1. 引言及预备知识
四元数[1] 是Clifford代数的一种，在所有的Clifford代数中，四元数最先被发现，最接近我们所熟悉的实数复数体系。
小波分析是近30年来发展起来的新兴学科，作为一种快速高效，高精度的近似方法，它是Fourier分析的一个突破性发展，给许多相关学科的研究领域带来了新的思想，为工程应用提供了一种新的分析工具。关于小波理论，有两个分支：可允许(或连续)小波变换和由多分辨率分析生成的离散小波。关于Clifford值小波，Mitrea [2] 提出了离散Clifford值小波变换，将经典小波推广到了Clifford代数，Brackx和Sommen [3] -[6] 建立了上此类小波的理论。Peng和Zhao [7] 刻画了与超过二维的可伸缩的欧氏群相关的Clifford代数值可允许小波，[8] 研究了与(二维可伸缩的欧氏群)相关的四元数值可允许小波，用 Fourier变换语言给出了可允许条件的准确刻画，并给出了一些可允许小波。Mawardi，Adji和Zhao [9] 用可允许相似群来构造Clifford代数值可允许小波变换，Swanhild Bernstein [10] 以Clifford分析为工具来构造小波。本文研究一种与特殊的Fourier变换相关的四元数值可允许小波变换，Fourier变换中采用的是
(其中是任意给定的单位向量，它定义了变换轴。在处理RGB (红绿蓝)图象时，常选，对应于单位RGB颜色块的照明，灰度，轴。在本文中，为简便起见，也用)，
而不是经典意义下的[11] [12] ，所以用此Fourier变换语言所刻画的可允许条件是本文给出的第一个新的结果，也是本文的基础，接着举例给出一个可允许小波，然后给出此类可允许小波变换的一些性质，诸如Plancherel公式，Parseval公式，重构公式，再生核等。
Weyl算子理论是数学分析和物理学都非常感兴趣的一大课题，在偏微分方程理论中，Weyl算子是被作为一类特殊的拟微分算子来研究的，并且证明它在一系列问题中都有很好的应用，诸如：椭圆理论，谱渐近性，正则问题等[13] -[17] 。本文定义了与四元数值可允许小波变换相关的Weyl变换，证明了当，时，是有界的。
现在，简单的回顾一下四元数[18] 。作为一类特殊的Clifford代数，上的四元数代数是可结合但不可交换的代数。它的基是：1，，，，满足
，，，。
给两个四元数，，令
，。
记，，其中是的标量部分，是的向量部分，则：
的共轭四元数记为，
的范数(也叫模)记为。
实部的四元数为纯四元数，有非零实部的四元数为全四元数，单位四元数模为1。
设为两个纯四元数，可以进行如下分解：
，，，； (1.1)
有[19] 。
同理得到一个全四元数关于一个向量可以分解为：，。
一般来说，四元数乘法不可交换，但对于平行四元数来说，乘法可以交换。
令是一个单位纯四元数，欧拉公式仍然成立：。任意一个四元数都可以表示成极形式：，其中指的是坐标轴，是角度，
，
如果，角度无定义[18] 。
关于四元数的更多内容，参看[19] [20] 以及其中的参考文献。
定义1.1 [8] ：四元数模定义为上的内积和范数定义为：
，，
类似的，可以定义，上的内积和范数。
上的内积定义为：
，(1.2)
本文所采用Fourier变换定义如下：
定义1.2 [18] ：，四元数Fourier变换对定义为：
对于，由计算可得：
(1.3)
本文中出现的速降函数均采用四元数值的，类似经典情况，速降函数定义如下：
对于：
其中，，，
：表示无穷次可微的函数全体。这样的称为速降函数空间。
2. 主要结果
本节首先推导得出可允许条件，接着举例给出一个可允许小波，然后给出此类可允许小波变换的一些性质。
下面先刻画可允许条件。
令，定义
(2.1)
则的Fourier变换是。
现在定义上的算子：
(2.2)
由直接计算可得：
(2.3)
令，，，为了像经典情况一样得到重构公式，计算。
由(2.2)，(2.3)，(1.2)，可得：
假设：
(2.4)
且对几乎处处，是常数，
则可得：
因为在中稠密，故在中成立。
记：
则有：
如果，则重构公式在弱意义下成立：
下面给出满足(2.4)的函数。
假设，则由(2.4)可得：
从而得到，
所以应有，故得到，
由于，
且由四元数的性质可知，故可得，
从而由(1.1)可得，因此有，
因此，可得应为如下形式
总结如下：
定义2.1：令，当，并且：
时，称为可允许小波，
称为可允许条件，
称相应的变换为可允许小波变换。
上的范数记作：
下面给出一个可允许小波的例子。
令，则：
另一方面，
所以，
又由于：
所以综上可知。
由上述推理过程可得可允许小波变换的性质。
定理2.2：(Plancherel公式)令，，则：
定理2.3：(Parseval公式)令，，，则：
由Parseval公式可得下面的重构公式：
定理2.4：(Reconstruction公式)令，，则：
现在定义，，则是带再生核的Hilbert空间。
定理2.5：(再生核)的再生核是：。
证明：由重构公式可得：
所以，再生核：。证毕。
定理2.6：令，，则，，即是型。
证明：当时，由Plancherel公式，。
当时，由Hölder不等式可得
因此。
所以由Riesz-Thorin定理可知是型，。证毕。
3. 与四元数值可允许小波变换相关的Weyl变换
本节将在上一节的基础上研究与四元数值可允许小波变换相关的Weyl变换。
定义3.1：令，则Weyl算子定义为：
其中，。
由定义可得
因此：
其中是关于第二个变量的伸缩平移变换，
定理3.2：令，则Weyl算子定义了一个有界映射：，并且：
所以对于符号，算子有定义，并且也有。
证明：首先证明如果，则。
事实上，对于，，由定义，Hölder不等式和plancherel公式可得：
所以，。
另一方面，由于在中稠密，所以可以将算子延拓到上，并且也成立。证毕。
定理3.3：假设，则算子也满足：
因此Weyl算子可以延拓到上，并且。
证明：因为，，可得：
故对于
所以。
因为在中稠密，所以可以将算子延拓到上。证毕。
由Riesz-Thorin定理及定理3.2，定理3.3可得下面的定理。
定理3.4：对于，存在唯一的从到的算子，使得对所有的，，有：
并且。
基金项目
国家自然科学基金项目(No. 11471040)，中央高校基本科研业务费专项资金(No. 2014kJJCA10)资助。
NOTES
*通讯作者。
参考文献