1. 引言与引理
在现实生活中，各种种群的发展都与其年龄因素有着重要的关系，这表现在不同年龄的种群在生育和死亡方面存在很多差异。1911年，Sharpe和Lotka [1] 首次将种群的年龄因素考虑到模型中。随后，具有年龄结构的种群模型的研究有了丰富的结果[2] -[6] 。本文将考虑在经典的Lotka-Volterra捕食–食饵模型的基础上将年龄结构引入到捕食种群中且适合Mckendrick-Foerster方程的一类捕食–食饵模型：
(1)
满足初始条件
(2)
其中是正常数。
由文献[7] 知，系统(1)在存在唯一解。
引理1.1 (Liapunov-LaSalle不变原理)：若是上的李雅普诺夫泛函，且是方程停留在中的有界解，则当时，。其中，是集合关于的最大不变集。
2. 主要结论
我们首先讨论系统(1)在满足初始条件(2)时的解是正的和有界的。
定理2.1：对一切，系统(1)满足初始条件(2)的解是正的。
证明：由系统(1)的第二个方程可以得到
根据初始条件(2)可知，。
假设不恒为正，则一定存在一个，使得。
由(2)的第一个方程可得，
这说明对于充分小的，当时，，于是产生矛盾。因此，总是恒为正。
定理2.2：对一切，系统(1)满足初始条件(2)的解是有界的。
证明：由(1)的第二个方程，我们可以得到
故对充分小的，存在使得对所有的有
又根据系统(1)的第一个方程和，我们得到
故对所有的，有。
定理2.3：对于系统(1)的所有解，当且仅当。
证明：先证。
当时，则存在充分小的，使得，根据定理2.1知，存在，使得当时，有成立，从而对有
考虑比较方程
由文献[8] 中的引理1知，.又由定理2.1和比较定理得到
因此存在充分小的和使得对所有的有。
又由系统(1)的第二个方程有。
再由比较定理可得
.
由于任意小，结合上面的讨论，我们有。
当时，由系统(1)的第二个方程可知，当时它总递减。若存在，使得，则对所有的，有。事实上，若存在，使得，则有，矛盾，故有两种情形；
(1)且；
(2) 存在使得对所有的，有。
对情形(1)，仅需证明。对系统(1)的第二个方程两边从0到积分得
因此
由的有界性可得。
对情形(2)，考虑Liapunov泛函
对所有的沿着系统(1)的轨线计算的导数可得
由引理1.1知，。对于的证明类似于第一种情形。
下证。否则，设成立，则我们知道系统(1)有唯一的正平衡点。这与系统(1)对所有解，都有矛盾。
将系统(1)关于平衡点线性化，其相应的特征方程为
其根为和。这说明对所有的平衡点是不稳定的。
将系统(1)关于平衡点线性化，相应的特征方程为
显然，是上方程的一个特征根。因此，我们只需讨论下面方程的根
(3)
令
对和，我们有
(4)
和
(5)
由式(4)知，当时，。再由式(5)知，对所有的，方程(3)没有正根。
注意到若和，则方程(3)的特征根是负的。进一步我们可以证明当时，对所有的，方程(3)的所有根必定具有负实部。假设存在使得方程(3)有一对纯虚根，则由方程(3)，我们有
两边平方相加可得
这说明方程(3)没有正根，即不存在。因此，当时，方程(3)的所有根都具有负实部，即系统(1)的平衡点渐进稳定的。
当时，是方程(3)的特征根。由式(5)知，是一个简单的特征根。
当时，由式(4)知，而，因此至少有一个正实根，从而平衡点是不稳定的。
由上述讨论和定理2.3，我们得到以下结论
定理2.4：当时，系统(1)的平衡点是全局渐进稳定的。
3. 举例
我们考虑如下系统
(6)
通过计算，当时，我们得到，其中，，，。根据定理2.4，系统(6)的平衡点是全局渐进稳定的。
基金项目
湖南省教育厅资助科研项目(13C660)。
参考文献