1. 引言与预备知识
考虑点目标做空间运动，目标运动的初始位置为，速度为，则在时刻的理想位置应为：
(1)
由于运动环境与目标自身控制因素等的影响，目标的实际位置与理想位置会有适度的偏差。在仿真处理过程中，对目标的真实轨迹有多种设计方法[1] 。若目标总体的运动趋势为匀速直线运动，则常采用如下两种方式处理。
方式1：
设真实位置为如下随机变量形式：
(2)
其中随机误差变量服从均值为0，方差分别为的正态分布，且三者相互独立。目标沿三个坐标方向的速度分量假定为确定的数值，尽管这一假定的合理性并不充分，但可以认为在目标做近似匀速运动的前提下，将速度的随机成分归于真实位置描述中的随机误差，这也是仿真目标运动轨迹时的一种通用处理方法[2] 。
方式2：
(3)
其中为相互独立的随机变量；在上取值，服从Maxwell分布；在上取值，其概率密度函数在该区间上为；服从区间上的均匀分布。
上述两种处理方式从形式上来看似乎是一致的，只不过方式2更适合于描述目标位置或误差向量，在工程上分别表示误差向量的距离(长度)、俯仰角与方位角。
本文研究这两种方式的概率假设的一致性问题，即随机变量与的概率分布假设是否一致：一是相互独立是否等价于相互独立；二是的联合分布与的联合分布能否互推。
2. 两种仿真模型的概率分布及等价性问题
在问题的研究过程中，下述命题是必须的：
命题1 [3] ：若维连续型随机向量的联合密度函数为。已知存在个Borel可测函数：
，
使得
并且对于的每一组可能值，方程组
都有唯一解
其中每个都有一阶连续偏导数，则随机向量是连续型的，其联合密度函数
其中是随机向量的所有可能值的集合，是变换的Jacobi行列式，是的绝对值。
根据该命题，若是均值为0，方差分别为的相互独立的服从正态分布的随机变量，则三者的联合分布为三维正态分布。记，则服从分布，其中0为三维零向量，为三阶对角阵。
易知变换
(4)
是变量与变量之间的一一变换(原点除外)，对应的Jacobi行列式为：
即：，
从而的联合概率密度函数为：
由此可见，即使相互独立，一般来说，由式(4)得到的随机变量并非相互独立，这也反映了运动轨迹方式1与方式2的本质差异。
这里有一种特殊情形，若的方差存在均相等，即时，有：
(5)
从式(5)不难看出，随机变量相互独立，且随机变量服从Maxwell分布，即其概率密度函数：
(6)
随机变量的概率密度函数为：
(7)
随机变量服从区间上的均匀分布，即其概率密度函数为：
(8)
反过来，若随机变量相互独立，且相应的概率密度函数分别为式(6)，(7)，(8)，则根据命题1，可计算的联合概率密度函数，其中分别表示随机变量的取值，与式(1)，(2)，(3)中的不同。对应的Jacobi行列式为：
从而得到的联合概率密度函数：
(9)
该表达式说明此时的联合分布为三维正态分布，且均值都为零，方差。
3. 结论
研究结果表明，若仅仅假设随机变量相互独立且联合分布为三维正态分布，则相应的并非相互独立；若假定相互独立，且相应的分布如(6)，(7)，(8)所示，则该假设等价于相互独立，且均为均值为零，方差相等的正态随机变量。
NOTES
*通讯作者。
参考文献