1. 引言
考虑线性方程组：
(1)
其中是阶方阵，与是维向量。对(1)基本的迭代解法是：
(2)
其中且是非奇异矩阵，这样(2)也可被写成：
其中，。
对矩阵做如下分块：
(3)
这儿，每个对角块，，非奇，并且。如果是非奇的，我们称是非奇块矩阵。
通常，把矩阵分裂成：
其中，和分别是(3)中的块对角，严格块下三角和严格块上三角部分，这样，矩阵的块AOR迭代矩阵为：
其中和是两个实参数，并且。特别地，当和取一些特殊值时，我们得到块SOR，块Gauss-Seidel和块Jacobi迭代法。
为了更好的解(1)，引入了非奇块预条件矩阵，即考虑：
(4)
那么(4)的块AOR迭代格式为：
(5)
其中，是非奇异矩阵。这样(5)也可以表示为：
这儿，，。相似地，我们有块预条件SOR迭代法，块预条件Gauss-Seidel迭代法和块预条件Jacobi迭代法。
如果是一个-矩阵，Alanelli等在[1] 中取，其中是由所构成的块对角矩阵(是做三角分解的下三角矩阵)：
从文献[1] 可以看出若块预条件矩阵选择得合适，必将会提高迭代方法的收敛速度。本文在已经有的预条件矩阵的基础上引入参数，对(1)中系数矩阵是-矩阵的情形进行了考虑，引入了新的块预条件矩阵，理论上分析了块预条件迭代法的收敛性。
2. 预条件迭代法
我们考虑预条件矩阵，其中
，
令，则
其中是由所构成的块对角矩阵，
如果非奇，那么是存在的，这样，我们就可以定义的块预条件AOR迭代法。即：
让表示矩阵的比较矩阵，这儿，。
在上面的定义下，的比较矩阵为，即：
3. 预备知识
定义1 [2] ：，非奇，被称为矩阵的一个分裂。如果，，那么被称为正则分裂。如果是非奇-矩阵，，那么被称为-分裂。
引理1 [2] ：是-矩阵的充要条件是存在使，其中。
引理2 [3] [4] ：如果是的一个-分裂，那么的充要条件是是一个非奇-矩阵。
引理3 [5] ：设和是两个阶方阵且，那么。
引理4 [3] [6] ：如果是-矩阵，那么。
引理5 [7] ：如果和是两个阶矩阵，那么。
4. 主要结论及证明
定理1：让是一个非奇-矩阵，若有，都大于0且：
那么也是一个非奇-矩阵。其中且和，，且与矩阵有相同的分块形式。
证明：由于是一个非奇-矩阵，那么。
令，那么：
因此，是一个非奇-矩阵，所以是一个非奇-矩阵。
定理2：如果是一个非奇-矩阵，，，并且。
那么。
证明：由定理1知是一个非奇-矩阵，且。
那么的AOR迭代矩阵为：
由引理2知。因为：
所以，由引理3，。
参考文献