1. 引言
关于函数方程的稳定性问题，早在1940年S. M. Ulam [1] 提出了群同态的稳定性。次年，D.H. Hyers [2] 把群和换做Banach空间，并给出近似可加映射的稳定性。在证明这一问题的过程中Hyers使用了“直接法”，这一方法是研究各类函数稳定性的有力工具。在Ulam-Hyers-Rassias稳定性理论的基础上越来越多的数学家对稳定性理论产生兴趣，从目前研究现状来看，限制定义域上函数方程稳定性问题对于稳定性研究具有重大意义。近几年国内外的许多数学家专注于研究限制定义域上函数方程稳定性理论，而在这方面贡献较为突出的是F. Skof和Jung等。1983年F. Skof解决Ulam 可加函数在限制域上稳定性问题。之后又有许多数学家给出了各类函数在限制定义域上稳定性的相关结论：Z. Kominek [3] 证明了Jensen函数方程在限制定义域上的稳定性；S.M. Jung [4] 证明了限制定义域上Jensen函数方程稳定性并且应用这一结论研究可加函数的近似性质。John Michael Rassias [5] 在Jung关于二次函数稳定性证明的基础上，给出了二次函数在限制定义域上的稳定性。Hyers, Isac和Rassias [6] 给出可加Cauchy 方程的Hyers-Ulam-Rassis稳定性，并应用它去研究渐进可导性。Dorota Wolna [7] 证明了多项式函数在限制定义域上的稳定性。John Michael Rassias和Matina John Rassias [8] 证明了Jensen和Jensen型函数在限制定义域上的稳定问题，并且给出了Jensen和Jensen型函数的近似性问题，在证明中用到的方法与文献 [5] 是一致的。Jae-Young Chung, Dohan Kim和John Michael Rassias [9] 给出了群上Jensen型函数在限制定义域上的稳定性。Yang-Hi Lee [10] 在2013年证明了限制定义域上二次可加函数方程的稳定性。Won-Gil Park和Jae-Hyeong Bae [11] 证明了Bi-二次函数方程稳定性，纪培胜 [12] 给出了多元二次函数方程等价形式并证明其稳定性。
本文主要证明的是多元二次函数方程在限制定义域上的稳定性。
2. 主要结果及证明
定义2.1 [12] ：函数被称作多元二次的或者-二次的是指函数关于每一变元都是二次的，即：
其中。
以下均设是赋范线性空间，是赋范Banach空间。
引理2.1 [12] ：函数对满足
(2.1)
当且仅当是多元二次的。
引理2.2 [12] ：设函数满足
，函数对满足不等式
且对，如果，那么中至少有一个元素为0，则存在唯一的多元二次函数使得，。
下面来给出并证明方程(2.1)在限制定义域上的稳定性。
定理2.1 设，是给定的数，函数满足
(2.2)
，，，且对，如果，那么中至少有一个元素为0，则存在唯一的多元二次函数使得
，(2.3)
证明：定理的证明过程分为四部分。
I. 首先证明对
当，，。如果取且，当时，令，当时，令，显然有，
，，，
，。 (2.4)
记
，
则
由(2.2)，(2.4)式及上面的关系可得
(2.5)
其中，，，，。现在设
(2.6)
其中，，，，。
，如果，取，。否则，当时，令，当时。显然有，
，，，，，，，，，，，，，，，，(2.7)
。
由(2.6)，(2.7)式及上面的关系式可得
(2.8)
其中，。
II. 证明(2.3)式成立。
令(2.8)中，，然后再除。由已知，当至少有一个元素为0，，可得对，
用代替，，不等式两端同除可得对，
因此对于非负整数，，有
(2.9)
令(2.9)式中可得是中的Cauchy列，由于是Banach空间，所以Cauchy列收敛。记
，(2.10)
令(2.9)式中，
再令，由(2.10)式可得，对，
III. 证明函数是多元二次的。
将(2.8)式中用，分别代替，，，不等式两端同除，可得
(2.11)
其中。令得是多元二次的。
IV. 证明函数是唯一的。
假设有满足(2.3)式，由和的多元二次性可得，
,
令可得，从而是唯一的多元二次函数满足(2.3)式。
基金项目
山东省优秀中青年科学家科研奖励基金(No.BS2013SF014)；山东省高等学校科技计划(No.J16LI51)。
参考文献