1. 引言
大气中的阻塞可以分为两类：一类是单个非偶极子阻塞，另一类是偶极子阻塞。有关它的研究已有30年了，最早进行研究的是叶笃正 [1] 等人。80年代初期，人们对阻塞形成理论已经做出很大贡献。Egger [2] 认为缓慢移动自由波与地形强迫之间的非线性作用可以产生阻塞。Charney和Devore [3] 提出了阻塞形成的理论，Tung和Lindzen [4] 认为阻塞高压是自由波和地形强迫波发生共振形成。Mcwilliams [5] 提出了 Equivalent Modon理论解释偶极子阻塞，之后Malguzzi和Malanotte-Rizzoli [6] [7] (1984, 1985)提出了用Rossby孤立波来解释大气中偶极子在阻塞中的形成过程。罗德海和纪立人 [8] [9] 用Algebraic Rossby理论解释大气中定常偶极子阻塞，论证了旋转正压大气中的非线性 Schrödinger方程和大气阻塞理论。并且，Federiskn [10] 和Schillings [11] 发现了大气中通过斜压不稳定，可以形成偶极子阻塞。本文在f平面下探讨偶极子阻塞，运用多重尺度法，得出了非线性Schrödinger型的包络Rossby孤立波理论，大致反映出偶极子阻塞的孤立波特点，体现偶极子阻塞的衰减机制。
2. f平面近似下正压模式与非线性Schrödinger方程
在不考虑地形作用的情况下，正压无辐散的正压自由大气涡度方程为：
(1)
其中
为流函数，U是简单的纬向基本流，f是科氏参数，
为二维的Laplace算子，
为Jacobian行列式，参数F为内旋转Foude数，是水平尺度与罗斯贝变形半径
之比的平方，关系式分别为：
在
处，与罗德海 [8] 相比较，没有考虑
作用，只考虑了f平面，在地球大气中，行星大气的运动的时间和空间尺度是多种多样的，为此可引入缓变坐标：
,
,
,
, (2)
其中
，
，
，
为缓变量，且
。于是可作如下变换：
(3)
因此可以把方程(1)改写为：
(4)
将
按WKB方法展开，
(5)
其中
为基本流函数，且满足
。再将(5)式带入方程(4)，有
(6)
(7)
(8)
其边界条件为：
时，
(9)
在方程(6)中，设其谐波解为：
(10)
其中c.c.表示它前项的共轭，A为复振幅，k为纬向波数，将(10)式代入方程(6)，并结合边界条件，则
(11)
在这方程中，郭晓岚 [12] 曾指出，当基本气流满足条件
(12)
其中
时，大气中的扰动是不稳定的，这时c为复数。在本文中，假定在区域
内条件(12)不成立，这时c为实数。对于c为复数的情况，将在以后进一步讨论。在大气中，大尺度Rossby波一般有
，对阻塞系统有
，因而有
。将(10)式带入方程(7)，这时有
(13)
对以上方程消除长期项，并利用方程(11)有
(14)
其中
这时方程(13)可变为：
(15)
其中
，且
设方程(15)的解为：
(16)
将上式代入方程(15)式，则有
(17)
其中
其边界条件为：
(18)
在方程(17)中，由于A，B均为
，
，
，
的函数，并且
与
成比例，显然可将
取成如下形式
. (19)
于是可得方程
(20)
将(10)和(16)式带入方程(8)，有
(21)
以上方程消除长期项，并利用(14)和(19)式，可得方程
(22)
将方程两边同时乘
，并在区间
上进行积分，可得
(23)
其中
再把方程(23)改写为：
(24)
上式就是著名的非线性Schrödinger方程，它反映了行星大气中Rossby波的非线性特点。从方程(24)式的系数表达式可以看出，当基本气流不存在切变时，
，
(24’)
这时
，非线性Schrödinger方程就不存在，在实际大气中基本西风的分布是多种多样的。只要大气中基本气流的切变存在，这时的大尺度扰动均可以由非线性Schrödinger方程来描述。
3. 本征值问题
在大气中，为了不致于使(12)式满足，这里假定大气中的西风存在弱切变，这时可设其中
(25)
其中
，并且 Q 仅为 y 的函数，在方程(11)中，取
，将(25)式代入方程(11)，有
(26)
将
，c按下列级数展开，即
(27)
把上式代入方程(26)，可得方程的本征值和本征函数的近似值为：
(28)
其中
利用边界条件
(29)
其中
对上式的平方模进行归一化，
(30)
于是可近似的求得
的值为
(31)
将(30)式和
代入方程(20)，近似地有
(32)
其中
在方程(32)的左端，系数的微小变化已被省略，从而可求得方程(32)的解。显然，可设解为：
(33)
再将(33)式代入方程(32)，可得方程(32)的解为：
(34)
把
，G，
代入方程(23)中的系数，便可确定
的值：
(35)
从上式可以看出，当大气中基本西风气流的切变不存在时，即
，这时
，结论与罗德海 [9] 基本一致，描述大尺度Rossby波的非线性Schrödinger方程不存在。当
时，大尺度Rossby波的非线性Schrödinger方程存在，此时
既受内旋转Foude数的影响，又受
的影响。本文考虑了f平面Rossby波与基本气流切变的相互作用，用多重尺度法也得到了非线性Schrödinger方程。在方程(24)中，为了获得方程的系数，采用了一种近似方法，用来处理基本气流有弱切变的情况是有效的。
4. 非线性Schrdinger方程的稳定解及计算结果
方程(24)是描述行星大气中非线性Rossby波包的演变过程，这种方程反映了非线性作用对Rossby波包的影响。利用(2)式将方程(24)变为：
(36)
其中
。再令
，并设
，于是方程(37)可变为：
(37)
当
时，
，这时在
的情况下方程(37)有包络孤立解，于是方程(37)的包络孤立解为：
(38)
设M在
处的值为
，这时(38)式可变为：
(39)
将(39)式带入(5)式，可得Rossby调制波的扰动流函数解为：
(40)
其中
，c.c.表示它前项的共轭。显然，从上式可得Rossby调制波的相速为：
(41)
从上式可以看出，f平面下Rossby波的振幅和基本气流的切变影响着Rossby调制波的传插速度，当不考虑基本气流的水平切变时，Rossby调制波的针副作用消失。从(31)和(35)式可以看出，当
时，
，因而大气中包络Rossby孤立波才存在。这是非线性和基本气
流的水平切变作用可使Rossby波的传播速度减慢，基本气流的水平切变越强，Rossby调制波的传播速度越慢，当Rossby调制波的振幅满足
(42)
时，Rossby调制波趋于定常。
5. Rossby波的调制不稳定
对于方程(38)，作变换
(43)
将上述方程代入(38)式有
(44)
在大气中，设叠加在定常振幅和位相上的扰动为周期波，这时可令
(45)
其中
均为常数。将上式方程代入(44)式可得
(46)
从上式可以看出，当
时，Rossby调制波是稳定的，当
时，Rossby调制波的周期扰动是不稳定的，这这种不稳定称为调制不稳定。从方程(38)的系数可知，当
时，
，这时，在大气中周期Rossby波会产生调制不稳定，也就是说在
即波长
和
满足
的情况下，大气中的总周期扰动不能维持，它要产生不稳定，并形成包络Rossby孤立波。
6. 结论
从上述分析中，可以得到结论：
1) 在f平面上，基本气流具有弱切变的情况下，得到了非线性Rossby波的波包满足非线性 Schrödinger方程。
2) 当Rossby波的波数满足
时，即波数受内旋转Foude数的影响，大气中的
周期Rossby波会产生调制不稳定，最终形成包络Rossby孤立波。
3) 本文所得到的偶极子阻塞是通过Rossby调制不稳定发展而形成的，使f平面的大气观测理论更加准确。
基金项目
国家自然科学基金(11362012, 11562014, 41465002)，全球变化研究国家重大科学研究计划(2012CB955902)。