1. 引言与预备知识
2002年，匈牙利数学家A. Csaszar在文献 [1] 中引入了广义拓扑概念，他定义：集合的一个子集族称为是一个广义拓扑，如果空集并且对于任何族有。不难看出：广义拓扑实际上是一个半拓扑。2015年，文献 [2] 把广义拓扑称为上半拓扑，进而引入下半拓扑的概念，使得点集拓扑的一些性质得到了很好的推广。最近，文献 [3] 和文献 [4] 利用文献 [2] 的研究方法，将任意一个拓扑进行重新剖分为两个半拓扑，即左半拓扑与右半拓扑，并且分别记这两个半拓扑为L-半拓扑与R-半拓扑。同时，这两文献又从另一个角度推广了拓扑的概念，分别得到了L-半拓扑空间和R-半拓扑空间的一些研究结果。本文主要在文献 [4] 的基础上，对R-半拓扑空间进行研究，主要讨论R-半拓扑空间的点集性质、R-半拓扑基与R-半拓扑的比较。
定义1.1 [4] ：设是一个非空集合，是的一些子集构成的集族，如果下列条件被满足：
(O1)；(O2) 若，则。
则称为集合上的一个R-半拓扑，并且称有序偶为一个R-半拓扑空间，中的每一个集合都称为R-半拓扑空间的R-开集。本文在不混淆的情况下，通常用简记。
定义1.2 [4] ：设为R-半拓扑空间，，，如果，使得，则称为点的一个R-邻域。点的邻域全体称为点的R-邻域系，记作，并称为由拓扑导出的的R-邻域系。
定义1.3 [4] ：设为R-半拓扑空间，，，如果使得，则称点为点集的R-内点。点集的R-内点的全体称为的R-内部，记为或。
此外，本文中所有没定义的关于R-半拓扑空间的相关概念(例如子空间等)、术语和记号，如果没有特殊声明，都来自于文献 [5] 。
2. 关于R-半拓扑空间的一些性质
根据文献 [5] 在一般拓扑空间中，有结论：为开集的充要条件是。但在R-半拓扑空间中该结论不成立。
命题2.1：设是R-半拓扑空间，，若为开集，则。反之，结论不成立。
证明：(1) 因为为开集，对，，使得，由R-内点的定义可知，所以；又显然有，故。
(2) 反之，可取，，则是R-半拓扑空间。又取，则对，，使得。由R-内点的定义，有。因此；又，所以有。但，因此不是开集。
下面是与拓扑空间类似的两个结果：
命题2.2：设是R-半拓扑空间，，如果是的开子集，则开于当且仅当开于。
证明：(必要性) 设开于，存在中开集使得，又因是的开子集，则，因此是中开集。
(充分性) 设开于，则开于。而，因此，开于。
命题2.3：设是一个R-半拓扑空间，，则。
证明：对于，因使得并且，则使得，故。又因且，则。所以，。
反过来，对于，则存在使得并且存在使得。对于，又存在使得，则存在使得。因此，。
从而，。
3. 关于R-半拓扑的比较
定义3.1：设，是上的两个R-半拓扑，如果，则称是比更粗的R-半拓扑，或称是比更细的R-半拓扑。
命题3.1：设，是上的两个R-半拓扑，和分别是关于与的全体闭集构成的集族，则是比更粗的R-半拓扑当且仅当。
证明：(必要性)，有，因，则，故，从而，。
(充分性) 对于，有，因，则。故，因此，，是比更粗的R-半拓扑。
众所周知，在一般拓扑学中有定理 [5] ：如果，是上的两个拓扑，则当且仅当，有。下面证明：这定理在R-半拓扑空间中不成立：
命题3.2：:设，是上的两个R-半拓扑，若，则，有。反之，结论不真。
证明：(1) 设，对于，，，使得。因为，则并且，故，所以。
(2) 反之，可取，，，则，是上的两个R-半拓扑，由R-邻域的定义，有
，
因此，对于，有。但是，。
4. R-半拓扑基
定义4.1：设是R-半拓扑空间，，如果，存在，使得，则称B为R-半拓扑的一个基，也称B为的一个R-半拓扑基。
命题4.1：设是R-半拓扑空间，B为R-半拓扑的一个基当且仅当，，使得。
证明：(必要性) 设B为R-半拓扑的一个基，即，存在，使得，故，，使得。
(充分性)，若，则，使；若，因为，，使得。故。由R-半拓扑基的定义知：B为的一个基。
在一般拓扑空间中，有如下结论：
设是拓扑空间，B为的一个基，则B满足下面两个条件：(1)；(2)，，使得。但在R-半拓扑空间中，上述条件（1)不一定成立。
例如：可取，则，，但。
5. R-半拓扑空间的分离性质
现在，类比一般拓扑空间的分离性质引入R-半拓扑空间的分离性质：
定义5.1：设是一个R-半拓扑空间，且中的任意一点都有包含它的邻域存在。
(1) 称是R-T0的，如果，，使得，或者使得。
(2) 称是R-T1的，如果，，，使得并且。
(3) 称是R-T2的，如果，，，使得。
定理5.1：R-半拓扑空间为R-T0空间当且仅当任意，若，则。
证明：(必要性) 设为R-T0空间，任意，。由公理，不妨设存在，使得，即闭于，故，因此，从而。
(充分性) 任意，，因，则或。不失一般性，设，即存在。下证。从而存在，有。事实上，若，则，因此，于是。这与矛盾。
定理5.2：若R-半拓扑空间中每个单点集都是闭集，则是R-T1空间。
证明：任意，。因为是闭集，则为开集，并且
又因为。故为空间。
在一般拓扑学中，定理5。2的逆命题也成立，但在R-半拓扑中却不成立，反例如下:
取，。容易验证是一个R-T1空间，但存在中的单点集不是闭集。
定理5.3：R-半拓扑空间是R-T2空间当且仅当中每个收敛网有唯一极限。
证明：(必要性)反证。若中存在一个收敛网有两个极限点与并且。由的性，存在，存在，使得。因为，故存在，使得任意，有。又因，故存在，使得任意，有。再由的定向性，存在，使得且。因此，任意，有。这与矛盾。从而有唯一的极限点。
(充分性) 反证。若不是空间，即存在，使得任意，任意，有。取，并且定义。
又在中定义半序“”：当且仅当且。则是一个定向集。为中的一个网。
现在证：并且。
事实上，，取，则。对于，当时，有。因此。同理可证，。
定义5.2：设是一个R-半拓扑空间，且中的任意一点都有包含它的邻域存在。
(1) 称是R-半正则的，如果，闭于，若，则，，使得。
(2) 称是R-半正规的，如果闭于，若，则，使得。
定理5.4：R-半拓扑空间是正则的当且仅当，，，使得。
证明：(必要性)设，，存在开集，使得。记，则闭于并且。由的正则性，开集，开集，使得。则。因而，，使得
(充分性) 设，闭于并且。令，则开集。由假设，使得。令，则
因此，且。从而是正则的。
6. 小结
本文在文献 [4] 的基础上进一步探究右半拓扑即R-半拓扑空间的性质，得到了R-半拓扑空间的一些结论以及R-半拓扑的比较与R-半拓扑基的一些结果。进而，丰富了R-半拓扑空间理论。同时，给出反例说明有些在一般拓扑中成立的命题在R-半拓扑中却不成立。
参考文献