1. 引言
1992年，Gedeon和Kuchta证明了区间上连续自映射具有伪轨跟踪行的充分必要条件。到目前为止，已有学者研究伪轨跟踪性本身的若干性质，以及伪轨跟踪性与动力系统其他性质之间的关系 [1] 。本文将在这些结论的基础上结合近年来一些学者对树上连续自映射的Sarkovskii定理，Baldwin定理以及Li-Yorke混沌等性质的研究 [2] ，扩展文献 [3] 的结论到空间。
2. 预备知识
设，称任意一个与集合(表示复数集合)同胚的树为星，记为。当时，称与同胚的树为星，记为。设为的分支点，记，称为的分支。
对的任一子集，用表示上包含的最小子树。对于任意的，用表示，记，。若，用表示含的连通分支。上的度量定义为：对任意，表示的长度。
设(表示的端点)，若且，我们称满足偏序关系，记作。
设，记为的轨道。记。
任给，的链或者的伪轨为序列，其中。记表示的周期点集，表示的不动点集。
若且存在一个同胚映射，其中为或，称为一个区间。
若，我们称链被的轨道跟踪。
若任意链都可被某个的轨道跟踪，则称具有伪轨跟踪性。
在本文中我们假设且无处稠密。
引理1 设(表示树)，则下列条件等价:
1) 对任意收敛；
2)；
3) 若，则对任意。
证明详情请见孙太祥等 [4] 编著的《树映射的动力学》引理2.1。□
引理2 设且。任取，若，则对任意，我们有。
证明：若。
，。
不妨设，由，
。
由引理1的(3)得，，
，即。
由，，与矛盾。□
引理3 设且。任取。任取，若，则。
证明：，，若，
则。
令，。
显然，由引理1知对任意。
若，则，与引理1矛盾；
若，则，与引理1矛盾。□
引理4 设且。任取，任取，其中。
证明：由引理1知：对任意，收敛。不妨设，根据的连续性以及极限的唯一性得，。□
引理5 设且。对任意的
任意取，且，则我们有。
证明：
设，，
显然时，。
下面分两种情况讨论：
(A) 若，则。
(A1)；
(A2)，
，
(B) 若，则。
(B1)，由引理2的逆否命题得，，故。由引理2知。
又，
，。又，从而，，
(B2)
，，
又，，从而。
综上所述，，由时，，，故。□
引理6 设且。设为的端点，为的分支点，其中。设，
令
为循环()
那么，(i.e.足够小时，所有的循环都在区间内)。
证明：设(为闭集且)。
对上述，我们可以找到满足引理5，且(表示的邻域)，。下证上述满足引理6。
反证，若存在循环，设。
显然，我们不妨设(根据的性质以及的选取，我们可以找到一个，则令)，
设除外的端点数为，
A) 当，不妨设除外的端点为，则
且，
(1)
设满足(1)式的最靠近的点。
(2)
设的下标为满足(2)式的最小下标，i.e.
(3)
显然。
下面分两种情况继续讨论：
(A1)
在此情况下，且，从而且，由引理4得，与矛盾。
(A2)，则有
由(A)中类似证明可得。又，根据引理5，与矛盾。
故我们选取的满足引理6。
(B) 当，不妨设除外的端点为。
(B1) 若仅有一个满足(1)式的最靠近的点，由(A)得引理6成立。
(B2) 若存在两个不同点满足(1)式的最靠近的点。如(A)中，令的下标为满足(2)式的最小下标，
若，则令。类似(A)中情况得引理6成立；
若，则令。类似(A)中情况得引理6成立。□
定义1 设定义数，其中若，且，则；否则。(即表示离开的次数)。记表示的区间指标。
引理7 设且。考虑引理6中的划分，则，，使得任意伪轨的区间指标小于。
证明：根据引理6，我们选取的足够小使得所有的循环伪轨在同一区间内。
假设引理7不成立，则存在一个伪轨，使得的区间指标，其中为的个数，。从而存在一个区间，使得。
事实上取。
若存在某个，，且，则记为。
因为，所以我们可以找到超过m个类似的点。于是，，从而
因此，是一个循环伪轨。由的定义知这个循环伪轨不全在区间内，与假设矛盾。□
定义2 如果任意，我们有，称不动点的单边邻域为的非吸收邻域。
引理8 设且。任取，其中。设为的非吸收邻域，若，则我们有。
证明：设。因为为的非吸收邻域，则。由引理3得，
(若，则。由，，)。
又，，所以与引理3矛盾)故。□
引理9 设且。设，
如引理6中对的划分，考虑链的某序列，其中。设且若，则。
设
(4)
设的极限存在，令，
若，则且为的非吸收邻域。
证明：若，则由的连续性和(4)式得。
假设，显然有。因为，，
(5)
应用引理6中类似的方法，我们可以找到。
因此有(5)式得，对，我们有，
其中
(6)
与引理5矛盾。故。
下证为的非吸收邻域。
假设不是的非吸收邻域，则存在，且。
若我们取足够大(相应的足够小)，则从而有，其中(显然)。因此若
(存在)，则。由的一致连续性，我们可以找到，从而。
通过上述类似的方法，我们可以找到，满足，。根据上述(6)式类似得，与引理5矛盾。因此，为的非吸收邻域。显然有也为的非吸收邻域。□
3. 主要定理的证明
定理 设且，无处稠密。则下列条件等价：
若收敛与不动点，且的非吸收邻域，则对于所有的(的邻域)，。
具有伪轨跟踪性。
假设不具有伪轨跟踪性，则链序列不被跟踪，其中。
类似引理6对的划分，并且
(7)
根据引理7，任意的区间指标
(8)
不失一般性，假设，因此，其中为的区间指标。
(9)
(必要时考虑相应的子序列)，为的起始点的极限点。由引理4和引理9，我们有
且(10)
因为，所以
(11)
由的连续性得，。
若，则显然被的轨道跟踪，与我们假设矛盾。因此
(12)
现在我们考虑满足(12)式的最小值，不妨设为，故
(13)
(如若必要我们考虑相应的子序列)
不失一般性设，由(9)-(13)式和引理9得且也为的非吸收邻域。由引理8，我们可以找到。
根据的连续性，
(14)
其中，
(15)
根据我们的假设有，因此
的邻域
(16)
因为为的非吸收邻域，所以。
断言：
；
证明断言：由以及的连续性，
(17)
(对于的选取，我们可以简单的通过去掉得到)
设为满足(17)式的最大区间，由归纳得我们可以找到，。
当时，令得
。□
下证式。若，则。
假设，则
，(18)
令为满足(18)式的最小值。由引理3得，(为最小值)。又为的非吸收邻域，则与矛盾，故。□
根据(7)，(12)，(14)以及断言，我们取，
对任意，存在区间
且(19)
对于以为始点的链序列，以及，则，链序列不能被中的任一点的轨道跟踪。(若可被中的某一点跟踪，则根据(19)式可被中的某一点的轨道跟踪，与假设矛盾。)
因此，从而。
重复上述过程，邻域
且不能被中的任一点的轨道跟踪。故。
经过重复次后，，与(8)式矛盾。
设为的非吸收邻域。的某邻域，使得
(20)
假设存在使得
且(21)
由引理8，存在使得
(22)
设。令，定义如下：
若，则令；
若，则令，且
。(因为为的非吸收邻域，所以上述定义是有意义的)
因此通过(23)式得为链。若，由(21)式有；若，由(20)和(22)式有，从而。
故链序列不能被跟踪，与假设矛盾。□
推论 设，则具有伪轨跟踪性当且仅当具有伪轨跟踪性。
证明：详细证明参考文献 [3] 引理9。
基金项目
国家自然基金(NO:11461002；11401288)；广西自然科学基金(NO:2016GXNSFAA380317)。
*通讯作者。
参考文献