1. 引言
本二阶锥线性互补问题是线性互补问题的一个扩展，它在很多领域都具有广泛应用，比如工业设计、控制、金融与管理科学中 [1] - [3] 。在近十多年来，二阶锥线性互补问题得到了广泛关注，人们提出很多数值方法用于求解这类问题，例如，内点算法 [1] [2] [4] 、光滑牛顿算法 [1] [5] 、半光滑牛顿算法 [6] [7] 、矩阵分裂算法 [8] 、价值函数算法 [9] [10] 幂函数算法 [11] [12] 等。其中有些算法需要 [13] 浮点运算次数，这在问题维数变得很大时可能不是有效的。与此同时，许多实际问题中的互补问题都需要有效的、精确的数值算法。
低阶罚函数算法是求解约束优化问题的重要方法 [13] [14] 。在文献 [15] 中，S. Wang和X. Yang提出幂罚函数算法用于求解线性互补问题。幂罚函数算法实际上是一种低阶罚函数算法。算法的核心是将线性互补问题转化为幂罚方程组序列。考虑到文献 [15] [16] 中指数收敛速度的良好性能，本文的目的是提出一类广义二阶锥线性互补问题的低阶罚函数算法。
考虑如下广义二阶锥线性互补问题：求向量，使得
(1.1)
其中是维欧式空间，是阶实矩阵，是阶可逆实矩阵，是维实向量。
由于可逆，故存在，使得，则
(1.2)
若记，因而(1.1)可以等价转化为：
(1.3)
因此不失一般性，本文只考虑下列形式的广义二阶锥线性互补问题：求向量，使得
(1.4)
其中是维欧式空间，是阶实矩阵，是阶可逆实矩阵，是维实向量。且是二阶锥的笛卡尔乘积。即
(1.5)
其中，且看作维的二阶锥，也即
(1.6)
其中表示欧几里得范数，为了方便用来定义。显然是一个闭、凸的自对偶锥。如果某个，则定义为非负实数集。如果，则退化为。
本文将广义二阶锥线性互补问题(1.4)转化为带幂参数和罚参数的渐近非线性方程组(低阶罚方程组)。借助互补问题与变分不等式之间的关系，证明了广义二阶锥线性互补问题(1.4)和低阶罚方程组都是唯一可解的。并由此证明了，在矩阵正定的条件下，当罚参数时，低阶罚方程组的解序列以指数速度收敛于广义二阶锥线性互补问题的解。
本文第二节给出广义二阶锥线性互补问题(1.4)的对应低阶罚方程及解得存在唯一性，第四节进行了总结。
2. 预备知识
在本节中给出单个二阶锥的一些基础知识。对任意的，它们的Jordan product [1] 定义如下：
(2.1)
此处用表示，且表示向量的加法。这样、以及构成了的Jordan代数。容易看出Jordan product满足交换律。一般地，约当积不满足结合律，即。这是研究和分析二阶锥优化算法的主要困难来源之一，但是，在内积意义下，结合律成立，即。因此对任意的正整数以及所有的正整数和，有。关于与二阶锥相关的欧几里得约当代数，比如迹、行列式、可逆向量、平方根、绝对值向量，更详细的内容可参见文献 [1] [17] - [19] 。
与矩阵的谱分解类似，在中与相关的向量也可以进行谱分解 [17] [19] ，对于，可以分解成
(2.2)
(2.3)
，满足。这里和分别表示的特征值和相应的特征向量。如果，分解式(2.2)-(2.3)是唯一的。显然且。
下面我们给出谱分解的一些基本性质。
性质 2.1 [4] [15] 对任意的，、和、是按(2.2)和(2.3)式给定的特征值和相应的特征向量，则：
1)
2)
3)
4)是非负的(正的)当且仅当。
5)
根据二阶锥的的性质，对任意的且，有当且仅当 [1] [4] 。因此互补条件可以由Jordan produc的等价性来描述。根据(2.2)和(2.3)式的谱分解，一个标量值函数可以被扩展为与相关的一个SOC向量值函数 [4] [17] ，定义
(2.4)
其中是特征值，是对应的特征向量(看(2.3))。
对任意的，的投影定义为在上离最近的点，记作，也即且
(2.5)
显然，当时，投影(2.5)退化为。下面的引理指出当时，和有(2.4)式的形式 [4] 。
引理 2.1 [4] 对任意的，、和、是按(2.2)和(2.3)式给定的特征值和相应的特征向量，则：
2)对任意的标量。
类似于在上的投影的概念，定义
(2.6)
显然就是在上投影的相反向量，且有和。
3. 低阶罚方法及收敛性分析
在本节中，针对广义二阶锥线性互补问题(1.4)提出一种低阶罚方法，以及收敛性分析的证明。不失一般性，假设向量由一个二阶锥块组成，即，因为收敛性分析很容易推广到一般的情况(1.5)。
下面我们考虑低阶罚方程，求，使得
(3.1)
其中是幂参数，是罚参数。当的谱分解为时，定义
(3.2)
当不成立时，方程(3.1)中的罚项是惩罚的负项。显然从方程(3.1)可以看出是成立的，因为。我们希望当时，低阶罚方程(3.1)的解序列收敛于广
义二阶锥线性互补方程(1.4)的解。为了证明低阶罚方程解的存在性、唯一性以及解的有界性，对矩阵做如下假设：
假设3.1 矩阵是正定的，但不一定是对称的，也即存在一个常数，使得
(3.3)
记变分不等式问题为：即求，使得
(3.4)
则有如下定理：
定理3.1 变分不等式(3.4)与广义二阶锥线性互补问题(1.4)等价。
证明：若是(1.4)的解，则，且。对有：
(3.5)
因此也是变分不等式(3.4)的解。
反之，如果是(3.4)的解，则有(3.4)成立。下面证明。如果不然，则必存在某个指标，使得。取向量为下面方程组的解：
(3.6)
对。但此时
(3.7)
这与(3.4)矛盾，故必有。
最后证明。仍用反证法。若不然，由，有。又由可知，必有，从而必存在某个指标，使得：
取向量为下面方程组的解：
(3.8)
(3.9)
这与(3.4)矛盾，故必有。证得广义二阶锥线性互补问题与变分不等式问题的等价性。
那么又由文献 [3] 中的定理2.3.3可知，变分不等式问题有唯一解，从而广义二阶锥线性互补问题有唯一解。
定理3.2 假设正定，则低阶罚方程组(3.1)有唯一解。
证明：令，由于：
证明中用到了正定和的分量与$的分量同号的事实。
若令，由上面的分析可知
因此强单调，故方程组有唯一解(有关强单调的概念参照文献 [3] )，也即有唯一解。由于可逆，故方程组有唯一解，也即低阶罚方程组(3.1)有唯一解。
命题 3.1 对任意的，低阶罚方程(3.1)的解是有界的，即存在一个正常数，独立于和，使得。
证明：在低阶罚方程(3.1)的两边同乘以，得
(3.10)
注意到，我们有
(3.11)
因此，由式子(3.10)和(3.11)可以得到。结合最后一个不等式，(3.3)和Cauchy- Schwarz不等式，存在一个常数，使得
(3.12)
也即。令，得证。
下面的性质在收敛性分析中是非常重要的，给出了的一个上界。
命题3.2 对任意的，存在一个正常数，独立于和，使得
(3.13)
证明：令。从(2.2)-(2.3)式可以看到可以分解为，这是谱值，表示相关的谱向量且有。根据引理2.1，可以得到
(3.14)
在(3.1)式的两边同乘以，我们可以得到
(3.15)
由(3.1)式和赫尔德不等式，得到
(3.16)
其中，满足。根据(3.2)，(3.14)和性质2.1，可以得到
(3.17)
由(3.16)和(3.17)可以得到
(3.18)
在上由范数的等价性可知，存在一个只依赖于的正常数，使得
(3.19)
根据性质2.1，(3.14)，(3.19)和三角形不等式，可以得到
(3.20)
令，则对一些正常数有。因此
(3.21)
在(3.21)式的两边同时取次幂得到
(3.22)
由(3.18)，(3.20)，(3.22)可以得到
(3.23)
也即。最后一个不等式两边同时取次幂得到
(3.24)
根据范数的等价性，存在一个正常数使得。且从(3.13)得到。所以，令，故(3.13)成立，证毕。
由命题(4.1) (4.2)可以得到解决广义二阶锥线性互补问题的低阶罚方法的收敛结果。在此省略其证明过程，因为与文献 [15] 中定理(2.1)的证明类似。
定理3.3 对任意的，令是低阶罚方程组的解，且是广义二阶锥线性互补问题(1.4)的解。则存在一个独立于和的正常数，使得
(3.25)
从定理4.1，可以看到当时，低阶罚方程(3.1)的解序列以指数速率收敛到广义二阶锥线性互补问题的解。
定理3.3的收敛性结果是在假设3.1下成立的，若假设3.1不成立，又有什么样的收敛性结果呢？下面的定理证明在假设3.1不成立的情形下，低阶罚函数方程组(3.1)解序列的任意极限点都是广义二阶锥线性互补问题(1.4)的解，但在这种情形下不能确定收敛速度。
定理3.4 对任意，假设低阶罚函数方程组(3.1)有解，对任意幂参数，令是一列满足
的正数序列，且，则序列的任意极限点都是广义二阶锥线性互补问题(1.4)的解。
证明：对任意，因为是低阶罚函数方程组(3.1)关于的解，则有
(3.26)
设是序列的任意极限点，不妨设当时，否则用的一个子序列收敛到即可。因而存在正整数，使得
(3.27)
注意到
(3.28)
从(3.26)式得，在此式中令，由的闭性知
(3.29)
下面证明
(3.30)
反设，此时令，则。因此，由(3.28)知当充分大时，且。
同时，由(3.26)得，当时
与(3.27)式矛盾，故(3.30)式成立。
下面来证明
(3.31)
因为，所以有以下三种情形：
情形一：如果，显然。
情形二：如果，则。在式中令，则。所以。
情形三：如果，此时令，则，根据向量的特征值分解(2.2)~(2.3)，可以分解为，这里和分别表示的特征值和相应的特征向量。因此
即。假设的特征值分解为。因为对任意的，当时，都连续。所以由(3.28)得当时，。特别地，当充分大时有。因此，由(3.26)得
(3.32)
在(3.32)式两边令，并记。因此
由以上3种情形，我们得到，故(3.31)式成立。最后，由(3.29)，(3.30)和(3.31)可得是广义二阶锥线性互补问题(1.4)的解。由极限点的任意性，可知结论成立。
4. 结论
本文根据低阶罚方程组(3.1)，将低阶罚函数算法扩展到求解广义二阶锥线性互补问题(1.4)。在矩阵时满足正定的条件下，广义二阶锥线性互补问题(1.4)与低阶罚方程组(3.1)均有唯一解，且低阶罚方程组(3.1)的解序列以指数速度收敛于广义二阶锥线性互补问题(1.4)的解。当矩阵非正定时，低阶罚函数方程组的解序列仍然收敛到广义二阶锥线性互补问题的解，但不能保证以指数速度收敛。
参考文献