1. 引言与预备知识
广义拓扑空间概念是由匈牙利数学家A. Csaszar于2002年在文献[1] 中提出。他对广义拓扑空间作了深入研究，并且取得了一些初步成果。此后，不少学者积极投入，在广义拓扑空间的点集理论、映射性质等方面取得了一系列成果(参见文献[2] -[8] )。由于广义拓扑实际上是一个半拓扑，最近文献[9] 把广义拓扑空间重新命名为上半拓扑空间。进而，引入下半拓扑与下半拓扑空间的概念，并且获得了关于下半拓扑的一系列结果。在此，一个自然的问题是：能否类比文献[9] ，将一个拓扑重新分割成两个半拓扑(称为左半拓扑与右半拓扑)？这两类新型的半拓扑空间是否一定具有比拓扑空间更为广泛的理论结果？
本文就上述问题进行研究，首先类比上半拓扑与下半拓扑引入左半拓扑(L-半拓扑)与右半拓扑(R-半拓扑)的概念，如下：
定义1.1：设是任一非空集合，是的一些子集构成的集族，
(1) 如果并且对于任意集族有，则称为上的一个左半拓扑(L-半拓扑)。其中中的每个元都称为是的L-开集，并称有序偶为一个左半拓扑空间(L-半拓扑空间)。
(2) 如果并且对于任意有，则称为集合上的一个右半拓扑(R-半拓扑)，其中中的每个元都称为是的R-开集，并且称有序偶为一个右半拓扑空间(R-半拓扑空间)。
下一定理是不证自明的：
定理1.1：设是任一非空集合，是的一些子集构成的集族，则是上的一个拓扑当且仅当它既是上的左半拓扑又是上的右半拓扑。
本文主要就左半拓扑进行研究，至于对右半拓扑的讨论将作为本文的后续论文。下面是关于左半拓扑相关的一些概念与术语：
定义1.2：设为L-半拓扑空间，，，如果存在使得，则称为点的一个L-邻域，点的邻域的全体称为点的L-邻域系，记作。
定义1.3：设为L-半拓扑空间，，。
(1) 若，则称为的L-闭集；
(2) 若得，则称点为点集的L-内点，并称的内点的集合为的L-内部，记为；
(3) 若，有，则称为点集的L-聚点，并称的L-聚点的集合为的L-导集，记为；
(4)称的L-闭包，记为，即；
(5) 若使得，则称为的孤立点。
定义1.4：设为L-半拓扑空间，为中的任意非空子集，则集合的L-半拓扑
称为L-半拓扑的一个L-子半拓扑，并称称为是的L-子半拓扑空间，为了方便简称为的子空间。
定义1.5 [10] ：设为L-半拓扑空间，为一个定向集，则映射称为是上的一个网，记为或记为，其中。为方便，在不发生混淆时，通常把简写成。
定义1.6：设是L-半拓扑空间中的一个网，
(1) 称网终在内，如果，使得，，有。
(2) 称网L-收敛于或称以为极限，如果网终在的每一个L-邻域内，并记为或，通常简记为或。
定义1.7：设与为L-半拓扑空间中的两个网，若存在映射，使得，有，并且满足下列两个条件：
(LSN1)，若，则；
(LSN2)，使得。
则称为的子网。
此外，本文中所涉及的一切概念、术语和记号，如果没有特别申明，都来自于文献[10] 。
2. 基本点集与子空间
定理2.1：设为L-半拓扑空间，为L-半拓扑导出的的L-邻域系，则满足下列条件：
(LN1) 若，则；
(LN2) 若，，则；
(LN3) 若，则使得，并且对于，有。
证明：由邻域的定义，(LN1)和(LN2)成立是显然的。现在验证(LN3)，设，则存在使得。令，故，并且。另外，对于，因为使得。再由邻域的定义，。从而(LN3)真。
在拓扑空间中，具有命题：“若，则”成立。但在L-半拓扑空间中，这命题不真。事实上，可取，，则是一个L-半拓扑空间，而且与均是点的邻域，但。
定理2.2：设为L-半拓扑空间，为中闭集的全体，则满足条件：
(LF1)；(LF2)若，则。其中为任意指标集。
证明：由L-半拓扑空间定义中(LF1)(LF2)和de Morgan公式直接推知。
在拓扑空间中，有命题：“若则”成立。但是，两个L-闭集的并集未必一定是L-闭集。下面是这问题的一个反例：令，作L-半拓扑，并且取L-闭集，则。
定理2.3：设为L-半拓扑空间，，则当且仅当有。
证明：必要性：，则，则或者，若，显然，
有；若，则，则，有。从而，。
充分性：“若，则，故，使得。又因为，故，这与已知矛盾，因此，。
定理2.4：设为L-半拓扑空间，则的任意子集，与其L-闭包满足下列条件：
(LC1)；(LC2)；(LC3)；(LC4)
证明：如果，即，由定理2.3，，有。这与矛盾，故。又由得，即(LC2)真。
为了证明(LN3)，只需证即可。事实上，，由定理2.3，，有。因为是点的邻域，则存在开集使得。又因，则。取，再由定理2.3，。从而。于是。故，即(LC3)真。
现在证(LC4)：设，不妨设，，，即。从而(LC4)真。
上述定理中(LC4)的包含关系能否变成等式呢？
下面给出反例：令，并取，则是一个L-半拓扑空间。取它的二子集与，则而，，因此，。从而，。
定理2.5：为L-闭集当且仅当。
证明：充分性：设为L-闭集，则为L-开集。为证，只需证。事实上，若，则，即使得。这与矛盾。所以，。故。
必要性：设。下证：开于。事实上，对于，因为，由定理2.3，使得。取开集，使得。于是，即。则是中的开集。所以，闭于。
下面是关于子空间的一些结果：
定理2.6：设，并且是L-半拓扑空间的一个子空间，则
(1) 如果分别记和为与上的全体闭集构成的集族，则。
(2) 如果分别记和为与上点的邻域系，则。
证明：设上的拓扑为，则子空间上拓扑为。
(1)，因，则使，故。
又因，则。
反过来，，使得。故。因此。从而，成立。
(2)对于，令，则。下证：。
事实上，因，则使得。又使得，故。这必有。这是因为对，若，则；若，则。因此，。故；反过来，，，使得。故有。所以，即。于是，。
定理2.7：设是L-半拓扑空间的子空间，，则：
(1)；
(2)，其中和分别表示点集在子空间中L-导集和L-闭包。
证明：(1)，，则。故，所以，即。又因，故。反过来，，，，有，因为。从而，即，即(1)真。
(2)。
3. 关于网的一些结果
定理3.1：设为一L-半拓扑空间，则
(1) 存在网，使得，则。
(2) 存在网，使得，则。
(3)为L-开集，则不存在中网收敛于中的点。
证明：(1) 设网，使得。则，，使得，当时，有。故。因此。
(2) 设网，使得，则，，当时，有，故。由定理2.3，有。
(3) 设为L-开集，如果存在网，使得，则，当时，。这与矛盾。
在拓扑空间中，定理3.1中结论(1)、(2)、(3)的逆命题也都是成立的，即它们都是充分必要的。但是，在L-半拓扑空间中，这三个结论的逆命题均不成立。下面是它们的反例：
事实上，可取，，则是L-半拓扑空间。又取，则不难验证：，并且。令，则，但不存在中网使得。因此，定理3.1(1)和(2)的逆命题都不真。
此外，令，则。显然，不存在中的网收敛于并且不为L-开集。因此，定理3.1(3)的逆也不真。
理3.2：在L-半拓扑空间中，若网收敛于，则它的任意子网也收敛于。
证明：设，则，，当，有。若是的一个子网，即存在映射，对于，，使得。故当时，，故。因此，当时，有。从而。
4. 小结
本文类比文献[9] 引入上、下半拓扑空间的方法，定义了左半拓扑(L-半拓扑)与右半拓扑(R-半拓扑的概念)。类比拓扑空间，在L-半拓扑空间上建立了点集的基本概念与理论，得到其开集、闭集、导集、网与网收敛的一些基本结果。从而，使得拓扑空间的相应结论得到推广。在此基础上，通过一些反例来说明在L-半拓扑空间中一些拓扑性质的不成立。
致谢
感谢电子科技大学科研实训创新项目基金的经费资助。
参考文献