1. 引言
-对称微分算子是一类特殊的有着重要应用背景的非对称微分算子，对此已经有了很多方面的研究(见 [1] - [9] )。在原子核物理、电磁场理论以及非均匀介质中的无线电波的传播等应用问题中，由微分算式所生成的-自伴微分算子是很重要的一类算子。
为了研究非对称算子的自伴扩张问题，Glazman [3] 最先从数学上提出了-对称微分算子和-自伴微分算子的概念。
在Hilbert (简称)空间中闭稠定算子称为-对称的，如果对任何，都有，其中表示的定义域。如果是-对称的当且仅当，这里是的共轭算子。如果，则称是-自伴的。
Galindo [4] 和Knowles [5] 分别于1963年和1980年相继应用不同的方法给出了任何-对称微分算子都有-自伴扩张的证明。
1959年，Zhikhar [6] 在-对称微分算子正则域不空的情况下给出了它的部分特殊的(一端奇异)-自伴域的边界条件的描述。1981年，Knowles [1] 在正则域不空的情况下给出了-对称微分算子的任一-自伴扩张域的边界条件的描述。但是判断一个算子正则域是否非空并不是一件容易的事，1985年，Race [2] 取消了正则域非空这一限制，得到了-对称微分算子的-自伴扩张的一般理论。1992年，刘景麟 [7] 又对这种-自伴扩张的一般理论作了另一种完整的处理，得到-自伴扩张域的一种抽象的边界条件的描述。
1988年，尚在久 [8] 应用Race的理论以及曹之江 [11] 和孙炯 [12] 的方法，取消了最小算子最小亏指数的限制，利用方程的解给出-自伴扩张域的边界条件的描述，这些边界条件不仅在正则点处有限制，而且在奇异点处也有限制。1996年，尚在久 [9] 给出了-对称微分算子-自伴扩张的新描述，利用方程的解而不是更高阶方程的解描述了-对称微分算子的所有-自伴域在奇异端点的边条件，但其假设生成的最小算子具有非空正则域。
关于对称微分算子的自伴扩张不仅在一区间上有了很好的研究成果(见 [10] [11] [12] )，在两区间上也有了一系列的成果。自伴微分算子在两区间的研究最早在1986年由Everitt和Zettl在文 [13] 提出。2005年，Zettl [14] 用GKN理论从最大定义域中选出两组向量，根据亏指数的不同分别给出自伴域的刻画。2007年，王爱平、孙炯 [15] 用最大算子域中的实值向量给出了在带有适当乘数参数的Hilbert空间的直和框架下，二阶正则两区间实系数微分算子自伴域的描述。2007年，孙炯、王爱平 [16] 等人在一个带有适当乘数参数的Hilbert空间下，给出了两端奇异两区间二阶实系数微分算子的所有自伴扩张的描述。2012年，索建青 [17] 利用方程的实参数解，先后描述了两区间一端正则一端奇异和两端奇异的自伴扩张。然而，两区间-自伴扩张的研究成果甚少。由于-对称微分算子的-自伴扩张与对称微分算子的自伴扩张有很大的相似之处，因此，我们将自伴的两区间理论推广到-自伴的两区间理论。
本文给出四阶微分算式生成的最小算子在两区间上所有的-自伴扩张域的特征，其中只考虑区间端点为正则点或极限点的情形。对于两区间而言，实际上我们有两个-对称微分算子：定义在区间上，定义在区间上。一般的，区间的右端点和区间的左端点是否相同已不在重要，区间和区间是任意的两个区间，他们可能是相同的，重合的或者完全不相交的。特别的，我们定义两个微分算式生成的相应的最小算子和最大算子，并利用边界条件描述最小算子所有的-自伴扩张域。
2. 预备知识
引理 2.1 [2] 每个-对称算子都有一个-自伴延拓。
引理 2.2 [2]是一个-对称算子，是的-对称扩张，如果是-自伴算子，当且仅当是最大的-对称算子。
引理 2.3 [2] (1)是闭稠定的-对称微分算子，且；
(2) 对任何，极限和都存在，且
， (1)
这里，；
(3)对任何。若是正则的，是奇异的，则
。 (2)
引理 2.4 [2] (Lagrange恒等式) 对一切，
， (3)
其中，
， (4)
称为Lagrange双线性型。其中，，且，，，其中，I是单位矩阵，且Q有性质。
引理 2.5 [1] (Naimark补缀定理) 假定在区间是正则的，令，。则存在函数使得
，，。
引理 2.6 [2] 设，则中的线性流形是的-自伴扩张域的充要条件是存在函数，使得
(a)模线性无关；
(b)；
(c)。
定理 2.7 [2] 对于任意的，如果在点是正则的，点是极限点型的，且，则有。因此，在引理2.6的条件(b)，(c)中，，。
3. 主要结论及证明
令，表示以为左端点为右端点的区间，即。设四阶微分算式为
。 (5)
函数。
定义在生成的最大算子，其定义域为
。
定义为微分算式在生成的最小算子。
设
，。 (6)
两区间最大、最小算子域及最大、最小算子是每个区间上相应算子域和算子的直和，即
， (7)
。 (8)
， (9)
。 (10)
令，表示空间中的元素，其中，。则
。 (11)
如果是的-自伴扩张，是的-自伴扩张，则是的-自伴扩张。
引理 3.1 [12] 定义在中的最小算子是稠定的闭的-对称微分算子，其亏指数。其中，是在空间的亏指数，是在空间的亏指数。
引理3.2 [1] (Naimark补缀定理) 假定在上是正则的，。令，。则存在函数使得
，，，，。
定理 3.3 令，中线性流形是最小算子的-自伴扩张域当且仅当存在函数满足
(i)模线性无关；
(ii)；
(iii)。
证明 这个结果是本文的基础，定理的证明与 [2] 的定理4.7相似，因此省略。
定理 3.4 设在端点是正则的，且，那么中的线性流形是的-自伴扩张域的充要条件是存在四个阶矩阵满足
(a)；
证明 必要性。设是最小算子的-自伴扩张域。由定理3.3知，存在满足定理3.3的条件(i)，(ii)，(iii)。由(4)有
，
这里
。。
令
，，，。
因此条件(iii)等价于定理3.4的条件(c)。
下面证明矩阵满足定理3.4的条件(a)与(b)。
显然。若，则存在不全为零的数使得
。 (12)
因此
同理
由于是非奇异的，有
令，即，，，则
，， (13)
故由(13)与(2)有，，所以，这与模线性无关矛盾。
下面证明(b)。由(4)，有
。因此定理3.3的条件(ii)等价于
，即。
充分性。设矩阵满足条件(a)与(b)。下面证明由(c)定义的是的-自伴扩张域。
，，，。 (14)
由引理3.2，选择函数属于使得
，，，，(15)
其中，，。
由(14)与(4)，有
，。
故条件(c)转化为边界条件(iii)，即
最后证明满足定理3.3的条件(i)与(ii)。
用反证法证明条件(i)成立。如若不然，那么存在不全为零的数使得
，即，。
则，由于，于是
所以，这与矛盾。
下面证明条件(ii)成立。由(14)和(15)有
所以，由条件(b)得
于是由定理3.3得是的-自伴扩张域。
定理3.4给出了最小算子的-自伴扩张域边界条件耦合的情况，其条件(c)等价于
(16)
条件(b)等价于
(17)
区间和可以有不同的关系，如相同、重合、分离；于是，考虑区间四个端点的关系，讨论如下
(1) 区间四个端点中任意一个点与其他三个点分离，此时区间和是不分离的假设点被分离，选择
；
则边界条件(16)转化为
，(18)
， (19)
。 (20)
判定-自伴性的边界条件(17)转化为
(21)
。 (22)
(2) 区间四个端点中任意两个点分离。
(i) 区间和是不分离的。假设与是分离的，选择
边界条件(16)转化为(19)和(20)以及
， (23)
， (24)
。 (25)
判定-自伴性的边界条件(17)转化为(22)以及
， (26)
。 (27)
(ii) 区间和是分离的。假设与是分离的，选择
， (28)
， (29)
。 (30)
， (31)
。 (32)
(3) 区间四个端点都是分离的，此时区间和是分离的。选择
边界条件(16)转化为(19)，(20)，(24)，(25)和(29)，(30)以及
，(33)
。 (34)
判定-自伴性的边界条件(17)转化为(22)，(27)和(32)以及
。 (35)
(4) 区间四个端点中任意两个点耦合，另外两个点也是耦合的。
(i) 区间和是不分离的。假设与是耦合的，与是耦合的，选择
边界条件(16)转化为
， (36)
。 (37)
， (38)
。(39)
(ii) 区间和是分离的。假设与是耦合的，与是耦合的，选择
边界条件(16)转化为(28)以及
。 (40)
判定-自伴性的边界条件(17)转化为(31)以及
。 (41)
定理3.4给出了亏指数为8的最小算子的-自伴扩张域的描述，并讨论了-自伴算子边界条件分离与耦合的情形。根据两区间正则点和极限点的个数可将最小算子的亏指数取0，2，4，6。并可根据亏指数的不同，在正则情况下分析-自伴算子边界条件分离与耦合的情况。讨论如下
1. 当区间四个端点都为极限点时，最小算子的亏指数，此时是本身的-自伴扩张。
2. 当区间端点有三个点是极限点，一个点是正则点时，。此时归纳为一区间的-自伴扩张域的描述，边界条件只在正则点处有限制。假设是正则点，其他情形和这种完全类似。
设，，。于是定理3.3可归纳为
3. 当区间端点有两个点是极限点，两个点是正则点时，。这时有以下两种情况
(1) 两个正则点在同一个区间上，故，。假设是正则区间，为的-自伴扩张，则最小算子在两区间的-自伴扩张为。
(2) 两个正则点不在同一个区间上，故，。假设是极限点，是正则点。其他情形和这种完全类似。
因此，条件(c)就等价于(36)的四个等式，条件(b)就等价于(38)的六个等式，条件(a)说明线性无关。
4. 当区间端点有一个点是极限点，三个点是正则点时，。那么一个区间的两个端点都为正则点，另一个区间一个端点为正则点一个端点为极限点。假设是正则点，是极限点，所以，。其他情形和这种完全类似。
因此，条件(c)就等价于等式(18)，条件(b)等价于(21)，条件(a)说明线性无关。
等式(18)描述了点边界条件耦合的情形，但边界条件在区间和可能是分离的，也可能是不分离的。
(1) 区间和是分离的，选择
(18)的六个边界条件转化为(28)-(30)，判定-自伴性的边界条件(21)转化为(31)和(32)。这种情形讨论了边界条件在点和点耦合与点分离的情况，还有一种比较特殊的情形，即边界条件在三个点是分离的。令
(18)的六个边界条件转化为(24)，(25)，(29)，(30)，(33)和(34)，判定-自伴性的边界条件(21)转化为(27)，(32)和(35)。
(2) 区间和是不分离的，选择
(18)的六个边界条件转化为(23)~(25)，判定-自伴性的边界条件(21)转化为(26)和(27)。
基金项目
国家自然科学基金(11361039, 11561051)；国家青年基金(11301259)。
*通讯作者。
参考文献