1. 引言与预备
广义拓扑空间概念是有匈牙利数学家A. Csaszar于2002年在文献 [1] 中提出，并且对广义拓扑空间的性质进行了研究，得出了一些很好的结果(参见文献 [1] - [6] )。由于广义拓扑实际上是一个半拓扑，最近文献 [7] 把广义拓扑空间重新命名为上半拓扑空间。进而，引入下半拓扑与下半拓扑空间的概念，并且获得了关于下半拓扑的一系列结果；文献 [8] 类比的将拓扑空间剖分成左半拓扑与右半拓扑，并得到了关于左半拓扑的一系列结果。在此，一个自然的问题是：能否类比文献 [8] ，在右半拓扑上也得到一些类似的结果呢？本文就这个问题进行了部分研究。
2. R-半拓扑空间
首先给出R-半拓扑空间的定义以及相关概念。
定义1.1 设是一个非空集合，是的一些子集构成的集族，如果下列两个条件满足：
(1)；
(2) 若，则。
则称为集合上的一个R-半拓扑，并且称有序偶为一个R-半拓扑空间，集族中的每一个集合都称为R-半拓扑空间的R-开集。我们把R-半拓扑空间中只含一个元素的集合称为单元集。
定义2.1 设为R-半拓扑空间，，如果，使得，则称为点的一个R-领域。点的领域全体称为点的R-领域系，记作，并称为由拓扑导出的的R-领域系。
定理2.1 设为R-半拓扑空间，为由拓扑导出的的R-领域系，则满足下列条件：
(N1) 若则；
(N2) 若，则；
(N3) 若，则；
(N4) 若，则，使得并且对于，有。
证明 由R-领域的定义，(N1)和(N2)成立时显然的。又设，则，使得且。令，则，并且。故。因此(N3)真。
现在验证(N4)。设，则，使令故并且。另外，对于因为，使得。再由R-领域的定义，。从而(N4)真。
定义2.2 设为R-半拓扑空间，若，则称为的R-闭集。
由R-半拓扑空间的定义和公式可以直接得到：
定理2.2 设为R-半拓扑空间，F为的R-闭集的全体，则满足条件：
(F1)；
(F2) 若，。
定义2.3 设为R-半拓扑空间，，若(即使得)，则称点为点集的R-内点。点集的R-内点的全体称为的R-内部，记为或。
定义2.4 设为R-半拓扑空间，，如果，有或，则称为的R-聚点。点集的R-聚点的全体称为的R-导集，记为。
根据R-内点和R-聚点的定义，显然有的R-内点不一定是的R-聚点，下面给出例子。
例1 设，显然有，即点是的R-内点，并且易知点不是的R-聚点。
其实，我们从R-聚点的定义也可以看出，点是不是集合的R-聚点，与本身并无直接联系，只需看R-半拓扑空间中有没有包含点的单元集.就如上面的例子，把改成，虽然点不在中，但点仍是的R-聚点。
由定义2.4可以直接得出：
设为R-半拓扑空间，，若，则，点是的聚点。
定义2.5 设为R-半拓扑空间，，记，则称为的R-闭包。
定理2.3 设为R-半拓扑空间，。
(1)
(2)
证明：(1) 若，则。故，使得。又因为，故。这与已知矛盾，因此。
(2) 设，则或者。若，则；若，则，由R-聚点的定义，并且，则对。从而也有。
但是，下面给出例子：
例2 设，则，，但，有。
定理2.4 设为R-半拓扑空间，则的任意子集与其R-闭包满足下列条件：
(C1)；
(C2)；
(C3)。
证明 (C1)；
(C2) 设，不妨设，若，则；若，即。从而。
反过来，设，若，则；若，如果，则，使得，并且。所以，有。这与矛盾，即，从而。
从而。
(C3) 只要证即可。事实上，，若，则；若，则由定理2.3，，有因为是的R-领域，则存在R=开集，使得，又因，则。取，则再由定理2.3，。从而。于是。故。
推论2.2 与一般拓扑空间比较，R-半拓扑空间并不一定为空集。
例3 设，点是的R-聚点，即。
定理2.5为R-闭集。
证明 设为R-闭集，则为R-开集.为证，我们只需证。事实上，若，则，即，使得。这与矛盾。所以，故。
例4 设。显然。但不是R-闭集.即。为R-闭集。
3. R-可分拓扑空间的相关概念与简单性质
定义3.1 设为R-半拓扑空间，若则称为的稠密子集。如果中存在一个可列集，使得，则称为R-可分拓扑空间。
定义3.2 设，若，使得则称为集合的R-孤立点。
推论3.1 设为R-半拓扑空间，，，点是R-孤立点或R-聚点。
(由R-聚点和R-孤立点的定义可以直接得到)
设为R-半拓扑空间，是中的任意非空子集，记则不难验证，为上的一个R-半拓扑。
定义3.3 R-半拓扑称为上R-半拓扑的一个R-子拓扑。R-半拓扑空间称为是的R-半拓扑子空间.为了方便，常常简称为的子空间。
定理3.1 设为的子空间，为的子空间，则为的子空间。
证明 设是上拓扑并且，我们只需证。事实上，，使得。又对于，使得。从而。所以。
反过来，使得，即，使得，即。从而。因此，即是的子空间。
定理3.2 设并且是R-半拓扑空间的一个子空间，则
(1) 如果分别记和为与上的全体R-闭集构成的集族，则；
(2) 如果分别记和为与上点的领域系，则。
证明 设上的R-半拓扑为，则子空间上的R-半拓扑为。
(1)，因，则，使得，故。又因。因此。
反过来，，，使得。故。
因此。从而成立。
(2) 若，显然，若，对于，令，则。接着证。因为，则，使得。又，使得，故。这是必有。这是因为对于，若，则；若，则。因此。故。
反过来，若，显然，若，使得。故有。所以，即。于是。
在一般拓扑空间中有：
设是拓扑空间的子空间，，则
(2)，和分别表示点集在子空间中导集和闭包。
这两条性质在一般拓扑空间中成立，但在R-半拓扑空间并不成立。下面举例说明：
(注意：下面的符号表示采用的是拓扑空间中的符号表示)
(1) 设，。则。显然。
(2) 依然采用(1)中例子，这时。显然。
4. R-网与其收敛
定义4.1 设为半序集，若，使得且，则称为一个定向集。
定义4.2 设为一个R-半拓扑空间，为一个定向集，则映射称为是上的一个R-网（或者R-定向点列），记为或记为，其中。为书写方便，在不发生混淆时，通常把简写成。
定义4.3 设是R-半拓扑空间中点的一个R-网，。
(1) 称R-网终在内，如果，使得恒有；
(2) 称R-网收敛于或称以为极限。记为或，如果R-网终在点的每一个领域内。
例4.1 设为一个R-半拓扑空间，为中点的领域系，为一个定向集(证明略)。，取，则是一个网，其中的取法是任意的。
例4.2 上面的网收敛于。
证明，使得，当时，有。故。
定理4.1 设为一个R-半拓扑空间，，则
(1)，当且仅当存在网，使得；
(2)，当且仅当存在中网，使得；
(3)位R-开集当且仅当不存在中网收敛中的点。
证明 (1) 设，则，又。取定，故是中的一个网，并且。
反过来，设网，使得。则，使得，当时，有。故。因此。
(2)，若，且，又(1)的必要性，网，使得。若，取常值网，则为中网并且。
反过来，设并且。则，当时，有，故。由定理2.3，有。
(3) 设为中R-开集。如果存在网，使得，则，当时，。这与矛盾。
反过来，若不为中开集，则，使得，有。即。取，则是中网，并且。则与中不存在网收敛于中的点矛盾。
5. 小结
本文类比文献 [7] 引入上、下半拓扑空间的方法，根据文献 [8] 定义的左半拓扑(L-半拓扑)与右半拓扑(R-半拓扑)的概念。类比L-半拓扑空间，在R-半拓扑空间上建立了点集的基本概念与理论，得到其开集、闭集、导集、网与网收敛的一些基本结果。从而，使得拓扑空间的相应结论得到推广。在此基础上，通过一些反例来说明在R-半拓扑空间中一些拓扑性质的不成立。
致 谢
感谢电子科技大学科研实训创新项目基金的经费资助。
参考文献