1. 引言
期权是风险管理的核心工具，姜礼尚 [1] 对期权定价理论作了系统深入的阐述，利用偏微分方程理论和方法对期权理论作深入的定性和定量分析，特别对美式期权，展开了深入的讨论，作了杰出的贡献。在研究美式期权确定最佳实施边界的问题永久看涨或看跌美式期权 [1] - [5] 确定最佳实施边界的问题是齐次尤拉方程的自由边界问题 [1] 。本文将该问题归结为半无界区域的边值问题的基本解(同时待求基本解的奇异点)来研究，获得了尤拉方程在半无界区域基本解和它的奇异点的表达式。证明了基本解
且当单调增加，在单调减少，故在奇异点处解取正的最大值。基本解的奇异点就是永久美式期权最佳实施边界点。
2. 主要结果
问题1 齐次尤拉方程在半无界区域的边值问题
(1)
问题1的求解：
齐次尤拉方程有形如的特解，将其代入尤拉方程，得到特征方程
(2)
它有两个根，记为
(3)
其中
易知
(4)
故方程的通解为
(5)
其中A，B为任意常数。再由边界条件推岀，推岀。从而
(6)
引理1: 齐次尤拉方程的二阶可微连续有界解不存在。
我们考虑在区域内有一个奇异点的解的存在性，即是否有的这样的正解：在区域内保持解函数连续，且，但存在某点(待求)处一阶或二阶导数不连续。即试图寻求连续有界正解。
其中：。
问题2求使其满足
(7)
其中：为常数，为上的非负连续函数，为Dirac函数。
该问题的解称为基本解，Dirac函数中的称为基本解的奇异点。在奇异点处要求保证解函数连续。
为方便起见，把问题2表为如下等价形式；
(7)'
微分祘子，
其中。
求解问题2：
当时，
即知在与满足齐次尤拉方程，故通解为
(8)
其中是任意常数。
1) 当，由边界条件
推出，
得到
(9)
(10)
(11)
2) 当，由边界条件
推出，，
从而
(12)
(13)
由(11)，(13)有
(14)
记
(15)
于是
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
下证 由(16)，(17)给出的满足问题2当且仅当。
记为上具有紧支集的无穷可微函数空间，它作为基本函数空间。为基本函数空间上的广义函数空间。引入对偶积
(21)
对，有
(22)
利用(18)和(19)两式即有，于是得到
，
再由和(15)式即有
即得
(23)
故有
(23)'
对照(7)'中方程：
即知
从而有
(24)
定义1基本解在点一阶导数满足，称为基本解在点的跳跃度。
定理1 (基本解存在定理)当，，问题2的解存在，
且有精确解的表达式
(25)
或
(25)'
定理2 (基本解性质定理)当，，则
1) 问题2的基本解为连续有界正解，但
，且解函数在点一阶导数的跳跃度为。
2) 问题2的基本解连续有界正解由和的取值唯一确定，且解函数在点取最大值。
证明：由定理1问题2的基本解，由有；由，，点处一阶，二阶导数不连续，故。
由(20)即知在严格单调增加；在严格单调减少，从而解函数在点取最大值。
记，由(24)有。
定理3 (基本解不同表示定理)当取值确定时，问题2的基本解由的取值唯一确定，也可由或之一的取值唯一确定(，，三者中任一个确定其它两个)；问题2的基本解也可由或表示，即有
(26)
(27)
其相容性条件为
(28)
证明：由和(25)即知
，，
(29)
(30)
(31)
即有
(32)
由(32)即知，，三者任一个可确定其它两个。
附注2 基本解在奇异点处左、右导数由正变负：，。
推论1 当(或)，且，则问题2的基本解
1) 当(33)
2) 当(34)
其中，。
证明：由(29)即有，于是
1)
于是，同理可得。
2)，同理可得。
(35)
(36)
由(35)，(36)和(26)即得(33)，(34)。
问题2.1 求使得
(37)
问题2.2 求使得
(38)
定义2 问题2.1与问题2.2两自由边界问题同时有解，系指两自由边界问题不仅都有解，而且所确定的自由边界是相同的。
推论2 当(或)，且，问题2.1与问题2.2两自由边界问题同时有解，且问题2.1的解由(39)，问题2.2的解由(40)给出。
(39)
(40)
附注3 在条件下(39)，(40)所给出的是相同的。
推论3 问题2.1在的正解，且
1) 若，，(41)
2) 若(42)
证明：当，时，由推论2中(39)有
，是自变量在区间上的严格增函数，故，即1)得证；当时，由推论2中(39)，，是自变量在区间上的严格减函数，，即2)得证。
推论4 问题2.2在的正解，且
1) 当，正解(43)
2)，正解(44)
证明：由推论2即得。
推论5 问题2中若，
1) 当，则都是在区间上的严格增函数；；
2) 当，则是在区间上的严格增函数，是在区间上的严格减函数，。
证明：由(25)有，当时，
故和是在区间上的严格增函数，；当
故是在区间上的严格增函数，是在区间上的严格减函数，。
奇异点和所取最大值构成的二维点，由唯一确定。依赖于的取值。由推论5即知
1) 当时，；
2) 当时，。
3. 上述结果的验证
例1 永久美式看涨期权价格自由边界模型(A) (参考文献 [1] 中125页)
求，使得
(45)
用推论3的结论当，
令，即得
(46)
(47)
将(41)代入(40)即有
(48)
立即可得永久美式看涨期权模型(A)的连续有界正解，
且可表示为
(49)
其中：，。
即应用我们获得的基本解和它的奇异点的表达式在取定时获得了永久美式看涨期权自由边界模型(A)在区间上的一致结果。
例2 永久美式看跌期权自由边界模型(B) (参考文献 [1] 中123页)
(50)
由推论4，，有
再令，即得
即得，
永久美式看跌期权模型(B)存在连续有界正解，
(51)
。
即应用我们获得的基本解和它的奇异点的表达式在取定时获得了永久美式看跌期权自由边界模型(B)在区间上的一致结果。
例3 永久美式看跌期权定价自由边界模型(C) (参考文献 [1] 中120页)
(52)
问题2.2中当的情形，由推论4，当，
，这里，则有
，下面再计祘：由(3)
永久美式期权模型(C)在上存在连续有界正解，且可表示为
(53)
即应用我们获得的基本解和它的奇异点的表达式在取定时所得结论与永久美式看跌期权模型(C)在区间上是一致的。
4. 结论
1) 对任意给定的，，问题2的基本解和基本解的奇异点可同时得到。基本解在奇异点处取最大值。基本解的奇异点就是永久美式期权最佳实施边界点。
2) 奇异点的确定：基本解在该点左、右导数由正变负，即，。
3) 奇异点的取值范围：若，
① 当时，；
② 当时，。
由于期权价格函数依赖于在的取值，不同的的取值得到不同的期权价格曲线，实际上我们得了期权价格曲线族。具体的期权价格曲线最佳实施边界点的确定依赖于该期权价格曲线的运行趋势，依赖于期权价格曲线在点的跳跃度。问题2考虑期权价格曲线在区域内仅有一个奇异点的情形，若在区域内存在多个奇异点的情形，我们在另文进行了研究，得到了一些新结论。
参考文献