1. 引言
众所周知，序列的收敛性在数学分析中扮演着极其重要的角色(见 [1] - [4] )，通常的收敛均是Cauchy收敛。
定义1 对于有界序列，如果则称序列Cauchy收敛到。
即：意味着对，存在，使得对，有。
在实际应用中有一些序列并不能满足上述条件。因此，许多学者就提出了考虑在更弱的条件下序列的收敛问题。其中最著名的就是Cesaro收敛和Abel收敛。
定义2 对于有界序列，如果。则称序列Cesaro收敛到。
定义3 对于有界序列，如果。则称序列Abel收敛到。
本文主要研究这三种收敛性的关系，研究表明序列Cauchy收敛可推导序列Cesaro收敛，序列Cesaro收敛可推导Abel收敛，并且给出具体的例子说明它们的逆都不成立。即这三种收敛性一个比一个弱。我们通过增加适当的条件给出较弱形式的逆命题。
2. 主要结论
定理1设序列Cauchy收敛到，则序列Cesaro收敛到。
证明 由，可以对任意给定的选取，使得当时成立于是
这里是一个确定的数，由此可见，只须取，就可以保证当成立
结论成立。
注1 如果定理1中的取，结论仍然成立。即：如果，则。定理1的逆命题一般来说不成立，例如：取但通过附加适当的条件其逆命题也可以成立。
命题1 设序列单调递增，且Cesaro收敛到，则序列Cauchy收敛到。
证明 见参考文献 [5] 。
命题2 设序列Cesaro收敛到，且满足，则序列是Cauchy收敛到。
证明
令，，，。
则且
。
于是
注意到，，结论成立。
如果序列有不同的收敛子列，则一定不是Cauchy收敛，但它的算术平均可能收敛。下面给出这样一个结论，它在概率论中非常有用。
命题3 设d是一正整数。序列满足
，
则
证明 由定理1，有
记，，，则
令，则且。结论成立。
定理2 如果序列Cesaro收敛到，则序列Abel收敛到
证明 不妨假设级数的收敛半径小于或等于1。即
令，，
注意到
往证。事实上，如果，那么因为，，故对任意的：
因此，如果。
注2 定理2的逆一般来说也不成立，例如：假设，易知的收敛半径为1，并且
和
因此，Abel收敛到0，但是Cesaro意义下发散。
基金项目
安徽省大学生创新基金项目资助(201410360300)。
参考文献