1. 引言
组合序列在组合数学中有着十分广泛的应用背景，特别是经典的组合序列，其中经典第二类Stirling数 [1] 在数学领域中扮演重要的角色。近年来，很多学者用各种不同的方法对第二类Stirling数进行了推广，并取得了丰富的成果。2011年，罗秋明与H. M. Srivastava [2] 研究了第二类l-Stirling数与Apostol type多项式相关的性质。2013年，Simisek [3] 引入了广义第二类l-Stirling type数与广义l-array type多项式，得到了许多相关恒等式。本文在此基础上继续推广了广义l-array type多项式，并运用一些指数型Riordan理论和组合学技巧得到了一些关于广义l-array type多项式以及array type多项式的组合恒等式，并且在这些恒等式里包含着一些常见的特殊组合数。在这里，我们还引入了广义Hermite-Based Apostol-Bernoulli多项式与广义Hermite-Based Apostol-Euler多项式的定义，从而得到它们相应的指数型Riordan阵，并进一步证明了广义Hermite-Based Apostol-Bernoulli多项式、广义Hermite-Based Apostol-Euler多项式与广义l-array type多项式之间的一些恒等式。
Riordan阵理论在组合学中具有广泛的应用，是研究组合和式与特殊组合序列的工具。应用Riordan理论不仅可以研究组合序列，发现和证明恒等式，而且在序列、矩阵与发生函数之间建立起了很好的桥梁。下面将给出指数型Riordan阵理论的一些基本知识。
一个正常的指数型Riordan阵是一个形式幂级数对，其中，且满足，即是一个delta级数。Riordan阵按如下规则定义了一个无穷下三角矩阵：
(1)
其中函数称为该指数型Riordan阵的一般元。
最常见的指数型Riordan阵为Pascal阵。
在所有指数型Riordan阵组成的集合中，定义两个Riordan阵的乘法如下：
若，，则与的乘积定义为
.
引理1 [3] 令为关于的指数型Riordan阵，令为序列的数型发生函数，则我们有
,(2)
上述和式可以改写为矩阵相乘形式：
引理2 [3] 所有满足为可逆级数的指数型Riordan阵关于矩阵乘法构成一个群。特别地，矩阵为群的单位元，而矩阵的逆元为，其中为的复合逆。
下面我们将给出本文用到的一些基本记号：，，且表示整数集合，表示实数集合及表示复数集合。我们假设表示多值函数的主分支且其虚部被限制为。进一步，
及
其中且[1] [2] 。
此外，我们引入线性函数的线性表示，它在单项式上的作用定义为：
其中是Kronecker记号。由定义，如果，那么我们有
同样地，如果，那么。从而易知。换言之，就是中的系数。因此，可以表示“取系数”算子。
最后，介绍符号“”，我们用表示换为，如表示换为等等。
2. 广义l-Array Type多项式与指数型Riordan阵
在这一节，我们将构造一类关于包含非负实参数的广义l-array type多项式的发生函数，并应用指数型Riordan阵理论得到了广义l-array type多项式的一些性质，进而证明了特殊组合序列，如经典array type多项式与第二类Stirling数，的一些恒等式。现在，我们将给出广义l-array type多项式的自然推广形式：
定义2.1 令，，且，则一类广义l-array多项式可定义为
(3)
运用式(3)，可计算出多项式的特殊值如下：
，
注2.1 在式(3)中代入及，我们可得广义l-array多项式
( [3] ，定义3.1)。进一步，令，我们有广义第二类l-Stirling数
它是由下列发生函数所定义：
( [3] ，定理2.2)。
在式(3)中令，及，则有array多项式
这恰好是Chang与Ha [4] 的结果，也可参考Simsek [5] 。显然
其中表示第二类Stirling数 [3] 。
为方便起见，假设多项式的发生函数为
(4)
定理2.1 假设，，及，那么有指数型发生函数
(5)
证：在式(4)的右端代入式(3)可得
因此
上面方程的右端恰为的Taylor级数展开式。
故，
对上式应用二项式定理，~即可得到所证结果。
在式(5)中令可得
对上式两边取系数，也可以得到
注2.2 在(5)式中令及，定理2.1产生相应的结果( [3] ，定理3.3)。在(5)式中取时，它被简化为
在特殊情况，及时，由式(5)所定义的一类广义l-array多项式立即得到经典array多项式，它由下述发生函数所定义
这正是由Chang及Ha [4] 所研究的array多项式的发生函数。
根据指数型Riordan阵的定义(1)式，我们得到对应于广义l-array type多项式的发生函数(5)式的正常的指数型Riordan阵：
,
所以，矩阵的一般元由下式给出
定理2.2 对于，，及，下述恒等式成立：
(6)
证：令，则应用式(2)可得
推论2.1 当，与时恒等式(6)成为
进一步，当时，
这是参考文献( [5] ，定理2)中的结论。
定理2.3 令，，及，那么
(7)
证 考虑，由式(2)可得
从而，立即可得所证恒等式。
在定理2.3中，令，，与，则我们有下述推论。
推论2.2 令，，那么下式成立：
(8)
进一步，取，可得
3. 广义l-Array Type多项式与其他广义多项式
在本节，我们首先回顾广义Hermite-based Apostol-Bernoulli多项式与广义Hermite-based Apostol-Euler多项式的定义，从而得到它们相应的指数型Riordan阵，并进一步证明了广义Hermite-based Apostol-Bernoulli多项式、广义Hermite-based Apostol-Euler多项式与广义l-array type多项式之间的一些恒等式。
对于任意的，，与为任一复数，广义Hermite-Based Apostol Bernoulli多项式[6] 及广义Hermite-Based Apostol Euler多项式[6] 分别由下式所定义
(10)
以及
(11)
我们知道与，它们分别表示广义Bernoulli多项式和广义Euler多项式 [1] [7] 。
现在，我们考虑由式(10)与式(11)所给出的广义Hermite-based Bernoulli多项式与广义Hermite-based Euler多项式的发生函数。由式(1)定义的指数型Riordan阵，我们可获得下述关于式(10)对应的正常的指数型Riordan阵：
因此，的一般元为
由上式可知
(12)
的一般元为。
在上式中取，及，则得到指数型Riordan阵
其中为高阶Bernoulli数(参考 [1] )。但是利用位势多项式的定义( [1] ，133页)，可以得到
(13)
其中为指数型部分Bell多项式 [1] 。这样，我们可以导出广义Bernoulli多项式的确切表达式：
这是参考文献 [8] 中的结论。
此外，在式(13)中取可得
. (14)
类似地，我们可以得到关于广义Hermite-based Euler多项式序列的正常的Riordan阵：
它的一般元为
该Riordan阵的逆阵为
(15)
特别地，在上式(15)中取，，可得
则利用Bell多项式的表达式 [1] 以及公式[1] 可得
从而可得如下广义Euler多项式的表达式：
定理3.1 令，，，，那么有
(16)
证 令，应用式(2)可得
在定理3.1中代入，，与，则可得下述推论：
推论3.1 下列恒等式成立：
(17)
特别地，当时，
证 应用式(14)与式(16)，我们很容易地得到所证结论。
定理3.2 令，，及，那么
(18)
证 由式(12)可得
再应用替换，及，故由上式可得所证结论。
在定理3.2中取，与，可得下述组合恒等式：
推论3.2 下述公式成立：
(19)
当时，(参考 [9] ，99页)。
定理 3.3 令，，及，那么
(20)
证 令，由式(2)立即可得所证结论。
在定理3.3中取，与，可得下述结果。
推论 3.3 令，，那么
(21)
定理3.4 下列关系式成立：
(22)
证 由式(15)可以观察到
这样，在上式中应用替换，及就可得所证结论。
在定理3.4中取，及，可得下述推论。
推论3.4 对于，，满足下列恒等式
(23)
取，则可得
(24)
推论3.5 对于，我们有
(25)
证：应用式(23)与反演关系
可得
这样，我们可得到所证结论。
4. 总结
本文主要研究了广义l-array type多项式，它是经典array多项式的推广。首先，我们对广义l-array type多项式进行了推广，定义了新一类广义l-array type多项式，并利用Riordan阵方法讨论了广义l-array type多项式的一些性质，得到了一系列相关的组合恒等式。
致谢
本文由国家自然科学基金项目(11461050)支持。
参考文献