In this paper, we obtain one sufficient condition of the boundedness of equation Xn=qx-1n-1+pxn-2, and discuss the convergence of the solution of equation and the sufficient and necessary condition of existence of the periodic point with period 2 of the equation.
1. 引言
阶数的非线性差分方程：
(1)
的全局行为在过去的几十年中备受人们关注。一般对此方程的研究前提是F和初始值集合给定。到目前为止该领域的理论研究仍处在未成熟阶段，大多数成果是在F为有理式的情况下获得的。目前已获理论成果，详见文献[1] ，国内李先义和朱德明在差分方程领域给出了一些很好的结果[2] 。
本文研究非线性差分方程：
(2)
其初值为，并且均为正值，。
对于一般的差分方程(1)，若F是连续可导函数，我们可以得出其线性化方程：
(3)
这里，是方程(1)的平衡点。
一般可通过线性化方程(3)的特征方程的特征根的情况来判断该平衡点的稳定性[3] 。但方程(2)的线性化方程：
的特征方程：
的特征根为1与，因此不能通过该方法判断该平衡点的稳定性。
由文献[4] [5] ，我们做变换，将方程(2)转化线性差分方程
(4)
我们通过研究(4)来获得方程(2)的性质。
2. 主要结论
定理1：方程(2)存在二周期点的充分必要条件为。
证明：
必要性：假定方程有一个二周期点，则，可得方程，变形得。
充分性：因为，所以：
同理可得，。故是方程有二周期点的充分必要条件。证毕。
定理2：当时，方程(4)的解全局收敛于其平衡点，且当其初值大于时，其解单调递减收敛于，当其初值小于时，其解单调递增收敛于。
假定方程(4)有一个平衡点，则， 求解得。
由(4)得，。 当，。
因为：。
所以，当时，相邻两项之差恒大于0，方程(4)的解单调递增。又因方程(4)的趋向于，所以时方程(4)的解单调递增收敛于。
同理可得时，方程(4)的解单调递减收敛于。证毕。
定理3：当时，如果初值大于，方程(2)的解构成的数列，是单减数列，如果初值小于，，是单增数列。
当时，单增，。又因，故，，，，，。划去各个不等式两边相同的项，可得，。所以和是单增数列。
同理可得时，和是单减数列。证毕。
定理4：方程(2)的解构成的数列有界等价于有界。
设有界，由定理3，知单调，故收敛于实数。当单增时，。又因为，所以收敛于，所以有界。当单减时，由定理3知单减。由方程(2)的结构，如果初值非负，显然方程(2)的解是一个正数列。所以有界。
同理可证如果有界，则有界。证毕。
定理5：时，(2)的解有界。
由定理3，与有相同的单调性。
当与都单减时，又由于它们都是正数列，故有界。
当与都单增时，如果它们之一无界，由定理4，则另一个也无界，故，即方程（4）的解也无界。由定理2
这不可能，故与有界。
注1：从定理3和定理5知道，方程(2)的解形成的数列与收敛。进一步，这两个数列收敛的极限的乘积趋近于常数，这个常数是方程(2)任意两个二周期点的乘积。换言之，结合定理1知，方程(2)的任何解或者是一个二周期点，或者收敛于一个二周期点。
定理6. 对于，方程(2)的解构成的二维序列收敛于双曲线正的一支。
证明：在平面直角坐标系下，做点。
由定理2得方程(4)的解一定收敛于。又因，所以方程(2)的解中相邻两项之积必定收敛于，即最后得出的点必定收敛于双曲线。又是正数列，故必收敛于位于第一象限那一支，参见图1，图2。证毕。
Figure 1. Convergence in the hyperbolic from above
图1. 从双曲线上方收敛于双曲线
Figure 2. Convergence in the hyperbolic from below
图2. 从双曲线下方收敛于双曲线
注2：虽然方程(2)的解是有界的，但不是一致有界的，这由定理3及一致有界的定义容易给出，故略去细节。
基金项目
本项目由中央高校基本科研业务费专项资金资助。
参考文献