1. 引言及主要结果
变分学是研究泛函极值(以及更一般的临界值)的一个数学分支；变分问题内容非常丰富，从经典力学到规范场论，物质运动的规律都遵从变分原理。临界点理论是近几十年来变分学发展最快的分支，同时也有许多应用，特别是在微分方程解的存在性的证明中它是直接方法的一个重要补充 [1] - [6] 。
本文应用“山路引理”研究奇异阻尼微分方程
(1)
T-周期解的存在性，其中
，
，显然非线性项
在原点具有排斥奇异性，即
。最近，方程(1)周期解的存在性也受到少数几个专家学者的关注。
在文献 [7] 中，应用度的同伦不变性，对同伦方程的解进行先验估计，然后利用经典的重合度理论，得到方程至少有一个正周期解；在文献 [8] 和 [9] 中，通过考虑其Green函数的正性，分别应用Leray-Schauder
二择一原理和Schauder不动点定理，研究了其周期解的存在性。一般情况下，当
，对于方程(1)很难应用变分法。本文，我们考虑
的情形，通过合理的假设，在适当的Sobolev空间
上建立方程(1)的相应的变分结构，利用“山路引理”，证明方程(1)至少有一个非平凡的T-周期解。
定理1. 假定条件
(H1)
，且
；
(H2)
，其中
；
(H3)
是有界的；
(H4)
，其中
定义为
。
成立，则方程(1)至少有一个非平凡T-周期解。
2. 引理
首先，定义截断函数
如下：
我们知道
关于
是连续的。
下面，对
，我们考虑方程
. (2)
设
,
同时定义如下Hilbert空间
,
其范数为
方程(2)在空间
上对应的泛函为
(3)
在定理1的假设条件下，类似于文献 [10] 定理2.1的证明，令
，其中
，
，则
满足 [3] 中定理1.4的所有条件。我们知道函数
连续可微，且在
上弱下半连续。同时对所有的
有
. (4)
引理1 如果
是欧拉方程
的解，则
是方程(2)的T-周期解。
证明：由
，则对所有的
，
.
即
.
容易知道
有弱导数，且
, (5)
, (6)
, (7)
其中
为常数。由(6)，(7)，存在
，满足
.
进一步，由(5)，有
.
故泛函
的临界点就是方程(2)的T-周期。
引理2 [3] (Wirtinger不等式) 设
，且
，则
.
为了证明我们的主要结果，将应用下面的山路引理。
引理3 [3] 设
是Banach空间，
，满足P.S.条件，
，
是
的开邻域，
，假定
.
令
,
其中，
,
那么
必是
的临界点，且
。
3. 定理的证明
下面，我们给出定理1的证明。
证明：对该定理的证明我们总共分为四步。
首先，我们验证
满足P.S.条件。
设序列
，使得
是有界的且当
时，
。即对所有的
，存在常数
以及序列
(当
时，
)使得
, (8)
和
, (9)
其中
。
我们只须证
在
中有界。
事实上，在(9)中，取
，我们得到
.
于是，
. (10)
设
,
以及
.
由(10)式，得到
,
其中
如(H3)中定义。因此，对所有的
，存在常数
使得
. (11)
另一方面，如果在(9)中取
(其中
)，同时注意(11)式，我们得到
.
由于在Sobolev空间
中，
，由Poincaré-Wirtinger不等式，存在常数
，使得
. (12)
下面，用反证法证明
的有界性。假设
无界，即
，当
，
由(12)式，则或者
，当
， (13)
或者
，当
， (14)
(i) 我们假设(13)成立，则有
,
因此，由Sobolev不等式和Ponicaré不等式，以及(12)式，得到
.
考虑到(8)式，我们知道
有界，与条件(H4)矛盾。
(ii) 我们假设(14)成立，即当
时，
。我们用
代替
，类似(i)的证明过程，得出矛盾。
因此，
满足P.S.条件。
其次，对任意的
，证明存在
使得
.
这里
,
以及
.
对任意的
，存在某个
满足
，由(3)，我们得到
.
由Hölder不等式，同时注意到
，有
.
另一方面，应用Ponicaré不等式，得
.
由以上两个不等式得出
，当
.
由于
，于是
等价于
。因此
，当
，
.
即
是强制的，存在最小序列。由
的弱下半连续性，我们知道
.
所以，对任意的
，证明存在
使得
。
再次，我们证明存在常数
，对任意的
，方程(2)的解
满足
，且
。
用反证法，假设存在序列
和
使得
(i)
；
(ii)
是方程(1.7)当
时的解；
(iii)
；
(iv)
。
由于
, (15)
于是存在常数
，使得
.
另一方面，据边值条件
，存在
满足
。因此，得到
,
同时据(15)，存在常数
，使得
. (16)
由条件
知，存在正常数
和
(不防设
)使得
.
否则，假设
一致趋于0或
。据(H2)，(H4)以及(16)式，当
时，
,
与
的事实相矛盾。
当
充分大时，设
，
满足
.
方程(2)两边乘以
，并对其在
(或
)上积分，得到
.
显然，
,
其中
.
由于
有界，
可积，且
，从而
有界，
也有界。另一方面，我们有
,
两边在
上积分，得
.
与(H2)得出的
无界矛盾。即方程(2)的解
满足
，且
。因此
是方程(1.1)的解。
最后，我们证明当
，
满足山路几何条件。
由排斥奇异性，可以固定
使得
。从而，有
.
因此，
.
所以
. (17)
据排斥奇异性，选择
，使得对任意的
，
.
由(17)，知
。
又据条件(H4)，选择足够大的
使得
，且
,
于是，
.
因为
是
的邻域，
，且
.
由第一步和第二步的证明，我们知道
有临界点
使得
,
其中
.
又由
，以及第三步的证明，
是方程(1)的解。
基金项目
海南省自然科学基金(117005)，国家自然科学基金(11461016)，海南省高等学校教育教学改革研究项目(Hnjg2017-6)，海南大学教育教学研究项目(hdjy1715)。