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }{\bar{R}}_{\delta }{\text{e}}^{{\bar{R}}_{\delta }\left(x-b\right)}+{\bar{R}}_{\delta }{\text{e}}^{{\bar{R}}_{\delta }\left(x-b\right)}V\left(b,b\right),$

所以

$V_x\left(b^{*},b^{*}\right)=-\frac{\eta \left(c_2-c_1\right)}{\delta }{\bar{R}}_{\delta }+{\bar{R}}_{\delta }V\left(b^{*},b^{*}\right)=\eta ,$

故

$V\left(b^{*},b^{*}\right)=\eta \left(\frac{c_2-c_1}{\delta }+\frac{1}{{\bar{R}}_{\delta }}\right).$(28)

(28)式是进行Laplace变换非常关键的一个条件，它等价于 $H\left(0,b^{*}\right)=\eta \left(\frac{c_2-c_1}{\delta }+\frac{1}{{\bar{R}}_{\delta }}\right)$。在(26)式中给出了 $w\left(0\right)=\eta \left(\frac{c_2-c_1}{\delta }+\frac{1}{{\bar{R}}_{\delta }}\right)$和 $w^{\prime }\left(0\right)=\eta$这两个条件，进而可由 $\hat{w}\left(\xi \right)$求逆得 $w\left(z\right)$。 $b^{*}$由 $w\left(z\right)=0$可解得，且当 $0\le x\le b^{*}$时有 $V\left(x,b^{*}\right)=w\left(b^{*}-x\right)$，又由定理2可求当 $x\ge b$时 $V\left(x,b\right)$的表达式。

基金项目

国家自然科学基金(11301133; 11471218)。