1. 引言
广义Gray-Scott模型的化学反应机制如下 [1] ：
其中
，
和
是正常数。对于一维情形，反应物
和
的浓度
,
满足如下反应扩散方程：
其中
和
是化学反应物
和
的扩散系数。当
时，通常称上述模型为Gray-Scott模型 [2] [3] 。通过变换，其相应的高维广义Gray-Scott模型为：
(1.1)
此处，
是Laplace算子；
为
中的有界区域，且其边界充分光滑；
是
上的单位外法向量
；
是正常数。上述模型的正稳态解满足下面的椭圆型方程组：
称
是(1.1)的一个正解，如果，
，且其满足(1.1)。
目前，关于广义Gray-Scott模型的研究主要集中在
的情形 [4] - [9] ，对于
的情形的研究很少，文献 [1] 也仅仅讨论了一维情形。对其它类似模型如Sel’kov模型、 Brusselator模型、Schnakenberg模型等的研究参见 [10] [11] [12] [13] 。
本文研究问题(1.1)非常值正解的不存在性。主要结果如下：
引理1.1：设
，如果下列条件之一成立：
(i)
，
(ii)
且
，则问题(1.1)不存在非常值正解。
定理1.2：设
，如果下列条件之一成立：
(i)
且
，
(ii)
且
，
则问题(1.1)不存在非常值正解。
在第二节给出定理1.1的证明；在第三节，给出定理1.2的证明。
2. 定理1.1的证明
引理2.1：设
为问题(1.1)的一个正解，则
,
,
其中，
。
证明：设
,
。依文献 [14] 中命题2.2，得
,
由此得到第一个结论。
令
,
得
.
令
，依文献 [14] 中命题2.2，得
,
即
,
进而
.
这表明，第二个结论成立，这样，引理2.1得证。
定理1.1的证明：对任意
，记
。假设
是(1.1)的正解。用
乘以(1.1)中的第一个方程两边，然后在
上积分，得
(2.1)
由中值定理知：对任意
，存在介于
之间的
，使得
，由于
，所以
。注意到：
，得
。
同理，用
乘以(1.1)中的第二个方程两边，然后在
上积分，得
.
由Poincaré不等式
,
得
.
利用Young不等式，得
进而
.
取
得
,
所以当
时，有
，这证明了第一个结论。类似地，可得到第二个结论。这样，定理1.1得证。
3. 定理1.2的证明
引理3.1：设
是(1.1)的一个正解，则
满足如下积分恒等式
(3.1)
其中
，
，
，
。
证明：将模型(1.1)的两个方程在
上积分，得
(3.2)
令
,
得
在上式两边乘以
，在
上积分，并注意到：
，得
由此得
另一方面
(3.3)
在(3.2)的两边乘以
，然后在
上积分，得
(3.4)
联合(3.3)和(3.4)，引理3.1得证。
定理1.2证明 由引理3.1的证明可知
，再根据引理3.1知：如果
，则有
由Poincaré不等式
(3.5)
接下来在(1.1)中的第一个方程两边同乘以
，在
上积分，得
(3.6)
由中值定理知，
介于
之间，使得
，因为
，所以
。又因为
，
，
，所以由(3.6)得
(3.7)
取
，于是由(3.7)可化为
由于
再结合(3.7)和(3.5)，则
。
于是，得
所以，当
时，
。
类似地可得到第二个结论。这样，定理1.2得证。
基金项目
辽宁省大学生创新创业项目(编号：S201512026049)。