1. 介绍

本文在文献 [1] 的基础上进一步讨论非均匀复变函数的积分理论，将会为文献 [2] [3] [4] 解决生物学的一些反应扩散模型建立更合理的数学方法。我们知道，原来的复数空间瑞士数学家欧拉在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，用符号“”作为虚数的单位，建立了复数，随后发现复数与调和函数有密切的联系 [5] [6] [7] ，在文献 [8] [9] 建立了广义解析函数理论，这些问题自然与扩散问题也有紧密联系，从而可以用复变函数理论解扩散问题的解，但当空间非常不均匀，扩散也不均匀时，解决问题会非常繁琐，鉴于上述问题，作者们在文献 [1] 中引入非均匀复数和非均匀复变函数，并且建立了非均匀解析函数与非均匀C.-R.方程组的关系，本文在 [1] 的基础上进一步讨论非均匀复变函数的积分理论，利用这些理论讨论非均匀拉普拉斯方程的解析解。

2. 预备知识

下面给出非均匀复数、非均匀复变函数的一些基本定义及性质，具体参考文献 [1] 。

2.1. 非均匀复数的定义

考虑到复数在各个领域的广泛应用，我们对复数单位做进一步推广，定义非均匀复数。

定义集合，其中为实数，。

在中引入数乘

在中引入加法

定理 2.1在上式数乘和加法运算下，C_k为R上的一个线性空间。

定理2.2为上的一个域。

2.2. 非均匀复变函数的定义及性质

非均匀复变函数的定义，类似于复变函数的定义，形式上和数学分析中函数定义相同，此时自变量和函数的取值均为新定义的非均匀复数。在定义函数之前，根据复平面点集的几个基本概念，我们可以推广到非均匀复平面上。

定义2.1由由不等式所确定的平面点集(简称点集)，就是以为圆心，以为半径的圆，称为点的邻域。

注2.1：考虑点集E，同样也有聚点或极限点、孤立点、外点、闭集、内点、开集、边界点、边界的概念，与复变平面定义相同，在此不再一一赘述。

定义2.2设f：从C_k到C_k的映射，则称为f为C_k上的非均匀复函数。

非均匀函数的导数，解析的定义及与偏微分方程组的关系在文献 [1] 中给出，本文在下面给出结论：

定义2.3 设函数于点集上有定义，为的聚点，若存在非均匀复数，对任给的，有，只要，就有

则称函数沿于有极限，并记为

定义2.4 设函数于点集上有定义，为的聚点，且，若

即对任给的，有，只要，就有

则称函数沿于连续。

2.3. 非均匀复变函数的导数

定义2.5 设函数在点的邻域内或者包含的区域内有定义，考虑比值

如果当按照任意方式趋于时，即当按照任意方式趋于0时，比值的极限都存在，且其值有限，则称此极限为函数在的导数，并记为，即

这时称函数于点可导。

设函数在点可导，于是

即是

其中为比高阶无穷小。

我们称为在点的微分，记为或者，此时也称在点可微，即

.

特别，当时，，于是上式为，即

由此可见，在处可导与在处可微是等价的。

2.4. 非均匀复变函数的解析性

定义2.6 如果函数在区域内可微，则称为区域内的解析函数，或称函数在区域内解析。函数在某点解析，是指在该点的某一个邻域内是解析的：函数在某个闭域解析，是指在包含该闭域的某区域内解析。

定理2.3 设函数在区域内有定义，且在内一点可微，则必有

1) 偏微分在点连续；

2)在点满足非均匀C.-R.方程。

而且这是可微的必要条件，并非充分的。

定理2.4 设函数在区域内解析，则

1) 二元函数在区域内解析；

2)在区域内满足非均匀C.-R.方程。

定理2.5 设函数在区域内解析，则

1) 偏微分在区域内连续；

2)在区域内满足非均匀C.-R.方程。

这也是可微的充要条件。

其中非均匀C.-R.方程为：

3. 非均匀复积分的概念及基本性质

3.1. 非均匀复变函数积分的定义

定义3.1设非均匀复数域上的有向曲线：

以为起点，为终点，沿有定义，顺着从到的方向在上取分点：，这样可以将曲线划分为个弧段，在从到的每一个弧段上任取一点，那么

当分点增多时，弧段逐渐加细，如果和数极限存在且为S，则称沿 (从到)可积，为其上的积分，记号为，其中为积分路径。

定理3.1若函数沿曲线连续，则该函数沿曲线可积，且

.(3.1)

证明：设

, , ,

, , ,

则

右端的两个和数是对应的两个曲线积分的积分和数。在定理连续条件下，函数的实部和虚部必沿曲线连续，于是这两个曲线积分都是存在的。因此，积分存在。

例3.1 令是非均匀复数域上的表示连接点及的任一曲线，证明：

1)；2)。

证明：

1) 注意到：，由定义可知，为定值，只与起点和终点有关，从而。

2) 因，首先选，则得，

又选，则得，

由定理3.1可知积分存在，因而的极限存在，且应与及的极限相等，

从而应与的极限相等。

令，所以。

3.2. 非均匀复变函数积分的计算问题

设有非均匀复数域上的光滑曲线：

,

这就表示在上连续且有不为零的导数，又设沿连续，令

,

根据式(3.1)

即

例3.2 证明，

其中，为复数单位，表示以为心，为半径的圆周。

证明：设圆周参数方程为：，。

下面我们利用留数定理可以证明它的值是。令，则，

因此有，

在分别讨论，利用留数定理得

注3.1：当时，我们获得的结论与复变函数中的结论是一致的，那么当为其它自然数结论是否与复变函数中的结论一致呢?有兴趣的读者可以利用留数理论讨论。

3.3. 非均匀复积分的基本性质

设函数，沿曲线连续，我们可以得到以下基本性质：

1)，是复常数；

2)；

3)，其中由曲线衔接而成；

4)；

5)。

4. 非均匀复变函数的柯西积分定理

4.1. 非均匀柯西积分定理

我们在上一节例题3.1中，可以发现被积函数在非均匀复数域上的单连通区域内处处解析，则积分与路径无关，或者说沿区域内任何闭曲线的积分为零；而例题3.2中，被积函数有奇点，也就是说，被积函数平面上除去点后的非单连通区域内处处解析，积分结果为，是圆周，从而说明在此区域内积分与路径有关。

由此可见，非均匀复积分值与路径无关的条件，或沿区域内任何闭曲线积分值为0的条件，可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通性有关。

1825年法国著名数学家柯西给出研究复变函数的钥匙——柯西积分定理，经过验证，该定理同样适用非均匀复变函数情形。为了做一些区分，我们称为非均匀柯西积分定理。

定理4.1 设函数在非均匀复数域上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则

.

直接证明该定理是有困难的，从德国数学家黎曼对原柯西积分定理的证明角度出发，我们在附加假设“在区域内连续”的条件下，得到简单证明。

借助黎曼证明：令，，由公式(3.1)，

,

在附加条件下，偏导数，，，在区域内连续，由非均匀复变函数C.-R.方程(参见文献 [1] )：

, ,

再由格林定理，

, ,

故得

.

由定理4.1，可以得到

定理4.2设函数在非均匀复数域上的单连通区域内解析，为内任一条闭曲线(不必是简单的)，则

.

证明：因为任意闭曲线总是可以看成区域内很多条周线衔接而成，由非均匀复积分基本性质及非均匀柯西积分定理4.1，即可证明。

推论4.3 设函数在平面上的单连通区域内解析，则在内积分与路径无关，即对内任意两点与，积分之值，不依赖于内连接起点与终点的曲线。

证明：不妨假设在区域内有任意两条连接起点与终点的曲线与，定义曲线的方向为正方向，则正方向曲线与负方向曲线就衔接成内的一条闭曲线。由定理4.2与非均匀复积分的基本性质，有

,

因而

.

4.2. 不定积分

在4.1节中，非均匀柯西积分定理说明了积分与路径无关。也就是说，若函数在平面上的单连通区域内解析，则沿内任意曲线的积分只与其起点和终点有关，当起点固定时，积分在内定义了一个变上限的单值函数，我们把它记成变上限积分

. (4.1)

定理4.4 设函数在平面上的单连通区域内解析，则由式(4.1)定义的函数在内解析，且。

定理4.5 设

1) 函数在单连通区域内连续；

2)沿区域内任一周线的积分值为零，则函数

(为内一定点)

在内解析，且。

定义4.1在区域内，如果函数连续，则称符合条件的函数为的一个不定积分或原函数，且在区域内解析。

如果在定理4.4或者定理4.5的条件下，式(4.1)应该就是函数的一个原函数。这一系列原函数可以表示为：

，其中为常数 (4.2)

定理4.6在定理4.4或者定理4.5的条件下，若为函数在单连通区域内的一个任一原函数，则

(4.3)

定理4.6与积分基本定理，即牛顿–莱布尼兹公式，类似。

例4.1 在单连通区域内：内，函数是的一个原函数，而在单连通区域内解析，故根据定理4.6有

.

4.3. 非均匀柯西积分公式

根据非均匀柯西积分定理，我们可以导出对应的非均匀柯西积分公式。

定理4.7 设区域的边界是周线(复周线)，函数在内解析，在上连续，则有

(4.4)

证明：任意固定，作为的函数在区域内除点外均解析。今以点为心，充分小的为半径作圆周，使得及其内部均含于。对于复周线及函数，有

.

因此我们只需要证明

. (4.5)

在第三节例题3.2中，当时，，那么

(4.6)

根据的连续性，写成语言形式，即对任给的，存在，只要，就有

从而式(4.6)不超过，式(4.5)得证。

定义4.2 在定理4.7条件下，称为非均匀柯西积分。

此外，式(4.4)又可写为

(4.7)

在定理4.7下，我们将式(4.4)对求导，得到

,(4.8)

继续求导，可以得到

, (4.9)

如此下去，可得下面定理。

定理4.8 在定理4.7的条件下，函数在区域内有各阶导数，且

. (4.10)

式(4.10)也可以表示为

.(4.11)

例4.2 计算积分

，其中。

解：因在上是解析的，满足柯西积分公式定理条件，再利用式(4.11)，得

.

5. 非均匀解析函数与非均匀调和函数的关系

在4.3节中，我们知道了在区域内解析的函数有各阶导数，从而其虚部和实部都应有二阶连续偏导数。这里，我们可以将判断函数解析的一个充分条件弱化为充要条件。

定理5.1 函数在区域内解析的充要条件是：

1)，，，在内连续；

2)，在内满足非均匀C.-R.方程。

证明：

充分性 显然；

必要性 条件(2)的必要性显然；条件(1)因解析函数的无穷可微性，必在内连续，从而，，，在内连续。

不妨设在区域内解析，则由非均匀C.-R.方程 [1] 可知

则

因与在区域内连续，必定相等，故在区域内有

(5.1)

同理可得

(5.2)

这里与拉普拉斯方程有所区别，即非均匀复变函数下，与不再满足拉普拉斯方程，我们定义一种新的算子：算子，运算符号为；与满足式(5.1)和(5.2)，称与满足系数为的非均匀拉普拉斯方程。

定义5.1如果二元实函数在区域内有二阶连续偏导数，且满足非均匀拉普拉斯方程，则称为区域内的系数为的非均匀调和函数。

定义5.2 在区域内满足非均匀C.-R.方程的两个非均匀调和函数、中，称为在区域内的系数为的非均匀共轭调和函数。

根据上面的讨论，我们得出下面定理：

定理5.2若在区域内非均匀解析，则在区域内必为的系数为非均匀共轭调和函数。

自然我们会想定理反过来是否成立，显然结论是不一定的。

若要在区域内非均匀解析，与还必须满足非均匀C.-R.方程。由此，在已知某解析函数实部或虚部下就可以求出其虚部或实部。

假设是一个单连通区域，是区域内的系数为的非均匀调和函数，则其在区域内有二阶连续偏导数，由式(5.1)可知

(5.3)

在数学分析中，表达式是全微分，那么

(5.4)

则

(5.5)

类似地，

(5.6)

(5.7)

其中是区域内的定点，在选取时，可以选择原点(0,0)这是因为单连通区域含原点；是区域内的动点，和是常数，积分与路径无关。

由于任一个二元调和函数都可作为一个解析函数的实部或虚部，而虚部或实部自然可以由非均匀C.-R.方程确定，且得到的函数非均匀解析。可以得到下述定理。

定理5.3设是在单连通区域内的非均匀调和函数，根据式(5.5)可以确定出一个，从而由与确定出的是区域内的非均匀解析函数。

例5.1 验证(为非零实数)是平面上的系数为的调和函数，并求以为实部的非均匀解析函数，使满足。

解：在平面上任意一点，

,

满足：，故为平面上的系数为的非均匀调和函数。

根据非均匀C.-R.方程，可知，

根据式(5.4)和(5.5)，得出，从而，

对求偏导，，得出，从而。

因此。

那么，这是通解，代入已知条件，可以得到一个满足条件的特解：，那么，故

.

6. 结论

本文在文献 [1] 的基础上继续研究非均匀复变函数的积分，获得了解析函数的非均匀Cauchy积分公式和非均匀积分定理，建立了解析函数与非均匀调和的关系。还有很多进一步讨论的内容，如何建立非均匀复函数的泰勒展开和洛朗展开，奇点的分类，类似的留数定理；以及在物理，力学的应用。

基金项目

中国计量大学第十九届学生科研计划项目资助。浙江省自然科学基金资助，项目编号：LY16A010009。

参考文献