1. 引言
洪水灾害是我国最严重的自然灾害之一，水库防洪调度是解决洪涝灾害的重要措施。水库防洪调度根据调度原理和方法可以分为常规调度和优化调度，常规调度方法简单直观，优化法通过建立水库防洪调度的目标函数，并拟定约束条件，然后借助最优化方法求解模型。常用的模型求解方法有动态规划(DP)、离散微分动态规划(DDDP)、逐次渐近算法(POA)等，但这些算法都存在结构复杂、求解困难等缺点。雷声隆[1] 首先将自优化模拟技术应用到南水北调东线工程中，邵东国[2] 在数学论证的基础上给出了模拟自优化的最优性和收敛性准则，薛青山[3] 证明了单一水库调度自优化模拟技术决策域的最优性。相比于发电调度规则和供水调度规则，防洪调度规则形式还不明确。本文以百色水库为研究背景，求解确定性防洪优化调度模型，再提取调度规则，以此探讨水库防洪调度问题。
2. 防洪优化调度数学模型
2.1. 数学模型
2.1.1. 目标函数
已知入库洪水过程、区间入流过程、水库防洪库容、溢洪道泄洪能力及下游安全泄量等，采用最大防洪安全保证准则[4] (下泄流量控制模式)，在满足下游防洪控制断面安全泄量的条件下，尽可能地多下泄，从而留出更大的防洪库容，以备调蓄后续可能发生的大洪水。其等价目标函数为：
(1)
式中：
为水库最高水位最低值；
为t时刻水库库容；
为t时刻水库入库流量；
为t时刻水库出库流量；
为计算时段长度；
为总调度时段数。
2.1.2. 约束条件
1) 水量平衡约束
(2)
2) 水库库容约束
(3)
式中：
为水库死库容；
为水库总库容；
3) 下游河道安全泄量约束
(4)
式中：
为t时刻水库出流演算至下游防洪控制点的流量；
为t时刻区间入流；
为保证下游防洪控制点安全泄流量；
4) 水库泄流能力约束
(5)
式中：
为t时刻水库的下泄能力；
为水库水位的函数；
5) 泄量变幅约束
(6)
式中：
为水库相邻时段下泄流量的变幅；
为变幅容许值；
6) 河道汇流约束
(7)
式中：
为马斯京根法洪水演进参数。
上述约束公式无法在优化调度数学模型的求解过程中直接应用，一般采用“惩罚函数法”，即对不满足上述约束条件的时段进行“惩罚”，此时第t阶段的指标函数式应修改为
(8)
式中：a、B为“罚系数”，是大于0的常数。
2.2. 模型求解
采用马斯京根法[5] 进行洪水演算时，由于防洪控制点的流量不仅与上游水库当前时刻出库流量有关，还和水库前N个时段的出库流量有关，导致模型不满足无后效性要求，故不能直接应用动态规划求解。可采用简化二维动态规划[6] 方法进行求解。
2.2.1. 简化二维动态规划方法
简化二维动态规划[6] 与动态规划相似，从系统状态转移角度，给定系统的初始状态Sn(水库蓄水量或水位)和当前系统决策dn(水库泄流量)，系统下一个时刻状态Sn+1并不能唯一由Sn和dn确定。从一般角度Sn+1可表示为
(9)
为了满足动态规划递推的无后效性[7] 要求，将
视为状态变量，形成新的状态变量
，有
，但这种处理方式易导致维数灾，实际上不能求解。
简化二维动态规划方法是根据动态规划方法递推计算的结果，即系统默认初始状态S0到Sn中间存在的唯一一条最优轨迹，以及相应的最优策略
，将前n个状态的最优策略看作状态一，
看作状态二，其中
为当前决策，因此可以看作简化后的二维动态规划[6] ，具体形式见图1，这种处理可以降低复杂度，提高精度，关系表达为
(10)
2.2.2. 模型求解思路
简化二维动态规划算法中，边界条件固定水库的始、末状态，以时段为阶段变量，以水库水位为状态变量，以水库泄流量为决策变量，将每个时段的水库水位进行离散。为实现预泄目的，将初始水位设定为低于汛限水位，末水位设定为汛限水位；给定水库水位的离散步长，当离散步长足够小，便可得到近似的最优运行策略(最优调度线)，按顺时序计算调度过程，并按逆时序算得最优路径，从而输出优化调度后的结果。
求解过程的详细步骤如下：
1) 设定惩罚参数a、B，根据水库库容曲线得到初始库容与终止库容，分别为
、
。
2) 第一阶段：将初始水位至防洪高水位进行离散，根据各种约束条件依次计算第i
个状态水位对应的时段平均泄流量和水库库容。
3) 任一阶段t
：利用简化二维动态规划思想，将前n – 1阶段最优路径与当前阶段决策组合，形成二维状态变量，再计算T – 3个阶段对应时段平均出流量和水库库容，以动用的防洪库容最小为优化目标进行递推计算。
4) 末阶段：给定了水库末水位约束，第T – 1阶段水库水位进行离散后对应的时段平均泄流量和水库库容，与末阶段结合，以动用的防洪库容最小为目标值找出第T – 1阶段对应的最优状态水库水位，再回代计算，可以依次递推出惩罚参数a、B下的最优水库蓄泄过程。
5) 根据所得水库库容过程可以计算出每个阶段的最优水位，并统计水库出库流量、下游防洪控制点断面流量。
Figure 1. Simplified two-dimensional dynamic programming
图1. 简化二维动态规划
3. 百色水库防洪调度研究
3.1. 概况
以广西省郁江流域的百色水库为研究对象，选定下游田东作为防洪控制点，百色水库特征值见表1，流域枢纽工程见图2。基于百色水库1962~2005年中所选取15场典型洪水放大所得200年一遇、100年一遇、50年一遇、30年一遇、20年一遇五种频率的设计洪水过程线，开展百色水库防洪优化调度研究，旨在减小洪灾损失。
3.2. 常规调度
已知百色水库来水径流，根据主汛期、非主汛期的防洪调度规则进行水库常规调度，主汛期的防洪调度规则见表2。
百色水库通过主汛期、非主汛期的常规调度规则进行调度计算，2001年典型洪水放大后所得200年一遇的常规调度结果见图3，图中可以看出，常规调度出库流量相比于入库流量，有明显的坦化作用，从而实现削峰作用，降低下游洪灾损失。
3.3. 确定性优化调度
百色水库以动用的防洪库容最小为目标，使用简化二维动态规划方法进行优化调度求解，得到单库优化调度结果。
模型求解中，水库水位被离散为0.05、0.01、0.005和0.001 m；以百色水库2001年典型洪水放大到200年一遇为例，相对应的计算时间和目标函数值如图4所示。
由图4可知，水位离散步长减小[8] ，目标函数趋近于最优，程序计算时间增加，但水位离散步长减小到一定程度时，目标函数值改变不大，计算量大幅度增加，计算时间增长。水位离散步长由0.005 m
Table 1. Parameters of the Baise reservoir
表1. 百色水库特征值
Figure 2. Project in drainage area
图2. 流域枢纽工程
Table 2. Flood control operating rules of the Baise reservoir in main flood season (5.20 - 8.10)
表2. 百色水库主汛期防洪调度规则(5.20~8.10)
Figure 3. Comparison of the various operating models of 200 years in the Baise reservoir (2001)
图3. 百色水库200年一遇不同调度方法结果对比(2001典型年)
Figure 4. Objective function and computational time with various discrete steps
图4. 离散步长变化对目标函数、计算时间的影响
减小至0.001 m时，目标函数值只优化0.04%，并趋于稳定，而计算时间增加近24倍。因此百色水库确定性防洪优化调度中水位离散步长可取为0.005 m。
3.4. 对比分析
本文基于百色水库1962~2005年中所选取15场典型洪水放大所得200年一遇洪水过程，通过简化二维动态规划方法，求解百色水库防洪优化调度模型，可得出百色水库在优化调度的最优路径，确定性优化调度的最高水位和最大出流与常规调度结果对比见表3。
从表3可以看出，确定性优化调度优于常规调度。1962~2005年中所选取15场典型洪水放大所得200年一遇洪水中，每一年洪水都满足确定性优化的百色水库最高水位都低于常规调度水库最高水位，同时满足下游防洪控制点田东流量在安全泄量范围内，百色水库最高水位优化调度平均值相对于常规调度降低了1.41 m，从而腾出更多的防洪库容，为后续洪水提供了更好的保障。
百色水库2001年典型洪水放大所得200年一遇洪水过程的常规与确定性优化调度结果对比见图3，从图中可以看出，2001年典型洪水放大所得200年一遇洪水，确定性优化调度与常规调度始末水位一致。相对于常规调度，确定性优化调度出库流量大于常规调度出库流量，优化调度水库最高水位均低于常规调度水库最高水位，实现了预泄功能，从而可以腾出更大的防洪库容。常规调度中百色水库水位为228.81 m，优化调度中百色水库水位达222.38 m，水位削减6.43 m，腾出相对应的水库库容约达8亿m3。
表4是表示百色水库2001年典型洪水放大所得五种频率洪水调度结果的比较，通过常规调度与确定性优化两栏结果可以看出，确定性优化均优于常规调度，200年一遇时，水库最高水位削减最多为6.43 m，20年一遇时，水库最高水位削减最少为3.62 m。由上述结果可知，百色水库确定性优化调度使用简化二维动态规划方法求解可明显降低水库最高水位，腾出更多的防洪库容。
Table 3. Comparison of the various operating models of 200 years in the Baise reservoir
表3. 百色水库不同调度方式200年一遇结果比较
Table 4. Comparison of operation results of five return period design floods using 2001 typical flood in the Baise reservoir
表4. 百色水库2001年典型洪水对应五种频率洪水调度结果比较
4. 防洪调度规则
4.1. 调度规则提取方法
水库优化调度结果分析主要有两类基本途径，显随机优化和隐随机优化。本文中主要应用隐随机优化方法[9] ，利用确定性优化调度模型得出的水库优化调度结果即最优轨迹，从中总结规律，制定水库调度规则函数，指导水库进行蓄泄。
结果分析中，首先对水库预报库容与水库出库流量两个参数进行分析，求出相应的相关系数，与0.3和0.7区间分段点进行比较，确定线性相关程度，再使用一元线性回归方法与分段函数拟合法进行分析，从而可整理出调度函数。
4.2. 调度规则提取过程
本文制定了单库优化调度函数的“优化–拟合–验证”框架，即先建立水库优化调度模型，通过确定性简化二维动态规划优化得到最优样本[10] ；然后采用一元线性回归分析最优样本得到调度函数；并基于模拟调度结果修正调度函数；最后采用历史径流系列进一步检验和评价调度函数。本文选取百色水库1962、1966、1968、1970、1974、1976、1978、1983、1988、1994、1996、1998年为调度规则函数参数率定期，2001、2002、2005年为调度规则函数检验期。
调度规则提取过程的详细步骤如下：
1) 根据百色水库确定性防洪优化调度结果，找出最优路径，即百色水库逐时段对应的来水量、泄水量、水库水位等水库参数过程，从而根据各个时刻的水库水位，百色水库库容曲线得到各个时刻库容
。
2) 采用三个时段(36 h)洪水预报流量与当前时刻的库容对应转换叠加得预报库容。
(11)
3) 将百色水库1962、1966、1968、1970、1974、1976、1978、1983、1988、1994、1996、1998年参数率定期对应的水库预报库容与水库当前时刻出库流量建立一一对应关系，共1113个数据点，并且按照预报库容升序排列，点绘于Matlab R2009a中Curve Fitting Tool (cftool)工具箱，并统计库容和流量不同区间的个数，库容与流量样本点分布表具体见表5。
4) 去掉1113个数据点中的离群点，留下有效点。
5) 对有效点进行拟合[11] ，调度函数明显可分为三段线性函数，划定区间，使用Matlab R2009a进行拟合得到分段函数，具体见图5，即为调度函数：
(12)
Table 5. Sample distributions of flow and reservoir
表5. 库容与流量样本点分布
Figure 5. Piecewise fitting results of the Baise reservoir
图5. 百色水库分段拟合结果
4.3. 调度规则的检验与分析
本文采用百色水库2001、2002、2005年典型洪水放大得到的200年一遇频率洪水作为检验期，由表3可知，百色水库常规调度最高水位平均值为216.89 m，百色水库调度规则最高水位平均值为216.62 m，水位削减0.27 m，相比于常规调度，调度规则有效降低了百色水库水位，腾出了更大的防洪库容，为后续洪水提供了更好的保障，总体来说，调度规则产生的防洪效益比常规调度好，从而验证百色水库调度规则的可靠性。
根据表3中田东最大流量比较可知，根据调度规则和马斯京根法演算得到的田东断面最大流量基本小于常规调度和马斯京根法演算值，并均在田东安全流量范围内。需要指出的是，2001年来流量较大，调度规则得到的泄流量变动不大，而区间入流大，因此叠加后无法保证减小田东断面流量。
由图3可以看出，2001年典型洪水放大后的频率洪水中，常规调度水库最高水位达228.81 m，调度规则水库最高水位达222.76 m，水位削减6.05 m，腾出相对应的水库库容约达8亿m3。相对于常规调度，调度规则实现了一定的预泄功能，腾出更大的防洪库容，降低水库水位，因此调度规则出库流量在一定程度上大于常规调度出库流量，调度规则水库最高水位基本上低于常规调度水库最高水位。
从表4可以看出，百色水库2001年典型洪水放大得到的五种频率洪水过程中，调度规则水库最高水位处于优化调度与常规调度之间，即优化调度水库最高水位低于调度规则，调度规则水库最高水位低于常规调度，保证了优化调度优于调度规则，调度规则优于常规调度，完成了单库优化调度函数的“优化–拟合–验证”框架，验证了单库防洪调度函数的正确性。
5. 结论
本文开展了百色水库防洪优化调度研究，通过对优化调度结果分析，提取了防洪优化调度规则，主要研究成果和结论如下：
1) 建立了百色水库确定性防洪优化调度模型，利用简化二维动态规划方法进行求解，可克服动态规划的无后效性与马斯京根法洪水演算的时滞性冲突，从而简化运算，提高精度。结果表明：2001年典型洪水放大得到200年一遇洪水中，优化调度中水库最高水位比常规调度水库最高水位削减6.43 m，可腾出近8亿m3的防洪库容，从而更好地指导百色水库进行防洪调度，提高百色水库及上下游的防洪效益。
2) 提取了百色水库防洪调度规则，使用隐随机方法分析确定性防洪优化调度最优轨迹，通过分段线性拟合法提取防洪调度规则，并对调度规则合理性进行了检验。结果表明：1962~2005年中所选取15场典型洪水放大所得200年一遇洪水中，调度规则水库最高水位平均值比常规调度水库最高水位平均值削减0.27 m，证实了调度规则的合理性与实用性，从而为防洪调度提供一定的参考。
如何优化已有防洪调度规则，以及分析水文预报信息的不确定对规则的影响，仍有待进一步研究。
基金项目
湖北省重大水利科研经费项目；教育部新世纪优秀人才支持计划(NCET-11-0401)；水利部公益性行业科研专项经费项目(201201051)；中央分成水资源费项目(项目编号：1261430210028)。
NOTES
作者简介：张靖文(1991-)，女，湖南岳阳人，研究生，主要从事水库调度研究。