1. 引言
随着我国十三五规划纲要的提出，特别是未来五年中国计划实施的100个重大工程及项目中提到要“大力推进上海、天津、大连、厦门等国际航运中心建设。”这就对港口软土区超长桩的使用建设提出了新的要求，提高港口建设和超高层建筑水平的同时更要符合五大发展理念中“绿色发展”这一重要理念。
在工程实践中，对超长桩的定义尚未作出明确的规定，一般规定为：L ≥ 50 m为超长桩 [1] 。
本文同样采用桩长大于50 m的超长桩为研究对象。由于桩基的现场试验得到荷载–沉降关系曲线极为耗费人力、物力，所以，众多国内外学者希望通过理论分析得到桩的承载力(Q)–沉降(S)曲线，来减少上述试验的弊端。许多年来，国内外专家学者对于桩的荷载传递函数的研究得到了丰富的成果，如Seed和Reese 1975年提出的桩身荷载传递函数的双曲线模型，调整双曲线模型 [2] ，指数模型 [3] ，蒋建平用Boltzmann数学模型对大直径桩荷载–位移曲线进行描述 [4] ，以及一些学者提出的简化线性模型三折线 [5] 等。
2. 荷载传递函数的修正
在轴向荷载作用下，其沉降量由下述三部分组成：(1)桩体本身的弹性压缩量；(2)由于桩侧摩阻力向下传递，引起桩端土体压缩所产生的桩端沉降；(3)由于桩端荷载引起桩端下土体压缩所产生的桩端沉降。荷载传递函数法假定桩身任意点的位移只与该点的摩阻力有关，而与桩身其它点应力无关，即忽略了土的连续性。实际上，荷载传递函数法是以桩身为研究对象，荷载传递函数中的位移是桩身位移，而要发挥桩身某点处的桩侧摩阻力，必须要有该点处产生的桩–土相对位移，即应扣除该点处桩周土的下沉量的位移。这不仅表现在桩端处，还表现在桩顶到桩端的任一截面处。若不扣除，对于超长桩的受力分析会产生较大的误差。为消除此误差，阳吉宝 [6] 提出了荷载传递函数的修正。本文结合阳吉宝等人的研究和在对大量的超长桩、中长桩和短桩的静载试验结果进行分析及拟合比较后，得出用抛物线方程表示桩周土的沉降量：
(1)
式中：m在1.5~2之间。K为于土分层有关的参数(K = 0~0.8)，根据钻孔灌注成桩的超长桩静载试验结果分析得出：对非嵌岩因施工滞留相当厚度沉渣的超长桩，桩端下部K取高值；对持力层较好且清孔后滞留沉渣少的超长桩，桩端下部K取小值，z为桩身竖向坐标，桩顶处z = 0，L为桩长。
令
，从而得到修正后的超长单桩荷载传递函数：
(2)
对于浅层土，由于打入土中时的挤土作用，在地表浅部形成隆起，产生径向裂隙。且打桩会引起侧向振动，桩土之间形成间隙。因此，在地表下15 m范围内桩侧摩阻力达到峰值后有所降低，表现为应变软化的性质。故对浅层土，采用改进的模型 [7] ：
(3)
3. 建立修正双曲线模型进行理论推导
在桩顶荷载作用下，桩土共同作用模型如图1所示，可由桩上任一单元静力平衡条件得到：
(4)
微元体产生的弹性压缩量为：
(5)
由
得出：
Figure 1. Model of pile-soil interaction
图1. 桩–土共同作用模型
(6)
其中，u为桩周长，E为桩的弹性模量，A为桩截面面积。
将修正后的超长单桩荷载传递函数关系式(2)带入式(6)得桩身荷载传递微分方程为：
(7)
积分(8)并考虑初始条件Q = 0，S = 0得：
(8)
令
得：
(9)
式中：a，b是与土层有关的参数。对于求解微分方程(7)只考虑了初始条件而未引入边界条件，上式(8)、(9)并未包括桩身的刚性位移对桩身轴力的影响。所以，桩身沉降等于桩身弹性压缩位移
与桩身刚性位移
之和，如图2所示，则有：
(10)
在桩顶有：
(11)
根据荷载传递函数双曲线模型，在桩端有：
(12)
式中：
为桩端阻力；
为桩端沉降量；
，
为桩端土的荷载传递函数。
所以，桩端总阻力为：
(13)
Figure 2. Distribution of subsidence along the pile body
图2. 沉降沿桩身的分布
对于大直径超长桩，根据文献 [8] 考虑桩端直径D尺寸效应，对桩端承载力进行修正，修正系数
；对于长桩扩底桩，先发挥作用的扩底桩侧阻力占主导地位。如果此时桩的扩径比较小，可不考虑扩底特性，仅将其当作设计安全储备 [9] ，故：
(14)
所以，桩身任意截面处承载力即为该位置侧摩阻力与桩端阻力之和，即：
(15)
将(9)、(13)代入(15)式得：
(16)
在桩顶有：
，此处，
相当于整个桩身所产生的总弹性位移(压缩量)，桩顶荷载
即为：
(17)
上式即为桩顶荷载与沉降的表达式。
对于桩侧土为多层土时也不难得到：
(18)
式中
，
表示与桩侧第i层土的性质有关的荷载传递函数参数；n为桩深范围内的土层数。
4. 公式的应用方法
对于图3所示的桩基础，设在桩顶荷载
作用下桩端产生的沉降为
，桩顶沉降为
，当土分层为两层时，此时有：
(19a)
(19b)
(19c)
国内外大量实测资料表明：在同一土层内桩身轴力沿深度近似成直线分布。因此，在计算桩的弹性压缩沉降量时，第二层土桩身的轴力曲线均可近似地以直线代替，即：
(20)
在a~b段桩身弹性压缩按胡克定律得到：
(21)
代入(9)式得：
(22)
(23)
(24)
当地表土层小于15 m时，将
代入(3)式；即：
(25)
(26)
(27)
对于第一层土o-a段桩同样使用胡克定律得到：
(28)
(29)
带入(9)式可得：
(30)
(31)
当土层分为多层时，计算过程同上，令
等于不同的数值代入上述公式(19)~(31)即可得到不同的
和
的值，并可绘出
关系曲线，理论计算流程图如图4所示。
需要指出的是，在计算桩的弹性压缩量时，轴力分布用直线代替曲线分布会有一定误差，但可以采
Figure 3. Diagram: Pile going deep into two layers of soil
图3. 桩深入土层两层示意图
用迭代法提高精度 [10] ，也可以用C语言编制程序来进行计算。
5. 考虑桩端沉渣的影响
对于超长灌注桩，由于施工设备、技术及施工水平的影响，桩端不可避免残余有一定厚度的沉渣，沉渣越厚，桩顶沉降量越大，单桩极限承载力越低。所以，在超长桩的荷载传递分析中不能忽略这一因素的影响。这里，本文将沉渣层视为一个与桩身材料不同的桩端单元来考虑。为此，先设沉渣层厚度为
，压缩模量为
，桩端直径为
，则当沉渣层底面产生一个沉降为
时，根据上式(12)、(13)可计算出持力层顶面
。此时，沉渣层与桩侧土间的平均摩阻力近似为：
(32)
式中，
，
为沉渣层的侧阻荷载传递参数。此时，沉渣层顶面的轴力(即桩端阻力)为：
(33)
沉渣层的平均轴力：
(34)
沉渣层产生的压缩变形：
(35)
(36)
考虑沉渣影响后的桩端沉降量为：
(37)
则按上式(32)~(37)计算得到的
和
即被视为桩端阻力与桩端沉降。
6. 参数a, b的确定
传递参数a，b是与土层深度有关。1/b其实就是桩侧土的摩阻力极限值
。对于
的确定一般有三
Figure 4. Flow chart: Theoretical calculation
图4. 理论计算流程图
类方法，即
[11] [12] 法，
法属于总应力法，
法属于有效应力法，
法属于混合法。在此不再赘述。1/a是与土的剪切模量有关的。Randolph和Wroth (1978)提出了弹性土中的桩可以用以下公式计算：
(38)
其中，
为土的初始剪切模量，
为桩身半径，
为剪切影响半径，可由
求得，考虑土中剪切模量随深度的变化，有
，即土中剪切模量在桩长一半处与桩底处的比值，
是桩周土的泊松比。
的变化不大，一般在3~5之间，没有详细数据时可取4。
7. 工程实例分析
工程概况引用文献 [13] 的内容，某软土区大厦是一幢68层的超高层建筑，总建筑面积23万平方米，建筑总高323 m，场地上部为20多米的淤泥、淤泥质粘土，软土总厚度达50多米，工程性状较差，属典型的深厚软土地基。基础设计采用钻孔灌注桩，桩长80-120 m，桩径1100 mm，桩身采用C40混凝土，持力层中风化和强风化基岩，单桩竖向承载力设计值为13,000 kN，最大试验荷载25,200 kN。地基土物理力学性质指标见表1，运用本文理论推导式进行计算与分析。由于本文算例持力层较好且清孔后滞留沉渣少，故公式中各土层岩土参数K均取0,桩的弹性模量E = 3.47 × 107 kPa，公式中m值取2。
由图5可知，利用本文的理论推导公式计算与文 [13] 实测结果较为接近，说明用本文的理论计算是可行的，与实测曲线存在差别是由于a，b，K的取值不同所决定的。对于a，b的取值可以采用黄金分割法进行优选 [6] 或有详细数据时，根据土性指标拟合各层的荷载传递函数 [7] 来达到提高计算的精确度。另外，上述计算过程也可利用C语言编制程序进行迭代计算。同时，从图中可以看出，利用波尔茨曼函数模型拟合相关系数也达到了0.993，同样说明了波尔茨曼函数能较好拟合实测桩顶沉降。
8. 结论
(1) 基于软土区超长桩荷载传递特性的研究，考虑了土的连续性，采用修正双曲线模型进行理论推导，
Figure 5. Curves: Measured pile roof subsidence, Boltzmann fitting and theoretical calculation
图5. 实测桩顶沉降，波尔茨曼拟合和理论计算曲线
Table 1. The physical mechanicals properties of foundation soil
表1. 地基土物理力学性质指标
并考虑了表层土的软化性质，进行荷载传递函数的改进。
(2) 对于有底部沉渣的超长桩，考虑了底部沉渣的影响，提高了理论计算的精确性。
(3) 通过算例验证了理论推导与实测有较好的吻合性，具有一定的参考价值。